Grundlagen zu Vektornormen, Banach

Grundlagen zu Vektornormen, Banach- und Hilberträume
Mit K bezeichnen wir im folgenden stets die Menge der reellen Zahlen, also
K = R , oder auch die Menge der komplexen Zahlen, also K = C .
Wir führen zunächst den Begriff des normierten Vektorraumes ein, in denen
man jedem Vektor eine Länge, auch Norm genannt, zuordnen kann:
Definition 1: Ein K-Vektorraum V zusammen mit einer sogenannten Norm
k · k : V → R heißt normierter K-Vektorraum, wenn die folgenden drei
Bedingungen erfüllt sind:
(N1) Positive Definitheit der Norm:
Für alle x ∈ V gilt kxk ≥ 0 , wobei kxk = 0 genau dann erfüllt ist,
wenn x = 0 der Nullvektor ist.
(N2) Homogenität der Norm:
Für alle x ∈ V und alle α ∈ K gilt kαxk = |α|kxk .
(N3) Dreiecksungleichung:
Für alle x, y ∈ V gilt
kx + yk ≤ kxk + kyk .
Bemerkungen:
(1) Das Normsymbol k · k soll an die Betragsstriche im Körper der reellen
bzw. komplexen Zahlen erinnern, die mit der Betragsfunktion als Norm
ebenfalls normierte Räume sind.
(2) In einem normierten Raum ist zu je zwei Vektoren x, y ∈ V durch
d(x, y) := kx − yk ein Abstand, auch Metrik genannt, definiert.
(3) Wir schreiben einen normierten Raum in der Form (V, k · k), oder einfach kurz V , wenn die Norm explizit und ohne Verwechselungsgefahr
festliegt.
Definition 2: Cauchyfolgen und Banachräume
(a) Eine Folge (xn )n∈N aus V heißt konvergent gegen x ∈ V , wenn
lim kxn − xk = 0 . Wir schreiben dann auch lim xn = x .
n→∞
n→∞
(b) Eine Folge (xn )n∈N aus V heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε > 0
ein n0 = n0 (ε) gibt, so daß kxn − xm k < ε für alle n, m ≥ n0 (ε) gilt.
(c) Ein normierter Raum (V, k · k) heißt vollständig bzw. Banachraum,
wenn in ihm jede Cauchy-Folge konvergiert.
1
Merke: Für jedes n ∈ N ist der R-Vektorraum Rn bzw. der C-Vektorraum
Cn ein Banachraum bzgl. irgendeiner Norm, z.B. bzgl. der “Euklidnorm”
| · | : Kn → R, wobei allerdings der Terminus “Euklid” eher für reelle
Skalarprodukträume verwendet wird.
Definition 3: Es sei (V, k · k) ein normierter K-Vektorraum.
(a) Stetigkeit einer auf V definierten Funktion:
Eine Funktion f : V → Rn heißt stetig im Punkt x ∈ V , wenn für jede
gegen x konvergente Zahlenfolge (xk )k∈N aus V die Bildfolge (f (xk ))k∈N
in Rn konvergiert, n ∈ N. Wir nennen f stetig, wenn f in jedem Punkt
x ∈ V stetig ist, d.h. f bildet konvergente Folgen in V stets auf
konvergente Folgen in Rn ab.
(b) Umgebung eines Punktes x0 ∈ V : Eine Teilmenge U ⊆ V heißt
Umgebung eines Punktes x0 ∈ V , wenn es um x0 eine ε-Kugel
Bε (x0 ) := { x ∈ V : kx − x0 k < ε }
mit Bε (x0 ) ⊆ U gibt. Hierbei wird ε > 0 oft Kugelradius genannt.
(c) Offene Mengen in V : Eine Teilmenge U ⊆ V heißt offen, wenn sie
Umgebung jedes ihrer Punkte ist. Ein wichtiger Spezialfall ist die oben
definierte offene ε-Kugel Bε (x0 ) .
(d) Abgeschlossene Mengen in V : Eine Teilmenge X ⊆ V heißt in V
abgeschlossen, wenn sie in V das Komplement einer offenen Menge U
ist. Abgeschlossene Mengen sind durch folgende Darstellung charakterisiert:
X =V \U,
U offen in V .
(e) Randpunkte einer Menge: Eine Punkt x ∈ V heißt Randpunkt
einer Teilmenge X ⊆ V , wenn in jeder Umgebung von x sowohl ein
Punkt aus X als auch aus V \ X liegt. Die Menge aller Randpunkte
von X wird mit ∂X bezeichnet. Ein wichtiges Beispiel ist die Sphäre
S = ∂Bε (x0 ), bestehend aus allen Punkten x ∈ V , die von x0 den
Abstand kx − x0 k = ε bzgl. der Norm k · k auf V haben.
