Mathematik üben mit Erfolg - 5. Schuljahr Gymnasium

Inhalt
A
Rechnen mit natürlichen Zahlen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
B
Körper
Flächen und Körper darstellen
Punkte und Figuren im Koordinatensystem
Senkrechte und parallele Geraden
Abstände
Achsen- und Punktsymmetrie
Besondere Vierecke
Kreise
Winkel
Test: Geometrie
27
29
32
33
34
35
37
39
41
43
Flächen- und Rauminhalte
1
2
3
4
5
3042_Buch.indb 4
6
8
9
10
12
14
16
17
18
21
22
24
25
Figuren und Körper
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
Zählen und kombinieren
Große Zahlen
Runden
Addieren und Subtrahieren
Multiplizieren und Dividieren
Rechenregeln
Potenzen
Rechenausdrücke und Variablen
Teiler, Vielfache und Primzahlen
Die römische Zahlschreibweise
Das Zweiersystem
Rechnen mit und ohne Hilfsmittel
Keine Angst vor Textaufgaben
Einheiten des Flächeninhalts
Flächeninhalt und Umfang von Rechtecken
Dreieck und Parallelogramm
Einheiten des Rauminhalts
Raum- und Oberflächeninhalt beim Quader
44
45
47
48
49
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D
Bruchteile und Bruchzahlen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
E
Größen
Multiplikation und Division von Größen
Vermischte Aufgaben zum Sachrechnen
Urlisten und Häufigkeitstabellen
Diagramme
Kennwerte einer Häufigkeitsverteilung
70
72
75
Ganze Zahlen
1
2
3
4
5
6
7
Ganze Zahlen
Der Betrag einer ganzen Zahl
Ganze Zahlen addieren und subtrahieren
Klammern einsparen
Rechenregeln und Rechenvorteile
Ganze Zahlen multiplizieren und dividieren
Test: Ganze Zahlen
Lösungen
3042_Buch.indb 5
63
66
68
Statistisches
1
2
3
G
51
54
56
57
58
59
60
61
62
Sachrechnen
1
2
3
F
Bruchteile
Bruchteile von Größen
Kürzen und Erweitern von Brüchen
Brüche als Quotienten natürlicher Zahlen
Brüche und Dezimalbrüche
Die Anordnung der Bruchzahlen
Einfache Rechnungen mit Brüchen
Verhältnisse
Test: Bruchrechnen
78
80
81
83
84
85
87
88
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A Rechnen mit natürlichen Zahlen
1
Zählen und kombinieren
Beim Zählen helfen Strichlisten. Wenn du die Striche dabei als 5erPäckchen schreibst, wird die Auswertung besonders leicht.
Wenn Dinge miteinander kombiniert werden können, so kannst du mit
einem Baumdiagramm die Anzahl der Möglichkeiten bestimmen.
Zum Vergleichen und Darstellen der Zahlen kannst du Tabellen benutzen.
Beispiel 1
Die Kinder der Klasse 5 a wurden gefragt, wie sie täglich zur Schule kommen.
Dabei ergaben sich folgende Ergebnisse:
mit dem Auto der Eltern: III
zu Fuß:
IIII I
mit dem Bus:
IIII IIII III
mit dem Fahrrad: IIII IIII I
Darstellung der Ergebnisse in einer Tabelle:
Beispiel 2
Art
Bus
Fahrrad
Auto
zu Fuß
Anzahl
13
11
3
6
Max hat eine blaue und eine schwarze Jeans sowie ein rotes, ein gelbes und ein
grünes Sweat-Shirt. Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat er, wenn er zur
Jeans ein Sweat-Shirt tragen möchte?
Max hat zwei Möglichkeiten eine Jeans zu wählen. Bei jeder Jeans kann er aus
3 verschiedenen Sweat-Shirts wählen. Insgesamt hat er also 2 · 3 = 6 Möglichkeiten, wenn er zur Jeans ein Sweat-Shirt tragen möchte.
Dies kann man auch mit einem
Baumdiagramm herausfinden.
