Stoffübersicht Mathematik

Stoffübersicht Mathematik
Diese Stoffübersicht ist in drei Hauptteile gegliedert: 1. Grundlagen der Algebra (Zahlenmengen,
Rechenarten, Rechengesetze); 2. Funktionen, Terme und Gleichungen; 3. Geometrie; 4.
Darstellung, Kombinatorik und Beziehungen zwischen Größen
Quellen: Unterricht am Thomas-Mann-Gymnasium München in den Klassen 5c (2003/04), 6c
(2004/05), 7c (2005/06), 8c (2006/07), 9b (2007/08); delta Mathematik für Gymnasien (hrsg. von
Ulrike Schätz und Franz Eisentraut)
1. Grundlagen der Algebra
Zahlenmengen
Die wichtigen Zahlenmengen (jeweils größer)
− Natürliche Zahlen N: N = {1; 2; 3; 4; ...}, N0 = {0; 1; 2; 3; ...} Die natürlichen Zahlen sind die
Menge aller positiven ganzen Zahlen.
− Ganze Zahlen Z: Z = {... -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ...} Die ganzen Zahlen sind die Menge der
positiven ganzen Zahlen, der 0 und die Menge der negativen ganzen Zahlen.
− Rationale Zahlen Q: Die rationalen Zahlen sind die Menge aller Zahlen, die sich durch Brüche
darstellen lassen. Teilmengen von Q sind: Q0+ (positive rationale Zahlen und Null); Q- (negative
rationale Zahlen); Q \ {0} (rationale Zahlen ohne Null)
− Reelle Zahlen: Rationale Zahlen sind als abbrechende oder unendliche, periodische
Dezimalbrüche darstellbar. Es existieren Dezimalbrüche, die nicht abbrechend und nicht
periodisch sind. Das müssen die Punkte sein, die keiner rationalen Zahl auf der Zahlengeraden
zugeordnet sind. Man nennt die unendlichen, nicht-periodischen Dezimalbrüche irrationale
Zahlen.
Definition: Die Menge aller Dezimalzahlen bildet den Rechenbereich der reellen Zahlen R.
Weitere Zahlenmengen (Beispiele)
− Quadratzahlen: {1; 4; 9; 16; ...} Sie entstehen, wenn man eine Zahl im Quadrat nimmt
− Primzahlen: {2; 3; 5; 7; ...} Primzahlen sind Zahlen, die genau 2 Teiler haben (=> 1 ist keine
Primzahl)
− Stufenzahlen: Stufenzahlen des Zehnersystems = {1; 10; 100; 1000; ...}
Rechnen mit Termen
Die Rechenarten
− Allgemein: Jedes Termglied (Summand, Subtrahend, Faktor etc.) kann aus einer Zahl, aus
einem Buchstaben oder aus einem weiteren Term (eventuell in Klammern) bestehen.
− Addition: 1. Summand + 2. Summand (auch weitere Summanden möglich) = Summe(-nwert)
Additionen gleicher Summanden lassen sich auch als Multiplikationen darstellen: 5 + 5 + 5 + 5
= 4 · 5 = 20 (siehe weiter unten (Multiplikation))
− Subtraktion: Minuend – Subtrahend = Differenz(-wert); Die Subtraktion kann man als Summe
eines positiven und eines negativen Summanden sehen.
− Multiplikation: 1. Faktor · 2. Faktor (auch weitere Faktoren möglich) = Produkt(-wert); Das
„Mal“-Zeichen kann zwischen Klammer · Klammer, Zahl · Klammer, Zahl · Buchstabe,
Buchstabe · Klammer etc. weggelassen werden, bei Zahl · Zahl muss er jedoch geschrieben
werden.
1
−
−
−
Besondere Produkte: Ist einer der Faktoren 0, so ist das Produkt immer 0. Ist einer der Faktoren
1, so ist das Produkt gleich den anderen Faktoren. Faktor 1 kann man weglassen. Ist ein Faktor 1, so ist das Produkt die Gegenzahl (siehe weiter unten: weitere Grundbegriffe zum Rechnen
mit Termen – Betrag) der anderen Faktoren bzw. ein Vorzeichen eines anderen Faktors wird
verkehrt.
Produkte gleicher Faktoren lassen sich auch als Potenzen darstellen: 5 ∙ 5 ∙ 5 = 5³ = 125 (siehe
weiter unten (Potenz))
Division: Dividend : Divisor = Quotient(-enwert); Quotienten lassen sich auch als Brüche
darstellen.
Besondere Quotienten: Wird eine Zahl durch 1 geteilt, so bleibt sie gleich. (a : 1 = a) Ist der
Dividend gleich dem Divisor, ist der Quotientenwert 1. Ist der Dividend 0, ist der
Quotientenwert ebenfalls 0. Für Divisionen, bei denen der Divisor 0 ist, ist der Quotientenwert
mathematisch nicht definiert.
Brüche: Brüche sind eine in vielen Fällen nützliche Schreibweise für Quotienten. (siehe weiter
unten in Rechnen mit Termen – Brüche und Dezimalzahlen)
Potenz: Beispiel 25: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 „zwei hoch fünf“ = 32; Bei 25 ist 25 ist die Potenz, 2 ist
die Basis und 5 der Exponent (Hochzahl)
Besondere Potenzen: Ist der Exponent 0, ist der Potenzwert immer 1. (a 0 = 1) Ist der Exponent
1, so ist der Potenzwert gleich der Basis. (a1 = a) Ist der Exponent 2, so spricht man z.B. bei 42
„4 (im) Quadrat“. Ist die Basis 10, liegt eine sogenannte Zehnerpotenz vor. Dabei ist der
Exponent gleich der Anzahl der Nullen des Potenzwertes. (105 = 100000)
Potenzen mit negativen Exponenten: a-n = 1/an; a ∈ Q \ 0; n ∈ N
wissenschaftliche Schreibweise (Gleitkommadarstellung): Zahlen mit sehr großem oder sehr
kleinem Betrag lassen sich übersichtlicher darstellen, wenn man sie mit Hilfe von
Zehnerpotenzen schreibt. Eine rationale Zahl r lässt sich in wissenschaftlicher Schreibweise
darstellen: r = a ∙ 10z, wobei a ∈ [1;10[; z ∈ Z; Beispiele: 3 446 000 000 = 3,446 ∙ 109 („nach
der 3 noch neun Stellen“); 0,000 000 000 000 072 = 7,2 ∙ 10-14 („2 steht an der 14. Stelle nach
dem Komma“)
Potenzgesetze: (a, b R+; m, p ∈ Z; n, q ∈ N)
1. Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert bzw. dividiert, indem man die Exponenten
addiert bzw. subtrahiert und die Basis beibehält. ap ∙ aq = ap + q; bp : bq = bp – q (b ≠ 0)
2. Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.
(ap)q = ap ∙ q
3. Produkte bzw. Quotienten von Potenzen mit gleichem Exponenten werden gebildet, indem
man die Basen multipliziert bzw. dividiert und die Exponenten beibehält. a p ∙ bp = (ab)p; ap/bp =
(a/b)p
Wurzeln: Die n-te Wurzel aus der nicht negativen Zahl x ist diejenige nicht negative Zahl,
deren n-te Potenz x ergibt. Achtung: Es gibt keine Wurzel aus einer negativen Zahl!
- Quadratwurzel: Ist n = 2, heißt die Wurzel Quadratwurzel: Die zweite Potenz, d. h. das
Quadrat der zweiten Wurzel, d. h. der Quadratwurzel der Zahl x ergibt x. Die Berechnung der
Quadratwurzel einer Zahl x heißt Wurzelziehen oder Radizieren. Der Term unter dem
Wurzelzeichen (hier x) heißt Radikand.
Natürliche Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, haben in Q (Menge der rationalen Zahlen)
keine Quadratwurzel. Deswegen wurde die Zahlenmenge R (reelle Zahlen) eingeführt. (siehe
Zahlenmengen – Die wichtigen Zahlenmengen – Reelle Zahlen)
Intervallschachtelungen: Alle Zahlen, die zwischen 1 und 2 liegen, einschließlich der
Randzahlen 1 und 2, nennt man das (Zahlen-)Intervall [1;2]. Eine Intervallschachtelung liegt
vor, wenn 1. jedes Intervall im vorhergehenden Intervall enthalten ist; 2. die Intervalllängen
abnehmen und beliebig klein werden: [1;2]; [1,4;1,5]; [1,41;1,42]; ... ist eine
2
Intervallschachtelung. Jede Intervallschachtelung bestimmt auf der Zahlengeraden genau einen
Punkt. Beispiel: Es soll die Quadratwurzel von 2 berechnet werden. Die Zahl liegt zwischen 1
und 2, da 1² = 1 < 2 < 2² = 4; zwischen 1,4 und 1,5, da 1,4² = 1,96 < 2 < 1,5² = 2,25; zwischen
1,41 und 1,42, da 1,41² < 2 < 1,415²; zwischen 1,414² < 2 < 1,415²
Rechnen mit Quadratwurzeln:
1. Betrag: Die Wurzel aus a² ist nicht a, sondern |a|, d. h. der Betrag von a. Das kann
sowohl a als auch -a sein. Die Quadratwurzel von 4 kann daher sowohl 2 als auch -2
sein, denn -2² = 4.
2. Definitionsmenge: Die Definitionsmenge von der Quadratwurzel aus (x + 2): Weil man
aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann, muss x + 2 ≥ 0 sein. Daher gilt x ≥ -2
und D = [-2;∞[; Die Definitionsmenge von der Quadratwurzel aus (x² – 1): Hier gilt x² –
1 ≥ 0, daher x² ≥ 1, somit gilt |x| ≥ 1, d. h. x ≥ 1 oder x ≤ 1; die Definitionsmenge ist D =
R \ ]-1;1[ = ]-∞;-1] ∪ [1;∞[
3. Multiplikation und Division: √a ∙ √b = √(ab); a und b sind keine negativen Zahlen; √a :
√b = √(a:b); a und b sind keine negativen Zahlen; b ≠ 0
4. Partielles Radizieren: Ein Produkt kann man faktorweise radizieren. Ergebnisse werden
immer genau, also mit Wurzelzeichen angegeben.
Beispiel: √216 = √(4 ∙ 54) = √4 ∙ √54 = 2√54 = 2√(9 ∙ 6) = 2√9 ∙ √6 = 2 ∙ 3 ∙ √6 = 6√6
5. Rationalmachen des Nenners: Ergebnisse werden immer so angegeben, dass im Nenner
keine Wurzel mehr steht.
Beispiel: 1 : √a = (1√a) : √a ∙ √a = √a : a
6. Addieren und Subtrahieren: √9 + √4 = 3 + 2 = 5; √(9+4) = √13; √13 ≠ 5
Die Quadratwurzel aus einer Summe oder Differenz kann also NICHT gliedweise
gezogen werden. Eine Summe oder Differenz lässt sich im Allgemeinen nur bei gleichen
Radikanten zusammenfassen: √12 + 5√3 = 2√3 + 5√3 = 7√3
- allgemeine Wurzel: Es gibt nicht nur die Quadratwurzel, sondern auch die Kubikwurzel.
Genauso gibt es auch die vierte, fünfte, ..., n-te Wurzel. Die n-te Wurzel aus der nicht negativen
Zahl x ist diejenige nicht negative Zahl, deren n-te Potenz x ergibt. Achtung: Es gibt keine
Wurzel aus einer negativen Zahl! So ist auch ∛-8 nicht definiert, obwohl (-2)³ = -8.
Die Potenzgleichung xn = a: Betrachte die Potenzgleichungen y = x4 und y = x³. Der y-Wert 2
wird bei y = x4 => 2 = x4 => x1 = ∜2; x2 = -∜2; d. h. zweimal angenommen, bei y = x³ => 2 = x³
=> x1 = ∛2; d. h. einmal angenommen.
Der y-Wert 0 wird bei beiden Gleichungen einmal angenommen.
Der y-Wert -2 wird bei y = x4 => -2 = x4 => nie angenommen, bei y = x³ => -2 = x³ => x 1 = -∛2;
d. h. einmal angenommen.
Allgemein: Die Gleichung xn = a besitzt mit
geradem n
ungeradem n
für a > 0
zwei Lösungen:
eine Lösung:
x1 = n-te Wurzel aus a x1 = n-te Wurzel aus a
x2 = - n-te Wurzel aus a
für a = 0
eine Lösung:
eine Lösung:
x1 = 0
x1 = 0
für a < 0
keine Lösung
eine Lösung:
x1 = - n-te Wurzel aus |a|
Potenzen mit rationalen Exponenten: Ist n eine natürliche Zahl und a eine nicht negative Zahl,
dann gilt: a1/n = n-te Wurzel aus a; Erweiterung: (n-te Wurzel aus a)m = (a1/n)m = am/n; a-m/n = 1 :
(n-te Wurzel aus a)m
am/n ist die m-te Potenz der n-ten Wurzel aus a und a-m/n ist der Kehrbruch der m-ten Potenz
der n-ten Wurzel aus a.
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Für das Rechnen mit Potenzen mit rationalen Exponenten gelten die bereits bekannten Regeln:
1. am/n ∙ ap/q = am/n + p/q
2. am/n : ap/q = am/n – p/q
3. (am/n)p/q = a(m ∙ p)/(n ∙ q)
4. am/n ∙ bm/n = (a ∙ b)m/n
5. am/n : bm/n = (a:b)m/n = (a/b)m/n
Rechengesetze
Für Terme (und Gleichungen) gelten folgende Rechengesetze:
− Kommutativgesetz: Summanden und Faktoren lassen sich vertauschen. a + b = b + a; a · b = b ·
a
− Assoziativgesetz: Klammern lassen sich auflösen, falls sie ausschließlich Summen oder
ausschließlich Produkte beinhalten: a + (b + c) = a + b + c; a · (b · c) = a · b · c; Bei
Subtraktionen werden alle Vorzeichen in der Klammer verkehrt: a – (b + c) = a – (-b) – c = a + b
–c
− „KLAPPS“-Regel: Reihenfolge der Termausrechnung: innerste KLAmmer vor Potenz vor
Punkt vor Strich
− Distributivgesetz (ausmultiplizieren und ausklammern): Liegt eine Multiplikation oder
Division mit einer/mehreren Klammer(n) vor, die eine/mehrere Addition(en) beinhaltet, lässt
sich die Klammer auflösen, d. h. ausmultiplizieren: a · (b + c) = ab + ac; a · (b – c) = ab – ac; (a
+ b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd; (a – b) · (c – d) = ac – ad – bc + bd (aus minus mal minus wird
plus); Dies alles kann man natürlich auch umkehren. Besitzen Summanden eines Terms alle den
gleichen 1. Faktor, lässt sich dieser vor eine Klammer schreiben und alle 2. Faktoren in die
Klammer, d. h. ausklammern: 2a + 2b + 2c = 2 · (a + b + c); 2a – 2b – 2c = 2 · (a – b – c); 2a +
3a + 4a = a · (2+3+4) = a · 9 = 9a; oft muss man die Faktoren zerlegen, um ausklammern zu
können: 2a + 4b + 10c = 2a + 2·2b + 2·5c = 2(a + 2b + 5c)
weitere Grundbegriffe zum Rechnen mit Termen
− Betrag: Der Betrag der Zahl ist sein Abstand zur 0, z. B. der Betrag von -4 ist gleich dem
Betrag von +4. Man stellt Beträge mit Hilfe von Betragsstrichen dar: |-4| = |4| = 4; allgemein |a|
= |-a|; Zahlen mit dem gleichen Betrag und unterschiedlichen Vorzeichen (z. B. a und -a; 4 und –
4) nennt man Gegenzahlen.
− Kehrwert eines Bruchs: Siehe Brüche – Spezielle Brüche
− Koeffizienten
Brüche und Dezimalzahlen
− Form eines Bruchs: a/b = a : b; Ein Bruch besteht aus Zähler (in diesem Fall a) und Nenner
(b). Der Nenner gibt an, in wie viele Teile das ganze zerlegt wird und der Zähler, wie viele
solche Teile vorliegen. Man kann jede rationale Zahl als Bruch, aber auch als Dezimalzahl
schreiben.
− Spezielle Brüche:
Stammbrüche: Ein Bruch ist ein Stammbruch, wenn der Zähler 1 ist.
Echte Brüche: Bei echten Brüchen ist der Zähler kleiner als der Nenner.
Unechte Brüche: Bei unechten Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner. Diese kann man als
gemischte Zahlen schreiben: 7/5 = 1 2/5; Vorsicht: 1 2/5 = 1 + 2/5 = 7/5 und nicht 1 2/5 = 1 · 2/5
= 2/5
Scheinbruch: Ein Bruch ist ein Scheinbruch, wenn man ihn auch als normale Zahl (ohne
Dezimalstellen) schreiben kann: 0/8 = 0; 8/4 = 2; 100/20 = 5; 5/1 = 5 : 1 = 5; Ist der Nenner
gleich 1, kann man ihn weglassen und der Zähler ist eine ganze Zahl.
Kehrwert eines Bruchs: Vertauscht man Zähler und Nenner, hat man den Kehrwert des Bruchs.
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b/a ist der Kehrwert von a/b
Gleichwertige Brüche: Da verschiedene Quotienten die gleichen Ergebnisse haben können
(z.B. 10 : 2 = 5; 25 : 5 = 5), können auch verschiedene Brüche das gleiche Ergebnis / den
gleichen Wert haben. Das heißt, man kann Brüche durch gleichwertige andere Brüche ersetzen.
Damit ein Bruch übersichtlich ist, sollten die Zahlen möglichst klein sein, er sollte auf der
Grundform sein und nicht mehr kürzer geschrieben werden können. Dieses Kürzerschreiben
nennt man Kürzen. Manchmal ist es aber auch nötig, Brüche zu Erweitern, d. h. größere Zahlen
zu verwenden.
