Zusammenfassung

2.7 Eigenwerte und Eigenvektoren
53
Zusammenfassung
in 2.1: Lösung eines linearen Gleichungssystems

a11 x1



 a21 x1
• Formalisierung:
..

.



am1 x1
+
+
+
a12 x2
a22 x2
..
.
+ ···
+ ···
am2 x2
+ ···
+
+
+
a1n xn
a2n xn
..
.
amn xn
=
=
b1
b2
..
.
= bm









99K A~x = ~b
• Lösungsmethode: Gauß-Verfahren
• wesentliche (theoretische) Aussage: Satz 2.1.6
in 2.2: Konzepte des linearen Unterraumes, linearer Unabhängigkeit, Basis, Dimension
• Dimensionsformel: dim L(A|~0) = n − rg(A)
(Satz 2.2.6)
• allgemeine Lösung linearer Gleichungssysteme: Satz 2.2.7
allg. Lösung = allg. Lösung homogenes System + spezielle Lösung inhomogenes System
in 2.3, 2.4: Rechnen mit Matrizen, und Determinanten
• insbesondere inverse Matrix: Sätze 2.3.4, 2.4.3(vi)
• Berechnung der inversen Matrix
• zentrale Aussage zur Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme: Satz 2.4.5
in 2.5: lineare Abbildungen und Matrizen
Abbildungen
Matrizen
f : Rn → Rm ,

A


m × n-Matrix,


x1
f1 (~x)
 


f : ~x =  ...  7→ f (~x) =  ... 
xn
fm (~x)
a11

A~x =  ...
am1
···
..
.
···


a
x
1k
k
 k=1

a1n
x1



..   ..  = 
..

.  .  
.
 n

P

amn
xn
amk xk


n
P
k=1
f linear
⇐⇒
f (λ~x + µ~y ) = λf (~x) + µf (~y )
fA (~x) = A~x
linear
A(λ~x + µ~y ) = λA~x + µA~y y A linear
⇐=
A m × n-Matrix
Es gilt auch die Umkehrung (Satz
¡ 2.5.3), d.h. für ¢jede lineare Abbildung g existiert (genau) eine
Matrix Ag mit g(~x) = Ag ~x = g(e~1 ) · · · g(e~n ) ~x,
g
Verkettung g ◦ f
linear
=⇒
Satz 2.5.5
=⇒
∃ Ag m × n-Matrix, g(~x) = Ag ~x
zugehörige Matrix Ag◦f = Ag Af
54
2 Lineare Algebra
Beispiele :
¶
µ
¶µ ¶ µ
¶
3
2 3
x1
2x1 + 3x2
y A~x =
=
4
1 4
x2
x1 + 4x2
µ
¶ µ
¶
½
f1 (x1 , x2 )
2x1 + 3x2
f1 (x1 , x2 ) = 2x1 + 3x2
y fA (~x) =
=
y
f2 (x1 , x2 )
x1 + 4x2
f2 (x1 , x2 ) = x1 + 4x2
¶
µ
¶ µ
g (x , x , x )
7x1 + 3x2 − x3
(ii) sei g(~x) = 1 1 2 3 =
, g linear:
−x1 + x2
g2 (x1 , x2 , x3 )
(i) sei A =
µ
2
1
µ
¶
g1 (λx1 + µy1 , λx2 + µy2 , λx3 + µy3 )
g(λ~x + µ~y ) =
g2 (λx1 + µy1 , λx2 + µy2 , λx3 + µy3 )
µ
¶
7(λx1 + µy1 ) + 3(λx2 + µy2 ) − λx3 − µy3
=
= λg(~x) + µg(~y )
−λx1 − µy1 + λx2 + µy2
 
 
 
µ ¶
µ ¶
µ ¶
0
1
0
−1
7
3






, g(e~2 ) = g 1 =
, g(e~3 ) = g 0 =
y g(e~1 ) = g 0 =
0
−1
1
0
1
0
µ
¶
¡
¢
7 3 −1
y Ag = g(e~1 ) g(e~2 ) g(e~3 ) =
−1 1 0
 
