Mathematischer Vorkurs (2017)

Mathematischer Vorkurs (2017)
Skript für die Natur- und Ingenieurwissenschaften
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 1 / 142
Mengen
Kapitel 1 Mengen
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 2 / 142
Mengen
1.1
Denition: Mengen
Unter einer
Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu
einem Ganzen.
Diese Objekte heiÿen dann
Elemente der Menge.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 3 / 142
Mengen
1.1
Denition: Mengen
Unter einer
Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu
einem Ganzen.
Diese Objekte heiÿen dann
Elemente der Menge.
Beschreibung von Mengen durch ...
... Aufzählen aller Elemente mit Mengenklammern
... Angabe einer Eigenschaft
{x | x
E,
{. . .}.
die die Elemente beschreibt:
hat die Eigenschaft
E}
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 3 / 142
Mengen
Beispiele:
Die Menge der
natürlichen Zahlen
Die Menge der
natürlichen Zahlen mit Null
N := {1, 2, 3, . . .}.
N0 := {0, 1, 2, 3, . . .}.
Für alle natürlichen Zahlen
k>0
N≥k := {k, k + 1, k + 2, . . .}.
denieren wir
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 4 / 142
Mengen
Beispiele:
Die Menge der
natürlichen Zahlen
Die Menge der
natürlichen Zahlen mit Null
N := {1, 2, 3, . . .}.
N0 := {0, 1, 2, 3, . . .}.
Für alle natürlichen Zahlen
k>0
N≥k := {k, k + 1, k + 2, . . .}.
denieren wir
ganzen Zahlen: Z := {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Die Menge der rationalen Zahlen als Menge der (gekürzten) Brüche:
n
o
Die Menge der
Q :=
a a, b
b
ganze Zahlen und
b>0
.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 4 / 142
Mengen
Beispiele:
Die Menge der
natürlichen Zahlen
Die Menge der
natürlichen Zahlen mit Null
N := {1, 2, 3, . . .}.
N0 := {0, 1, 2, 3, . . .}.
Für alle natürlichen Zahlen
k>0
N≥k := {k, k + 1, k + 2, . . .}.
denieren wir
ganzen Zahlen: Z := {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Die Menge der rationalen Zahlen als Menge der (gekürzten) Brüche:
n
o
Die Menge der
Q :=
a a, b
b
ganze Zahlen und
b>0
.
reellen Zahlen: R.
+
Die Menge der nicht negativen reellen Zahlen: R = {x ∈ R | x > 0}.
Die Menge der komplexen Zahlen: C.
Die leere Menge ∅ ist die Menge, die kein Element enthält.
Die Menge der
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 4 / 142
Mengen
Schreibweisen:
Ist
a
ein Element der Menge
Ist
a
kein Element der Menge
Beispiel:
1∈
M,
so schreiben wir kurz
M,
a ∈ M.
so schreiben wir kurz
a 6∈ M .
N, 2 ∈ Z aber −3 6∈ N.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 5 / 142
Mengen
1.2
Denition: Mengenoperationen
Es seien
1. Die
M
in
N
Mengen.
Vereinigungsmenge M ∪ N
oder in
2. Die
und
N
enthalten sind. Also
Schnittmenge M ∩ N
N
enthalten sind. Also
M
x ∈ N }.
ist die Menge der Elemente, die in
M ∪ N = {x | x ∈ M
oder
ist die Menge der Elemente, die in
M ∩ N = {x | x ∈ M
und
M
und
x ∈ N }.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 6 / 142
Mengen
1.2
Denition: Mengenoperationen
M
Es seien
1. Die
in
3.
M
N
Mengen.
Vereinigungsmenge M ∪ N
oder in
2. Die
und
N
enthalten sind. Also
Schnittmenge M ∩ N
N
enthalten sind. Also
heiÿt Teilmenge von
auch in
N
M
x ∈ N }.
ist die Menge der Elemente, die in
M ∪ N = {x | x ∈ M
oder
ist die Menge der Elemente, die in
M ∩ N = {x | x ∈ M
und
M
und
x ∈ N }.