Zu jeder möglichen Entscheidung
gehört eine Verzweigung im
Baum. Insgesamt zeigt das
Baumdiagramm 6 verschiedene
Wege von links nach rechts;
also gibt es für Max 6 verschiedene Möglichkeiten.
6
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1 Zählen und kombinieren
1. In der Klasse 5 b wurde nach der Lieblingssportart
gefragt. Dann wurde dazu ein Balkendiagramm
gezeichnet. Lies die Ergebnisse daraus ab und trage sie
in eine Tabelle ein. Wie viele Kinder haben eine Ballsportart am liebsten?
2. Die letzte Klassenarbeit in der 5 c fiel so aus:
Aufgaben
Fußball
Schwimmen
Reiten
Tennis
Inliner fahren
2
4
Anzahl
6
8
Note 1: IIII
Note 2: IIII IIII I
Note 3: IIII II
Note 4: IIII
Note 5: I
Note 6:
a) Fertige eine Tabelle an.
b) Wie viele Kinder haben nicht schlechter als mit Note 3 abgeschnitten?
3. Anne nimmt ein Blatt Papier und zerschneidet es in 5 verschieden große
Teile. Dann nimmt sie das größte der fünf Teile und zerschneidet dies ebenfalls in 5 verschieden große Teile. Dasselbe macht sie noch zweimal. Wie
viele Papierstücke sind es dann am Ende insgesamt?
4. Der gezeigte Getränkeautomat bietet mehrere heiße Getränke an.
a)
b)
Wie viele Möglichkeiten der Getränkewahl
gibt es? Zeichne ein Baumdiagramm.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn
man den Kaffee und den Tee zudem noch
wahlweise mit oder ohne Sahne trinken
kann?
5. In der Pizzeria „Vesuvio“ stehen 8 verschiedene Vorspeisen, 20 verschiedene Pizzen und 5 verschiedene Nachspeisen auf der Speisekarte. Wie viele
verschiedene 3-Gänge-Menüs kann man daraus zusammenstellen?
6. Um sein neues Handy einzuschalten, muss Max eine bestimmte vierstellige
Ziffernfolge (PIN-Code) eintippen, zum Beispiel 0392. Leider hat Max aber
seinen PIN-Code vergessen.
a) Wie viele verschiedene vierstellige PIN-Codes gibt es?
b) Max erinnert sich, dass sein PIN-Code mit einer 5 beginnt. Wie viele
verschiedene PIN-Codes kommen jetzt noch infrage?
7
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A Rechnen mit natürlichen Zahlen
2
1
1
1
1
Große Zahlen
Million
Milliarde
Billion
Billiarde
=
=
=
=
1000
1000
1000
1000
Tausender
Millionen
Milliarden
Billionen
=
=
=
=
1
1
1
1
000
000
000
000
000
000 000
000 000 000
000 000 000 000
=
=
=
=
106
109
1012
1015
=
=
=
=
1
1
1
1
Mio.
Mrd.
Bio.
Brd.
Wenn du die Ziffern von rechts nach links in Dreierpäckchen gliederst,
kannst du große Zahlen leichter lesen.
Beispiele
a) Drei Milliarden einundfünfzig Millionen schreibt man: 3 051 000 000
b) Die Zahl fünfhundert Milliarden hat 11 Nullen.
c) 105 > 99 099, denn 105 = 100 000.
Tipp
102 = eine 1 mit 2 Nullen, 103 = eine 1 mit 3 Nullen usw.
Aufgaben
7. Schreibe die Zahl mit Ziffern.
b)
4 Milliarden 206 Millionen
a)
c)
135 Millionen
7 Billionen 38 Tausend
8. Lies die Zahlen laut und schreibe die Zahl mit Ziffern.
a)
b)
c)
neunhundertfünftausenddreihundertvier
drei Millionen vierhundert
vierzig Milliarden elftausendachthundert
9. Welche Zahl ist hier gemeint? Schreibe sie mit Ziffern und lies laut vor.
a)
c)
d)
Die größte fünfstellige Zahl.
b) Die kleinste Zahl mit 9 Ziffern.
Die größte fünfstellige Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern.
Der Nachfolger dieser Zahl lautet 108.