µ
¶ µ
¶ x1
7x1 + 3x2 − x3
7 3 −1  
x2 = Ag ~x
⇐⇒ g(~x) =
=
−x1 + x2
−1 1 0
x3
(iii) ϕ : Rn → Rn , ϕ(~x) = a~x, a > 0
Stauchung/Streckung
ϕ(λ~x + µ~y ) = a(λ~x + µ~y ) = λ(a~x) + µ(a~y ) = λϕ(~x) + µϕ(~y ) y ϕ linear,


a 0 ··· 0


¡
¢ 0 a . . . 0


Aϕ = g(e~1 ) · · · g(e~n ) =  .
.  = a I = a Aid
 .. . . . . . . .. 
0 ··· 0 a
(iv) ψ : Rn → Rn , ψ(~x) = ~x + ~b, ~b ∈ Rn fest
Translation/Verschiebung um ~b
?
ψ linear ?, d.h. ψ(λ~x + µ~y ) = λψ(~x) + µψ(~y ) für alle λ, µ ∈ R?
?
ψ(λ~x + µ~y ) = λ~x + µ~y + ~b = λ(~x + ~b) + µ(~y + ~b) = λψ(~x) + µψ(~y )
?
⇐⇒ ~b = (λ + µ)~b für alle λ, µ ∈ R y nur richtig für ~b = ~0, d.h. (nicht-triviale)
Translationen sind nicht linear!
in 2.6: spezielle lineare Abbildungen mit invertierbaren zugehörigen Matrizen 99K Koordinatentransformation
• spezielle Koordinatensysteme/Basen: Orthogonalbasen, -matrizen, Orthonormalbasen
• wichtig: Satz 2.6.5 & Folgerung 2.6.6
• Koordinaten-Umrechnungen zu neuer Basis (Transformation): Substitutions- und Transformationsformel, (Transformations-)Satz 2.6.9
• Beispiele: Drehung um θ > 0 in R2 , R3 , Spiegelung im R2
in 2.7: Eigenwerte und -vektoren, Eigenräume
• A~x = λ~x 99K Nullstellen von det(A − λI) ermitteln
• invariante Räume unter Abbildung/Matrix A, ‘Fixpunkte, -räume’: A~x = ~x (λ = 1)
55
3
Folgen und Reihen
3.1
Zahlenfolgen
∞
Definition 3.1.1 Eine reelle Zahlenfolge (aj )j=1 ist eine Abbildung natürlicher Zahlen in die reellen Zahlen.
Eine komplexe Zahlenfolge (zj )∞
j=1 ist eine Abbildung natürlicher Zahlen in die komplexen Zahlen.
Beispiele :
(i) an = a0 + nd, n ∈ N, a0 , d ∈ C y an+1 − an = d, n ∈ N 99K arithmetische Folge
(ii) an = a0 q n , n ∈ N, a0 ∈ C, q 6= 0 y an+1 = qan
=⇒
a0 6= 0
an+1
= q, n ∈ N
an
99K geometrische Folge
(iii) an = (−1)n bn , bn ≥ 0 (oder bn ≤ 0), n ∈ N 99K alternierende Folge
Definition 3.1.2 Eine reelle oder komplexe Folge (an )∞
n=1 heißt beschränkt, falls es eine Konstante K > 0
gibt, so dass |an | ≤ K für alle n ∈ N gilt.
Bemerkung∗ : Für Folgen in R auch sinnvoll:
• (an )∞
n=1 beschränkt nach unten
⇐⇒
∃ K1 ∈ R
∀ n ∈ N : a n ≥ K1
• (an )∞
n=1 beschränkt nach oben