N , wenn alle Elemente die in M enthalten sind
M ⊂ N oder N ⊃ M .
enthalten sind. Wir schreiben dann
4. Die Dierenzmenge
N \M
ist die Menge der Elemente, die in
N
M , also
x 6∈ M }.
enthalten sind, aber nicht in
N \ M := {x | x ∈ N
und
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 6 / 142
Mengen
1.2
Denition: Mengenoperationen
M
Es seien
1. Die
in
3.
M
N
Mengen.
Vereinigungsmenge M ∪ N
oder in
2. Die
und
N
enthalten sind. Also
Schnittmenge M ∩ N
N
enthalten sind. Also
heiÿt Teilmenge von
auch in
N
M
x ∈ N }.
ist die Menge der Elemente, die in
M ∪ N = {x | x ∈ M
oder
ist die Menge der Elemente, die in
M ∩ N = {x | x ∈ M
und
M
und
x ∈ N }.
N , wenn alle Elemente die in M enthalten sind
M ⊂ N oder N ⊃ M .
enthalten sind. Wir schreiben dann
4. Die Dierenzmenge
N \M
ist die Menge der Elemente, die in
N
M , also
x 6∈ M }.
enthalten sind, aber nicht in
N \ M := {x | x ∈ N
5. Ist
und
M ⊂ N so ist das Komplement von M (bezüglich N )
:= {x | x ∈ N und x 6∈ M } deniert.
durch
Mc
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 6 / 142
Mengen
1.3
Bemerkung
Es gilt in jedem Fall
∅ ⊂ M ⊂ M.
In 4. muss M keine Teilmenge von N sein. Ist zum
M ∩ N = ∅, so ist N \ M = N und M \ N = M .
Beispiel
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 7 / 142
Mengen
1.3
Bemerkung
Es gilt in jedem Fall
∅ ⊂ M ⊂ M.
In 4. muss M keine Teilmenge von N sein. Ist zum
M ∩ N = ∅, so ist N \ M = N und M \ N = M .
Ist aber
M ⊂N
Zwei Mengen
M
so ist
und
N \ M = Mc
N
M \ N = ∅.
sind gleich, wenn die eine jeweils eine
Teilmenge der anderen ist. Also
und
und
Beispiel
M =N
genau dann, wenn
M ⊂N
N ⊂ M.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 7 / 142
Mengen
Graphisch kann man die Mengenoperationen gut mit Hilfe von
Venn-Diagrammen darstellen:
M
N
N
M
N ⊂M
M ∪N
N
M
M ∩N
N
M
M \N
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 8 / 142
Mengen
1.4
Satz: Rechenregeln für Mengenoperationen
1
M ∪N =N ∪M
2
(M ∪ N ) ∪ P = M ∪ (N ∪ P )
3
M ∪ (N ∩ P ) = (M ∪ N ) ∩ (M ∪ P ).
und
M ∩ N = N ∩ M.
und
(M ∩ N ) ∩ P = M ∩ (N ∩ P ).
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 9 / 142
Mengen
1.4
Satz: Rechenregeln für Mengenoperationen
1
M ∪N =N ∪M
2
(M ∪ N ) ∪ P = M ∪ (N ∪ P )
3
M ∪ (N ∩ P ) = (M ∪ N ) ∩ (M ∪ P ).
4
M ∩ (N ∪ P ) = (M ∩ N ) ∪ (M ∩ P ).
5
(M c )c = M .
6
(M ∪ N )c = M c ∩ N c
und
M ∩ N = N ∩ M.
und
und
(M ∩ N ) ∩ P = M ∩ (N ∩ P ).
(M ∩ N )c = M c ∪ N c .