10. Schreibe in Ziffern und ordne der Größe nach: 106; einhundert Milliarden;
Null; 1010; eine Billion; eine Million einhundertausendeinhunderteins.
11. Welche Zahlen wurden durch Buchstaben auf dem Zahlenstrahl markiert?
0
500 000
D
A
1 000 000
C
E
B
12. Subtrahiere von der größten sechsstelligen Zahl mit lauter verschiedenen
Ziffern die kleinste sechsstellige Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern.
8
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3
Runden
Beim Runden gilt: Steht rechts von der Rundungsstelle
eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet;
steht dort eine 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird aufgerundet.
Überlege immer zuerst, an welcher Stelle du nachschauen musst.
a) Runde 37 499 und 21 500 jeweils auf Tausender.
Um auf Tausender zu runden, musst du die Hunderterstelle überprüfen.
37 499 ≈ 37 000 (abgerundet, da an der Hunderterstelle eine 4 stand)
21 500 ≈ 22 000 (aufgerundet, da an der Hunderterstelle eine 5 stand)
b) Runde 3 446 278 und 3 877 jeweils auf Zehntausender.
3 446 278 ≈ 3 450 000 (aufgerundet, da an der Tausenderstelle eine 6 stand)
3 877 ≈ 0 (abgerundet, da an der Tausenderstelle eine 3 stand)
Beispiele
13. a)
Aufgaben
b)
c)
Runde auf Hunderter: 366; 51; 5 700; 32; 12 345; 3 408 702.
Runde auf Millionen: 4 567 981; 2 345 999; 687 932; 59 999.
Runde auf ganze Euro: 13,66 1; 47,49 1; 0,55 1; 999,99 1; 200,00 1.
14. Runde die Zahlen auf Hundertausender und trage sie auf einem Zahlenstrahl
ein: 3 467 137; 669 405; 1 089 800; 2 300 999; 1 555 555.
15. In einem Zeitungsartikel ist zu lesen: „Rund 10 000 Personen nahmen an der
Befragung teil.“ Wie viele Personen waren es mindestens und wie viele
höchstens, wenn hier auf Tausender gerundet wurde?
16. Runde die Berghöhen auf 100 m genau und fertige ein Diagramm an.
Brocken: 1142 m; Zugspitze: 2962 m; Feldberg: 1493 m; Säuling: 2047 m.
17. In einem Kaufhaus wurde eine Woche lang täglich gezählt, wie viele Leute
etwas gekauft haben. Runde die Ergebnisse auf Hunderter und zeichne ein
Bilddiagramm. Zeichne dabei für je 100 Käufer ein Männchen .
Wochentag
Mo
Di
Mi
Do
Fr
Sa
Käufer
743
679
1063
938
811
1297
Weshalb hat das Kaufhaus diese Zählung wohl durchgeführt?
9
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A Rechnen mit natürlichen Zahlen
4 Addieren und Subtrahieren
Begriffe, die du kennen solltest:
Summand + Summand
Minuend – Subtrahend
246 + 753
= 999
357 – 246
= 111
Summe
Wert der
Differenz
Wert der
Summe
Differenz
Schriftliche Rechenverfahren
Denke an die Stellenwerttafel des Zehnersystems. Schreibe also Einer
unter Einer, Zehner unter Zehner, Hunderter unter Hunderter usw.
ZT T H Z
3 4 5 3
+ 1 3 1 8
+
5 8
1
2
1
E
3
0
9
4 8 3 0 2
3 4 5
– 1 0 2
–
5
–
8 4
1
1
2
1
0
4
8
1
3
2
1
3
1 5 2 8 7
Aufgaben 18.
Sprich: „neun plus null plus drei gleich zwölf.“
Schreibe die Ziffer 2 in die Einerstelle der Antwort
und den Übertrag 1 in die nächste Spalte links.
Sprich: „neun (8+1) plus acht plus drei gleich zwanzig.“ Schreibe die Ziffer 0 in die Zehnerstelle und
den Übertrag 2 in die nächste Spalte links usw.
