Übungsblatt 1.

Einführung in die Numerik &
Numerik für Studierende der Naturwissenschaften
Frühjahrsemester 2017
Prof. Dr. H. Harbrecht
Übungsblatt 1.
Abgabe bis: Montag, 27.02.2017, 14 Uhr
Aufgabe 1 (Landau-Symbole | 4 Punkte).
Seien f und g Funktionen. Man sagt, dass f für x → a gegenüber g asymptotisch vernachlässigbar ist, f = o(g), falls
f (x)
lim
= 0.
x→a g(x)
Ausserdem heisst f für x → a asymptotisch durch g beschränkt, f = O(g), falls
f (x) lim sup
< ∞.
g(x)
x→a
Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Behauptungen:
(a) xπ − xe = O(x3 ) für x → 0.
(b) sin(x) = O(ex − 1) für x → 0.
Pn
k
n
(c)
k=0 q = O(q ) für n → ∞ und alle q > 1.
(d) xα = o(ex ) für x → ∞ und alle α > 0.
Aufgabe 2 (Fehlerfortpflanzung | 4 Punkte).
Wir wollen nun die Fortpflanzung von Fehlern bei der Durchführung der vier arithmetischen Grundoperationen {+, −, ·, /} betrachten. Die Zahlen x und y seien mit
∆y
Rundungsfehlern ∆x und ∆y aus vorherigen Rechnungen behaftet, wobei | ∆x
x |, | y | 1
gelte. Zeigen Sie, dass bei exakter Rechung (also ohne Rundungsfehler) für die relativen
Fehler der Ergebnisse die folgenden Aussagen gelten:
(a)
((x+∆x)+(y+∆y))−(x+y)
x+y
=
x ∆x
x+y x
+
y ∆y
x+y y
(Addition)
(b)
((x+∆x)−(y+∆y))−(x−y)
x−y
=
x ∆x
x−y x
−
y ∆y
x−y y
(Subtraktion)
(c)
((x+∆x)·(y+∆y))−(x·y)
x·y
(d)
((x+∆x)/(y+∆y))−(x/y)
x/y
≈
≈
∆x
x
+
∆x
x
∆y
y
−
∆y
y
(Multiplikation)
(Division)
Falls der relative Fehler des Ergebnisses sehr viel grösser ist, als der relative Fehler der
Eingabedaten, so spricht man von Auslöschung. In welchen der obigen Fällen kann Auslöschung auftreten?
Hinweis. Produkte von Rundungsfehlern, d.h. ∆x · ∆x, ∆x · ∆y und ∆y · ∆y, können Sie
vernachlässigen.
Aufgabe? 3 (Frobenius-Norm | 3 Punkte).
(a) Sei A ∈ Rm×n . Zeigen Sie, dass
q
kAkF = Spur(AT A).
(b) Seien A ∈ Rm×n und B ∈ Rn×l . Rechnen Sie nach, dass
kABkF ≤ kAkF kBkF .
Aufgabe? 4 (Matrixnormen | 3 Punkte).
Sei k·kM eine beliebige Norm auf Rn×n .
(a) Beweisen Sie, dass es c, C > 0 mit
ckAkF ≤ kAkM ≤ CkAkF
für alle A ∈ Rm×n
gibt. (Dies bedeutet, dass alle Normen auf Rn×n äquivalent sind.)
2
Hinweis. Benutzen Sie dazu, dass alle Normen auf Rn äquivalent sind.
(b) Schliessen Sie, dass es ein k > 0 gibt, so dass die Norm definiert durch
kAkM,k := k · kAkM
für alle A ∈ Rm×n
submultiplikativ ist.
Aufgabe? 5 (induzierte Normen | 2 Punkte).
Sei k·k eine Norm auf Rn . Dann ist
kAxk
= max kAxk
kxk=1
x6=0 kxk
~A~ := sup
die sogenannte induzierte Norm von k·k auf Rn×n .
(a) Überprüfen Sie, dass ~·~ tatsächlich eine Norm auf Rn×n ist.
(b) Zeigen Sie, dass für jedes A ∈ Rn×n ~A~ die kleinste aller Zahlen C > 0 ist, so
dass für alle x ∈ Rn kAxk ≤ Ckxk gilt.
Programmieraufgabe 6 (Differenzenquotienten | 4 Punkte).
Sei f : (a, b) → R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Um für x0 ∈ (a, b)
eine numerische Approximation der Ableitung f 0 (x0 ) zu erhalten, berechnen wir für hinreichend kleines h > 0 die Vorwärtsdifferenz bzw. die zentrale Differenz durch
(δh+ f )(x0 ) :=
f (x0 + h) − f (x0 )
h
bzw. (δh0 f )(x0 ) :=
f (x0 + h) − f (x0 − h)
.
2h
Schreiben Sie MATLAB-Funktionen
df = diffQuotF(f, x0, h) bzw. df = diffQuotC(f, x0, h)
welche δh+ bzw. δh0 für die Funktion, die als funtion handle f übergeben wird, bei x0 mit
h auswerten.
Gegeben sei die Funktion f (x) = 3x4 − 2x2 . Schreiben Sie ein MATLAB-Skript, das für
hi = 10−i , i = 1, . . . , 12, die Ableitung im Punkt x0 = 1 numerisch mit ihren MATLABFunktion diffQuotF bzw. diffQuotC auswertet. Speichern Sie die absolute Differenz
der Approximation mit hi zur analytischen Lösung f 0 (x0 ) (von Hand berechnen) im iten Eintrag des Vektors errF bzw. errC. Plotten Sie die Schrittweiten hi gegen die
absoluten Differenzen in einen loglog-Plot:
loglog(h, errF, h, errC).