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 9 / 142
Mengen
1.5
Denition: Kartesisches Produkt
1. Das
kartesische Produkt zweier Mengen M
und
N
m∈M
und
n ∈ N.
M ×N
(m, n) mit
wird mit
bezeichnet und enthält als Elemente die geordneten Paare
Also:
M × N = {(m, n) | m ∈ M
und
n ∈ N} .
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 10 / 142
Mengen
1.5
Denition: Kartesisches Produkt
1. Das
kartesische Produkt zweier Mengen M
und
N
m∈M
und
n ∈ N.
Also:
M × N = {(m, n) | m ∈ M
Ist
M ⊂ G1
und
M ×N
(m, n) mit
wird mit
bezeichnet und enthält als Elemente die geordneten Paare
N ⊂ G2
und
n ∈ N} .
so kann man das kartesische Produkt wie
folgt darstellen:
G2
N
MxN
M
G1
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 10 / 142
Mengen
1.5
Denition: Kartesisches Produkt[cont.]
2. Das kartesische Produkt mehrerer Mengen
M1 , . . . , M k
wird analog
deniert.
Z.B. ist
R3 = R × R × R = {(x, y, z)|x, y, z ∈ R}
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 11 / 142
Mengen
1.6
Ist
Denition: Quantoren
A
eine Eigenschaft, die für die Elemente einer Menge
M
sinnvoll ist, so
schreiben wir
∀x ∈ M : A(x) ,
wenn jedes Element aus
x∈M
gilt
M
die Eigenschaft
A
hat in Worten: für alle
A(x)
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 12 / 142
Mengen
1.6
Ist
Denition: Quantoren
A
eine Eigenschaft, die für die Elemente einer Menge
M
sinnvoll ist, so
schreiben wir
∀x ∈ M : A(x) ,
wenn jedes Element aus
x∈M
gilt
A(x)
M
die Eigenschaft
A
hat in Worten: für alle
und
∃x ∈ M : A(x) ,
M gibt,
A(x).
wenn es mindestens ein Element aus
in Worten: es gibt ein
x∈M
mit
das die Eigenschaft
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
A
hat Seite 12 / 142
Zahlen
Kapitel 2 Zahlen
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 13 / 142
Zahlen
Uns bisher bekannte Zahlenbereiche sind
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R |(⊂{zC}) .
später
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 14 / 142
Zahlen
Uns bisher bekannte Zahlenbereiche sind
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R |(⊂{zC}) .
später
2.1
1.
2.
Denition: Rationale und irrationale Zahlen
R ist die Menge der Dezimalbrüche.
Q ist die Menge der abbrechenden oder periodischen Dezimalbrüche.
Dabei wird allerdings die Periode
9
n, a1 a2 . . . ak−1 ak 9 mit der
bk = ak + 1. Dabei ist n ∈
ak ∈ {0, 1, . . . , 8}.
Zahl
Zahl
mit
ausgeschlossen, indem man die
n, a1 a2 . . . ak−1 bk
identiziert
N0, a1, a2, . . . , ak−1 ∈ {0, 1, . . . , 9},
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 14 / 142
Zahlen
Uns bisher bekannte Zahlenbereiche sind
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R |(⊂{zC}) .
später
2.1
1.
2.
Denition: Rationale und irrationale Zahlen
R ist die Menge der Dezimalbrüche.
Q ist die Menge der abbrechenden oder periodischen Dezimalbrüche.
Dabei wird allerdings die Periode
9
n, a1 a2 . . . ak−1 ak 9 mit der
bk = ak + 1. Dabei ist n ∈
ak ∈ {0, 1, . . . , 8}.
Zahl
Zahl
mit
3. Die Elemente der Menge
ausgeschlossen, indem man die
n, a1 a2 . . . ak−1 bk
identiziert
N0, a1, a2, . . . , ak−1 ∈ {0, 1, . . . , 9},
R \ Q, also die nicht-abbrechenden und
nicht-periodischen Dezimalbrüche, heiÿen
irrationale Zahlen.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 14 / 142
Zahlen
Beispiele irrationaler Zahlen:
1. Die Länge der Diagonale eines Quadrates der Seitenlänge
√
irrational. Diese Länge ist
2. Der Umfang eines Kreises mit Durchmesser
Länge ist
3. Die
1
ist
2 = 1, 414213562 . . .