Kürzen und Erweitern von Brüchen: Man formt einen Bruch zu einem gleichwertigen,
anderen Bruch um, indem man Zähler und Nenner jeweils einer gleichen Zahl multipliziert bzw.
durch sie dividiert. Dabei hilft die Primzahlzerlegung, sodass man die Zahl im Zähler und die
Zahl im Nenner jeweils so weit in Faktoren zerlegt, sodass alle Faktoren Primzahlen sind. Aus
diesen Faktoren kann man nun zwei gleiche Faktoren im Zähler und Nenner streichen. Beispiel:
72/9 = (9 · 8) / (3 · 3) = (3 · 3 · 2 · 2 · 2) / (3 · 3); Das war die Primzahlzerlegung. Nun wird
gekürzt: (3 · 3 · 2 · 2 · 2) / (3 · 3) = (3 · 2 · 2 · 2) / 3 = 2 · 2 · 2 / 1 = 2 · 2 · 2 = 8; Das geht aber
auch schneller: 72/9 = (9 · 8) / 9 = 8
Addition von Brüchen: Um zwei Brüche addieren zu können, müssen sie den gleichen Nenner
haben. Dann kann man die Zähler addieren und den Nenner beibehalten. 5/2 + 3/2 = 8/2 = 4;
Bei Brüchen mit verschiedenen Nennern bringen, muss man sie erst durch Kürzen oder
Erweitern auf den gleichen Nenner bringen. Diesen Nenner nennt man Hauptnenner. Beispiel:
5/3 + 3/2 = 10/6 + 9/6 = 19/6
Subtraktion von Brüchen: Bei der Subtraktion geht man vor wie bei der Addition, jedoch
subtrahiert man die Zähler voneinander, anstatt sie zu addieren. 5/3 – 3/2 = 10/6
Multiplikation von Brüchen: Brüche werden multipliziert, indem man die beiden Zähler
multipliziert und die beiden Nenner multipliziert: a/b · c/d = (a · c)/(b · d); 7/9 · 81 = 7/9 · 81/1 =
(7 · 81)/(9 · 1) = 567/9; man kann auch den Zähler des zweiten Bruchs (hier 81) durch den
Nenner des ersten Bruchs dividieren, dies mit dem Zähler des ersten Bruchs multiplizieren und
das wiederum durch den Nenner des zweiten Bruchs dividieren. Das empfiehlt sich aber nur
dann, wenn der Nenner des zweiten Bruchs 1 ist, d. h. man einen Bruch mit einer normalen Zahl
multipliziert: 7/9 · 81 = 81/9 · 7 = 9 · 7 = 63; Hierbei ist es sehr hilfreich, erst zu kürzen, bevor
man mit großen Zahlen rechnet. Bei (7 · 81)/(9 · 1) kann man beispielsweise bei 81 und 9
kürzen: (7 · 9)/(1 · 1) = 63/1 = 63 anstatt zu rechnen (7 · 81)/(9 · 1) = 567/9 und erst dann zu
kürzen. Ein Endergebnis einer Bruchrechnung wird immer in Grundform angegeben, d. h.
vollständig gekürzt, oder in Form einer Dezimalzahl.
Dividieren von Brüchen: Brüche werden dividiert, indem man den Dividenden mit dem
Kehrwert des Divisors multipliziert: a/b : c/d = a/b · d/c = (a · d)/(b · d) (siehe Multiplikation
von Brüchen)
Dezimalzahlen – die Kommaschreibweise: Brüche kann man auch als Dezimalzahlen
schreiben und umgekehrt. Der Vorteil der Kommaschreibweise ist eine bessere Vorstellung.
Unter dem Bruch 21/50 kann man sich nicht so viel vorstellen wie unter der Dezimalzahl 0,42.
Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen: Um einen Bruch in eine (gleichwertige) endliche
Dezimalzahl umzuformen, muss der Nenner des Bruchs eine Zehnerstufenzahl sein. Lässt er
sich nicht in eine Zehnerstufenzahl erweitern/kürzen, ist die Dezimalzahl periodisch, d. h.
unendlich (siehe periodische Dezimalzahlen). Beispiel: Der Bruch 5/8 soll in eine Dezimalzahl
umgewandelt werden. Daher muss der Nenner erst zu einer Zehnerstufenzahl gekürzt oder
erweitert werden. Ob ein Nenner auf eine Zahl erweitert werden kann, findet man heraus, indem
man die Zahl, auf die er erweitert werden soll, durch den Nenner der Grundform des Bruchs
dividiert. Ist das Ergebnis eine ganze Zahl und kein Bruch oder Dezimalzahl, kann man den
Nenner auf diese Zahl erweitern, indem man den Bruch mit jenem Ergebnis erweitert. Hierbei
erkennt man, dass sich 8 nicht auf 100 erweitern lässt (100/8 = 12,5), jedoch auf 1000 (1000/8 =
5
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−
125). 5/8 mit 125 erweitert ist 625/1000. Nun kann man den Bruch in eine Dezimalzahl
umformen, indem man abliest, wie viele Nullen die Zehnerstufenzahl im Nenner hat. So viele
Dezimalstellen (= Kommastellen) hat die Zahl. In diese Kommastellen schreibt man nun die
Zahl im Nenner. Füllt er nicht alle Stellen aus, werden die restlichen Nullen direkt hinter das
Komma gestellt. 625/1000 = 0,625. 63/1000 wäre 0,063. Ist der Bruch eine gemischte Zahl,
wird die ganze Zahl vor das Komma gestellt und der Bruch in die Kommastellen. 15 7/10 =
15,7.
Umrechnen von Dezimalzahlen in Brüche: Man zählt bei einer Dezimalzahl die
Dezimalstellen, auch die Nullen direkt hinter dem Komma. So viele Nullen hat die
Zehnerstufenzahl im Nenner des Bruchs. Danach schreibt man die Zahl in den Dezimalstellen in
den Zähler des Bruchs. Die Nullen, die direkt hinter dem Komma stehen, werden weggelassen.
0,625 ist also 625/1000; 0,065 = 65/1000.
Die Prozentschreibweise: Für Brüche mit dem Nenner 100 gibt es die Prozentschreibweise.
Wichtig: 100 % = 1; Beispiel: 14/25 = 56/100 = 56 %.
Periodische Dezimalzahlen: Dezimalzahlen, bei denen sich eine Ziffernfolge in den
Dezimalstellen immer wiederholt, nennt man periodische Dezimalzahlen. Sie sind unendlich.
Um sie schreiben zu können, wird angezeigt, welche Ziffernfolge sich immer wiederholt, d. h.
welche die Periode ist. Dazu wird in der Dezimalzahl über die komplette Ziffernfolge, die sich
wiederholt, ein Strich gesetzt. Beispiel: 15/22 = 0,68181818181... = 0,681 (gesprochen: Null
Komma sechs Periode acht eins).
Umrechnen von periodischen Dezimalzahlen in Brüche: Um mit periodischen
Dezimalzahlen rechnen zu können, z. B. 0,681 · 2, muss man sie zuerst in Brüche umwandeln.
Der Nenner von periodischen Dezimalzahlen ist keine Zehnerstufenzahl, sondern eine
Zehnerstufenzahl, von der 1 subtrahiert wird außer bei Zahlen, bei denen nur ein Teil der
Dezimalstellen periodisch sind. Bei Diesen lässt sich die Zahl vorerst nur in zwei Brüche
aufgeteilt in Bruchschreibweise schreiben:
Hat eine periodische Zahl n Dezimalstellen, von denen k Stellen nicht periodisch sind, so ist der
Zähler des ersten Bruchs die Ziffernfolge der nicht periodischen Dezimalstellen und der Nenner
eine Zehnerstufenzahl mit k Nullen. Im Zähler des zweiten Bruchs steht die Ziffernfolge der
periodischen Dezimalstellen (d. h. der Periode) und im Nenner eine Zahl mit n-k Neunen und
danach k Nullen. Beide Brüche addiert sind gleich der periodischen Dezimalzahl. Diese können
dann addiert und gekürzt werden.
Beispiel: 0,681 = 6/10 + 81/990 = 66/110 + 9/110 = 75/110 = 15/22
Nun kann man mit periodischen Dezimalzahlen rechnen: 0,681 · 2 = 15/22 · 2 = 30/22 = 15/11
Schriftliches Addieren und Subtrahieren von Dezimalzahlen: (Endliche) Dezimalzahlen
werden schriftlich addiert/subtrahiert, indem man genauso wie bei der schriftlichen
Addition/Subtraktion von natürlichen Zahlen die Zahlen untereinander schreibt. Bei
Dezimalzahlen muss man beachten, dass das Komma untereinander steht.
Beispiel: 39,78 + 183,444
39, 78
+ 183, 444
= 223, 224
Multiplikation von Dezimalzahlen: (Endliche) Dezimalzahlen werden multipliziert, indem
man sie wie natürliche Zahlen multipliziert, als hätten sie kein Komma, und danach das Komma
so setzt, dass das Ergebnis so viele Dezimalstellen hat, wie beide Faktoren zusammen.
Division von Dezimalzahlen: (Endliche) Dezimalzahlen werden schriftlich dividiert, indem
man bei Dividend und Divisor das Komma um so viele Stellen nach rechts verschiebt, bis der
Divisor eine ganze Zahl ist. Dann wird schriftlich dividiert, als sei kein Komma vorhanden.
Sobald man das Komma im Dividenden überschreitet, wird ein Komma im Ergebnis gesetzt.
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Rechnen mit Variablen – Terme
− Variable: Eine Variable ist eine veränderliche Größe.
− Grundmenge: Die Zahlen, die für eine Variable eingesetzt werden dürfen, bilden zusammen die
Grundmenge G.
− Termwert: Wird in einen Term eine Zahl aus der Grundmenge eingesetzt, lässt sich der
zugehörige Termwert berechnen.
− Äquivalenz: Zwei Terme mit Variablen heißen äquivalent, wenn bei jeder möglichen
Einsetzung für die Variablen stets beide Terme den gleichen Wert haben. Man kann einen Term
mit Hilfe von Rechengesetzen in einen anderen, ihm äquivalenten Term umformen.
− Addition und Subtraktion: Gleichartige Glieder (z. B. 7x + 9x) werden addiert/subtrahiert,
indem man ihre Koeffizienten addiert/subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält: 7x +
9x = 16x
− Auflösen von Klammern bei der Addition und Subtraktion: Man kann Klammern, wie z. B.
5x + (6x + 3x) auflösen, indem man die Klammer weglässt, ohne dass sich der Wert des Terms
ändert. Steht vor der Klammer jedoch ein Minuszeichen (5x – (6x + 3x – 2x), so wird beim
Auflösen der Klammer jedes Pluszeichen zu einem Minus und jedes Minuszeichen zu einem
Plus, d. h. der ganze Klammerinhalt wird · (-1) genommen. (5x – (6x + 3x – 2x) = 5x – 6x – 3x
+ 2x = -2x
− Multiplikation und Division: Man multipliziert/dividiert ein Produkt mit einer Zahl, indem
man nur einen der Faktoren mit/durch diese(r) Zahl multipliziert/dividert. 12x · 2 = 24x; 12x : 2
= 6x;
− Multiplikation von Summen und Differenzen: Möchte man eine Summe oder eine Differenz,
z. B. 12 + 4x, mit einer Zahl oder einem Buchstaben multiplizieren/divideren, z. B. mit 2
multiplizieren, so setzt man den Term, in dem die Summe/Differenz steht, in Klammern, und
verbindet den anderen Faktor mit einem · bzw. einem : nach der Klammer: (12 + 4x) · 2. Diese
Klammer löst man nun auf, indem man sie ausmultipliziert.
Möchte man dividieren und nicht multiplizieren, so multipliziert man mit dem Kehrwert: (12 +
4x) : 2 = (12 + 4x) · 1/2 und multipliziert dann aus.
− Ausmultiplizieren von Klammern: Man multipliziert eine Summe/Differenz mit einer
Summe/Differenz, indem man jedes Glied der ersten Summe/Differenz mit jedem Glied der
zweiten Summe multipliziert. Dabei müssen die Vor- und Rechenzeichen beachtet werden. Die
Teilprodukte können dann addiert werden. Beispiel: (2x + 5) · (3x – 7) = 6x2 – 14x + 15x – 35 =
6x2 + x – 35
− Ausklammern: Durch Ausklammern eines (gemeinsamen) Faktors wird aus einer
Summe/Differenz ein Produkt. 2x + 2y = 2 · (x + y); 2x + 5x = x · (2 + 5) = x · 7 = 7x: 2abx +
6abc = 2ab · (x + 3c). Hier könnte der Malpunkt zwischen Klammer und Buchstabe/Zahl auch
weggelassen werden.
− Binomische Formeln: Es gibt drei binomische Formeln. Sie sind eine vereinfachende
Schreibweise für bestimmte Terme. Man kann sie ausschreiben oder als binomische Formel:
1. Die Plusformel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Die Minusformel: (a – b)² = a² – 2ab + b²
3. Die Plusminusformel: (a + b)(a – b) = a² – b²
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2. Funktionen, Terme und Gleichungen
Überblick
Bevor man dieses Kapitel beginnt zu lesen, sollte man sich mit den Grundlagen von Funktionen und
Gleichungen vertraut machen, damit man die Grundbegriffe kennt, die hierbei erwähnt werden. Es
sind jedoch nur jeweils die „Linearen“ durchzulesen. Danach ist es jedoch eine gute Einleitung für
alles Weitere. Siehe Funktionen – Funktion und Term.
In der Mathematik verwendet man Funktionen, um den Wert einer bestimmten Größe zu
„beschreiben“. Das heißt, dass man einen Term aufstellt, der den Funktionswert liefert, wenn man
Werte für die Variable einsetzt. Deshalb kann man eine Funktion im Koordinatensystem zeichnen –
man setzt hier für die Variable, von der die Funktion abhängig ist (z.B. x bei f(x) = …), Werte ein,
die der der x-Achse entsprechen. Siehe hierzu näheres in Funktionen – Funktion und Term – Graph.
Beispiel: Jemand sagt: „Ich gehe in einen Vergnügungspark. Ich gebe auf jeden Fall genau 45 € aus.
Zusätzlich fahre ich eine Achterbahn so oft, wie ich Lust habe, für jeweils 3 €. Wie viel Geld gebe
ich insgesamt aus, in Abhängigkeit davon, wie oft ich Achterbahn fahre?“ Die 45 € sind das
konstante Glied. Wir können den Funktionswert jedoch nicht ausrechnen, ohne zu wissen, wie oft er
die Achterbahn fährt. Wir sind also abhängig von dieser Variablen. Im Funktionsterm nennen wir
diese Variable beispielsweise x. Er gibt also x mal 3 € aus, zusätzlich auf jeden Fall genau 45 €. Der
Funktionswert kann also durch den Term 3€ ∙ x + 45 € ausgedrückt werden. Diesen Term
„beschreibt“, wie viel Geld er ausgibt. Die Mathematik ist eine Sprache, eine Funktion eine
Aussage. Die Funktionsgleichung g(x) = 3€ ∙ x + 45 € heißt „Der Geldverbrauch ist gleich so oft
wie ich fahre mal 3 € plus 45 €.“ Hier muss jedoch darauf geachtet werden, dass man den Satz nicht
falsch versteht und die „45 € plus 3 €“ zu 48 € und dann mit x multipliziert. Denn dann müsste man
im Funktionsterm Klammern verwenden: x ∙ (45 € + 3 €) = 48 € ∙ x; Der Wert dieser Funktion
unterscheidet sich im Allgemeinen von der anderen, diese Funktion mit Klammern berechnet nicht
den Geldbetrag, nach dem die obige Person fragt. Jedoch lässt sich nicht sagen, dass der
Funktionswert immer (für jedes x) ungleich ist. Es gibt einen Wert für x, für den die beiden
Funktionen den gleichen Wert annehmen. Der Wert der Funktionen wäre also gleich, man könnte
die beiden Funktionen gleichsetzen! Dies tut man auch, um das x auszurechnen, für den die Werte
gleich sind. Man stellt eine Bedingung – die beiden Funktionsterme haben den gleichen Wert. Man
stellt sie gleich, man erstellt also eine Gleichung:
3 € ∙ x + 45 € = 48 € ∙ x
Wenn man nun wissen möchte, welchen x annehmen muss, damit eine wahre Aussage entsteht,
muss man die Gleichung umformen und nach x auflösen. Wie man dies macht, wird in Gleichungen
– Lineare Gleichung erklärt. Wer das noch nicht gelesen hat bzw. nicht weiß, muss die folgende
Rechnung nicht verstehen, für alle anderen wird sie hier aufgeführt:
3 € ∙ x – 48 € ∙ x = -45 €
x ∙ (3 € - 48 €) = -45 €
x ∙ (-45 €) = -45 €
x = -45 € : -45 €
x=1
L = {1}
x müsste also also den Wert 1 annehmen, damit die Funktionswert gleich sind! Wir können die
Probe machen: Welche Werte ergeben sich jeweils, wenn man 1 für x einsetzt?
Die korrekte Funktion für den Geldverbrauch g: (g wie Geldverbrauch)
g(x) = x ∙ 3 € + 45 €
g(1) = 1 ∙ 3 € + 45 € = 48 €
Die nicht korrekte Funktion für den Geldverbrauch n: (n wie nicht korrekt)
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n(x) = 48 € ∙ x
n(1) = 48 € ∙ 1 = 48 €
Die Probe hat gezeigt, dass x = 1 tatsächlich die korrekte Lösung für die Gleichung ist.
Somit sind wir also schon zu den Gleichungen übergegangen. Funktionsgleichungen sind auch
Gleichungen, der Funktionsterm alleine ist jedoch ein Term. Eine Gleichung ist wie eine Funktion
eine Aussage. Eine Seite einer Gleichung alleine ist ein Term. In der Schule und auch in dieser
Stoffübersicht werden Terme getrennt behandelt. In dieser Stoffübersicht sind sie im großen Kapitel
„Funktionen“ behandelt. Die häufigste Aufgabenstellung beim Rechnen mit Termen ist das
Vereinfachen. Hier darf man nicht Äquivalenzumformungen wie bei Gleichungen durchführen. Dies
zu üben, ist hilfreich, wenn man z.B. eine Funktionsgleichung vereinfachen will. Man möchte Seite,
auf der „f(x)“ steht, nicht umformen, sondern nur die andere, den sogenannten Funktionsterm.
(vorausgesetzt, die Funktionsgleichung liegt in dieser Form vor und im Funktionsterm kommt nicht
nochmal f(x) vor (z.B. f(x) = 4 ∙ f(x) + 5); sonst müsste die Gleichung erst in die Grundform
umgeformt werden – dazu muss man eine Gleichung umformen können; die Grundform ist f(x) =
…; dabei darf im „...“ nicht mehr f(x) vorkommen, wie oben beschrieben) Um die Grundform
weiter zu vereinfachen, muss man also den Funktionsterm vereinfachen – dazu muss man Terme
vereinfachen können.
