Seminarvortrag: Der Satz von Ehrhart Gliederung

Seminarvortrag:
Der Satz von Ehrhart
Gliederung
1. Wiederholung
• Was ist ein Simplex?
• Der Satz von Ehrhart
2. Einführung zum Beweis
3. Beweis des Satzes
• Beweis für ein Simplex
• Beweis für ein Polytop
1
Was ist ein Simplex?
Definition:
Eine Teilmenge Q ⊂ V heißt Polytop, wenn es endlich viele Punkte
p0, . . . , pN ∈ V gibt, so dass Q = Kon(p0, . . . , pN) gilt.
Spezialfall:
Eine Teilmenge S ⊂ V heißt k -Simplex, wenn es affin linear unabhängige
Punkte p0,. . . , pk ∈ V gibt, so dass
S = Kon (p0, . . . , pk) gilt.
Im Zweidimensionalen:
Im Dreidimensionalen:
2
Volumenbestimmung von Gitterpolytopen
Definition:
Gitterpolytope sind Polytope, deren Ecken ganzzahlige Koordinaten aufweisen.
Ziel:
Bestimmung des Volumens des Gitterpolytops aus der Anzahl der ganzzahligen
Punkte im Polytop.
Im Zweidimensionalen:
• Pick´sche Formel:
2
2
A (∆) = # (∆ ∩ Ζ ) - ½ # (∂ ∆ ∩ Ζ ) - 1
Der Satz von Ehrhart:
Sei ∆ ein n-dimensionales Gitterpolytop in Ζn.
Dann gibt es ein eindeutiges Polynom E∆ (das Ehrhart Polynom) mit
Koeffizienten in Q, mit folgenden Eigenschaften:
n
a) Für alle ganzen Zahlen t ≥ 0 gilt: E∆ (t) = # (t ∆ ∩ Ζ )
b) Der führende Koeffizient von E∆ ist das Volumen von ∆.
c) Das Polynom E∆ (t) ist vom Grad n.
3
Ein einfaches Beispiel im Zweidimensionalen
2
Gesucht:
E∆ (t) := # (t ∆ ∩ Ζ )
1·∆
2·∆
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
0
1
2
3
4
0
3·∆
1
2
3
4
2
3
4
4·∆
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
0
1
2
3
4
0
1
(t + 1)(t + 2)  t + 2  1 2 3
 = t + t + 1
= 
E∆ (t) = ∑ k =
2
2
2
k =1

 2
t +1
4
Ein weiteres Beispiel
Im Zweidimensionalen:
6
5
4
4
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
1
0
∆
2
3
0
1
2
2·∆
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3·∆
5
Ein weiteres Beispiel
Im Zweidimensionalen:
6
5
4
4
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
0
1
∆
2
3
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2·∆
2
3
4
5
6
7
8
9
3·∆
Anzahl der roten Gitterpunkte des Gitterpolytops t·∆:
t +1
∑k =
k =1
(t + 1)(t + 2)  t + 2 

= 
2
 2 
6
Ein weiteres Beispiel
Im Zweidimensionalen:
6
5
4
4
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
0
1
∆
2
3
0
1
2
3
4
5
6
0
2·∆
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3·∆
Anzahl der gelben Gitterpunkte des Gitterpolytops t·∆:
t
∑k =
k =1
t ⋅ (t + 1)  t + 1

= 
2
 2 
7
Ein weiteres Beispiel
Im Zweidimensionalen:
6
5
4
4
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
0
1
∆
2
3
0
1
2
3
4
5
6
0
2·∆
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3·∆
Anzahl der grünen Gitterpunkte des Gitterpolytops t·∆:
t
∑k =
k =1
t ⋅ (t + 1)  t + 1

= 
2
 2 
8
Ein weiteres Beispiel
Im Zweidimensionalen:
6
5
4
4
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
0
1
∆
2
3
0
1
2
3
4
5
6
0
2·∆
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3·∆
Anzahl der blauen Gitterpunkte des Gitterpolytops t·∆:
(t − 1) ⋅ t  t 
k=
=  
∑
2
k =1
 2
t −1
9
6
5
4
4
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
0
1
2
0
3
1
2
3
4
5
2·∆
∆
6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3·∆
Anzahl aller Gitterpunkte des Gitterpolytops t·∆:
rote
gelbe grüne blaue
 t + 2   t + 1  t + 1  t 

 + 
 + 
 +   =
2
2
2

 
 
  2
t + 2
 t + 1
t 
 + 2 ⋅ 
 + 1 ⋅  
1⋅ 
 2 
 2 
 2
Allgemein:
t + n
 t + n − 1
t + n − 2
t 
 + a1 ⋅ 
 + a2 ⋅ 
 + .... + an ⋅  
E∆ (t) = a0 ⋅ 
 n 
 n 
 n 
n
10
Der Beweis des Satzes von Ehrhart
Der Satz von Ehrhart:
n
Sei ∆ ein n-dimensionales Gitterpolytop in Ζ .
Dann gibt es ein eindeutiges Polynom E∆ (das Ehrhart Polynom)
mit Koeffizienten in Q, mit folgenden Eigenschaften:
n
a) Für alle ganzen Zahlen t ≥ 0 gilt:
E∆ (t) = # (t ∆ ∩ Ζ )
b) Der führende Koeffizient von E∆ ist das Volumen von ∆.
c) Das Polynom E∆ (t) ist vom Grad n.
Beweis:
n
Das Gitter Ζ werde von den Einheitsvektoren e1,…, en erzeugt.
n+1
Das Gitter Ζ
werde von den Einheitsvektoren e0, e1, …, en erzeugt.
Seien u0, u1,…, un die Eckpunkte des Simplexes σ
n
n+1
Ζ
Ζ
Betrachte das Simplex σ := e0 + σ mit Eckpunkten vi = e0 + ui für 0 ≤ i ≤ n.
n+1
Die Vektoren v0, v1,…,vn erzeugen ein Untergitter M von Ζ
(
Das Untergitter M habe den Rang h. d.h. card Z
n +1
.
)
/M = h
Die Vektoren v0, v1,…, vn erzeugen ein Parallelotop π.
π ist die Grundmasche des Untergitters M.
Es gilt:
Vol ( π ) = h
11
Sei die Menge T ein vollständiges Repräsentantensystem von Z
mit Elementen x
n +1
M
π
n
d.h. x =
∑µ
i
⋅vi
i =0
mit 0 ≤ µi < 1
i = 0, 1,…,n
t·σ bezeichne das Simplex mit den Eckpunkten t·vo, t·v1,…, t·vn.
Jeder Punkt y
t·σ ist kongruent modulo M zu genau einem Punkt x
T.
d.h. es gilt:
n
y = x + ∑mi ⋅vi
i =0
mit geeigneten ganzen Zahlen m i ≥ 0
12