Sprich: „drei plus eins plus zwei gleich sechs,
plus sieben gleich dreizehn.“
Schreibe die Ziffer 7 in die Einerstelle der Antwort
und den Übertrag 1 in die nächste Spalte links.
Sprich: „neun (8+1) plus vier plus null gleich dreizehn, plus acht gleich einundzwanzig.“
Schreibe die Ziffer 8 in die Zehnerstelle und den
Übertrag 2 in die nächste Spalte links. usw.
Rechne im Kopf.
a) 100 000 + 1000 + 1 =
b)
1 000 000 + 1000 + 10 =
c)
100 000 – 10 000 – 1000 =
d)
1 000 000 – 100 000 – 1000 =
19. a)
c)
e)
100 + 200 + 300 + 400
1000 – 100 – 200 – 100
60 + 35 + 25 + 30
b)
d)
f)
200 + 400 + 600 + 800
1000 – 900 – 90 – 9
225 – 175 – 25 – 24
10
3042_Buch.indb 10
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4 Addieren und Subtrahieren
20. Bestimme einen Näherungswert durch eine Überschlagsrechnung
a)
c)
e)
TIPP
517 + 382 + 97
b)
3204 + 2987 + 987
d)
10 321 + 25 019 + 48 765
f)
zu a): Rechne so: 500 + 400 + 100 =
687 – 293 – 112
5896 – 3109 – 1978
100 000 – 89 765 – 1067
...
21. Rechne schriftlich.
a)
+
2 4 6 8 1 3 5
9 8 7 6 7 8
b)
–
1 0 0 0 0 0 0 0
8 4 3 5 6 1
c)
–
7 4 1 2 3 5 6
5 8 9 1 4 7
22. Schreibe untereinander und addiere bzw. subtrahiere.
a)
b)
c)
d)
4 356 798 + 33 444 + 287 365 + 1 722 849
52 300 000 + 4 850 000 + 88 500 + 9 200 600
77 100 000 – 3 270 000 – 89 700 – 9 890 000
88 234 513 – 5 577 810 – 98 900 – 7 605 065
23. Rechne aus und überprüfe dein Ergebnis durch eine Überschlagsrechnung.
a) 77 867 + 88 120 + 101 306 + 6780 – 80 150
b) 999 888 – 777 010 – 101 104 + 3683 + 587
c) 1 307 850 + 2 460 780 – 1 101 202 – 876 500
TIPP: Bilde zunächst eine Zwischensumme aus den Summanden.
Schreibe dann die Subtraktion auf.
24. Alexander jobbt 6 Tage lang und erhält Montag 32,60 1, Dienstag 28,70 1,
Mittwoch 43,20 1, Donnerstag 22,90 1, Freitag 44,40 1 und Sonnabend
18,00 1. Wie viel 1 hat er in dieser Woche verdient?
25. Alexa macht Kassensturz. Sie verdient monatlich netto 1650 1 und noch
320 1 durch einen Nebenjob. Ihre monatliche Miete beträgt 480 1, für
Strom, Gas und Wasser bezahlt sie im Durchschnitt monatlich 260 1 und
für Gebühren und Versicherungen 340 1. Für Essen und Trinken kalkuliert
sie 600 1 pro Monat. Wie viel Euro bleiben ihr für andere Dinge?
 26. Wie heißen die fehlenden Ziffern?
a)
3 4 5 8 7 6 0
b) 2 0 5 6 8 9
+
–
4 3 4 8 8 6 0
1 1 9 0 5
c)
3 6 5 0 8 6 0
+ 2 7 4
0
1 8 1
11
3042_Buch.indb 11
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A Rechnen mit natürlichen Zahlen
5 Multiplizieren und Dividieren
Begriffe, die du kennen solltest:
Faktor · Faktor
Dividend : Divisor
120 · 30
= 3600
4800000 : 1200 = 4000
Produkt
Wert des
Quotient
Wert des
Produkts
Quotienten
Schriftliche Rechenverfahren
3 4 9 1 · 8 4 2 Man fasst den zweiten Faktor als Multiplikator auf
und berechnet Teilprodukte.