Damit wäre eine gute Grundlage für alle weitere Funktionen, Gleichungen und die gesamte Algebra
geschaffen. In der Schule hat mir eine solche Einleitung gefehlt.
Funktionen
Funktion und Term
− (Zusatz) Zuordnungen: Eine Zuordnung weist jedem Wert aus einer Menge einen oder
mehreren Werte aus einer anderen Menge zu.
− Funktionen: Wird Werten aus einer Menge jeweils genau ein Wert aus einer anderen Menge
zugeordnet, so spricht man von einer Funktion f. f: x |-> y; Die zur unabhängigen Variablen x
gehörende, abhängige Variable y kann (meist) durch eine Funktionsgleichung f(x) = y berechnet
werden.
− Definitionsmenge: Die Menge aller zulässigen x-Werte heißt Definitionsmenge D. x ∈ D
− Wertemenge: Die Menge der y-Werte heißt Wertemenge W. y ∈ W; Die Wertemenge gibt an,
welche Werte die Funktion erreicht, egal welche Zahlen für x eingesetzt werden.
− Nullstellen: Als Nullstellen (Abk.: NUS oder NS) einer Funktion bezeichnet man die x-Werte,
für die der Funktionswert 0 ist. Der Graph schneidet hier die x-Achse. N(x|0). Die Nullstellen
einer Funktion kann man berechnen, indem man in der Funktionsgleichung y durch 0 ersetzt
und nach x auflöst. Dieses x nennt man dann x0.
− Graph: Eine Funktion kann man im Koordinatensystem zeichnen, indem man sich
beispielsweise eine Wertetabelle anlegt. Beispielsweise ist die Variable in der
Funktionsgleichung x. Dabei schreibt man in die obere Zeile der Tabelle bestimmte x-Werte,
z.B. -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 (für jeden Wert eine eigene Spalte). In die zweite Zeile schreibt man
den Wert auf, den die Funktion f(x) insgesamt annimmt, wenn man den jeweiligen x-Wert in die
Funktionsgleichung einsetzt. Diesen Wert nennt man oft y-Wert. Beispiel für eine Wertetabelle:
f(x) = 2x + 2 (eine einfache lineare Funktion)
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
2 ∙ (-3) + 2 2 ∙ (-2) + 2 0
2
4
6
8
=> -4
=> -2
Bei den beiden ersten x-Werten ist die Berechnung des Funktionswertes als Beispiel
ausgeschrieben, bei den anderen wurde dieselbe Rechnung nur nicht ausgeschrieben.
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−
Man zeichnet nun den Graphen dieser Funktion, indem man ein Koordinatensystem (Einheit
beispielsweise 1 cm; auf der x-Achse von -3 bis 3; auf der y-Achse von -4 bis 8) zeichnet. Nun
sucht man einen Punkt auf der x-Achse (hier -3) und geht von ihm aus nach oben oder unten, je
nach dem, wie der zugehörige Wert von f(x) lautet. Dazu sieht man in die Wertetabelle. Hier ist
der zugehörige Wert für -3 also -4. Man „geht“ also von -3 auf der x-Achse 4 Einheiten nach
unten und markiert einen Punkt (z.B. durch ein Kreuz). Hier verläuft der Graph der Funktion.
Genauso macht man es bei den anderen x-Werten. Hat man alle Punkte gezeichnet, verbindet
man sie. Hier entsteht eine Gerade, man kann also das Lineal benutzen. Bei späteren Funktionen
kann man das Lineal nicht benutzen, da diese keine Geraden als Graphen besitzen. Verbinden
Sie nicht die einzeln gezeichneten Punkte durch Strecken, sondern sinnvoll, ansonsten ist die
Funktion nicht korrekt dargestellt! Sie können dazu auch den Funktionswert für einen
Zwischenwert auf der x-Achse ausrechnen, d. h. eine zusätzliche Spalte in der Wertetabelle.
Damit ist der Graph der Funktion in dem gewählten Abschnitt gezeichnet. So verläuft also die
Funktion, wenn man für x Werte einsetzt – der Graph einer Funktion ist die bildliche/grafische
Veranschaulichung einer Funktion, die Grafik, die eine Funktion ergibt.
Die verschiedenen Funktionen: Es gibt viele verschiedene Funktionen, die sowohl im
Lehrplan der Schule, als auch in dieser Stoffübersicht getrennt behandelt werden. Dabei ist die
Position der Variable x entscheidend. Die einfachste Funktion, die lineare Funktion, bezeichnet
man als Funktion ersten Grades, da x nur linear vorliegt. Die Variable x ist zusammen mit einem
bekannten Koeffizienten ein Summand, der zu einem anderen – bekannten – Summanden
(konstantes Glied) addiert wird. Die quadratische Funktion bezeichnet man als Funktion
zweiten Grades. Dabei kommt die Variable x quadriert vor, d. h. als x². Zusätzlich kann x auch
linear vorkommen und es kann auch ein konstantes Glied vorkommen. Es gibt auch Funktionen
n-ten Grades, d. h. xn, die wir später kennenlernen werden. Desweiteren gibt es auch
Funktionen, bei denen x beispielsweise im Nenner eines Bruchs steht. Entsprechend dazu gibt
es auch Gleichungen, z.B. Funktionsgleichungen. Siehe hierzu ein Kapitel weiter vorne,
Funktionen, Terme und Gleichungen – Überblick (empfohlen, zu lesen, bevor man mit linearen
Funktionen und linearen Gleichungen beginnt)
Die lineare Funktion
− Funktionen der direkten Proportionalität: Die Funktion f(x) = y = m x; m Q; Df = Q ist die
Funktion der direkten Proportionalität, ihr Graph ist eine Ursprungsgerade. Der Faktor m
beschreibt die Steigung der Geraden.
− Steigungsdreieck: Mithilfe eines Steigungsdreiecks, das man in das Koordinatensystem
zeichnet, kann man die Steigung einer Geraden messen. Dabei setzt man einen Punkt auf der
Gerade, geht von dem Punkt waagrecht eine Längeneinheit nach links und dann so viele
Längeneinheiten senkrecht hinauf/hinunter, bis man die Gerade erreicht. Der Winkel zwischen
der Waagrechten und der Gerade heißt Steigungswinkel. Beispiel (siehe Zeichnung): Die
Gerade g hat die Steigung m/1, wobei m eine negative Zahl ist. Der Steigungswinkel α wird wie
alle Winkel gegen den Uhrzeigersinn gemessen.
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−
−
−
−
lineare Funktion: Im Vergleich zu den Graphen von Funktionen der indirekten Proportionalität
verlaufen die Graphen von lineare Funktionen nicht immer durch den Ursprung. Die lineare
Funktion ist die allgemeine Gerade, die Funktionen der direkten Proportionalität nur eine
spezielle, nämlich die Ursprungsgerade.
Die Funktion f(x) = m x + t; m, t Q; Df = Q heißt lineare Funktion. Ihr Graph ist eine Gerade,
die die y-Achse im Punkt T (0|t) schneidet. t heißt y-Achsenabschnitt. m ist die Steigung der
Geraden. Für die Nullstellen gilt: f(x0) = 0, also N (x0|0). x0 ist der x-Wert, bei dem y = 0 ist.
Zeichnen einer Gerade: Kennt man die Geradengleichung einer Gerade, so kann man die
Gerade zeichnen. Dazu muss man zuerst die Geradengleichung in die allgemeine Form bringen
und mit der allgemeinen Geradengleichung der linearen Funktion vergleichen. Die allgemeine
Geradengleichung lautet y = m x + t. Ist also beispielsweise die Gleichung 2y + 5 = 5x – 2
gegeben, muss sie erst umgeformt werden:
2y + 5 = 5x – 2 | -5
2y = 5x – 7 | :2
y = 2,5x – 3,5
=> Vergleich: y = m x + t. Aus der Geradengleichung lässt sich also entnehmen, dass die
Steigung m = 2,5 und der y-Achsenabschnitt t = -3,5 ist. Man markiert daher einen Punkt bei
(0|-3,5) und geht von diesem Punkt eine Längeneinheit nach links und 2,5 Längeneinheiten nach
oben. Dort markiert man einen zweiten Punkt. Nun verbindet man die beiden Punkte und
verlängert die Strecke an beiden Enden zu einer Gerade.
Aufstellen einer Geradengleichung: Sind zwei Punkte, beispielsweise P und Q (P ist weiter
rechts, Q weiter links) im Koordinatensystem gegeben, lässt sich die Gerade zeichnen. Aus den
Koordinaten der Punkte lässt sich auch die Geradengleichung aufstellen.
Die Steigung lässt sich mit Hilfe des Terms m = ( y)/( x) = (yP – yQ)/(xP – xQ) berechnen. Das
heißt, die Differenz, um die die Gerade gestiegen bzw. gefallen ist (das ist die Differenz der yKoordinaten der beiden Punkte) geteilt durch die Differenz der x-Koordinaten der beiden
Punkte. Das Ergebnis für m setzt man in die allgemeine Geradengleichung y = m x + t ein.
Nun setzt man die Koordinaten von einem der beiden Punkte (zum Beispiel die, mit denen sich
leichter rechnen lässt) in diese Geradengleichung ein. Diese Gleichung, die nur noch aus Zahlen
und t besteht, löst man nun nach t auf.
Schließlich setzt man nur die beiden ausgerechneten Werte für m und t in die Gleichung y = m x
+ t ein.
Beispiel: Gegeben sind die Punkte P (2|5) und Q (-3|1). Stelle die Geradengleichung auf.
Lösung:
1. allgemeine Geradengleichung: y = m x + t
2. Steigung ausrechnen: m = (yP – yQ)/(xP – xQ) = (5 – 1)/(2 – -3) = (5 – 1)/(2 + 3) = 4/5
3. In Geradengleichung: y = 4/5 x + t
4. Werte für y und x einsetzen (z. B. die von P): 5 = 4/5 2 + t
5. nach t auflösen: 5 – t = 4/5 2 => -t = 4/5 2 – 5 => t = -4/5 2 + 5 = -8/5 + 25/5 = 17/5
6. m und t in Geradengleichung einsetzen: y = 4/5 x + 17/5
Eigenschaften von Geraden mit bestimmten Steigungen:
1. Wenn m > 0, d. h. die Steigung m ist positiv, dann steigt die Gerade.
2. Wenn m < 0, d. h. die Steigung m ist negativ, dann fällt die Gerade.
3. Wenn mG = mH, d. h. die Steigungen zweier Geraden gleich sind, sind g und h parallel.
4. Wenn mG = - 1/mH, stehen die beiden Geraden senkrecht zueinander.
Elementare gebrochen-rationale Funktionen und Bruchterme
− Grundfunktion: f(x) = 1 : x
Es ist also ein Bruchterm, x steht im Nenner. Um den Graph im Koordinatensystem zu
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zeichnen, legt man eine Wertetabelle an: (hier für den Bereich von x = -3 bis x = 3)
x
-3
-2
-1
-1/2
-1/4
0
1/4
1/2
1
2
3
f(x)
1/3
−
−
−
-1/3
-½
-1
-2
-4
4
2
1
½
Die Werte bei f(x), d.h. y, also die Werte der Funktion, wenn man x einsetzt, werden
folgendermaßen berechnet (beispielsweise bei x = -3): f(x) = 1/x => f(-3) = 1/-3 => f(-3) = -1/3
Für x = 0 gibt es keinen Wert für f(x), da dabei der Nenner gleich 0 ist und somit mathematisch
nicht definiert ist.
Aus der Wertetabelle kann man nun den Graphen zeichnen. Im Koordinatensystem geht man
mit dem Stift auf einen Punkt auf der x-Achse, z.B. x = -3. Nun schaut man in der Wertetabelle
nach, welcher Punkt von f(x), d.h. von y, dem gerade benutzten Wert von x entspricht (hier
-1/3). Daraus ergeben sich die Koordinaten des Punktes P (-3 | -1/3). Macht man dies mit allen
Punkten und verbindet sie (Achtung: nicht mit Lineal verbinden, sondern sinngemäß als
Kurve!), erhält man den Graphen der Funktion f(x) = 1/x. Wie alle Graphen von gebrochenrationalen Funktionen besteht er aus zwei Teilen, die sich bei x = 0 nicht berühren. Bei anderen
gebrochen-rationalen Funktionen kann dieser x-Wert auch verschoben sein, z.B. ist er dann x =
2. Die senkrechte Linie, die durch diesen x-Wert verläuft, nennt man senkrechte Asymptote, hier
ist sie bei x = 0. Es gibt auch eine waagrechte Asymptote. Diesen Wert von y, hier y = 0, berührt
ebenfalls keiner der beiden Graphenteile. Auch die waagrechte Asymptote kann natürlich
verschoben sein, z.B. bei y = 2.
Dieses Verschieben erreicht man, indem man im Nenner ein freies Glied hinzufügt, zum
Beispiel f(x) = 1/(x – 1) (-> senkrechte Asymptote verschiebt sich zu x = 1) und f(x) = 1/x + 1
( -> waagrechte Asymptote verschiebt sich zu y = 1).
besondere gebrochen-rationale Funktionen: f(x) = 1/x²; -1/x
Der Funktionsterm einer gebrochen-rationalen Funktion ist ein Bruchterm, der die Variable x im
Nenner enthält. Die Nullstellen des Nenners sind die Definitionslücken der Funktion. (Rechnen
mit Termen – Bruchterme)
Definition von Bruchtermen: Der Quotient zweier Terme heißt Bruchterm. Er enthält eine
Variable im Nenner.
Definitionslücke: Die Lücke in der Definitionsmenge ist die Menge aller Zahlen, die man nicht
für x einsetzen darf, da sonst der Nenner eines Bruchs 0 wird und der Wert eines Bruchs mit
dem Nenner 0 mathematisch nicht definiert ist. Beispiel: 1 : (x+2); G = Q; D = Q \ {-2} (sprich:
Die Menge der rationalen Zahlen außer -2). Ist die Grundmenge beispielsweise R, ist die
Definitionsmenge R \ {-2}, ist sie beispielsweise Z, so ist die Definitionsmenge Z \ {-2}.
Achtung: Kürzt man einen Term, kann er eine andere Definitionsmenge haben als der
ungekürzte. Deshalb muss man die Definitionsmenge bestimmen, bevor man kürzt!
Vereinfachen: Die meistgestellte Aufgabe bei Bruchtermen ist, die Definitionsmenge
anzugeben und den Bruchterm – da er keine Gleichung ist, kann man nicht nach x auflösen –
möglichst weit zu vereinfachen.
- Ausklammern: Die erste Möglichkeit zum Vereinfachen ist das Ausklammern. Man kann oft
sowohl im Nenner als auch im Zähler eines Bruchs dieselbe Zahl ausklammern (ggf. auch eine
Variable) und im Bruch diese Zahl kürzen. Womöglich ergibt sich durch das Ausklammern
sogar derselbe Nenner bei mehreren Brüchen des gesamten zu vereinfachenden Terms. Beispiel:
(u³ + u²) : (u³ – u) = [u(u² + u)] : [u(u² – 1)] = (u² + u) : (u² – 1)
Hier wurde also bei einem Bruch durch die Variable u gekürzt.
- Binomische Formeln: Der nächste Schritt sind die binomischen Formeln (-> Rechnen mit
Termen – Rechnen mit Variablen – Terme – Binomische Formeln). Oft kann man einen Zähler
und/oder Nenner in eine binomische Formel umwandeln. Ergibt sich beispielsweise im Zähler
eine Plusformel und im Nenner die entsprechende Plusminusformel, lassen sich ein Teil der
12
−
Plusformel mit dem Plus-Teil der Plusminusformel kürzen. Beispiel: (2s + 2t) : (s² – t²) = [2(s +
t)] : [(s – t)(s + t)] Hier lässt sich (s + t) kürzen: 2 : (s – t) Der Bruchterm ist nun weitestgehend
vereinfacht.
- Hauptnenner: Falls mehrere Brüche mit unterschiedlichem Nenner vorliegen, muss man sie
alle auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Dieser Nenner heißt Hauptnenner. Dabei ist es
vorteilhaft, eine Tabelle mit Primfaktorzerlegung anzulegen:
(4a + 3b) : (5bc) + (2b – 7c) : (3ab) – (9a + 10) : (15ac)
Hauptnenner:
5bc =
5
b
c
O
O
3ab =
O
b
O
a
3
15ac =
5
O
c
a
3
HN =
5
b
c
a
3 = 15abc
Überall, wo O steht, d.h. ein leeres Feld, muss man den entsprechenden Zähler mit diesem
fehlenden Glied ergänzen. Den Zähler des Bruchs, der 5bc als Nenner hat, muss man also mit a
und 3 ergänzen. Dafür steht im Nenner der Hauptnenner. Der Bruchterm lautet damit:
[(4a + 3b) ∙ 3a] : 15abc + [(2b – 7c) ∙ 5c] : 15abc – [(9a + 10)b] : 15abc
Nun kann man alle Zähler zusammenzählen mit einem gemeinsamen Nenner – dem
Hauptnenner:
[(4a + 3b) ∙ 3a + (2b – 7c) ∙ 5c – (9a + 10)b] : 15abc
Diesen Term kann man nun ausmultiplizieren, erneut ausklammern und somit vollständig
vereinfachen:
(12a² + 9ab + 10bc – 35c² – 9ab – 10b) : 15abc = (12a² + 10bc – 35c² – 10b) : 15abc
Multiplikation von Bruchtermen: Bruchterme werden multipliziert, indem man Zähler mit
Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Bruchterme werden dividiert, indem man mit dem
Kehrwert multipliziert. Wichtig: Man kürzt vor dem Ausrechnen – Variablen und Zahlen!
Quadratische Funktionen
− Quadratfunktion: Die Funktion einer reinquadratischen Gleichung heißt Quadratfunktion. Sie
lautet x |-> x² („x wird abgebildet auf x²“). Sie wird durch den Funktionsterm f(x) = x² oder
durch die Funktionsgleichung y = x² beschrieben. Es gilt: D = R; W = R+0; Ihr Graph ist eine
Normalparabel mit dem Scheitel S (0|0).