1
ist irrational. Diese
π = 3, 141592654 . . .
Eulersche Zahl e = 2, 718281828 . . . ist irrational.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 15 / 142
Zahlen
Beispiele irrationaler Zahlen:
1. Die Länge der Diagonale eines Quadrates der Seitenlänge
√
irrational. Diese Länge ist
2. Der Umfang eines Kreises mit Durchmesser
Länge ist
3. Die
2.2
ist
1
ist irrational. Diese
π = 3, 141592654 . . .
Eulersche Zahl e = 2, 718281828 . . . ist irrational.
Denition: Rechenoperationen
x, y ∈
y 6= 0 auch
Sind
1
2 = 1, 414213562 . . .
R so sind die Rechenoperationen x + y, x − y, xy und für
x
y erklärt.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 15 / 142
Zahlen
2.3
Satz: Rechenregeln
1.
x+y =y+x
2.
x + (y + z) = (x + y) + z
3.
x(y + z) = xy + xz
und
xy = yx
(Kommutativgesetze)
und
x(yz) = (xy)z
(Assoziativgesetze)
(Distributivgesetz)
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 16 / 142
Zahlen
2.3
Satz: Rechenregeln
1.
x+y =y+x
2.
x + (y + z) = (x + y) + z
3.
x(y + z) = xy + xz
und
xy = yx
(Kommutativgesetze)
und
x(yz) = (xy)z
(Assoziativgesetze)
(Distributivgesetz)
Als direkte Konsequenz erhalten wir die drei Binomischen Formeln
4.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 und
(a + b)(a − b) = a2 − b2 .
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 16 / 142
Zahlen
2.4
Denition: Kurzschreibweisen für Summen und Produkte
Sind
m, n ∈
1.
2.
n
X
k=m
n
Y
N0 mit m ≤ n und am, am+1, . . . , an ∈ R so schreiben wir
ak = am + am+1 + . . . + an
und
ak = am · am+1 · . . . · an
k=m
Dabei kann der
n
X
k=m
ak =
n
X
Laundex eine beliebige Variable sein, etwa
aj .
j=m
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 17 / 142
Zahlen
2.4
Denition: Kurzschreibweisen für Summen und Produkte
Sind
m, n ∈
1.
2.
n
X
k=m
n
Y
N0 mit m ≤ n und am, am+1, . . . , an ∈ R so schreiben wir
ak = am + am+1 + . . . + an
und
ak = am · am+1 · . . . · an
k=m
Dabei kann der
n
X
k=m
ak =
n
X
Laundex eine beliebige Variable sein, etwa
aj .
j=m
Es gelten die folgenden Vereinbarungen wenn
n
X
k=m
ak = 0
und
m>n
n
Y
ist
ak = 1
k=m
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 17 / 142
Zahlen
Rechenregeln und Beispiele:
a·
n
X
ak =
k=m
n
X
k=m
n
Y
k=m
n
X
(a · ak )
k=m
ak +
n
X
bk =
k=m
ak ·
n
Y
k=m
bk =
n
X
(ak + bk )
und
k=m
n
Y
(ak · bk ).
k=m
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 18 / 142
Zahlen
Rechenregeln und Beispiele:
a·
n
X
ak =
k=m
n
X
k=m
n
Y
n
X
(a · ak )
k=m
ak +
n
X
bk =
k=m
ak ·
k=m
n
Y
k=m
n
X
(ak + bk )
und
k=m
n
Y
bk =
(ak · bk ).
k=m
n
X
Indexverschiebung:
n+t
X
ak =
k=m
ak−t .
k=m+t
n
X
k=
n(n + 1)
.
