§6 Folgen

Mathematik für Informatiker B, SS 2012
Donnerstag 31.5
$Id: folgen.tex,v 1.11 2012/05/31 12:40:06 hk Exp $
§6
Folgen
Am Ende der letzten Sitzung hatten wir Folgen in einer Menge X als Abbildungen
a : N → X definiert, die dann typischerweise in der Form (an )n∈N , also mit dem
Funktionsargument n ∈ N als Index geschrieben werden. Wir gehen zunächst einige
kleine Beispiele von Folgen durch.
1. Die Folge an = n in der Menge M = R der reellen Zahlen.
2. Die Folge an = (−1)n wieder in M = R. Dies springt abwechselnd zwischen den
Werten an = 1 für gerade Indizes n und an = −1 für ungerade Indizes n hin und
her.
3. Die Folge an = (−1)n n ist wie die Folge an = n nur das das Vorzeichen je nach
geraden und ungeraden Index hin und her springt.
4. Wie im letzten Semester gesehen kann man Folgen auch rekursiv definieren. Dies
meint das das n-te Folgenglied in Termen des (n − 1)-ten Gliedes definiert wird,
oder noch allgemeiner unter Verwendung aller vorherigen Folgenglieder ak , 1 ≤
k < n. Damit dies sinnvoll ist, muss zusätzlich ein Startwert vorgegeben werden.
Wie wollen kurz ein kleines Beispiel einer solchen rekursiv definierten Folge besprechen. Der Startwert a0 sei eine beliebige natürlich Zahl a0 ∈ N∗ verschieden
von Null. Ist jetzt n ≥ 1 und kennen wir bereits das Folgenglied an−1 , so setze
(
an−1
,
an−1 ist gerade,
2
an :=
3an−1 + 1, an−1 ist ungerade.
Nehmen wir etwa den Startwert a0 = 5, so ergibt sich die Folge
a1 = 16, a2 = 8, a3 = 4, a4 = 2, a5 = 1, a6 = 4, a7 = 2, a8 = 1, . . .
und der 1–4–2 Zyklus wiederholt sich immer weiter. Die Folge hängt natürlich
vom Startwert ab, nehmen wir etwa a0 = 9, so wird
a1 = 28, a2 = 14 a3 = 7, a4 = 22, a5 = 11, a6 = 34, a7 = 17, a8 = 52, a9 = 26,
a10 = 13, a11 = 40, a12 = 20, a13 = 10, a14 = 5, a15 = 16, a16 = 8, a17 = 4,
a18 = 2, a19 = 1, . . .
und wir sind wieder im 1–4–2 Zyklus. Es wird vermutet, dass die Folge unabhängig
vom Startwert immer in diesem Zyklus landet.
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Zur graphischen Darstellung reeller Folgen kann man diese etwa durch Markieren der
Punkte (n, an ) in der Ebene malen, zum Beispiel werden die obigen ersten drei Folgen
dann
20
1
20
0.5
10
18
16
14
12
10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
8
6
–0.5
–10
4
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
–1
an = (−1)n
an = n
an = (−1)n n
In diesem allgemeinen Rahmen wollen wir nur einen einzigen Begriff einführen, nämlich
die sogenannten Teilfolgen einer gegebenen Folge.
Definition 6.2: Sei (an )n∈N eine Folge in einer Menge M . Eine Folge der Form (ank )k∈N ,
wobei für jedes k ∈ N stets nk ∈ N und nk < nk+1 gelten, heißt eine Teilfolge von
(an )n∈N .
Etwas ausführlicher besteht eine Teilfolge also aus einigen, aber nicht unbedingt allen,
Folgengliedern
an1 , an2 , an3 , . . .
der Originalfolge, wobei die Indizes n1 , n2 , n3 , . . . der in der Teilfolge vorkommenden
Indizes in derselben Reihenfolge wie in der Originalfolge sind, also n1 < n2 < n3 < . . ..
Beispielsweise hat die Folge an = (−1)n n die Teilfolge
a2n = (−1)2n 2n = 2n.
Eine Folge kann viele ganz unterschiedlich aussehende Teilfolgen haben, beispielsweise
sind
1
1
1
,
,
n + 1 n∈N
2n n∈N
n2 + 3n + 2 n∈N
alles Teilfolgen der Folge (1/n)n∈N .
6.1
Konvergente Folgen in metrischen Räumen
Wie eingangs erwähnt sind Folgen ein Hilfsbegriff, der das Gemeinsame an all den verschiedenen Grenzwertbegriffen einfangen soll. Daher brauchen wir insbesondere einen
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Grenzwertbegriff für Folgen. Diesen führen wir von vornherein recht allgemein für Folgen in metrischen Räumen ein.