Betrachtet man den Graphen im Koordinatensystem, so sieht man, dass der Graph für x > 0
monoton (andauernd) steigend/wachsend, für x < 0 monoton fallend. Die Normalparabel ist
symmetrisch, ihre Symmetrieachse ist die y-Achse.
− Allgemeine quadratische Funktionen mit Normalparabel: Jede Funktion der Form x |-> x² +
bx + c beschrieben wird, lässt sich durch quadratische Ergänzung in die Scheitelform x |-> (x –
d)²
+ e bringen. Die Funktion hat an der Stelle d ihren kleinsten Wert e. Ihr Graph ist
eine Normalparabel mit dem Scheitel S (d|e). W = [e; ∞[; Für e < 0 hat der Graph zwei
Nullstellen, für e = 0 genau eine und für e > 0 keine Nullstelle. (Zur Wiederholung von
Nullstellen: weiter oben in diesem Thema (Funktion und Term – Nullstellen); siehe auch weiter
unten in diesem Punkt (Quadratische Funktionen – Nullstellen))
− Allgemeine quadratische Funktion der Form x |-> ax² + bx + c (a bzw. in Scheitelform x |> a(x – d)² + e: Ihr Scheitel ist S(d|e). Von a ist abhängig, wie eng oder weit der Graph ist. Ist a
positiv, ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet, d. h.
an einer Parallelen der x-Achse gespiegelt. Ist a = 1, ist der Graph eine Normalparabel, ist a =
-1, ist der Graph eine umgekehrte, d. h. nach unten geöffnete Normalparabel. Für x = d nimmt
die Funktion ihren kleinsten bzw. größten Funktionswert (Minimum bzw. Maximum) an, falls a
> 0 bzw. a < 0 ist.
− Nullstellen: Wie auch bei linearen Funktionen bestimmt man Nullstellen, indem man in der
Funktionsgleichung für y 0 einsetzt und nach x auflöst. Dieses x nennt man x0. Die Nullstelle ist
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−
−
−
−
N (x0|0). Bei quadratischen Funktionen kann es logischerweise mehrere Lösungen geben. Mehr
dazu im obigen Abschnitt „Allgemeine quadratische Funktionen mit Normalparabel“ Zudem ist
die graphische Lösung möglich. Dabei liest man die Nullstellen ab, indem man die x-Werte an
den Stellen misst, an denen der Graph die x-Achse schneidet. Jedoch ist die graphische Lösung
nicht genau, besonders bei quadratischen Funktionen. Genaue Ergebnisse liefert nur die
rechnerische Lösung.
Graphische Lösung quadratischer Funktionen: (Form: ax² + bx + c = 0)
1. Möglichkeit: Scheitelform bilden; Graph in Koordinatensystem zeichnen; Nullstellen
ablesen; Diese x-Werte sind die Lösungen der quadratischen Funktion. L = {x0(; x02)} (je
nachdem, ob es eine oder zwei Nullstellen gibt; gibt es keine, ist die Lösungsmenge leer; die
quadratische Gleichung/Funktion besitzt dann keine Lösung!)
2. Möglichkeit: Gleichung umformen, sodass auf der linken Seite das quadratische Glied steht
und auf der rechten Seite das lineare und das konstante Glied; Beide Seiten jeweils als
Graphen in ein Koordinatensystem zeichnen. Die x-Werte an den Schnittpunkten sind die
Lösungen.
Modellieren mit quadratischen Gleichungen: Um den Punkt zu bestimmen, in dem sich zwei
Parabeln schneiden, müssen (wie bei linearen Gleichungen auch) ihre beiden
Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden, nach x aufgelöst werden, den ausgerechneten Wert
für x in einer der beiden ursprünglichen Funktionsgleichungen eingesetzt werden und y
ausgerechnet werden. Der vorher ausgerechnete Wert für x ist die x-Koordinate des
Schnittpunktes, der gerade ausgerechnete Wert für y die y-Koordinate des Schnittpunktes. Somit
sind die beiden Koordinaten bestimmt für S (x|y).
Die Parabel als Ortslinie:
Definition Ortslinie: Eine Ortslinie ist die Menge aller Punkte, von denen jeder die gleiche
geometrische Bedingung erfüllt.
Ortslinieneigenschaft der Parabel: Die Parabel ist die Ortslinie aller Punkte P, die von einem
vorgegebenen Punkt F und von einer vorgegebenen, nicht durch F verlaufenden Geraden g den
gleichen Abstand haben. F heißt Brennpunkt, g Leitgerade der Parabel. Die Bezeichnung für F
und Brennweite f für den Abstand des Scheitels von F kommt von der sogenannten
Brennpunkteigenschaft der Parabel: Bei einem parabelförmig gekrümmten Spiegel gehen alle
parallel zur Parabelachse einfallenden Lichtstrahlen nach der Reflexion durch den Punkt F. Je
größer die Brennweite ist, desto größer ist die Parabel.
Extremwertaufgaben: Bei Extremwertaufgaben soll eine Größe so groß bzw. so klein wie
möglich werden. Wie groß dazu eine oder mehrere andere Größen werden müssen und wie groß
die extremale Größe dann ist, soll berechnet werden. Achtung: Bei Flächen ist nicht immer das
Quadrat die größtmögliche Form!
Als erstes empfiehlt es sich, die gesuchten Größen, die man herausfinden soll, aufzuschreiben.
Oft muss man angeben, welche Größe die extremale Größe dann hat, oder auch nicht! Oft muss
man mehrere Variablen bestimmen.
Zunächst bestimmt man die Größe, die extremal werden soll – egal ob minimal oder maximal.
Man schreibt die Nebenbedingungen, d. h. gegebene Gleichungen auf. Sind in der Angabe keine
Variablen gegeben, führt man für eine Größe dann die Variable x ein, sind bereits Variablen
gegeben, wählt man eine der Variablen für diesen Schritt. Von x müssen andere Größen
abhängig sein. Diese Abhängigkeit formuliert man in einem Term, der die Größe der abhängigen
Größe beschreibt. Aus diesem Term stellt man nun den Ansatz, d. h. einen Term für die Größe,
die extremal werden soll, auf, der als einzige Variable x enthält. x muss darin unter Anderem
quadratisch vorkommen. Diese quadratische Gleichung/Funktion bringt man nun in
Scheitelform a(x – d)² + e; Ist a negativ, ist e der maximale Wert für die extremale Größe, ist a
positiv, ist es der minimale. d ist der dazu der benötigte Wert für x. Ist d dabei größer bzw.
kleiner als möglich (z. B. wenn man ein Rechteck in einem vorgegebenen Raum bestimmen
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muss, das möglich groß sein soll, aber dann über die Raumlänge bzw. -breite hinausgeht), muss
der größtmögliche bzw. kleinstmögliche Wert für d genommen werden und damit gerechnet
werden. Je nachdem, welche Größen gesucht sind (siehe oben), schreibt man den Antwortsatz.
Oft ist noch eine zweite Variable vorhanden. Man setzt den ausgerechneten Wert für d für die
entsprechende Größe x bzw. der Größe, die man (siehe oben) anstatt x ausgewählt hat in eine
Gleichung, die man bei den gegebenen Bedingungen aufgestellt hat und wo beide Variablen
vorkommen, ein. Diese löst man nach der zweiten Variablen auf und ergänzt gegebenenfalls den
Antwortsatz.
Gleichungen
Lineare Gleichungen
− Gleichung: Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, verbunden durch ein Gleichheitszeichen
(=). Wenn man für die Variablen einer Gleichung konkrete Zahlen einsetzt, kann eine wahre
oder eine falsche Aussage entstehen.
− Grundmenge: Die Zahlen, die für eine Variable eingesetzt werden dürfen, bilden zusammen die
Grundmenge G.
− Lösungsmenge: Alle Zahlen aus der Grundmenge, die bewirken, dass, wenn sie für die
Variablen eingesetzt werden, die Gleichung eine wahre Aussage liefert, bilden die
Lösungsmenge L. (L ⊂ G (L ist eine Teilmenge von G)) Gibt es keine Zahl aus der
Grundmenge, die die Gleichung zu einer wahren Aussage macht, ist die Lösungsmenge eine
leere Menge, geschrieben {}.
− Umformungen: Man kann Gleichungen umformen, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert,
indem man
- auf beiden Seiten dieselbe Zahl / denselben Term addiert/subtrahiert.
- beide Seiten mit derselben, von Null verschiedenen, Zahl/Term multipliziert / beide Seiten
durch dieselbe (von Null verschiedenen) Zahl/Term dividiert.
Man kann diese Umformungen hinter einen | hinter die Gleichung schreiben, bevor man sie
ausführt.
Beispiel: Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung 4x – 5 = 2; G = Q ?
4x – 5 = 2 | +5
4x – 5 + 5 = 2 + 5
4x = 7 | :4
x=7:4
x = 1,75 ∈ Q
L = {1,75}
Probe:
4x – 5 = 2
4 · 1,75 – 5 = 2
7–5=2
2=2
Bruchgleichungen (-> Bruchterme, gebrochen-rationale Funktionen)
− Definition: Eine Gleichung, die einen oder mehrere Bruchterme enthält, heißt Bruchgleichung.
− Definitionsmenge: Oft kann man die Definitionsmenge erst bestimmen, wenn man den
Hauptnenner bestimmt hat.. Kein Glied des Hauptnenners darf gleich 0 werden, denn wenn ein
Glied des Hauptnenners gleich 0 ist, ist der gesamte Hauptnenner gleich 0. (Wenn einer der
Faktoren 0 ist, ist das ganze Produkt 0)
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−
−
Vorgehensweise: 1. Definitionsmenge angeben; 2. Hauptnenner bestimmen; 3. Multiplikation
mit dem Hauptnenner; 4. Ausrechnen und Lösungsmenge angeben; Schritt 1 und 2 werden, wie
oben schon beschrieben, oft vertauscht, da man beispielsweise eine ausgeschriebene binomische
Formel erst als binomische Formel schreiben muss, um die Definitionslücke bestimmen zu
können.
Beispiel: 3 : (x + 1) + 2 : (x – 2) = 4 : (x – 2); G = Q
- 1. Schritt: Definitionsmenge angeben: D = Q \ {-1; 2}
- 2. Schritt: Hauptnenner bestimmen:
x+1
(x+1) O
x-2
O
(x-2)
x-2
O
(x-2)
HN =
(x+1) ∙ (x-2)
- 3. Schritt: Multiplikation mit dem Hauptnenner
3 : (x + 1) + 2 : (x – 2) = 4 : (x – 2)
| ∙HN
3(x – 2) + 2(x +1) = 4(x + 1)
- 4. Schritt: 3x – 6 + 2x + 2 = 4x + 4 => 5x – 4 = 4x + 4 => x = 8 =>
ist die Lösungsmenge in der Definitionsmenge oder in der Definitionslücke? - Sie ist in der
Definitionsmenge. Deshalb ist die Lösungsmenge
L = {8}
Wäre die Definitionsmenge D = Q \ {8}, so wäre die Lösungsmenge leer, d.h. L = {} (leere
Menge)
Röhrenaufgaben – Beispiel: Ein Becken wird durch den ersten Zulauf in vier Stunden, durch
den zweiten in sechs Stunden gefüllt. Wie lange benötigen beide zusammen?
1. Zulauf: 4h; 2. Zulauf: 6h; 1. in 1 Stunde ist das Becken ¼ gefüllt; 2. in 1 Stunde ist das
Becken 1/6 gefüllt; zusammen in einer Stunde 1/x, d.h. x = Zeit, die beide zusammen brauchen;
¼ + 1/6 = 1/x; HN: 4 = 2 ∙
2∙
O
6= 2∙
O∙
3
HN = 2 ∙
2∙
3 = 12
| ∙ HN => 3x + 2x = 12 => 5x = 12 => x = 12/5 => 12/5 h = 2h24min
Quadratische Gleichungen
− Quadratische Gleichung: Als quadratische Gleichung bezeichnet man eine Gleichung, die ein
quadratisches Glied, d. h. die Variable im Quadrat enthält, beispielsweise x². Siehe auch
quadratische Funktionen.
− Reinquadratische Gleichungen: Besteht die Gleichung nur aus quadratischen und konstanten
Gliedern, beispielsweise x² und 64, und nicht aus linearen Gliedern (beispielsweise 5x), so heißt
sie reinquadratische Gleichung. Beispiel: x² = 64 => x1 = -8; x2 = 8 => L = {-8;8}
Die allgemeine reinquadratische Gleichung ist x² = d. Für die Anzahl der Lösungen der
Gleichung gilt: wenn d = 0 gibt es eine Lösung; wenn d > 0 gibt es zwei Lösungen; wenn d < 0
gibt es keine Lösung.
− Gemischtquadratische Gleichungen: Gemischtquadratische Gleichungen bestehen aus einem
quadratischen Glied (beispielsweise x²), einem linearen Glied (beispielsweise x) und einem
konstanten Glied (beispielsweise 2). Vor dem jeweiligen Glied stehen Koeffizienten, die oft als
a (quadratisches Glied), b (lineares Glied) bzw. c (konstantes Glied) bezeichnet werden. Somit
ergibt sich die allgemeine Form der gemischtquadratischen Gleichung:
ax² + bx + c = 0
Steht auf der rechten Seite nicht null, sondern beispielsweise 2, kann man die 2 von c abziehen!
Steht auf der rechten Seite ein lineares oder quadratisches Glied, kann es auch auf die linke
Seite verschoben werden. (Auftragsstrich)
Es gibt mehrere Wege, eine Gleichung in dieser Form zu lösen. Es gibt herkömmliche
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−
−
−
−
Rechenmethoden durch Termumformungen sowie eine Lösungsformel. Diese Lösungsformel
sieht zwar nicht einfach aus, jedoch kann man damit jede quadratische Gleichung ohne langes
Suchen der geeigneten Methode lösen. Jedoch ist sie nicht immer die schnellste Methode, und
manchmal wird das Lösen mit Hilfe einer anderen Methode verlangt.
Lösen durch quadratische Ergänzung: Bei der quadratischen Ergänzung handelt es sich um
einen Lösungsweg mit Hilfe binomischer Formeln. Man schreibt die linke Seite als binomische
Formel und lässt auf der rechten Seite entweder Null oder eine Quadratzahl. Kann man die linke
Seite nicht sofort als binomische Formel schreiben, weil das konstante Glied nicht „in die Reihe
passt“, ergänzt man auf der linken Seite mit der benötigten Zahl, ohne dass sich der Termwert
ändert. Beispiel:
2x² – 20x – 22 = 0; Als ersten Schritt muss man durch 2 dividieren, damit das quadratische
Glied alleine steht. (0 : 2 = 0)
x² – 10x – 11 = 0; Da das lineare Glied nicht verändert werden kann, muss die binomische
Formel verwendet werden, die zu dem linearen Glied 10x passt. Halbiert man den Koeffizienten
des linearen Gliedes, erhält man die Zahl, die in der binomischen Formel steht. Die passende
binomische Formel ist also (x – 5)². Das passende konstante Glied ist daher 25. Nun muss man
das konstante Glied also auf 25 bringen. Somit addiert man und zieht es gleichzeitig wieder ab,
um den Termwert nicht zu verändern:
x² – 10x + 25 – 25 – 11 = 0; Nun kann man eine binomische Formel bilden und den Rest
zusammenzählen.
(x – 5)² – 36 = 0; Nun zieht man die Wurzel aus allen Gliedern. Achtung: Betragsstriche, wenn x
unter der Wurzel steht!
√[(x – 5)²] – √36 = √0; Jetzt kann man die Wurzel ziehen.
|x – 5| – 6 = 0; Wegen den Betragsstrichen muss man nun zwei Gleichungen bilden, einmal hat
„x – 5“ ein positives Vorzeichen und einmal ein negatives.
Positives: +(x – 5) – 6 = 0 => x – 11 = 0 => x1 = 11;
Negatives: -(x – 5) – 6 = 0 => -x + 5 – 6 = 0 => -x – 1 = 0 => x2 = -1
Daraus ergibt sich die Lösungsmenge. L = {-1;11}
Lösen durch Ausklammern der Variable: Diese Methode funktioniert nur, wenn kein
konstantes Glied vorhanden ist und auch die rechte Seite gleich 0 ist. Man klammert auf der
linken Seite die Variable aus und hat somit auf der linken Seite ein Produkt aus der Variablen
und einer Summe bzw. einer Differenz, die auch die Variable enthält. Hier nutzt man das
Rechengesetz „Wenn ein Produkt gleich null ist, ist einer der Faktoren null“ aus. Somit ist
entweder die Variable selbst gleich 0 oder die Summe / die Differenz, die die Variable enthält.
Dadurch lassen sich die beiden Lösungen der Gleichung bestimmen.
Beispiel: x² + 3x = 0 => x ausklammern
x(x + 3) = 0 => entweder ist x = 0 oder x + 3 = 0
x = 0 v (oder) x = -3
Daher die Lösungsmenge: L = {-3;0}
Lösen durch Ausklammern eines Linearfaktors: Diesen Lösungsweg kann man bei
speziellen Gleichungen folgender Form anwenden. Beispiel:
(x + 2)² – 3(x + 2) = 0; Bevor man ausmultipliziert, kann man auch „x + 2“ ausklammern.
(x + 2)[(x + 2) – 3] = 0 => (x + 2)(x – 1); Nun kann man die Fallunterscheidung durchführen:
x+2=0vx–1=0
x = -2 v x = 1 => L = {-2;1}
Lösungsformel – Mitternachtsformel: Für die Lösungen einer quadratischen Gleichung der
Form ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) gilt: x1;2 = [-b ± √(b² – 4ac) ] : 2a
Setzt man die Werte ein und rechnet den Wert des Terms aus, muss man bei einem bestimmten
Rechenschritt die Fallunterscheidung durchführen, die sich aus dem „±“-Zeichen ergibt.