2
qk =
1 − q n+1
1−q
Arithmetische Summenformel:
k=1
geometrische Summenformel:
q 6= 1.
n
X
k=0
für eine reelle Zahl
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 18 / 142
Zahlen
2.5
Für
Denition: Potenzen
a∈
R und n ∈ N0 setzen wir an :=
n
Y
a.
k=1
Insbesondere gilt also
a0 = 1
und
00 = 1
0n = 0
1
:= n .
a
aber
für
n > 0.
R \ {0} und n ∈ N0 setzen wir a−n
a ∈ R heiÿt die Basis und n ∈ Z der Exponent der Potenz an .
Für
a∈
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 19 / 142
Zahlen
2.5
Für
Denition: Potenzen
a∈
R und n ∈ N0 setzen wir an :=
n
Y
a.
k=1
Insbesondere gilt also
a0 = 1
und
00 = 1
0n = 0
1
:= n .
a
aber
für
n > 0.
R \ {0} und n ∈ N0 setzen wir a−n
a ∈ R heiÿt die Basis und n ∈ Z der Exponent der Potenz an .
Für
2.6
Für
1
2
a∈
Potenzregeln
n, m ∈
Z gilt:
am an = an+m
m n
(a ) = a
und
an bn = (ab)n
sowie
mn
falls die Ausdrücke deniert sind.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 19 / 142
Zahlen
2.7
Denition: Quadratwurzel
Sind
a, b ∈
R und b2 = a so denieren wir
√
(
b
a :=
−b
Die stets nicht-negative Zahl
√
a
heiÿt
falls
falls
b≥0
b<0
Quadratwurzel von a.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 20 / 142
Zahlen
2.7
Denition: Quadratwurzel
Sind
a, b ∈
R und b2 = a so denieren wir
√
(
b
a :=
−b
Die stets nicht-negative Zahl
2.8
√
a
heiÿt
falls
falls
b≥0
b<0
Quadratwurzel von a.
Existenz der Quadratwurzel
Die Gleichung
x2 = a
besitzt ...
... für
a<0
keine reelle Lösung,
... für
a=0
die eindeutige (reelle) Lösung
... für
a>0
die zwei (reellen) Lösungen
x = 0 und
√
√
x1 = a und x2 = − a.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 20 / 142
Zahlen
Der Satz 2.8 lässt sich noch verallgemeinern:
2.9
Satz: Höhere Wurzeln
1
Ist
2
Ist
n
xn = a
√
x = n a.
eine natürliche ungerade Zahl, dann hat die Gleichung
genau eine reelle Lösung und diese bezeichnen wir mit
n eine natürliche
xn = a ...
gerade Zahl mit
n 6= 0,
dann hat die Gleichung
... für
a < 0 keine reelle Lösung,
a = 0 die eindeutige (reelle) Lösung x = 0 und
√
... für a > 0 die zwei reellen Lösungen, die wir mit x1 = n a
√
x2 = − n a bezeichnen.
... für
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
und
Seite 21 / 142
Zahlen
2.10
Bemerkung
Wir setzen nun
a
m
n
:= a
1
n
m
1
a n :=
√
n
a
für
a≥0
und
n 6= 0,
und denieren(!)
. Dann kann man zeigen, dass die Rechenregeln aus Satz 2.6
weiterhin gültig bleiben.
Somit haben wir das Potenzieren von ganzen auf rationale Exponenten
erweitert.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 22 / 142
Zahlen
2.11
Satz:
p-q -Formel
D := p2 − 4q .
+ px + q = 0 ...
Es sei
x2
Dann besitzt die quadratische Gleichung
p
falls D = 0,
2 √
√
p+ D
p− D
x1 = −
und x2 = −
2
2
... die eindeutige (reelle) Lösung
... die zwei (reellen) Lösungen
falls
D > 0,
und
... keine reelle Lösung falls
Die Zahl
D
heiÿt
x=−
D < 0.