⇐⇒
• (an )∞
n=1 beschränkt
⇐⇒
(an )∞
n=1 beschränkt nach unten und oben
⇐⇒
∃ K 1 , K2 ∈ R
∃ K2 ∈ R ∀ n ∈ N : an ≤ K2
∀ n ∈ N : K1 ≤ a n ≤ K2
Grenzwertbegriff : Motivation
an
1
n
„
n
9
10
a1 , a 2 , a 3 , . . .
lim an
n→∞
1, 0.5, 0.333, 0.25, . . .
0
0.9, 1.62, 2.187, 2.6244, . . . , a10 ∼ 3.487, . . . , a100 ∼ 2.66 · 10−3 , . . .
0
1, 1.414, 1.442, 1.414, . . . , a50 ∼ 1.081, . . .
1
«n
√
n
n
n
X
1
k
1, 1.5, 1.833, . . . , a10 ∼ 2.929, . . . , a100 ∼ 5.187, . . . , a1000 ∼ 7.485, . . . a10000 ∼ 9.788, . . .
div.
k=1
n
X
k=1
1
k(k + 1)
n
X
(−1)k−1
k
0.5, 0.667, 0.75, 0.8, . . . , a100 ∼ 0.99, . . .
1
1, 0.5, 0.833, 0.583, . . . , a10 ∼ 0.646, . . . , a20 ∼ 0.669, . . .
ln 2
in
i, −1, −i, 1, i, . . .
div.
in
n
i, −0.5, −0.333i, 0.25, 0.2i, . . .
k=1
0
56
3 Folgen und Reihen
Definition 3.1.3 Eine reelle oder komplexe Folge (an )∞
n=1 heißt konvergent, wenn es eine reelle oder
komplexe Zahl a mit folgender Eigenschaft gibt: Für jedes ε > 0 existiert eine natürliche Zahl n0 (ε), so
dass für all n ≥ n0 (ε) gilt:
|a − an | < ε .
Dann heißt a Grenzwert bzw. Limes von (an )∞
n=1 , geschrieben als
alternative Schreibweise:
Bemerkung∗ :
an −−−−→ a
oder
n→∞
an −→ a
lim an = a.
n→∞
für
n→∞
• In jeder ε-Umgebung Uε (a) = (a − ε, a + ε) ⊂ R bzw. Uε (a) = {z ∈ C : |z − a| < ε}
um den Grenzwert liegen fast alle“ – d.h. alle bis auf endlich viele – Glieder der Folge.
”
q
2
2
• in C: |a − aj | = [<e (a − aj )] + [=m (a − aj )]
Beispiele : (a) aj ≡ a für j ≥ j ∗
=⇒
(b) aj =
1
j
(konstante Folge)
∀ε>0
∃ j0 (ε) := j ∗
(Idee: aj −→ 0)
Sei ε > 0, setzen: j0 (ε) =
=⇒
· ¸
1
+1
ε
∀ j ≥ j0 (ε) : |aj − a| = |a − a| = 0 < ε
=⇒
|aj − 0| = |aj | =
j0 (ε) >
1
ε
1
1
≤
<ε,
j
j0 (ε)
j ≥ j0 (ε)
(−1)j
(Idee: aj −→ 1)
j
Sei ε > 0, suchen j0 (ε) so, dass für j ≥ j0 (ε) gilt:
¯
¯
¯ 1
¯
(−1)j
¯
− 1¯¯ = < ε
|aj − 1| = ¯1 +
j
j
· ¸
1
Setzen wie in (b) j0 (ε) =
+ 1, ε > 0
ε
(c) aj = 1 +
Bemerkung∗ : Es kommt nicht darauf an, bestes“ (d.h. kleinstes) j0 (ε) anzugeben !
”
1
Sei z.B. aj =
(Idee: aj −→ 0)
2
1+j+j
· ¸
1
+ 1, so dass für j ≥ j0 (ε) gilt:
Für ε > 0 setzen wir wie in (b) und (c) j0 (ε) =
ε
 1
1
1