Beispiel: 6x² – 5x – 4 = 0
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−
−
−
−
x1;2 = {5 ± √[(-5)² – 4 ∙ 6 ∙ (-4)] } : 2 ∙ 6 = [5 ± √(25 + 96) ] : 12 = (5 ± √121 ) : 12 = (5 ± 11) : 12
Fallunterscheidung: x1 = (5 + 11) : 12 = 16 : 12 = 4/3; x2 = (5 – 11) : 12 = -6 : 12 = -½
L = {-½; 4/3}
Diskriminante: Die Diskriminante ist der Term, der bei der Mitternachtsformel unter der
Wurzel steht. Definition: Der Term b² – 4ac heißt Diskriminante D der quadratischen Gleichung
ax² + bx + c = 0; (discriminare (lat.), trennen, unterscheiden) Durch diesen Term lässt sich
schnell die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung ermitteln, indem man die Werte
einsetzt und D ausrechnet. Die Gleichung besitzt
keine Lösung, wenn D < 0 ist,
genau eine Lösung, wenn D = 0 ist,
zwei Lösungen, wenn D > 0 ist.
Der Satz von Vieta: Sind x1 und x2 die Lösungen der quadratischen Gleichung x² + px + q = 0,
so gilt: x1 + x2 = -p; x1 ∙ x2 = q
Der Satz von Vieta lässt sich für verschiedene Zwecke verwenden:
- Man kann damit die Lösungen einer quadratischen Gleichung überprüfen, indem man die
Werte für x1 und x2 in x1 + x2 = -p; x1 ∙ x2 = q einsetzt. Die dadurch ausgerechneten Werte für p
und q setzt man dann in die Gleichung x² + px + q = 0 ein. Ergibt sich die ursprüngliche
Gleichung, so sind die Lösungen wahr, ergibt sich eine andere, sind sie falsch!
- Man kann damit die zugehörige Gleichung aufstellen, wenn die Werte für x 1 und x2 gegeben
sind, indem man x1 und x2 in x1 + x2 = -p; x1 ∙ x2 = q einsetzt und die ausgerechneten Werte für p
und q in die Gleichung x² + px + q = 0 einsetzt.
Zerlegungssatz: Besitzt die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 die Lösungen x1 und x2, so
gilt: ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Textaufgaben: Der erste Schritt für die Lösung von Textaufgaben ist das Aufschreiben von
allen gegebenen und gesuchten Werten. Dann führt man eine Variable für die gesuchte Größe
ein. Daraufhin bestimmt man die gesuchte Größe, die abhängig von der Variablen ist. Diese
Abhängigkeit schreibt man in Form eines Terms für diese Größe auf. Nun formuliert man den
Ansatz, d. h. die gestellte Bedingung als Gleichung. Diese Gleichung löst man mit einer der
oben aufgeführten Methoden und bestimmt die Lösung(en). Achtung: Bei vielen Textaufgaben
machen negative Ergebnisse keinen Sinn. Oft wird ein Antwortsatz erwartet.
Beispiel: Ein Ölbehälter eines Tanklagers kann über zwei verschiedene Leitungen gleichzeitig in
12 Stunden gefüllt werden. Mit einer der Leitungen allein würde der Füllvorgang 10 Stunden
länger dauern als mit der anderen allein.
Wie groß wäre die Füllzeit jeweils, wenn der Ölbehälter mit einer der Leitungen allein gefüllt
würde?
Klarstellen der Angabe: Würde der Füllvorgang mit der ersten Leitung allein durchgeführt
werden, würde er 10 Stunden länger dauern, als wenn er mit der zweiten Leitung allein
durchgeführt werden.
Gegeben: gesamte Füllzeit: 12 h; Füllzeitunterschied: 10 h
Gesucht: Füllzeit der ersten bzw. zweiten Leitung
Lösung:
x = Füllzeit der 1. Leitung
x – 10 = Füllzeit der 2. Leitung
Bedingung: (Füllanteil der 1. Leitung in 12 Stunden) + (Füllanteil der 2. Leitung in 12 Stunden)
= 1 Tankinhalt (TI)
In 1 h liefert die 1. Leitung 1/x TI, die 2.Leitung 1/(x + 10) TI.
In 12 h liefert die 1. Leitung 12/x TI, die 2. Leitung 12/(x + 10) TI.
Also: 12/x + 12/(x + 10) = 1; D = R \ {-10;0}
Hauptnenner: x(x + 10)
12x + 120 + 12x = x² + 10x
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x² – 14x – 120 = 0 => x1 = 20; x2 = -6; Da es keine negative Zeit gibt, ist x1 = 20 die richtige
Lösung für x, d. h. für die 1. Leitung. Für die zweite Leitung ergibt sich x + 10 = 30.
Antwortsatz: Die Füllzeit der 1. Leitung beträgt 20 Stunden, die der 2. Leitung 30 Stunden.
Ungleichungen
− Definition: Bei einer Gleichung sind die beiden Terme, die durch das Gleichheitszeichen
getrennt sind, äquivalent, also gleich. Sind diese Terme nicht gleich, heißt das, dass der eine
Term größer ist als der andere, d. h. man muss ein Ungleichheitszeichen dazwischen setzen,
man hat also eine Ungleichung. Die Lösungsmenge umfasst im Allgemeinen einen ganzen
Zahlenbereich.
− Äquivalenzumformungen:
Bei
Ungleichungen
werden
wie
bei
Gleichungen
Äquivalenzumformungen durchgeführt. Achtung: Bei Punktrechnungen mit negativen Zahlen
dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
− Graphische Lösung: Ungleichungen löst man graphisch, indem man beide Terme, die ungleich
sind, als Geraden in ein Koordinatensystem zeichnet und den Bereich markiert, in dem das
Ungleichheitszeichen stimmt, d. h. die eine Gerade über der anderen liegt. Diesen Bereich gibt
man nun wie in rechnerischer Lösung (siehe Beispiel unten) in Intervall- oder
Mengenschreibweise an.
− Beispiel: -½ x + 2 ≤ 5/2 x – 1
Lösung: -½ x + 3 ≤ 5/2 x | + ½ x
3 ≤ 6/2 x => 3 ≤ 3x => 1 ≤ x => x ≥ 1
Lösungsmenge – Intervallschreibweise: L = [1; ∞]; Mengenschreibweise: L = {x | x ≥ 1}
(gelesen: Die Lösungsmenge ist die Menge aller x, für die gilt x ≥ 1)
Lineare Gleichungssysteme
− Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten: Mehrere lineare Gleichungen, die von
denselben Variablen gleichzeitig erfüllt müssen, bilden ein lineares Gleichungssystem – in
diesem Fall mit zwei Variablen. Die Lösungen eines linearen Gleichungssystems sind
Zahlenpaare, die beim Einsetzen beide Gleichungen erfüllen. Es gibt verschiedene rechnerische
Möglichkeiten, die Lösungen herauszufinden, aber auch die graphische. Allgemein muss man
bei den rechnerischen Verfahren eine Gleichung mit nur einer Variable bilden, die man dann
auflöst und die Lösung von der Variablen in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzt.
− Gleichsetzungsverfahren: Man löst die beiden Gleichungen nach einer Variablen auf,
normalerweise nach y. Da man dann zwei Gleichungen in der Form von „y = ...“ hat, kann man
sie gleichsetzen, d. h. man setzt y = y und ersetzt y jeweils durch den äquivalenten Term. Die
Gleichung löst man nach x auf und setzt x in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen, die
nach y aufgelöst sind, ein. Somit rechnet man y aus. Die Lösung von x und die von y sind die
Lösungen des Gleichungssystems.
Beispiel: I: y = 2x + 1; II: y = -x + 4 (man muss also nicht mehr nach y auflösen, bevor man
gleichsetzen kann)
Gleichsetzten: y = y => 2x + 1 = -x + 4
Nach x auflösen: 3x = 3 => x = 1
x in I oder II einsetzen, da I vorteilhafter ist: y = 2 1 + 1 => y = 3
Lösungsmenge angeben: L = {(1|3)}
− Einsetzungsverfahren: Man löst nur eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen auf und
setzt den Term, der der aufgelösten Variablen gleich ist, in die andere Gleichung anstelle von
derjenigen Variablen ein. Das weitere Vorgehen ist dasselbe wie beim Gleichsetzungsverfahren.
Beispiel: I: 3x – 2y + 8 = 0; II: y = -x + 7
Einsetzen: 3x – 2(-x + 7) + 8 = 0
Nach x auflösen: 3x + 2x – 14 +8 = 0 => 5x = 6 => x = 6/5
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−
−
−
−
−
x in I oder II einsetzen, da II vorteilhafter ist: y = -6/5 + 7 = -6/5 + 35/5 = 29/5
Lösungsmenge angeben: L = {(6/5|29/5)}
Additionsverfahren: Man bringt die beiden Gleichungen zuerst auf die gleiche Form, zum
Beispiel (I) 3x – y = 5 und (II) x – y = -2. Nun addiert/subtrahiert man die eine Gleichung von
der anderen, sodass eine Variable wegfällt und eine neue Gleichung mit nur einer Variable
entsteht, beispielsweise: (I)-(II) => 3x – x + [(-y) – (-y)] = 5 – (-2) => 2x = 7 => x = 3,5. Man
hat somit eine der beiden Variablen herausgefunden. Nun setzt man diese in eine der beiden
ursprünglichen Gleichungen ein, beispielsweise in (II): 3,5 – y = -2 => 3,5 + 2 = y => y = 5,5.
Somit kann man die Lösungsmenge angeben.
Falls keine Variable wegfällt, wenn man die Gleichungen einfach addiert/subtrahiert, zum
Beispiel bei (I) 3x + y = 2 und (II) -6x + 4y = 3, muss man eine der beiden Gleichungen erst mit
einem bestimmten Faktor multiplizieren, hier beispielsweise Gleichung (I) mit 2 multiplizieren:
6x + 2y = 2. Dadurch kann man die beiden Gleichungen addieren, sodass x wegfällt: 6x + (-6x)
+ y + 4y = 2 + 3 => 5y = 5 => y = 1. Dies setzt man wiederum in eine der beiden
ursprünglichen Gleichungen ein und berechnet x.
Grafische Lösung: Bei der grafischen Lösung bringt man zuerst beide Gleichungen auf die
Form y = mx + t, d. h. auf die Form der Geradengleichung, zum Beispiel (I) y = x – 1 und (II) y
= -x + 9. Vor dem y muss der Koeffizient 1 (wird normalerweise weggelassen) stehen! Steht ein
anderer Koeffizient vor dem y, beispielsweise in (I) 2y = 2x – 2, muss diese Gleichung durch
den Koeffizienten von y geteilt werden: (I) 2y : 2 = 2x : 2 – 2 : 2 => y = x – 1.
Zunächst zeichnet man die beiden Gleichungen als Geraden in ein Koordinatensystem. An
ihrem Schnittpunkt liest man die beiden Koordinaten ab. Die x-Koordinate ist die Lösung für x,
die y-Koordinate die Lösung für y. Man kann also die Lösungsmenge angeben. Verlaufen die
beiden Geraden parallel, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Liegen die beiden Geraden
aufeinander, d. h. (I) = (II), so gibt es unendlich viele Lösungen.
Textaufgaben: Bei Textaufgaben muss man nach Aussagen suchen, die aus dem Text oder aus
einer Zeichnung hervorgehen, diese als Gleichungen formulieren und mit einem der Verfahren
auflösen.
Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten: Ein lineares Gleichungssystem mit drei
Unbekannten besteht aus drei Gleichungen, in denen insgesamt drei Unbekannte (z.B. x, y und
z) vorkommen. Nicht in jeder Gleichung müssen alle drei Unbekannte vorkommen. Mit den
herkömmlichen Lösungsverfahren kann man es nicht lösen, stattdessen mit dem Gauß'schen
Dreiecksverfahren, mit dem man auch Gleichungssysteme mit n Gleichungen und n
Unbekannten lösen kann.
Gauß'sches Dreiecksverfahren: Zuerst bestimmt man eine Gleichung, die alle Unbekannten
bzw. möglichst viele enthält mit möglichst einfachen Koeffizienten, d. h. die sich gut zum
Rechnen eignet. Diese Gleichung wird im Folgenden erste Gleichung genannt. Mit Hilfe der
ersten Gleichung eines Gleichungssystems wird mit einer der folgenden Gleichungen eine
Unbekannte eliminiert. Das heißt, man verwendet das Additionsverfahren und addiert bzw.
subtrahiert zwei Gleichungen voneinander, sodass eine Variable wegfällt, beispielsweise gibt es
in der ersten Gleichung 4y, in der dritten -8y. Man nimmt die erste Gleichung per Auftragsstrich
mal 2 und addiert die beiden Gleichungen. Somit fällt die Variable y in der neuen Gleichung
weg. Der Rest der neuen Gleichung wird wie sonst auch beim Additionsverfahren geschrieben,
entsprechend dem Faktor, mit dem die Gleichungen davor multipliziert wurden! Nun elimiert
man dieselbe Variable (beispielsweise y) erneut mit der ersten und den restlichen Gleichungen,
bei Gleichungssystemen mit drei Unbekannten gibt es nur eine restliche. Sowohl die sogenannte
erste Gleichung als auch die beiden neuen werden nun untereinander aufgelistet. Nun löst man
das Gleichungssystem aus den beiden neuen Gleichungen – es hat nur zwei Unbekannte, man
kann zwischen den drei Verfahren wählen. Die Lösungen für die beiden Variablen setzt man
dann in die sogenannte erste Gleichung ein und rechnet die dritte Variable aus. Die
20
Lösungsmenge sieht dann folgendermaßen aus : L = {(x|y|z)}
21
3. Geometrie
Punkt, Gerade und Winkel
Punkt und Gerade
− Punkte: Ein Punkt wird mit einem Großbuchstaben bezeichnet, zum Beispiel Punkt P.
− Geraden: Eine Gerade hat keine Enden, sie ist unendlich. Sie verläuft aber konstant gerade. Sie
ist durch mindestens zwei Punkte, durch die sie verläuft, definiert. Eine Gerade wird entweder
durch einen Kleinbuchstaben, zum Beispiel Gerade g, oder durch zwei Punkte, durch die sie
verläuft, bezeichnet: Gerade AB.
− Strecken: Eine Strecke ist die kürzeste/direkte Verbindung zwischen zwei Punkten. Sie endet an
den beiden Punkten. Sie wird durch die beiden Punkte, an denen sie endet, bezeichnet: Strecke
[AB]. Die Länge von Strecken kann gemessen werden. Ein Strich über dem AB bedeutet, dass
die Länge der Strecke gemeint ist. Beispiel: AB = 6 cm
− Halbgerade: Eine Halbgerade (auch Strahl genannt) hat nur ein Ende. Sie wird nach dem
Punkt, in dem sie anfängt, und dem Punkt, durch den sie verläuft, bezeichnet: Halbgerade [AB.
− Abstand: Der Abstand z.B. von einem Punkt zu einer Gerade heißt d. Schreibweise: d(E;s) = ...
„der Abstand von E zu s beträgt ...“
− Kreise: Ein Kreis wird definiert durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius. Alle Punkte auf
der Kreislinie haben den gleichen Abstand zum Mittelpunkt. Diesen Abstand nennt man Radius.
Der doppelte Radius, 2r, wird auch Durchmesser bezeichnet. Der Durchmesser ist eine Strecke
zwischen zwei Punkten auf der Kreislinie, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft. d = 2r
− Parallel: Haben zwei Geraden/Halbgeraden/Strecken an jedem Punkt den gleichen Abstand
zueinander, so sind sie parallel. Parallelen scheiden sich in keinem Punkt. Schreibweise „s und t
sind zueinander parallel“: s || t
− Senkrecht: Bilden zwei Geraden/Halbgeraden/Strecken an ihrem Schnittpunkt einen rechten
Winkel, so liegen sie senkrecht aufeinander. Schreibweise „q und t stehen aufeinander
senkrecht“: q | t
Winkel
− Winkel: Zwei Geraden/Halbgeraden/Strecken, die sich schneiden, bilden an ihrem Schnittpunkt
Winkel.
− Größe von Winkeln: Die Größe jedes Winkels kann in ° (Grad) angegeben werden. Umso
kleiner (spitzer) ein Winkel, desto weniger Grad ist er groß.
− Messen von Winkeln: Winkel werden immer gegen den Uhrzeigersinn gemessen.
− Arten von Winkeln:
Spitz: Unter einem spitzen Winkel versteht man einen Winkel, der kleiner als 90° und größer als
0° ist.
Rechter Winkel: Ein Winkel, der genau 90° groß ist, nennt man rechten Winkel.
Stumpf: Ein Winkel, der größer als 90°, aber kleiner als 180° ist, ist ein stumpfer Winkel.
Gestreckt: Ist ein Winkel genau 180° groß, ist er gestreckt.
Überstumpf: Ist er größer als 180° und kleiner als 360°, ist er überstumpf.
Vollwinkel: Ein Winkel, der genau 360° groß ist, ist ein Vollwinkel.
− Bezeichnungen für Winkel: Winkel werden oft mit griechischen Buchstaben bezeichnet (z.B. α
(alpha), β (beta), γ (gamma)) oder durch Punkte, durch die die Geraden/Strecken verlaufen:
Winkel ABC bedeutet z.B. der Winkel zweier Strecken, von denen die erste Strecke durch B
und A verläuft und die zweite durch B und C. Die Geraden schneiden sich hier in B. Winkel
werden auch oft mit dem Zeichen ∢ gekennzeichnet.
− Beziehungen zwischen Winkeln:
22
Schneiden sich zwei Geraden, entstehen vier Winkel. Die Winkel, die sich gegenüberliegen,
bilden Scheitelwinkelpaare. Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Die Winkel, die
nebeneinander liegen, bilden Nebenwinkelpaare. Ein Nebenwinkelpaar ist immer 180° groß.
Wenn man den einen Nebenwinkel α kennt, kann man mit 180° – α die Größe des anderen
Winkels herausfinden.
Liegen zwei Geraden parallel und schneidet eine dritte Gerade beide, so entstehen an jedem
Schnittpunkt je vier Winkel. Von den Größen der Winkel beim ersten Schnittpunkt lassen sich
Schlüsse auf die Größe der Winkel ziehen.
−
In der obigen Zeichnung sind δ und α gleich groß. Sie sind Stufenwinkel (bildlich: F-Winkel).
Genauso sind β und γ gleich groß.
Zudem sind auch φ und γ gleich groß. Sie sind Wechselwinkel (bildlich: Z-Winkel). Genauso
sind δ und ε gleich groß.
Winkelsumme: Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt 180°. Im Viereck beträgt sie
360°. Im n-Eck beträgt sie (n-2) ∙ 180°.