2 7 9 2 8
Du beginnst mit der höchsten Stelle des
1 3 9 6 4
6 9 8 2 Multiplikators, im Beispiel links multiplizierst du
1 2 1
also mit 8 Hundertern.
2 9 3 9 4 2 2 Beim nächsten Teilprodukt rückst du eine Stelle
nach rechts und multiplizierst mit 4 Zehnern,
danach dann noch mit 2 Einern.
Als letztes addierst du die (drei) Teilprodukte.
Überschlag: 3000 · 1000 = 3 000 000
10
6
3
3
24 : 64=16
4
84
84
0
Du zerlegst den Dividenden zunächst von vorn
in eine Zifferngruppe, die bei der Division eine
1 oder eine größere Zahl ergibt. Im Beispiel: 102
dividiert durch 64 gleich 1, Rest 38 (Zehner).
Danach addierst du zum Divisionsrest (38 Zehner)
den Wert der nächsten Stelle (4 und erhältst 384
Einer) und setzt die Division fort: 384 : 64 = 6.
Überschlag:
1020 : 60 = 102 : 6 = 17
Aufgaben 27.
Rechne im Kopf.
a) 100 · 100
d) 200 · 100
28. a)
d)
23 · 100
444 · 1 000 000
Mögliche Kontrolle:
Die Gegenoperation durchführen.
16 · 64
96
64
1024
b)
e)
1000 · 1000
3000 · 1000
c)
f)
1000 · 100
50 000 · 100
b)
e)
340 · 1000
301 · 2000
c)
f)
8900 · 1000
1010 · 3000
12
3042_Buch.indb 12
03.06.2008 08:58:17
5 Multiplizieren und Dividieren
29. a)
d)
360 : 10
360 : 30
b)
e)
36000 : 100
360 000 : 60
c)
f)
36 000 000 : 1000
36 000 000 : 120
30. Bestimme einen Näherungswert durch eine Überschlagsrechnung.
a)
d)
5 · 24 · 32
39 672 : 4006
b)
e)
18 · 22 · 51
4 000 765 : 2012
c)
f)
108 · 9898
98 000 000 : 107
31. Rechne schriftlich. Führe eine geeignete Kontrolle durch.
a) 3 4 6 5 · 7 6 1 2
2 4 2 5 5
0
5
0
b) 2 1 4 5 0 · 9 6 1
c) 4 3 2 0 9 · 4 8 7 2
32. a)
214 830 : 31
b) 1 401 712 : 92
c) 20 404 020 : 202
d) 214 840 : 22
e) 5 248 871 : 191
f) 2 345 654 : 109
TIPP: Zwei der Aufgaben gehen nicht auf. Das passiert in der Praxis häufiger. Schreibe auch den Rest dazu. Bei einer Kontrolle mithilfe der
Gegenoperation musst du zum Produkt den Rest addieren.
33. Die Klasse 5e (31 Kinder) spart für einen Schullandheimaufenthalt.
Dreimal schon hat jedes Kind 3 1 eingezahlt. Wie viele Euro sind in der
Klassenkasse?
34. Frau Fanning hat für Ihren zweiwöchigen Urlaub 1260 1 zur Verfügung.
Das Hotel kostet 504 1, für die An- und Abreise rechnet sie mit 280 Euro.
a) Wie viel kostet eine Übernachtung?
b) Wie viele Euro kann sie jeden Tag ausgeben. Rechne auf einen Euro
genau.
c) Beantworte die Fragen, wenn sie nur 12 Tage bleibt, das Hotel aber
nach wie vor 504 1 kostet.
 35. Die Division einer Zahl durch 97 hat das Ergebnis
a) 36 852,
b) 896 451,
Wie heißt der Dividend?
c)
109 753 Rest 17.
 36. Eine Zahl wird durch 24 dividiert. Die Antwort lautet 246 Rest 19.
Runde dieses Ergebnis a) auf Einer, b) auf Zehner, c) auf Hunderter genau.
13
3042_Buch.indb 13
03.06.2008 08:58:17
A Rechnen mit natürlichen Zahlen
6
Rechenregeln
(1) Was in Klammern steht, das muss man zuerst berechnen.