Definition 6.3: Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (an )n∈N in X heißt konvergent gegen einen Punkt a ∈ X, wenn für jede Umgebung U von a stets ein Index
n0 ∈ N existiert ab dem die Folge ganz in U ist, also an ∈ U für alle n ≥ n0 . In
diesem Fall nennen wir den Punkt a den Limes, oder Grenzwert, der Folge (an )n∈N und
schreiben
a = lim an .
n→∞
Gibt es einen solchen Grenzwert, so heißt die Folge (an )n∈N konvergent und andernfalls
heißt sie divergent.
Ist speziell X = R oder X = C in der euklidischen Metrik, so nennt man eine gegen
0 konvergente Folge auch eine Nullfolge.
Egal wie klein die Umgebung U ist, schließlich
liegt die ganze Folge ab einem gewissen Index
ganz innerhalb U . Was die Folge vor diesem Index n0 macht spielt keine Rolle, nur ab diesem
Index ist sie ganz in der Umgebung. Gelegentlich wird dies auch so umschrieben, dass die Folge
dem Grenzwert a schließlich beliebig nahe kommt.
Das ist aber eigentlich eine etwas unglückliche
Sichtweise, da die Folgen ja überhaupt dazu dienen Konzepte wie dieses beliebig nahe kommen“
”
zu eliminieren. Oft wird die Grenzwertdefinition kompakt in Quantorenschreibweise formuliert,
d.h. a = limn→∞ an bedeutet
n0
a
U
∀(U Umgebung von a)∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 ) : an ∈ U.
Wir wollen einige einfache Beispiele von Grenzwerten behandeln. Zunächst ist eine konstante Folge an = a ∈ X in einem beliebigen metrischen Raum X gegen a konvergent.
Ist nämlich U eine Umgebung von a, so können wir etwa n0 = 1 setzen und für jede
natürliche Zahl n ∈ N mit n ≥ n0 ist dann an = a ∈ U . Als ein etwas komplizierteres Beispiel behandeln wir die Folge (1/n)n∈N im metrischen Raum X = R versehen
mit der durch d(x, y) = |x − y| gegebenen Metrik. Wir behaupten das diese Folge den
Grenzwert a = 0 hat. Sei hierzu eine Umgebung U von 0 in X = R gegeben. Dann existiert ein > 0 mit U (0) ⊆ U und nach Definition unserer Metrik ist U (0) = (−, ),
wir haben also (−, ) ⊆ U . Nach den archimedischen Eigenschaft der reellen Zahlen
aus §4.Lemma 16 existiert eine natürliche Zahl n0 ∈ N mit 1/n0 < . Für jedes n ∈ N
mit n ≥ n0 ist damit auch
0<
1
1
1
≤
< , also ∈ (−, ) ⊆ U.
n
n0
n
Damit ist auch diese Konvergenzaussage bewiesen.
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Wir kommen nun zu einer ganzen Klasse von Beispielen. Angenommen wir haben
einen metrischen Raum X und eine gegen ein a ∈ X konvergente Folge (an )n∈N in X.
Wir behaupten das dann auch jede Teilfolge (ank )k∈N dieser Folge gegen a konvergiert.
Sei nämlich eine Umgebung U von a in X gegeben. Dann existiert ein Index n0 ∈ N
mit an ∈ U für jedes n ≥ n0 . Für jedes k ∈ N mit k ≥ n0 ist damit auch nk ≥ k ≥ n0
also ank ∈ U , und die Konvergenz der Teilfolge (ank )k∈N gegen a ist bewiesen.
Kombinieren wir die eben behandelte Aussage mit den schon bewiesenen Grenzwert
limn→∞ 1/n = 0, so ergeben sich auch
lim
n→∞
1
1
1
= 0, lim
= 0, lim 2
=0
n→∞
n→∞
n+1
2n
n + 3n + 2
denn all dies sind Teilfolgen von 1/n. Nach diesen Beispielen kommen wir jetzt zur
allgemeinen Theorie zurück. Eine Umgebung eines Punktes a in einem metrischen
Raum war definitionsgemäß eine Menge, die noch eine kleine Kugel um den Punkt a
herum enthält. Setzen wir diese Definition in die Grenzwertdefinition ein, so ergibt sich
die folgende Umformulierung des Grenzwerts einer Folge.