≤
< ε ⇐⇒ j0 (ε) >

¯
¯


j
j
(ε)
ε
0
¯
¯
1
1
¯=
−
0
<
|aj − 0| = ¯¯
¯ 1 + j + j2
 1
1 + j + j2

1
1


≤ 2
< ε ⇐⇒ j1 (ε) > √
j2
j1 (ε)
ε
Satz 3.1.4 (i) Ist eine Folge konvergent, so ist ihr Grenzwert eindeutig bestimmt.
(ii) Jede konvergente Folge ist beschränkt.
3.1 Zahlenfolgen
57
B e w e i s∗ : zu (i): indirekt
Annahme: ∃ z, z 0 ∈ R/C, lim zj = z, lim zj = z 0 mit z 6= z 0 , d.h. |z − z 0 | > 0
|z − z 0 |
setzen ε :=
>0
3
lim zj = z
j→∞
lim zj = z
0
j→∞
=⇒
⇐⇒
⇐⇒
j→∞
j→∞
z
∃ j0 (ε) ∀ j ≥ j0 (ε) : |zj − z| < ε
∃ j1 (ε) ∀ j ≥ j1 (ε) : |zj − z | < ε
∀ j ≥ j2 (ε) : |zj −z|+|zj −z 0 | < 2ε =
∃ j2 (ε) := max {j0 (ε), j1 (ε)}
Andererseits ist für alle j ∈ N :
=⇒
z0
ε
0
|z − z 0 | ≤ |z − zj | + |zj − z 0 |, d.h.
2
∃ j2 (ε) ∀ j ≥ j2 (ε) : |z − z 0 | ≤ |z − zj | + |zj − z 0 | < |z − z 0 |
| {z }
3
2
|z−z 0 |
3
=⇒
Annahme falsch !
>0
zu (ii): Sei lim zj = z,
j→∞
=⇒
∃ j0 = j0 (1)
setzen ε = 1
∀ j ≥ j0 : |zj − z| ≤ 1
z2
Sei D := max {|z1 |, |z2 |, . . . , |zj0 −1 | , |z| + 1}
(
)
max {|z1 |, |z2 |, . . . , |zj0 −1 |} , j = 1, . . . , j0 − 1
≤D
=⇒ |zj | ≤
|zj − z| + |z| ≤ |z| + 1 , j ≥ j0
Lemma 3.1.5 (zn )∞
n=1 ⊂ C konvergent
⇐⇒
zj0 −1
D
z5
∞
(|a| − |b|)2 ≥ 0
⇐=“
”
∞
≤
↑
|a| + |b|
,
a, b ∈ R
2|ab| ≥ 0
aj = <e (zj − z), bj = =m (zj − z)
´
1 ³
y √ |<e zj − <e z| + |=m zj − =m z| ≤ |zj − z| ≤ |<e zj − <e z| + |=m zj
2

√ ε

|<e zj − <e z| <
2√
= ε

ε
2
|z − zj | < √
für j ≥ j0 (ε) =⇒
√ ε

2
 |=m zj − =m z| <
2√
= ε
2
½
(<e zj ) konvergent, <e zj −→ <e z
=⇒
(=m zj ) konvergent, =m zj −→ =m z
− =m z|
(<e zj )j
konv. =⇒ ∃ a ∀ ε > 0
∃ j1 (ε)
∀ j ≥ j1 (ε) :
|<e zj − a|
<
(=m zj )j
konv. =⇒
∃ j2 (ε) ∀ j ≥ j2 (ε) :
|=m zj − b|
<
∃b
∀ε>0
Setzen z := a + ib, j0 (ε) := max{j1 (ε), j2 (ε)}
=⇒
z
(<e zn )n=1 ⊂ R und (=m zn )n=1 ⊂ R konvergent
p
1
B e w e i s∗ : Vorbemerkung: √ (|a| + |b|) ≤
a2 + b2
2
↑
=⇒“
”
1
|z − zj | ≤ |<e zj − a| + |=m zj − b| < ε ,
j ≥ j0 (ε)
Bemerkung∗ : Es reicht (eigentlich) aus, reelle Folgen zu betrachten.





,
ε
2
ε
2
j ≥ j0 (ε)