(2) Punktrechnungen (· und :) gehen vor Strichrechnungen (+ und –).
(3) In allen anderen Fällen rechnet man von links nach rechts.
Beispiele
a) 60 – (3 · 7 + 6) · 2
= 60 – (21 + 6) · 2
= 60 – 27 · 2
= 60 – 54 = 6
b) [40 : (8 – 3) + 4] · 5
= [40 : 5 + 4] · 5
= [8 + 4] · 5
= 12 · 5 = 60
Tipp
So heißen die Ergebnisse: Summe (+), Differenz (–), Produkt (·), Quotient (:)
Aufgaben 37.
In der Klammer: Punktrechnung vor Strichrechnung,
dann die Klammer berechnen,
dann Punktrechnung vor Strichrechnung.
Zum Schluss die Differenz berechnen.
Zuerst die innere Klammer berechnen,
dann in der Klammer: Punkt- vor Strichrechnung.
Die äußere Klammer berechnen.
Zum Schluss das Produkt berechnen.
Rechne im Kopf und schreibe nur das Ergebnis auf.
a) (32 – 25) · 8
b) 9 · (7 + 5)
c)
d) 16 + 48 : 12
e) 43 – 5 · 7
f)
(6 + 5) · (27 – 12)
13 · 5 – 4 · 9
38. Rechne schrittweise, so wie in den Beispielen oben.
a)
94 – (13 · 4 + 14)
b)
(18 + 6 · 7) : 5 – 7 c)
[(17 + 7 · 4) : 5] · 16
39. Setze Klammern so, dass die Rechnung richtig wird.
a)
5 · 5 – 4 · 3 = 15
b)
7 + 3 · 4 – 2 = 13 c)
250 – 5 · 30 · 2 = 200
40. Rechne schrittweise und schriftlich.
a)
35 · 25 – 567
b)
845 – (735 – 598) c)
(23 · 18 – 262) : 4
41. Wie lautet die fehlende Zahl? Bilde eine Umkehraufgabe und rechne.
a)
d)
T

37 +
= 113
· 17 = 221
b)
e)
– 84 = 29
: 12 = 23
c)
f)
224 :
946 –
= 28
= 457
42. a)
(3775 + 245 · 768) · 89
43. a)
Addiere zur kleinsten vierstelligen Zahl das Produkt aus 15 und 12.
Subtrahiere von 3025 den Quotienten aus 3427 und 23.
b)
b)
[(8059 – 3879) · 5 + 7438] : 6
14
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6 Rechenregeln
Vertauschungsgesetz: Summanden (Faktoren) darf man vertauschen.
(Kommutativgesetz)
Verbindungsgesetz:
(Assoziativgesetz)
In reinen Summen (Produkten) darf man die
Reihenfolge der Rechnungen selbst festlegen.
Verteilungsgesetz:
(Distributivgesetz)
Statt eine Summe mit einer Zahl zu multiplizieren, kann man auch jeden Summanden mit dieser Zahl multiplizieren und dann die Produkte
addieren.
Beispiele
a) 14 + 73 + 16
= 14 + 16 + 73
= (14 + 16) + 73
= 30 + 73 = 103
Vertausche die Summanden 73 und 16.
Setze Klammern, um eine Reihenfolge festzulegen.
Berechne erst den Wert der Klammer
und zum Schluss die Summe.
b) 5 · 25 · 12 · 4
= 5 · 12 · 25 · 4
= (5 · 12) · (25 · 4)
= 60 · 100 = 6000
Vertausche die Faktoren 25 und 12.
Setze Klammern, um eine Reihenfolge festzulegen.
Berechne erst den Wert der Klammern
und zum Schluss das Produkt.
c) 3 · 27 = 3 · (20 + 7)
= 3 · 20 + 3 · 7
= 60 + 21 = 81
Zerlege 27 in eine Summe und löse die Klammer auf.
Erst Punktrechnung,
dann Strichrechnung.