Figuren
Hinweis: In dieser Stoffübersicht werden Figuren als Oberbegriff für Flächen und Körper
verwendet. „Figuren“ wird außerhalb der Stoffübersicht jedoch auch oft als Begriff für Flächen
verwendet, insbesondere „ebene Figuren“.
Flächen
− Einleitung: Flächen sind zweidimensionale Figuren. Sie haben keinen Rauminhalt, jedoch kann
man den Flächeninhalt und die Umfangslänge berechnen. Näheres zur Symmetrie von
Vierecken in Symmetrie – Zusammenhänge zwischen symmetrischen Vierecken.
− Flächeninhalt: Die Größe dieser Fläche heißt Flächeninhalt. Den Flächeninhalt einer Figur
misst man durch aufteilen der Fläche in Formen, von denen man den Flächeninhalt leicht
berechnen kann. Solche sind z. B. Dreieck und Rechteck. Den Flächeninhalt bezeichnet man oft
mit dem Buchstaben A, z. B. den Flächeninhalt des Rechtecks ABCD: AABCD = …
− Umfangslänge: Die Umfangslänge einer Fläche ist die Summe der Länge aller Strecken, aus
denen er besteht.
− Rechteck: Ein Rechteck ist eine Fläche, die von vier Seiten begrenzt wird und deren vier
Innenwinkel jeweils 90° groß sind. Das Rechteck ist ein Viereck. Zwei gegenüberliegende
Seiten sind jeweils gleich lang (Länge und Breite). Ein Rechteck hat zwei Symmetrieachsen (->
achsensymmetrisch; sie verlaufen jeweils in der Mitte der Breite bzw. in der Mitte der Länge
und parallel zur Länge bzw. parallel zur Breite) und ein Symmetriezentrum (punktsymmetrisch).
Die beiden Symmetrieachsen schneiden sich zudem im Symmetriezentrum (Mitte des
Rechtecks).
23
−
−
−
−
−
Flächeninhalt eines Rechtecks: ARechteck = l · b (Länge mal Breite)
Umfangslänge eines Rechtecks: URechteck = 2l + 2b = 2(l+b) (2 mal die Länge der ersten Seite
(Länge) und 2 mal die Länge der zweiten Seite (Breite))
Quadrat: Ein Quadrat ist ein Rechteck, bei dem Länge und Breite gleich lang sind, d. h. alle
vier Seiten sind gleich lang. Diese Seite nennt man oft a. Die Innenwinkel sind alle 90° groß,
genauso wie im Rechteck. Das Quadrat besitzt zusätzlich zu den Symmetrieachsen des
Rechtecks diagonale Symmetrieachsen. Sie schneiden sich ebenfalls im Symmetriezentrum, das
beim Quadrat auch in der Mitte liegt.
Flächeninhalt eines Quadrats: AQuadrat = a2 (Seite im Quadrat)
Umfangslänge eines Quadrats: UQuadrat = 4a (4 mal die Länge der Seite)
Parallelogramm: Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die beiden gegenüberliegen
Seiten jeweils parallel und gleich lang sind. Die Innenwinkel müssen jedoch nicht 90° groß sein,
was den Unterschied zum Rechteck ausmacht. Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch. Die
Distanz von zwei parallelen Seiten zueinander nennt man Höhe.
Flächeninhalt eines Parallelogramms: AParallelogramm = g · h (g ist eine Seite, h die dazugehörige
Höhe)
Dreieck: Ein Dreieck ist eine Fläche, die von drei Punkten (die nicht auf einer Geraden liegen)
und den Strecken zwischen den Punkten begrenzt wird. Der Abstand von einer Seite zum
gegenüberliegenden Punkt nennt man Höhe (sie liegt senkrecht auf der Seite). Näheres zu
Dreiecken in Besondere Dreiecke (weiter unten))
Flächeninhalt eines Dreiecks: ADreieck = ½ · g · h; oder: ADreieck = (g · h)/2 (-> 1/2 mal Grundlinie
mal Höhe = Grundlinie mal Höhe geteilt durch 2)
Trapez: Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem ein Paar von gegenüberliegenden Seiten parallel
liegen. Sie müssen nicht gleich groß sein. Die größere Seite nennt man im Allgemeinen Basis
(oft mit dem Buchstaben a). Der Abstand zwischen den parallelen Seiten nennt man Höhe (oft
h). Die beiden übrig bleibenden Seiten nennt man Schenkel. Sind sie gleich lang und haben den
gleichen Basiswinkel (der Winkel zwischen Schenkel und Basis), liegt ein gleichschenkliges
Trapez vor. Ein gleichschenkliges Trapez hat eine Symmetrieachse, die die Basis senkrecht
halbiert.
Flächeninhalt eines Trapezes (zwei parallele Seiten a und c mit dem Abstand h): ATrapez = ½ · (a +
c) · h
Kreis: Alle Punkte einer Kreislinie haben den selben Abstand zum Mittelpunkt. Diesen Abstand
nennt man Radius. Der doppelte Radius, d. h. die längstmögliche Strecke innerhalb des Kreises
nennt man Durchmesser, weil er den kompletten Kreis „durchmisst“. Für die Berechnung des
Flächeninhalts sowie der Umfangslänge verwendet man die Kreiszahl π (gesprochen: Pi), eine
Konstante. Sie ist keine rationale Zahl.
Flächeninhalt eines Kreises: AKreis = r2 ∙ π (Die Länge des Radius im Quadrat mal Pi (≈ 3,14
oder 22/7); π ∉ Q)
Umfangslänge eines Kreises: UKreis = 2 ∙ r ∙ π (2 mal die Länge des Radius mal Pi (≈ 3,14 oder
22/7); π ∉ Q)
Körper
− Einleitung: Körper sind dreidimensionale Figuren. Sie haben einen Rauminhalt, den man
berechnen kann (Volumen). Außerdem kann man den Oberflächeninhalt berechnen.
− Oberflächeninhalt: Alle Flächen, die einen geometrischen Körper begrenzen, bilden
zusammen eine Oberfläche. Der Flächeninhalt aller dieser Flächen bilden zusammen den
Oberflächeninhalt. Er ist die Summe aller Flächeninhalte der Oberflächen. Für den
Oberflächeninhalt verwendet man oft A oder O.
− Volumen = Rauminhalt eines Körpers. Für das Volumen verwendet man oft V.
− Quader: Quader sind Körper, der aus sechs Flächen besteht, von denen gegenüberliegende
24
−
−
−
−
−
Paare jeweils gleich groß sind. Alle Flächen sind Rechtecke; die Rechtecke stehen mit rechten
Winkeln zueinander.
Volumen eines Quaders: VQuader = l · b · h (Länge mal Breite mal Höhe)
Oberflächeninhalt eines Quaders: AQuader = 2 · l · b + 2 · b · h + 2 · l · h = 2 · (l · b + b · h + l · h)
Würfel: Ein Würfel ist ein Quader, dessen alle Flächen Quadrate sind. Alle Flächen sind somit
gleich groß, haben die gleiche Form und stehen mit rechten Winkeln zueinander.
Volumen eines Würfels: VWürfel = a · a · a = a3 (Seite hoch 3)
Oberflächeninhalt eines Würfels: AQuader = 6 · s2
Prisma: Ein Prisma ist ein Körper, der ein Vieleck als Grund- und Deckfläche hat (Grund- und
Deckfläche sind gleich, sowohl von Form als auch Größe; sie liegen parallel zueinander), die
von Seitenflächen verbunden werden. Liegen Grund- und Deckfläche deckungsgleich
übereinander, nennt man es gerades Prisma und alle Seitenflächen sind Rechtecke.
Hat ein gerades Prisma ein n-Eck als Grund-/Deckfläche, so hat es n Seitenflächen und n
Seitenkanten, die senkrecht auf Grund- und Deckfläche stehen. Da es gerade ist, ist die Höhe
des Prismas gleich der Länge der Seitenkanten. Desweiteren gilt: e = 2n; f = n + 2; k = 3n (siehe
auch in Der Euler’sche Polyedersatz (weiter unten))
Die folgenden Formeln gelten auch für schiefe Prismen:
Volumen eines Prismas: VPrisma = G · h (Grundfläche mal Höhe)
Oberflächeninhalt eines Prismas: APrisma = Grundfläche + Deckfläche + Mantelfläche = 2 ·
Grundfläche + Mantelfläche = 2 · Grundfläche + Umfang der Grundfläche · Höhe = 2 · G + u · h
(Kreis-)Zylinder: Ein Zylinder ist ein Körper, der einen Kreis als Grund- und Deckfläche hat
(Grund- und Deckfläche sind gleich, sowohl von Form als auch Größe; sie liegen parallel
zueinander), die einem Mantel verbunden werden. Liegen Grund- und Deckfläche
deckungsgleich übereinander, nennt man ihn geraden Zylinder. Ein Zylinder besitzt unendlich
viele Mantellinien. (da auf einem Kreis unendlich viele Punkte liegen)
Beim geraden Zylinder stehen die Mantellinien senkrecht auf Grund-/Deckfläche und die Höhe
des Zylinders stimmt mit der Länge einer Mantellinie überein.
Die folgenden Formeln gelten auch für schiefe Zylinder:
Volumen eines Kreiszylinders: VZylinder = G · h = r²π · h
Oberflächeninhalt eines Kreiszylinders: AZylinder = Mantelfläche + Grundfläche = Mantelfläche +
Kreisfläche = 2rπh + 2r²π
Pyramide: Verbindet man die Ecken eines n-Ecks mit einem Punkt S außerhalb der nEcksebene durch Strecken, entsteht eine n-seitige Pyramide.
Diese hat n dreieckige Seitenflächen, ein n-Eck als Grundfläche, n Seitenkanten und n
Grundkanten (waagrechte Kanten des n-Ecks selbst). Die Höhe der Pyramide ist die Lotstrecke
von der Pyramidenspitze auf die Grundebene.
Hat die Grundfläche einen Umkreis und ist der Höhenfußpunkt gleich dem Umkreismittelpunkt,
nennt man die Pyramide gerade. Bei einer geraden Pyramide sind alle Seitenkanten gleich lang.
In der Regel ist die Grundfläche ein regelmäßiges n-Eck.
Beim Netz einer Pyramide ist zu beachten, dass die Seitenkanten lang genug sind, d. h. dass eine
Spitze zustande kommt.
Die folgenden Formeln gelten auch für schiefe Pyramiden:
Volumen einer Pyramide: VPyramide = 1/3 · G · h (Grundfläche mal Höhe geteilt durch 3)
Oberflächeninhalt einer Pyramide (n-seitig): APyramide = Grundfläche + n · Seitenfläche
Oberflächeninhalt einer Pyramide (allgemein): APyramide = Grundfläche + Seitenflächen
Der (Kreis-)Kegel: Verbindet man jeden Punkt des Umfangs eines Kreises (Grundfläche) mit
einem Punkt (Spitze) außerhalb der Kreisebene durch Strecken (Mantellinien), so entsteht ein
Kreiskegel. Liegt die Spitze senkrecht über dem Kreismittelpunkt, so entsteht ein gerader
Kreiskegel.
Ein gerader Kreiskegel besitzt unendlich viele, gleich lange Mantellinien. Die Höhe des
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Kreiskegels ist die Lotstrecke von der (Kegel-)Spitze auf die Kreisebene durch den
Kreismittelpunkt M.
Man kann einen Kreiskegel auch als Pyramide mit einer Grundfläche mit unendlich vielen
Ecken betrachten.
Volumen eines Kreiskegels: VKegel = 1/3 · G · h = 1/3 · r²π · h (Grundfläche mal Höhe geteilt
durch 3)
Oberflächeninhalt eines geraden Kreiskegels: AKegel = Grundfläche + Mantelfläche = r²π + rπm
(m ist die Länge einer Mantellänge)
Gesetze der Raumgeometrie
− Der Euler’sche Polyedersatz: Ein Polyeder ist ein Vielflächner, z.B. ein Prisma oder eine
Pyramide. Für das Verhältnis der Anzahl von Kanten, Ecken und Flächen zueinander gilt der
Euler’sche Polyedersatz: Die Eckenanzahl e eines Polyeders und die Flächenanzahl f sind
zusammen um 2 größer als die Kantenzahl k; e + f = k + 2
− Cavalierisches Prinzip: Wenn zwei Körper auf eine gemeinsame Ebene gestellt werden und
von jeder Parallelebene in flächeninhaltsgleiche (nicht zwangsläufig formgleiche) Flächen
geschnitten werden, dann sind sie volumengleich.
Symmetrie
− Achsensymmetrie: Eine Figur, die man so falten kann, dass ihre beiden Teile genau
aufeinander passen, nennt man achsensymmetrisch. Die Faltlinie nennt man Symmetrieachse.
− Eigenschaften von achsensymmetrischen Figuren: Zwei zueinander symmetrische
Punkte/Geraden/Figuren sind gleich weit von der Symmetrieachse entfernt. Die
Symmetrieachse liegt in der Mitte von zwei zueinander symmetrischen Punkten. Die Hälfte des
Abstandes von zwei zueinander symmetrischen Punkten ist der Abstand der Punkte zur
Symmetrieachse. Die Verbindungsstrecke zweier symmetrischer Punkte wird von der
Symmetrieachse halbiert. Der Schnittpunkt dieser Verbindungsstrecke mit der Symmetrieachse
hat einen rechten Winkel. Symmetrisch liegende Strecken sind stets gleich lang. Symmetrisch
liegende Winkel sind stets gleich groß (Achtung: Drehsinn ist entgegengesetzt!). Symmetrisch
liegende Geraden schneiden einander auf der Symmetrieachse, wenn sie nicht parallel zu ihr
sind. Jeder Punkt auf der Symmetrieachse ist zu sich selbst symmetrisch, man nennt sie
Fixpunkte. Man nennt den zu A symmetrischen Punkt oft A' (A Strich), die zu g symmetrische
Gerade g'.
− Punktsymmetrie: Eine Figur, die bei einer Drehung um einen Punkt Z (Symmetriezentrum) mit
sich selbst zur Deckung kommt, nennt man punktsymmetrisch.
− Eigenschaften von punktsymmetrischen Figuren: Zueinander punktsymmetrische Strecken
sind gleich lang und zueinander parallel. Zueinander punktsymmetrische Winkel sind gleich
groß und haben den gleichen Drehsinn. Die Verbindungsstrecke zueinander symmetrischer
Punkte wird vom Symmetriezentrum halbiert.
− Zusammenhänge
zwischen symmetrischen Vierecken: Das Drachenviereck ist
diagonalsymmetrisch, das Parallelogramm punktsymmetrisch, das gleichschenklige Trapez
mittensymmetrisch.
Die Raute hat sowohl die Eigenschaften des Drachenviereckes als auch des Parallelogramms,
aber nicht die des gleichschenkligen Trapezes, es ist sowohl diagonalsymmetrisch als auch
punktsymmetrisch, aber nicht mittensymmetrisch..
Das Rechteck hat auch sowohl die Eigenschaften des Parallelogramms als auch des
gleichschenkliges Trapezes, aber nicht die des Drachenviereckes, es ist sowohl
punktsymmetrisch als auch mittensymmetrisch, aber nicht diagonalsymmetrisch.
Das Quadrat hat alle drei Eigenschaften, es ist sowohl diagonalsymmetrisch als auch
punktsymmetrisch als auch mittensymmetrisch.
26
Schrägbilder
− Definition: Betrachtet man einen Körper so mit parallelem Licht, dass die Lichtstrahlen schräg
auf die Zeichenebene auftreffen, so ist der Schatten ein Schrägbild des Körpers.
− Eigenschaften:
- Strecken, Flächen und Winkel, die parallel zur Zeichenebene liegen, werden in wahrer Größe
abgebildet.
- Strecken, die senkrecht zu Zeichenebene liegen, werden, im Allgemeinen verkürzt, schräg
abgebildet. D. h. sie sind alle unter demselben Verzerrungswinkel ω (kleines Omega) gegen die
Horizontale geneigt und im gleichen Verzerrungsverhältnis (Verzerrungsfaktor) q verkürzt oder
verlängert.
- Zueinander parallele Strecken des Körpers sind auch im Schrägbild zueinander parallel.
Besondere Dreiecke
− Gleichschenklige Dreiecke: Dreiecke mit einer Symmetrieachse heißen gleichschenklig.
Eigenschaften: Zwei Seiten sind gleich lang, man nennt sie Schenkel. Die der Basis (die Seite,
die nicht gleich lang ist wie eine andere Seite) anliegenden Winkel heißen Basiswinkel und sind
gleich groß. Die Symmetrieachse halbiert den Winkel an der Spitze (der Punkt, wo sich die
beiden Schenkel treffen) und halbiert die Basis rechtwinklig.
− Gleichseitige Dreiecke: Dreiecke, deren Seiten alle gleich lang sind, heißen gleichseitig.
Eigenschaften: Jeder Innenwinkel ist 60° groß. Jedes gleichseitige Dreieck besitzt drei
Symmetrieachsen, diese halbieren die Innenwinkel und halbieren die Dreiecksseiten
rechtwinklig.
− Rechtwinklige Dreiecke: Dreiecke, bei denen ein Innenwinkel 90° misst, heißen rechtwinklig.
Dabei nennt man die Seiten, die am rechten Winkel anliegen, Katheten, und die Seite, die dem
rechten Winkel gegenüberliegt, Hypotenuse. Eigenschaften von rechtwinkligen Dreiecken: Der
Scheitel des rechten Winkels (der Punkt, bei dem der Innenwinkel 90° misst) liegt auf dem
Kreis, der die Hypotenuse als Durchmesser hat. Wenn die Ecke C eines Dreiecks ABC auf dem
Kreis liegt, der die Seite [AB] als Durchmesser hat, dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig und
C der Scheitel des rechten Winkels.
Spezielle Geraden
− Mittelsenkrechte: Die Gerade, die senkrecht auf der Verbindungsstrecke zweier Punkte A und
B steht, heißt Mittelsenkrechte der beiden Punkte. Alle Punkte, die von den zwei Punkten A und
B gleich weit entfernt sind, liegen auf der Mittelsenkrechten ihrer Verbindungsstrecke. Die
Mittelsenkrechte nennt man auch Mittellot oder m[AB].