Lemma 6.4: Seien (X, d) ein metrischer Raum, (an )n∈N eine Folge in X und a ∈ X.
Dann gilt genau dann lim an = a wenn
n→∞
∀( > 0)∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 ) : d(an , a) < gilt.
Beweis: ”=⇒” Sei > 0. Dann ist die Kugel U (a) eine Umgebung von a, also existiert
ein n0 ∈ N mit an ∈ U (a) für alle n ≥ n0 , und dies bedeutet d(an , a) < für n ≥ n0 .
”⇐=” Sei U eine Umgebung von a. Dann existiert ein > 0 mit U (a) ⊆ U . Weiter
existiert dann ein Index n0 ∈ N mit d(an , a) < für alle n ≥ n0 . Für jedes n ∈ N mit
n ≥ n0 ist damit auch
an ∈ U (a) ⊆ U,
und damit konvergiert (an )n∈N gegen a.
Wir werden im folgenden meist die Formulierung des Lemmas verwenden, um die
Konvergenz einer Folge nachzuweisen. Es gibt jetzt noch einen etwas feinsinnigen Punkt
zu beachten. Wir sprechen immer von dem Grenzwert einer konvergenten Folge, was
die Eindeutigkeit dieses Grenzwerts unterstellt. Diese Eindeutigkeit muss aber bewiesen
werden, und dies holen wir im folgenden Lemma nach.
Lemma 6.5 (Eindeutigkeit von Folgengrenzwerten)
Eine konvergente Folge in einem metrischen Raum hat genau einen Grenzwert.
Beweis: Seien also (X, d) ein metrischer Raum und (an )n∈N eine konvergente Folge in
X. Weiter seien a, b ∈ X zwei Grenzwerte dieser Folge. Wir wollen zeigen, dass dann
bereits a = b gilt. Hierzu zeigen wir, dass d(a, b) < für jedes > 0 gilt. Sei also > 0
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gegeben. Da die Folge (an )n∈N gegen a konvergiert, gibt es ein n1 ∈ N mit d(an , a) < /2
für alle n ≥ n1 . Da die Folge aber auch gegen b konvergiert, gibt es ebenso ein n2 ∈ N
mit d(an , b) < /2 für alle n ≥ n1 . Setze
n := max{n1 , n2 }.
Dann ist n ∈ N mit n ≥ n1 und n ≥ n2 , also d(an , a) < /2 und d(an , b) < /2. Mit der
Dreiecksungleichung folgt damit
d(a, b) ≤ d(a, an ) + d(an , b) = d(an , a) + d(an , b) <
+ = .
2 2
Da dies für jedes > 0 gilt, und andererseits d(a, b) ≥ 0 ist, folgt d(a, b) = 0, und
folglich auch a = b.
Wir führen jetzt noch eine kleine Verallgemeinerung von Grenzwerten ein, die sogenannten Häufungspunkte.
Definition 6.6: Seien (X, d) ein metrischer Raum und (an )n∈N eine Folge in X. Ein
Punkt a ∈ X heißt Häufungspunkt der Folge (an )n∈N wenn es eine gegen a konvergente
Teilfolge (ank )k∈N von (an )n∈N gibt.
Häufungspunkte einer Folge sind also die Grenzwerte konvergenter Teilfolgen der gegebenen Folge. Beispielsweise ist ein Grenzwert einer konvergenten Folge automatisch
auch ein Häufungspunkt. Aber auch nicht konvergente Folgen können Häufungspunkte haben. Beispielsweise hat die Folge an = (−1)n in X = R die beiden Teilfolgen
(−1)2k = 1 und (−1)2k+1 = −1, d.h. a = 1 und a = −1 sind beides Häufungspunkte
von ((−1)n )n∈N . Eine Folge kann sogar unendlich viele Häufungspunkte haben. Ein
Beispiel hierfür ist etwa die Folge an = sin(n). Man kann sich überlegen, dass jede
reelle Zahl x mit −1 ≤ x ≤ 1 ein Häufungspunkt der Folge (sin(n))n∈N ist.