In jedem normierten Raum, und insbesonders im Rn , gelten die folgenden
einfachen Eigenschaften:
1) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist wieder offen. Der
Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist wieder offen.
2) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist wieder
abgeschlossen. Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen
ist wieder abgeschlossen.
2
3) Besonders wichtig ist die Charakterisierung abgeschlossener Mengen
mittels Folgen: Genau dann ist X ⊆ V abgeschlossen, wenn für jede in
V konvergente Zahlenfolge (xn )n∈N aus X mit lim xn = x auch x ∈ X
n→∞
gilt. Dies bedeutet die Abgeschlossenheit von X bzgl. der Grenzwertbildung von Zahlenfolgen aus X, die in V konvergieren.
Satz 1: Skalarprodukträume als normierte Räume:
Gegeben ist ein K-Skalarproduktraum (V, h·, ·i), für K = C auch unitärer
Raum genannt. Dies ist ein Vektorraum zusammen mit einem Skalarprodukt
h·, ·i : V × V → K, wobei die folgenden drei Axiome gelten:
(SP1) Positive Definitheit: Für alle x ∈ V ist hx, xi ≥ 0, wobei Gleichheit
in dieser Ungleichung genau dann auftritt, wenn x = 0 der Nullvektor
in V ist.
(SP2) Linearität im ersten Argument: Für alle λ, µ ∈ K und x, y, z ∈ V
gilt
hλ x + µ y, zi = λ hx, zi + µ hy, zi .
(SP3) Das Skalarprodukt ist hermitesch (K = C) bzw. symmetrisch
(K = R), d.h. für alle x, y ∈ V gilt
hx , yi = hy , xi .
Im Falle K = R können die Konjugationsstriche auch weggelassen werden, so daß die Symmetrie hx , yi = hy , xi folgt.
p
Dann ist für alle x ∈ V durch kxk := hx, xi eine Norm auf V definiert.
Dabei gilt für alle x, y ∈ V die folgende
Ungleichung von Cauchy-Schwarz:
|hx, yi| ≤ kxk kyk .
Definition 4:
(a) Gegeben ist ein
pK-Skalarproduktraum (V, h·, ·i) mit seiner kanonischen
Norm kxk := hx, xi. Ist nun der zugehörige normierte Raum (V, k·k)
vollständig, so nennen wir den Skalarproduktraum (V, h·, ·i) auch einen
Hilbertraum.
(b) Der Hilbertraum (V, h·, ·i) mit zugehöriger Norm k · k heißt separabel,
wenn es eine höchstens abzählbar unendliche Teilmenge M von V gibt,
deren Linearkombinationen dicht in V liegen, d.h. zu jedem x ∈ V und
jedem ε > 0 gibt es Vektoren x1 , ..., xm ∈ M und α1 , · · · , αm ∈ K mit
kx −
m
X
k=1
3
αk xk k < ε .
Merke:
(1) Hilberträume sind vollständige Skalarprodukträume.
(2) Für jedes n ∈ N ist der R-Vektorraum Rn bzw. der C-Vektorraum Cn
mit dem Standard-Skalarprodukt
   
* x1
y1 +
n
X
 ..   .. 
xk y k
 .  ,  .  :=
k=1
xn
yn
ein Hilbertraum.
Die zugehörige Norm ist die “Euklidnorm” | · | : Kn → R.
Der folgende Satz garantiert für separable Hilberträume eine Reihenentwicklung, die eine Verallgemeinerung der Fourier-Entwicklung für quadratisch
integrierbare und periodische Funktionen darstellt:
Satz 2: Fourier-Entwicklung im separablen Hilbertraum:
Der Hilbertraum (V, h·, ·i) mit zugehöriger Norm k · k sei separabel und
unendlichdimensional. Dann gibt es ein vollständiges Orthonormalsystem
(wk )k∈N , dies ist eine Folge in V mit folgenden Eigenschaften:
(a) Es gilt hwk , wn i = δkn für alle k, n ∈ N. Dies ist die Eigenschaft der
Orthonormalität von (wk )k∈N .
(b) Aus hx, wk i = 0 für alle k ∈ N folgt stets x = 0 für jeden Vektor x ∈ V .
Dies bedeutet (wk )k∈N ist vollständig.
(c) Jedes x ∈ V besitzt eine in (V, k·k) konvergente und eindeutige Darstellung als Fourier-Reihe
∞
X
x=
ck w k ,
k=1
wobei die Fourier-Koeffizienten ck durch ck = hx, wk i bestimmt sind.
Hierbei gelten die Besselsche Ungleichung
kx −
n
X
2
2
ck wk k = kxk −
k=1
n
X
|ck |2 ≥ 0 ,
k=1
und im Grenzfall k → ∞ die Parsevalsche Gleichung
2
kxk =
∞
X
k=1
4
|ck |2 .