Aufgaben
44. Rechne vorteilhaft, indem du die Summanden geschickt vertauschst.
a)
23 + 35 + 27 = (23 +
b)
24 + 52 + 36 + 48 = (24 +
c)
37 + 288 + 312 + 53 = (
)+
=
+
)+(
+
=
+
)+(
)=
+
+
)=
=
+
=
45. Rechne vorteilhaft, indem du Faktoren geschickt vertauschst.
a)
5 · 67 · 2 = (5 ·
b)
4 · 17 · 5 = (
c)
5 · 15 · 8 · 4 = (
)·
·
)·
·
=
·
=
)·(
=
·
·
=
)=
·
=
46. Rechne im Kopf, indem du ähnlich vorgehst wie im Beispiel c).
a)
c)
4 · 37
6 · 354
b)
d)
7 · 26
12 · 53
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A Rechnen mit natürlichen Zahlen
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Potenzen
Für 3 · 3 · 3 · 3 schreibt man kürzer 34 und liest dann „3 hoch 4“.
Man nennt 34 eine Potenz mit der Grundzahl 3 und der Hochzahl 4.
Es ist: 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
Grundzahl
Hochzahl
4
3
Zusätzlich wird festgelegt: 31 = 3 und 30 = 1.
Potenz
Potenzrechnungen gehen vor Punktrechnungen.
Beispiele
a) 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
c) 131 = 13
e) 5 · 5 · 5 = 53 = 125
Tipp
Eine Potenz gibt an, welche Zahl (= Grundzahl) wie oft (= Hochzahl) als
Faktor in einem reinen Produkt vorkommt.
Aufgaben 47.
b) 82 = 8 · 8 = 64
d) 1000 = 10 · 10 · 10 = 103
f) 70 = 1
Berechne die folgenden Potenzen im Kopf.
a) 23
b) 26
c) 43
e) 3351
f) 35
g) 371
d)
h)
112
80
d)
84
48. Rechne schriftlich.
a)
352
b)
392
c)
153
49. Die ersten Quadratzahlen lauten 12 = 1; 22 = 4; 32 = 9; …
a)
b)
c)
Setze die Aufzählung der Quadratzahlen bis 102 fort.
Berechne die Quadratzahlen von: 15, 20 und 1000. Beginne so: 152 = …
Schreibe als Quadratzahl: 49, 64, 900, 196. Beginne so: 49 = 7 · 7 = …
50. Es ist 5 · 42 = 5 · 16 = 80. Berechne entsprechend.
a)
4 · 32
b)
6 · 52
c)
33 · 2
d)
5 · 103
51. Berechne im Kopf. Achte dabei auf die „Vorfahrtsregeln“.
a)
(3 + 4)2
b)
(8 + 2 · 6)2
c)
92 – 5 · 42
d)
(5 · 23 – 62)2
52. Es ist 3 · 4 · 3 · 4 · 3 · 3 = 3 · 3 · 3 · 3 · 4 · 4 = 34 · 42. Vereinfache ebenso.
a)
c)
2·5·2·5·2
4·4·3·8·4·4·3·8
b)
3·7·8·7·3
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Rechenausdrücke und Variablen
In dem Rechenausdruck (Term) 3 · x + 4 nennt man x eine Variable.
Für x kann man verschiedene Zahlen einsetzen.
Setzt man für x die Zahl 1 ein, so ergibt sich der Wert 3 · 1 + 4 = 7;
setzt man für x die Zahl 2 ein, so ergibt sich der Wert 3 · 2 + 4 = 10 usw.
Beispiel
Max hat wegen seiner Halsschmerzen vom Arzt Tabletten bekommen. In der
Packung sind insgesamt 25 Stück. Am ersten Tag musste Max 2 Stück einnehmen. Die folgenden Tage soll er nun täglich vier Tabletten einnehmen.
a) Stelle einen Rechenausdruck auf, der angibt, wie viele Tabletten Max einen,
zwei, drei … x Tage nach seinem Arztbesuch insgesamt eingenommen hat.
Am Tag des Arztbesuches nahm Max 2 Tabletten ein.
Einen Tag danach sind es insgesamt schon 2 + 4 = 6 Tabletten.
Zwei Tage danach sind es insgesamt 2 + 4 · 2 = 10 Tabletten.