6.2
Cauchy-Folgen
Unsere bisherige Definition konvergenter Folgen, also
∀( > 0)∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 ) : d(an , a) < in der Formulierung des Lemma 4, hat den Nachteil das in ihr der Grenzwert a explizit
vorkommt. Dadurch kann der Nachweis der Konvergenz recht mühsam werden, wenn
man den Grenzwert nicht ausrechnen kann, beziehungsweise ihn nicht in irgendeiner
handlichen Form beschreiben kann. Der Begriff der Cauchyfolge soll dieses Problem
umgehen, indem eine zur Konvergenz äquivalente Bedingung gefunden wird, in der
der Grenzwert nicht mehr explizit auftaucht. Leider besteht diese Äquivalenz nicht
allgemein in metrischen Räumen, wie wir noch sehen werden gilt sie aber beispielsweise
für X = R. Eine Cauchyfolge ist eine Folge in der die Folgenglieder für große Indizes
aneinander rücken. Die formale Definition ist wie folgt:
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Definition 6.7: Eine Folge (an )n∈N in einem metrischen Raum (X, d) heißt eine Cauchyfolge, wenn es für jedes > 0 einen Index n0 ∈ N mit d(an , am ) < für alle n, m ∈ N
mit n, m ≥ n0 gibt.
In Quantorenschreibweise bedeutet dies
∀( > 0)∃(n0 ∈ N)∀(n, m ≥ n0 ) : d(an , am ) < .
Wir werden sehen, dass jede konvergente Folge auch eine Cauchyfolge ist, aber leider
nicht umgekehrt. Zuvor möchten wir aber noch auf einen wichtigen Punkt in der Definition einer Cauchyfolge hinweisen, es ist wichtig das die Bedingung d(an , am ) < für
alle n, m ≥ n0 verlangt wird, es reicht nicht aus aufeinanderfolgende
Folgenglieder zu
√
betrachten. Ein Beispiel hierfür ist die Folge an = n in X = R. Diese Folge ist nicht
konvergent, also wie wir gleich sehen werden auch keine Cauchyfolge. Die Abstände aufeinanderfolgender Folgenglieder werden allerdings für große Werte des Index n beliebig
klein, für alle n ∈ N ist nämlich
√
√
√
√
√
√
( n + 1 − n) · ( n + 1 + n)
n+1−n
1
√
n+1− n=
=√
√
√ =√
√ .
n+1+ n
n+1+ n
n+1+ n
Kommen wir jetzt zu der schon mehrfach angekündigten Tatsache das konvergente
Folgen immer auch Cauchyfolgen sind.
Satz 6.8: Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge.
Beweis: Seien (X, d) ein metrischer Raum und (an )n∈N eine gegen ein a ∈ X konvergente Folge. Sei > 0 gegeben. Dann existiert ein Index n0 ∈ N mit d(an , a) < /2 für
alle n ≥ n0 . Für alle n, m ∈ N mit n, m ≥ n0 ist dann auch
d(an , am ) ≤ d(an , a) + d(a, am ) = d(an , a) + d(am , a) <
+ = .
2 2
Damit ist (an )n∈N eine Cauchyfolge.
In allgemeine metrischen Räumen ist die Umkehrung dieser Aussage leider falsch. Wir
können beispielsweise die Menge X := R\{0} mit der durch d(x, y) := |x − y| für
x, y ∈ R\{0} gegebenen Metrik betrachten. Da die Folge (1/n)n∈N in R gegen Null
konvergiert, ist sie in R, und somit auch in X, eine Cauchyfolge. In X ist diese Folge
aber divergent da ihr Grenzwert“ nicht in X liegt.
”
6.3
Folgen in angeordneten Körpern
Während wir bisher Folgen in allgemeinen metrischen Räumen untersucht haben, konzentrieren wir uns jetzt auf die reellen Zahlen X = R in der euklidischen Metrik
d(x, y) = |x − y|. In diesem Rahmen werden wir untersuchen wie die arithmetische
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Struktur und die Ordnungsstruktur der reellen Zahlen mit dem Konvergenzbegriff zusammenspielen. Ein oft nützliches Hilfsmittel sind hier die monoton steigenden beziehungsweise monoton fallenden Folgen.
Definition 6.9: Sei (an )n∈N eine Folge in einem angeordneten Körper K.
1. Die Folge (an )n∈N heißt nach oben beschränkt, wenn die Menge {an |n ∈ N} in K
nach oben beschränkt ist, d.h. wenn eine Konstante M ∈ K mit an ≤ M für alle
n ∈ N existiert.
2. Die Folge (an )n∈N heißt nach unten beschränkt, wenn die Menge {an |n ∈ N} in
K nach unten beschränkt ist, d.h. wenn eine Konstante M ∈ K mit an ≥ M für
alle n ∈ N existiert.
3. Die Folge (an )n∈N heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist.
4. Die Folge (an )n∈N heißt monoton steigend, oder monoton wachsend, wenn an ≤
an+1 für alle n ∈ N gilt.