In einem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten stets alle im Punkt M, dem Mittelpunkt
des Umkreises des Dreiecks. Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der alle drei Ecken des
Dreiecks berührt. Die Ecken des Dreiecks sind vom Punkt M alle gleich weit entfernt (Radius).
Merkhilfe: Mittelsenkrechte – Umkreis
− Höhe: Eine Gerade, die durch einen Eckpunkt eines Dreiecks verläuft und die
gegenüberliegende Seite senkrecht schneidet, heißt Höhe h des Dreiecks. Jedes Dreieck ABC
besitzt somit drei Höhen hA, hB und hC. Sie schneiden einander im Höhenschnittpunkt H.
„Höhe“ kann sowohl eine Gerade als auch einen Strahl, eine Strecke oder eine Länge bedeuten.
− Winkelhalbierende: Eine Gerade, die durch einen Innenwinkel in einem Dreieck verläuft und
ihn halbiert, heißt Winkelhalbierende dieses Dreiecks. Jedes Dreieck besitzt somit drei
Winkelhalbierende wα, wβ und wγ.
Sie schneiden einander alle im Punkt W. Dieser Punkt ist gleichzeitig der Mittelpunkt des
Inkreises des Dreiecks. Der Inkreis eines Dreiecks berührt alle Dreiecksseiten in genau einem
Punkt, die Dreiecksseiten sind Tangenten des Inkreises. (-> Geraden am Kreis) Der Punkt W hat
27
−
von allen Dreiecksseiten den gleichen Abstand d (Radius).
„Winkelhalbierende“ kann sowohl eine Gerade als auch einen Strahl, eine Strecke oder eine
Länge bedeuten.
Merkhilfe: Winkelhalbierende – Inkreis
Geraden am Kreis: Für Geraden am Kreis gibt es spezielle Bezeichnungen und Eigenschaften:
- Passante: Eine Gerade, die einen Kreis nicht schneidet, heißt Passante.
- Sekante: Eine Gerade, die einen Kreis in zwei Punkten schneidet, heißt Sekante. Die
Verbindungsstrecke der beiden Schnittpunkte heißt Sehne.
- Tangente: Eine Gerade, die einen Kreis in genau einem Punkt berührt, heißt Tangente. Der
Punkt, den die Gerade und der Kreis gemeinsam haben, heißt Berührpunkt. Die Strecke [BM]
vom Berührpunkt B zum Mittelpunkt M des Kreises k heißt Berührradius und liegt senkrecht
auf der Tangente. Sie ist halb so lang wie der Durchmesser des Kreises.
Kongruenz und Ähnlichkeit
Kongruenz
− kongruent: Lassen sich zwei Figuren vollständig miteinander zur Deckung bringen, heißen sie
deckungsgleich oder zueinander kongruent.
− Kongruenzsätze: Haben zwei Dreiecke bestimmte Eigenschaften gleich, lässt sich sagen, dass
sie kongruent sind. Diese Gruppen von Eigenschaften nennt man Kongruenzsätze.
− Kongruenzsätze für Dreiecke: Zwei Dreiecke sind kongruent,
- SSS-Satz: wenn die Längen der drei Seiten übereinstimmen.
- SWS-Satz: wenn die Längen zweier Seiten und die Größe des Zwischenwinkels (der Winkel
am Scheitel der beiden übereinstimmenden Seiten) übereinstimmen.
- WSW-Satz: wenn die Länge einer Seite und die Größe beider anliegenden Seiten
übereinstimmen.
- SsW-Satz: wenn die Länge zweier Seiten und die Größe des der längeren Seite
gegenüberliegenden Winkels übereinstimmen.
- SWW-Satz: wenn die Länge einer Seite, die Größe des anliegenden und des
gegenüberliegenden Winkels übereinstimmen.
Ähnlichkeit
− ähnlich: Zwei Figuren (Originalfigur B und Bildfigur B') heißen zueinander ähnlich, wenn die
Bildfigur durch vergrößern bzw. durch verkleinern im Maßstab k (k ∈ Q+) der Originalfigur
entsteht; man schreibt B ~ B': „ähnlich“ bzw. B ≈ B': „kongruent“
Für zwei zueinander ähnliche Figuren gilt: 1. Einander entsprechende Winkel sind gleich groß;
2. Längenverhältnisse einander entsprechender Seiten sind stets gleich.
− Ähnlichkeitssätze: Haben zwei Dreiecke bestimmte Eigenschaften gleich, lässt sich sagen, dass
sie kongruent sind. Diese Gruppen von Eigenschaften nennt man Ähnlichkeitssätze.
− Ähnlichkeitssätze für Dreiecke: Zwei Dreiecke sind ähnlich,
- WW-Satz: wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. (vgl. Kongruenzsätze SWW, WSW)
- S:S:S-Satz: wenn sie im Verhältnis entsprechender Seiten übereinstimmen. (vgl. SSS)
- S:s:W-Satz: wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und dem der größeren Seite
gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen. (vgl. SsW)
- S:W:S-Satz: wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
übereinstimmen.
28
Geometrische „Sätze“
Strahlensätze
− Streckenverhältnisse: Zeichnet man ein beliebiges Dreieck, teilt eine der drei Seiten
(beispielsweise a) in beliebig (x) viele Teile, zieht von den Punkten, die die Seite in x Teile
teilen (es gibt also x solche Punkte; man nennt diese Punkte T (Teilpunkte)) jeweils eine
Halbgerade, die zu einer anderen Seite (beispielsweise b) parallel liegt, sodass sie die dritte
Seite (beispielsweise c) von dieser Halbgerade geschnitten wird. Dieser Schnittpunkt teilt c im
gleichen Verhältnis wie der zugehörige Punkt auf a. Kennt man also die Länge einer der Seiten,
so kann man sie in x Teile zerlegen und somit eine andere Seite im gleichen Verhältnis teilen.
− V-Figur:
−
Werden zwei Geraden g und h, die sich im Punkt S schneiden, von zwei Parallelen p 1 und p2
(die nicht durch S verlaufen) geschnitten, so gilt:
1. Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie die Entfernungen ihrer Endpunkte von S
auf g (oder h):
AB/A'B' = BS/B'S; AB/A'B' = AS/A'S
p1/p2 = x1/x;
p1/p2 = y1/y
2. Je zwei Abschnitte auf g verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf h:
SA/SA' = SB/SB'; SA/AA' = SB/BB'
y1/y = x1/x;
y1/y2 = x1/x2
X-Figur:
29
−
−
Werden zwei Geraden, die sich in S schneiden, von zwei Parallelen p 1 und p2 geschnitten (die
nicht durch S verlaufen), so gilt: (die X-Figur unterscheidet sich von der V-Figur, indem jeweils
eine der beiden Parallelen auf einer Seite von S liegt)
1. Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie die Entfernungen ihrer Endpunkte von S
auf g (oder h):
AB/A'B' = AS/SA' = BS/SB'
p1/p2
= y1/y2 = x1/x2
2. Je zwei Abschnitte auf g verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf h:
BS/SB' = AS/SA'
x1/x2 =
y1/y2
Achtung: x1/y2 =? y1/x2 => x1 ∙ x2 =? y1 ∙ y2 ist KEIN Strahlensatz. Es gilt nicht!
Aber: x1/y1 = x2/y2 => x1/x2 = y1/y2 ist ein Strahlensatz; gilt.
Praktische Anwendung der Strahlensätze: Strahlensätze werden oft angewandt, indem man
sich die v- bzw. x-Figur nur vorstellt. Ein gutes Beispiel ist ein Schrägdach: Kennt man die
Länge eines senkrechten Balkens, der das schräge Dach stützt, kann man die benötigte Länge
eines zweiten berechnen, wenn man weiß, an welcher Stelle es steht.
Umkehrung der Strahlensätze: Genauso wie man bei parallelen Geraden die Länge von
Strecken berechnen kann, kann man auch, wenn man die Länge von Strecken kennt,
herausfinden, ob sie parallel sind. Dabei setzt man die bekannten Werte in die Gleichungen der
Strahlensätze ein. Sind die Gleichungen wahr, so sind die Geraden parallel.
Die Satzgruppe des Pythagoras
Hierbei werden die drei Dreiecksseiten a, b und c (c ist die Hypotenuse) genannt, die Höhe auf der
Hypotenuse h genannt und die beiden Hypotenusenabschnitte, die durch die Höhe voneinander
getrennt sind, p und q genannt.
− Höhensatz: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe (d. h. h²)
flächengleich dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten. (d. h. es gilt: h² = p ∙ q)
Dadurch kann man ein Quadrat konstruieren, das die gleiche Größe wie ein Rechteck hat und
umgekehrt sowie Strecken in der Länge einer Quadratwurzel (z.B. √12 cm).
− Kathetensatz: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist jedes Kathetenquadrat flächengleich (mit)
dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt. (d. h. es gilt b²
= cq)
− Satz des Pythagoras (Hypotenusensatz): In jedem rechtwinkligen Dreieck haben die Quadrate
über den Katheten zusammen den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat über der Hypotenuse.
(d. h. es gilt a² + b² = c²)
− Umkehrung des Hypotenusensatzes: Wenn für die Längen a, b und c der drei Seiten eines
Dreiecks die Gleichung a² + b² = c² gilt, dann ist dieses Dreieck rechtwinklig.
− Anwendung der pythagoreischen Sätze:
1. Diagonale eines Quadrates (d ist die Diagonale, a ist eine Seite): d² = a² + a² = 2a²; d = ± a√2
(hierbei gilt normalerweise +, da es keine negativen Streckenlängen gibt)
2. Höhe und Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks (a ist eine Dreiecksseite, h ist die Höhe;
Wichtig: Die Höhe halbiert die Dreiecksseite, d. h. a/2 ist ein Hypotenusenabschnitt!): (a/2)² +
30
h² = a²; h² = a² – a²/4 = ¾ a²; h = a/2 ∙ √3; A = ½ a ∙ h = a²/4 ∙ √3
3. Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem: Sind beispielsweise die Punkte P (-2|1) und Q
(4|3) gegeben und möchte man ihren Abstand zueinander herausfinden, zeichnet man ein
rechtwinkliges Dreieck mit der Strecke [PQ] als Hypotenuse. Durch die beiden Katheten (eine
waagrechte und eine senkrechte) kann man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Hypotenuse
– also den Abstand – ausrechnen.
4. Raumdiagonale eines Quaders (d ist die Raumdiagonale; d1 ist die Diagonale der
Grundfläche; a und b sind die Längen der rechteckigen Grundfläche; c ist die Höhe des
Quaders): d1² = a² + b²; d² = d1² + c² = a² + b² + c²; d = √(a² + b² + c²) (für Würfel gilt: d = a√3)
Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
Hierbei werden die drei Dreiecksseiten a, b und c (c ist die Hypotenuse; a und b sind die Katheten)
des rechtwinkligen Dreiecks ABC genannt, ihre Winkel heißen α, β bzw. γ; γ = 90°
− Tangens: Zu jedem Steigungswinkel α gehört genau eine Steigung m. α und m sind jedoch
nicht proportional! Man nennt die zu einem Steigungswinkel α gehörende Steigung m den
Tangens von α; m = tan(α)
Definition: Tangens eines Winkels = (Länge der Gegenkathete des Winkels)/(Länge der
Ankathete des Winkels)
Kennt man zwei der drei Größen, kann man die dritte ausrechnen. Beispiele:
tan(30°) = (5 cm)/x => x = (5 cm)/[tan(30°)] => Somit kann die Länge der Gegenkathete eines
bekannten Winkels berechnet werden.
tan(30°) = x/(10 cm) => x = tan(30°) ∙ 10 cm => Somit kann die Länge der Ankathete eines
bekannten Winkels berechnet werden.
tan(α) = (5 cm)/(10 cm) => tan(α) = ½ => α = tan-1(½) => Somit kann die Größe eines Winkels
zwischen zwei bekannten Katheten berechnet werden.
− Sinus: Der Sinus eines Winkels ist gleich der Länge der Gegenkathete geteilt durch die Länge
der Hypotenuse. Der Sinus des Winkels α im Dreieck ABC ist also: sin(α) = a/c; der Sinus des
Winkels β im Dreieck ABC ist: sin(β) = b/c
− Kosinus: Der Kosinus eines Winkels ist gleich der Länge der Ankathete geteilt durch die Länge
der Hypotenuse. Der Kosinus des Winkels α im Dreieck ABC ist also: cos(α) = b/c; der Kosinus
des Winkels β im Dreieck ABC ist: cos(β) = a/c
− Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens:
1. Komplementärformeln: Sehen wir zurück auf Sinus und Kosinus. sin(α) = a/c; cos(β) = a/c;
daher: sin(α) = cos(β) bzw. sin(β) = cos(α); außerdem gilt in jedem Dreieck: α + β + γ =
180°; da γ = 90°, gilt: α + β + 90° = 180° => α + β = 90° => α = 90° - β; β = 90° - α; Somit
gilt durch Zusammenfassen der beiden Zusammenhänge: sin(α) = cos(90° - α) und cos(α) =
sin(90° - α)
2. Aus sin(α) = a/c und cos(α) = b/c ergibt sich: sin(α)/cos(α) = a/b; außerdem gilt: tan(α) =
a/b; das heißt: tan(α) = sin(α)/cos(α)
3.
31
Das dargestellte Dreieck hat die Hypotenusenlänge 1 (hellblaue Strecke); sin(α) =
Gegenkathete / Hypotenuse = grüne Strecke / 1; Deshalb hat die Gegenkathete von α die
Länge sin(α) und die Ankathete die Länge cos(α). (weil cos(α) = Ankathete / Hypotenuse =
cos(α) / 1)
Die rote Strecke hat die Länge tan(α), da tan(α) = Gegenkathete / Ankathete = tan(α) / 1; (da
der Radius ist im ganzen Kreis gleich ist, nämlich 1)
Aus dem Dreieck ergibt sich der trigonometrische Pythagoras: [cos(α)]² + [sin(α)]² = 1;
Außerdem lässt sich die die obige Formel (unter Punkt 2) beweisen. Durch Strahlensätze
erhält man aus der obigen Figur: sin(α) / tan(α) = cos(α) / 1; durch Umformen: sin(α) /
cos(α) = tan(α)
4. Für Sinus, Kosinus und Tangens kann man sich spezielle Werte merken:
sin(0°) = 0; sin(90°) = 1; cos(0°) = 1; cos(90°) = 0; tan(0°) = 0; tan(45°) = 1
5. Merkhilfe für spezielle Werte:
α
0°
30°
45°
60°
90°
sin(α)
0
½
½ √2
½ √3
1
Merkhilfe für
sin(α); für
cos(α)
umgekehrt
½ √0
½ √1
½ √2
½ √3
½ √4
cos(α)
1
½ √3
½ √2
½
0
tan(α)
0
½ √3
1
√3
nicht definiert
Größen
Geometrische Einheiten
− Strecke: 1 km = 1000 m; 1 m = 10 dm; 1 dm = 10 cm; 1 m = 100 cm; 1 cm = 10 mm
− Flächeninhalt: 1 km² = 100 ha = 10000 a = 1000000 m² = 100000000 dm² = 10000000000
cm²; 0,01 km² = 1 ha = 100 a = 10000 m² usw; Zusammenfassung: Bei der Umrechnung von
einer Flächeneinheit in die nächst kleinere/größere, d. h. die Einheit, die bei Strecken um das
Zehnfache kleiner/größer ist, muss das Komma um zwei Stellen nach rechts / um zwei Stellen
nach links verschoben werden.
− Volumen: 1 km³ = 1 000 000 000 m³; 1 m³ = 1000 dm³; 1 dm³ = 1000 cm³; 1 cm³ = 1000 mm³;
Zusammenfassung: Bei der Umrechnung von einer Volumeneinheit in die nächst
kleinere/größere, d. h. die Einheit, die bei Strecken um das Zehnfache kleiner/größer ist, muss
das Komma um drei Stellen nach rechts / um drei Stellen nach links verschoben werden.
Weitere Volumeneinheiten: 1 hl (Hektoliter) = 100 l; 1 ml (Milliliter) = 1/1000 l
32
−
−
Zeit: Jahr (a?), Tag (d), Stunde (h), Minute (min), Sekunde (sek)
Masse: Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg); 1 t = 1000 kg = 1000000 g =
1000000000 mg; 1 g = 1000 mg
Maßstab
− Aufbau: a:b; Dabei steht a für das Modell und b für die Wirklichkeit. Meistens ist eins von
beiden 1.
− Verkleinerung: Ist a < b, also das Modell kleiner als die Wirklichkeit, handelt es sich um eine
Verkleinerung. (Beispiel: Landkarten, Modellbau)
− Vergrößerung: Ist a > b, also das Modell größer als die Wirklichkeit, handelt es sich um eine
Vergrößerung. (Beispiel: Mikroskop)
− Umrechnungen:
1. Kennt man den Maßstab und einen Wert des Modells, so kann man den Wert in der
Wirklichkeit dazu anderen ausrechnen, indem man den Wert des Modells mit (b:a) multipliziert.
Beispiel: Landkarte mit Maßstab 1 : 200 000; Wie viel entspricht 1 cm im Bild? - 1cm · 200 000
: 1 = 1 cm · 200 000 = 200 000cm = 2km
2. Kennt man den Maßstab und einen Wert in der Wirklichkeit, so kann man den Wert des
Modells dazu ausrechnen, indem man den Wert der Wirklichkeit mit (a:b) multipliziert.
Beispiel: Landkarte mit Maßstab 1 : 25 000; Wie viel entspricht 3 km in der Wirklichkeit? - 3
km · 1:25000 = 300000 cm : 25000 = 12 cm
3. Kennt man einen Wert aus dem Modell und den zugehörigen Wert aus der Wirklichkeit, kann
man den Maßstab ausrechnen, indem man den Wert aus dem Modell in den Zähler und den Wert
aus der Wirklichkeit in den Nenner schreibt und den kleineren der beiden Werte auf null bringt.