Drei Tage danach sind es insgesamt 2 + 4 · 3 = 14 Tabletten.
x Tage nach dem Arztbesuch sind es insgesamt 2 + 4 · x Tabletten.
b) Wie lange reicht die Packung noch?
Wir beantworten die Frage mithilfe einer Tabelle.
Tage x nach dem Arztbesuch
1
2
3
4
5
6
Anzahl 2 + 4 · x der Tabletten
6
10
14
18
22
26
Antwort: Am 6. Tag nach dem Arztbesuch ist die Packung aufgebraucht.
Aufgaben
53. Berechne jeweils die Werte des Rechenausdrucks, wenn für x der Reihe
nach die Zahlen 0; 1; 2; 3; 4 und 5 eingesetzt werden.
a) 8 + 2 · x
b) 30 – 3 · x
c) 4 · x + x · x
d)
3 · (5 – x)
54. Bilde jeweils einen Rechenausdruck.
a)
b)
Subtrahiere 15 vom Dreifachen einer Zahl.
Addiere 28 zum Produkt aus 5 und einer Zahl.
55. Beim Internetanbieter „Easy-Surf“ bezahlt man im Monat 3,50 1 Grundgebühr und für jede Minute, die man im Internet ist, noch 1 ct.
a) Gib einen Rechenausdruck an, mit dem man berechnen kann, wie viel
es kostet, wenn man das Internet x Stunden im Monat nutzt.
b) Wie lange kann man für 10 1 im Monat das Internet nutzen?
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A Rechnen mit natürlichen Zahlen
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Teiler, Vielfache und Primzahlen
Teilbarkeitsregeln: Eine Zahl ist genau dann
teilbar durch 10, wenn sie auf 0 endet;
teilbar durch 5, wenn sie auf 0 oder 5 endet;
teilbar durch 2, wenn sie auf 0, 2, 4, 6 oder 8 endet;
teilbar durch 4, wenn ihr zweistelliges Ende durch 4 teilbar ist;
teilbar durch 8, wenn ihr dreistelliges Ende durch 8 teilbar ist;
teilbar durch 3, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist;
teilbar durch 9, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Beispiel
Durch welche der Zahlen 2, 3, 4, 5, 8, 9 und 10 ist 1140 teilbar?
Da 1140 auf 0 endet, ist 1140 durch 2, 5 und 10 teilbar.
Da 40 (zweistelliges Ende) durch 4 teilbar ist, ist 1140 auch durch 4 teilbar.
Da 140 (dreistelliges Ende) nicht durch 8 teilbar ist, ist 1140 nicht durch 8 teilbar.
Die Quersumme von 1140 ist 1 + 1 + 4 + 0 = 6. Die Quersumme 6 ist zwar durch
3, aber nicht durch 9 teilbar. Also ist 1140 durch 3 teilbar, aber nicht durch 9.
Aufgaben 56.
Prüfe, ob die folgenden Zahlen durch 2, 3, 4, 5, 8, 9 oder 10 teilbar sind.
a) 1680
b) 255
c) 5 424
d) 6122
e) 96
f) 117
g) 269
h) 304 578
57. Prüfe, ob die folgenden Zahlen ein Vielfaches von 2, 3, 4, 5, 8 oder 9 sind.
a)
135
b)
5064
c)
8505
d)
654 387 912
d)
3 und 8.
58. Finde je eine dreistellige Zahl, die teilbar ist durch
a)
2 und 3
b)
3 und 4
c)
5 und 9
59. Woran erkennt man, ob eine Zahl durch 6 (durch 100) teilbar ist?
60. Anna kauft an einem Kiosk eine Zeitschrift für 3 Euro sowie drei Päckchen
Kaugummi derselben Sorte. Der Verkäufer verlangt von ihr dafür 4,94 1.
„Das kann nicht stimmen“, sagt Anna daraufhin. Wie kommt sie darauf?
61. Als Peter an der Tafel die Aufgabe „3827 : 4 = “ liest, sagt er sofort
„Da bleibt Rest 3 übrig.“ Wieso ist Peter hier so sicher? Begründe.
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