5. Die Folge (an )n∈N heißt monoton fallend, wenn an+1 ≤ an für alle n ∈ N gilt.
Für eine monoton steigende Folge gilt natürlich auch an ≤ am für alle n, m ∈ N mit
n ≤ m und für eine monoton fallende Folge ist entsprechend auch an ≥ am für alle
n, m ∈ N mit n ≤ m. Die meisten Folgen sind natürlich weder monoton steigend noch
monoton fallend. Eine reelle Folge (an )n∈N ist beschränkt wenn es Zahlen A, B ∈ R mit
A ≤ an ≤ B für alle n ∈ N gilt. In diesem Fall gilt dann auch
− max{|A|, |B|} ≤ an ≤ max{|A|, |B|}
für alle n ∈ N, d.h. setzen wir C := max{|A|, |B|}, so ist |an | ≤ C für alle n ∈ N. Gibt
es umgekehrt ein solches C, so ist auch −C ≤ an ≤ C für alle n ∈ N und die Folge ist
beschränkt. Also
(an )n∈N beschränkt ⇐⇒ ∃(C > 0)∀(n ∈ N) : |an | ≤ C.
Lemma 6.10: Jede konvergente Folge (an )n∈N in R ist auch beschränkt.
Beweis: Schreibe a := lim an . Dann existiert ein n0 ∈ N mit |an − a| < 1 für alle
n→∞
n ≥ n0 . Wir erhalten die Konstante
C := max{|a| + 1, |a0 |, . . . , |an0 −1 |} > 0.
Sei n ∈ N. Ist n < n0 , so gilt trivialerweise |an | ≤ C, und für n ≥ n0 haben wir auch
|an | = |an − a + a| ≤ |an − a| + |a| < 1 + |a| ≤ C.
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Damit ist die Folge (an )n∈N beschränkt.
Grenzwerte vertragen sich auch mit Ungleichungen zwischen den beteiligten Folgen,
d.h. eine Ungleichung an ≤ bn für alle n ∈ N zwischen den Gliedern zweier konvergenter
Folgen überträgt sich auch auf die Grenzwerte der beiden Folgen.
Lemma 6.11: Seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei konvergente reelle Folgen mit an ≤ bn
für alle n ∈ N. Dann gilt auch lim an ≤ lim bn .
n→∞
n→∞
Beweis: Dies ist Aufgabe (38).
Ein <“ zwischen den Folgengliedern überträgt sich im Allgemeinen aber nicht auf die
”
Grenzwerte. Zum Beispiel konvergieren die Folgen (1/n)n∈N und (1/(n + 1))n∈N beide
gegen Null und es ist 1/(n + 1) < 1/n für jedes n ∈ N.
Im metrischen Raum X = R können wir unter den divergenten Folgen einige nicht
”
so schlimm“ divergente Folgen gesondert behandeln. Für reelle Folgen gibt es zwei verschiedene Gründe die zur Divergenz einer Folge (an )n∈N führen. Zum einen könnte die
Folge zwischen mehreren Häufungspunkten hin und her springen, wie es zum Beispiel
die Folge ((−1)n )n∈N , oder noch schlimmer (sin(n))n∈N , tut. Zum anderen kann sie
auch einfach nur zu groß werden, wie etwa (n)n∈N , oder zu klein wie (−n)n∈N . Diese
Unterscheidung deckt nicht ganz alle Möglichkeiten ab, es gibt etwa auch noch Folgen
wie ((−1)n n)n∈N die gleichzeitig groß und klein werden, aber so etwas wollen wir hier
ignorieren. Bei den zu großen oder zu kleinen Folgen spricht man jetzt von bestimmter
Divergenz im Sinne der folgenden Definition.
Definition 6.12: Sei (an )n∈N eine reelle Folge. Die Folge heißt bestimmt divergent gegen
+∞, in Zeichen lim an = +∞, wenn es für jede Schranke M ∈ R einen Index n0 ∈ N
n→∞
mit an ≥ M für alle n ∈ N mit n ≥ n0 gibt. Analog heißt die Folge bestimmt divergent
gegen −∞, in Zeichen lim an = −∞, wenn es für jedes M ∈ R stets einen Index
n→∞
n0 ∈ N mit an ≤ M für alle n ∈ N mit n ≥ n0 gibt.
In Quantorenschreibweise haben wir also
lim an = +∞ ⇐⇒ ∀(M ∈ R)∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 ) : an ≥ M
n→∞
lim an = −∞ ⇐⇒ ∀(M ∈ R)∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 ) : an ≤ M.
n→∞
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