Beide Werte müssen auf die gleiche Einheit gebracht werden, dann wird die Einheit
weggelassen. Beispiel: 22 cm im Bild entsprechen 121 m in Wirklichkeit. 22 cm : 12100 cm = 1
cm : 550 cm => 1 : 550
33
4. Darstellung, Kombinatorik und Beziehungen zwischen Größen
Darstellung
Diagramme
− Wichtige Arten von Diagrammen: Säulendiagramm, Bilddiagramm, Balkendiagramm, Strichoder Liniendiagramm (Punktdiagramm), Kreisdiagramm,
Streifen-/Blockdiagramm,
Vierfeldertafel
− Kreisdiagramm: Um ein Kreisdiagramm zu zeichnen, muss man die Mittelpunktswinkel der
Sektoren kennen. Diese findet man heraus, indem man den Vollwinkel (360°) als 100% schreibt
und den Anteil der Sektoren am Ganzen (Prozent) kennt. Beispiel: Ein Sektor soll 27% groß
sein. Wie groß muss der Mittelpunktswinkel α sein? Lösung: 360° ≘ 100% => α = 360° ·
27/100 = 97,2°. Somit lässt sich auch die Größe der Sektoren in Prozent ausrechnen.
− Streifen-/Blockdiagramm: Hierbei muss man ähnlich vorgehen wie bei einem Kreisdiagramm,
man muss jedoch anstatt 360° die Länge des Streifens schreiben. Beispiel: Ein Sektor soll 27%
groß sein. Wie lang muss er sein (Länge x), wenn das Blockdiagramm die Länge 10cm hat?
Lösung: 10cm ≘ 100% => x = 10cm · 27/100 = 2,7cm. Somit lässt sich auch die Größe der
Sektoren in Prozent sowie die Gesamtlänge des Blockdiagramms ausrechnen.
− Irreführende Diagramme: Beim Lesen von Diagrammen muss sehr gut aufgepasst werden,
wenn die y-Achse nicht bei Null beginnt. Das Diagramm suggeriert sonst größere Unterschiede
zwischen den Werten.
Das zweidimensionale Koordinatensystem
− Die Achsen: Es gibt die waagrechte Achse, die x-Achse, und die senkrechte Achse, die y-Achse.
Der Schnittpunkt der beiden Geraden heißt Ursprung O.
− Definition eines Punktes: Ein Punkt im Koordinatensystem wird durch die x-Koordinate
(Abszisse) und die y-Koordinate (Ordinate) beschrieben. Man schreibt P(3|2), wenn der Punkt
vom Ursprung O (0|0) 3 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben verschoben ist.
− Quadranten: Ein Koordinatensystem hat 4 Quadranten. Als 1. Quadranten bezeichnet man den
Quadranten rechts oben. Als 2. Quadranten bezeichnet man den Quadranten links oben. Als 3.
Quadranten bezeichnet man den Quadranten rechts unten. Als 4. Quadranten bezeichnet man
den Quadranten rechts unten.
Darstellung von Termen
− Rechenbaum: Terme kann man in Rechenbäumen darstellen.
− Vereinbarung: Zwischen Klammer und Klammer, Zahl und Klammer, Klammer und Zahl, Zahl
und Buchstabe, Buchstabe und Zahl, Buchstabe und Buchstabe, Buchstabe und Klammer,
Klammer und Buchstabe können Multiplikationspunkte (·) weggelassen werden. Mit Zahl sind
auch Brüche und Dezimalzahlen gemeint.
Kombinatorik
Permutation
− Allgemein: Möchte man die Anzahl der Möglichkeiten herausfinden, in welcher Reihenfolge
man bestimmte Dinge anordnen kann, kann man ein Baumdiagramm zeichnen. Dabei muss man
beachten, ob Dinge wiederholt werden können oder nur einmal vorkommen dürfen.
− Ohne Wiederholung: Möchte man zum Beispiel ausrechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt,
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−
fünf Personen in einer Reihe aufzustellen, gibt es keine Wiederholung. Man muss also rechnen:
Am Anfang hat man die Auswahl zwischen fünf Personen. 5. Danach hat man die Auswahl
zwischen nur noch vier Personen. 5 · 4. Dann gibt es nur noch 3 Personen zur Auswahl: 5 · 4 · 3.
Dann nur noch zwei und am Ende bleibt nur eine Person übrig: 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5! (Fakultät) =
120.
Mit Wiederholung: Möchte man zum Beispiel ausrechnen, wie viele Möglichkeiten es für eine
vierstellige Pin gibt (Zahlen 0 bis 9, also jeweils 10 Möglichkeiten), muss man die Anzahl der
Möglichkeiten hoch die Anzahl der Stellen rechnen: 104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10000
Zufallsexperimente und relative Häufigkeit
− Zufallsexperiment: Zufallsexperimente sind Vorgänge, deren Ergebnis zufällig, also nicht
vorhersehbar, ist. Alle Möglichen Ergebnisse kann man meistens in eine Menge
zusammenfassen: Eine Münze wird zweimal geworfen. Ergebnismenge: {AA, AZ, ZA, ZZ}
− Absolute Häufigkeit: Die absolute Häufigkeit eines Versuchsergebnisses ist die Anzahl, wie oft
es aufgetreten ist.
− Relative Häufigkeit: Die relative Häufigkeit ist die absolute Häufigkeit k im Verhältnis zur
Gesamtanzahl n der Durchführungen des Zufallsexperimentes. Relative Häufigkeit = k/n;
Beispiel: Ein Würfel wird 50-mal geworfen. Die Augenzahl 4 wird neunmal geworfen. Die
absolute Häufigkeit der Augenzahl 4 ist 9. Ihre relative Häufigkeit ist 9/50.
− Gesetz der großen Zahlen: Führt man ein Zufallsexperiment sehr oft durch, so ändert sich die
relative Häufigkeit des Ereignisses E, so ändert sich die Häufigkeit kaum noch, sie „stabilisiert“
sich, d.h. sie schwankt um eine feste Zahl.
− Ergebnismenge: Als Ergebnismenge (auch Ergebnisraum) Ω bezeichnet man die Menge aller
möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments (ZE). Die einzelnen Elemente bezeichnet man
mit ω1; ω2 („omega 1; omega 2“) (nicht: „w“)
− Ereignismenge: A ist eine Teilmenge von Ω, wenn jedes Element von A auch in Ω enthalten ist.
Man schreibt A ⊂ Ω; Ω ⊃ A
Achtung: {} ⊂ Ω; Ω ⊂ Ω
− Ereignis: Als Ereignis bezeichnet man jede Teilmenge A der Ergebnismenge Ω. Man sagt, das
Ereignis A ist eingetreten, wenn sich bei einer Durchführung des Zufallsexperimentes ein
Ereignis aus A ereignet.
− Gegenereignis: Das Gegenereignis A zum Ereignis A besteht aus den Ereignissen von Ω, die
nicht in A enthalten sind („A quer“, „A nicht“)
− Wahrscheinlichkeit: (siehe auch Gesetz der großen Zahlen (oben)) Die feste Zahl, um die die
Häufigkeit des Ereignisses E schwankt, wenn ein Zufallsexperiment sehr oft durchgeführt wird,
wird als Wahrscheinlichkeit P(E) bezeichnet. („probability“)
Die Wahrscheinlichkeit P(1) eines Ereignisses ist eine Zahl zwischen 0 und 1. 0 ∈ P(A) ≤ 1
− Laplace-Experiment: Zufallsexperimente, bei denen alle möglichen Ergebnisse gleich
wahrscheinlich sind, heißen „Laplace-Experimente“. Hat ein Laplace-Experiment n mögliche
Ergebnisse ω1, ..., ωn, so beträgt die Wahrscheinlichkeit für jedes Einzelergebnis P(ωi) = 1/n
− Laplace-Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A erhält man,
indem man die Anzahl der günstigen (= gewünschten) Ergebnisse |A| durch die Anzahl der
möglichen (= aller Ergebnisse |Ω|) dividiert. P(A) = |A| / | Ω| („Mächtigkeit von A( Ω)“)
− Zählprinzip: siehe Kombinatorik – Permutation
Mehrstufige Zufallsexperimente
− Definition: Zufallsexperimente, bei denen mehrere Teilexperimente nacheinander ausgeführt
werden, bezeichnet man als zusammengesetzte oder mehrstufige Zufallsexperimente. Man kann
es als Baumdiagramm darstellen. Zu jedem möglichen Ablauf des Zufallsexperiments gehört ein
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−
−
Weg durch das Baumdiagramm, ein sogenannter Pfad.
Pfadregeln:
1. Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der
Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades.
2. Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der
Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören.
Der Summenwert der Wahrscheinlichkeiten auf allen Teilpfaden, die von einem
Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets 1 (= 100%).
Simulation von Zufallsexperimenten: Um sich Zufallsexperimente vorstellen zu können, gibt
es Methoden, um sie zu simulieren:
1. Das Urnenmodell: Bei einem Urnenexperiment verwendet man verschiedenfarbige, aber
sonst nicht unterscheidbare Kugeln. Das Experiment besteht darin, dass man n-mal
nacheinander je eine Kugel „blind“ zieht und die Farbe notiert. Dabei unterscheidet man
zwei Möglichkeiten:
- Ziehen mit Zurücklegen: Es wird jeweils eine Kugel gezogen und nach dem Notieren ihrer
Farbe wieder in die Urne zurückgelegt. Die Zusammensetzung des Urneninhalts ändert sich
nicht. Diese Möglichkeit verwendet man, wenn nach einem Teilexperiment das Ergebnis
auch für weitere Teilexperimente zur Verfügung stehen soll, zum Beispiel bei
Zahlenkombinationen, bei der eine Ziffer öfters vorkommen kann.
- Ziehen ohne Zurücklegen: Es wird jeweils eine Kugel gezogen und nach dem Notieren
ihrer Farbe nicht wieder in die Urne zurückgelegt. Die Zusammensetzung des Urneninhalts
ändert sich bei jedem Zug. Diese Möglichkeit verwendet man, wenn nach einem
Teilexperiment das Ergebnis nicht mehr zur Verfügung stehen soll, zum Beispiel bei der
Anordnung von Personen in eine Reihe, da es jede Person nur einmal gibt.
Zum Urnenmodell kann man auch zur besseren Vorstellung ein Baumdiagramm zeichnen.
Dabei kann man die Ergebnisse aus der Ergebnismenge jeweils als Kugeln zeichnen, in
verschiedenen Farben.
Beispiel (Ziehen mit Zurücklegen): Ein Multiple-Choice-Test wird durchgeführt. Er
beinhaltet drei Fragen mit jeweils drei Antwortmöglichkeiten, nur jeweils eine Antwort ist
richtig. Der Test ist bestanden, wenn man mindestens zwei richtige Antworten gegeben hat.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man den Test besteht? (vorausgesetzt man rät die
Antworten)
Lösung: Jede Antwort wird durch eine Kugel dargestellt: Eine weiße Kugel (richtige
Antwort), zwei schwarze Kugeln (falsche Antworten); Nachspielen des Tests: Nacheinander
werden drei Kugeln gezogen, wobei die gezogene Kugeln jeweils wieder in die Urne
zurückgelegt wird. Baumdiagramm:
(best. = bestanden; n.b. = nicht bestanden)
Somit kann man die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse ausrechnen, die bestanden haben,
und addiert sie: (von links an) 1/3 · 1/3 · 1/3 + 1/3 ·2/3 · 1/3 + 2/3 · 1/3 · 1/3 = 7/27 ≈ 26%
Beim Ziehen ohne Zurücklegen schreibt man im Baumdiagramm neben die Pfeile auch
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jeweils die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. Gibt es z. B. fünf schwarze Kugeln und drei
weiße und wird das Experiment vier Mal durchgeführt, sieht das Baumdiagramm
folgendermaßen aus:
Die Wahrscheinlichkeit der jeweiligen Ereignisse kann berechnet werden.
2. Zufallszahlen (Monte-Carlo-Methode): Eine Zufallszahl ist eine zufällig erzeugte Zahl. Eine
Zufallszahlenliste kann zum Beispiel mit einem Tabellenkalkulationsprogramm erzeugt
werden. Ín einer Zufallsliste soll die relative Häufigkeit aller Ziffern sowie aller Ziffernpaare
(bzw. auch Ziffernfolgen) ungefähr gleich sein. Aus der Zufallszahlenliste kann man nun
zufällige Zahlen, Zahlenpaare und Zahlenfolgen nehmen, um Zufallsexperimente zu
simulieren. Beispielsweise kann man auch so die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei
einem Würfelwurf bestimmen, indem man in der Zufallszahlenliste zählt, wie viele Ziffern
1-6 vorhanden sind (d. h. man zählt 7-9 sowie 0 nicht mit) und dann, wie viele Einsen,
Zweien usw. vorhanden sind. Bei diesem einfachen Beispiel lohnt sich die Methode nicht,
da sie ungenau ist, jedoch kann sie bei komplexeren Zufallsexperimenten nützlich sein, zum
Beispiel, wenn man Koordinaten in ein Koordinatensystem zeichnen, deren Koordinaten im
Bereich [0; 9] liegen. Dazu wird immer ein Zahlenpaar genommen.
Jedoch ist diese Methode nicht genau!
Darstellung
Ergebnisse von Zufallsexperimenten können in Strichlisten, Tabellen und Diagrammen (siehe
Darstellung – Diagramme) ausgewertet werden.
Statistik
− statistische Erhebung: Aus der Grundgesamtheit (Population) werden Stichproben genommen,
mit dem Ziel, Informationen (Daten) über die Gesamtheit zu gewinnen. Jede
Beobachtungseinheit (z. B. Schüler) besitzt verschiedene Merkmale (z. B. Haarfarbe), die
wiederum verschiedene Merkmalausprägungen haben können (z. B. rot). Merkmale können
qualitativ (z. B. Haarfarbe), quantitativ (z. B. Temperatur) oder ordninal (z. B. Zustand) sein.
Stichproben sollten immer möglichst repräsentativ (= typisch für die Population) sein. Unter
anderem weil Stichproben oft nicht representativ sind, müssen wir bei der Interpretation von
Daten aus Stichproben sehr aufpassen, da sehr leicht falsche Schlussfolgerungen gezogen
werden.
− arithmetisches Mittel = (Summe aller Einzelwerte) : (Anzahl aller Einzelwerte); Beispiel: Was
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ist der Durchschnitt von den Körpergrößen 1,52 m, 1,70 m und 1,78 m? Lösung: (1,52 m + 1,7
m + 1,78 m) : 3 = 5 m : 3 = 1 2/3 m ≈ 1,66 m.
Beziehungen zwischen Größen
Prozentrechnung
− Allgemein: Ein Anteil von einer Größe ist ein Teil der Größe. Dabei gilt: Ursprünglicher Wert ·
Faktor = Neuer Wert. In diesem Fall ist die Größe der ursprüngliche Wert, der Anteil der Faktor
und der Teil der Größe der neue Wert. Diese Formel lässt sich umformen und sich somit sowohl
der Teil als auch die ganze Größe als auch der Anteil berechnen. Oft wird auch geschrieben: AW
(Alter Wert) · F (Faktor) = NW (Neuer Wert)
− Prozentrechnung: Oft muss man – z. B. bei der Zinsrechnung – den zugehörigen Wert einer
Prozentanzahl eines Grundwertes berechnen. Auch hier gilt die Formel AW · F = NW; Dabei ist
AW der Grundwert bzw. ursprüngliche Wert, F der Prozentsatz bzw. Anteil und NW der
Prozentwert. Beispiel: Wie viel sind 40% von 360? AW · F = NW => 360 ≘ 40% = NW => NW
= 144; Somit lässt sich durch Umformen der Formel auch der Prozentsatz und der Grundwert
berechnen.
− Wachstums- und Abnahmefaktor: Wird der Grundwert um p geändert, so ändert er sich auf 1
± p. Erhöht sich der Grundwert, gilt 1 + p. 1 + p heißt Wachstumsfaktor. Vermindert sich der
Grundwert, gilt 1 – p. 1 – p heißt Abnahmefaktor. Beispiel: Welchem Wachstumsfaktor
entspricht eine Steigerung von 15,2 %? Lösung: 15,2 % = 0,152; 1 + p = 1 + 0,152 = 1,152.
Dreisatz
− Proportionalität: Im Alltag findet man häufig folgenden Zusammenhang zwischen zwei
Größen: Zum Doppelten, Dreifachen, Vierfachen, ... einer Größe gehört das Doppelte,
Dreifache, Vierfache, ... einer anderen Größe. Ein dazugehöriges Liniendiagramm zeigt eine
Halbgerade durch den Ursprung. Beispiel: Der Preis für 30g Gummibärchen ist 60ct. Der Preis
für 60g ist also 120ct, für 90g 180ct usw. Siehe auch Beziehungen zwischen Größen –
Funktionale Zusammenhänge – Direkte Proportionalität.
− Dreisatz: Besteht ein solcher Zusammenhang zwischen zwei Größen, lässt sich mit Hilfe des
Dreisatzes von einer Vielfachheit auf eine andere schließen. Beispiel: 30g Gummibärchen
kosten 60ct. Wie viel kosten 200g? Lösung:
1. Schritt: Gegebenes und zusammengehöriges Paar hinschreiben: 30g ≘ 60ct
2. Schritt: „Schluss auf die Einheit“: 1g ≘ (60/30)ct = 2ct
3. Schritt: „Schluss auf die Vielfachheit“: 200g ≘ 2ct · 200 = 400ct
Funktionale Zusammenhänge
− Direkte Proportionalität: Wenn sich bei der Multiplikation von x mit dem Faktor m auch eine
andere Größe y um m vervielfacht (zum Beispiel beim Benzinpreis: Wenn sich die
Benzinmenge verdoppelt, verdoppelt sich auch der Preis, vorausgesetzt es gibt keine
„Grundgebühr“), heißen die beiden Größen x und y zueinander (direkt) proportional. Das heißt,
dem k-fachen von x entspricht dem k-fachen von y. Dargestellt in einem Koordinatensystem
ergeben sie eine Ursprungsgerade (eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft). Siehe auch
Rechnen mit Termen – Funktion und Term – Funktionen der direkten Proportionalität
− Indirekte Proportionalität: Wenn sich bei der Multiplikation von x mit dem Faktor m eine
andere Größe y durch m teilt (zum Beispiel bei Qualität und Leistung: Wenn sich die Leistung
verdoppelt, halbiert sich die Qualität), heißen die beiden Größen x und y zueinander umgekehrt/
indirekt proportional. Das Produkt zweier zueinander indirekt proportionaler Größen hat stets
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den gleichen (konstanten) Wert. Dargestellt in einem Koordinatensystem ergeben zwei indirekt
proportionale Größen eine Hyperbel.
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