Diskriminante der quadratischen Gleichung.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 23 / 142
Zahlen
2.12
1
Denition: Fakultät und Binomialkoezient
Für natürliche Zahlen
n∈
N0 ist die Fakultät deniert als
n! :=
n
Y
k.
k=1
Also gilt insbesondere
0! = 1
und
(n + 1)! = n! · (n + 1).
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 24 / 142
Zahlen
2.12
1
Denition: Fakultät und Binomialkoezient
Für natürliche Zahlen
n∈
N0 ist die Fakultät deniert als
n! :=
n
Y
k.
k=1
Also gilt insbesondere
2
0! = 1
Für zwei natürliche Zahlen
und
k, n ∈
Binomialkoezient deniert als
(n + 1)! = n! · (n + 1).
N0 mit k ≤ n ist der
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
n!
=
:=
k
k!(n − k)!
k!
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 24 / 142
Zahlen
2.13
Satz: Eigenschaften der Binomialkoezienten
n
n
n
n
=
= 1 und
=
.
0
n
k
n−k
n
n
n+1
+
=
(Additionstheorem).
k
k+1
k+1
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 25 / 142
Zahlen
Wegen des Additiontheorems lassen sich die Binomialkoezienten im
Pascalschen Dreieck anordnen:
n
k
1
1
1
1
1
2
3
4
6
n
0
1
1
1
2
3
1
3
4
1 4
.
.
.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 26 / 142
Zahlen
Wegen des Additiontheorems lassen sich die Binomialkoezienten im
Pascalschen Dreieck anordnen:
n
k
1
1
1
1
1
2
3
4
6
n
0
1
1
1
2
3
1
3
4
1 4
.
.
.
2.14
Für
Binomischer Lehrsatz
x, y ∈
R und n ∈ N0 gilt
n X
n k n−k
(x + y) =
x y
k
n
k=0
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 26 / 142
Ordnung und Betrag
Kapitel 3 Ordnung und Betrag
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 27 / 142
Ordnung und Betrag
3.1
Denition: Ordnung
Jede reelle Zahl
x<0
(negativ),
x hat genau eine der folgenden drei
x = 0 (Null) und x > 0 (positiv).
Eigenschaften:
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 28 / 142
Ordnung und Betrag
3.1
Denition: Ordnung
x hat genau eine der folgenden drei Eigenschaften:
x = 0 (Null) und x > 0 (positiv).
x > y durch x − y > 0 und x ≥ y durch x − y > 0 oder
Jede reelle Zahl
x<0
(negativ),
Wir denieren
x − y = 0.
Analog werden
x<y
Damit gilt für alle
und
x, y ∈
x≤y
deniert.
R entweder(!) x < y oder x = y oder x > y.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 28 / 142
Ordnung und Betrag
3.1
Denition: Ordnung
x hat genau eine der folgenden drei Eigenschaften:
x = 0 (Null) und x > 0 (positiv).
x > y durch x − y > 0 und x ≥ y durch x − y > 0 oder
Jede reelle Zahl
x<0
(negativ),
Wir denieren
x − y = 0.
Analog werden
x<y
Damit gilt für alle
Die Zeichen
und
x, y ∈
≤, ≥, <, >
x≤y
deniert.
R entweder(!) x < y oder x = y oder x > y.
und
=
heiÿen
Ordnungszeichen.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 28 / 142
Ordnung und Betrag
Mit Hilfe der Ordnungszeichen denieren wir spezielle Teilmengen von
Seien dazu
3.2
a, b ∈
R mit a < b.
R.
Denition: Intervalle
Beschränkte Intervalle
[a, b] := {x ∈
R | a ≤ x ≤ b} (Abgeschlossenes Intervall, auch a = b
möglich).
R | a < x < b} (Oenes Intervall).
[a, b[ := {x ∈ R | a ≤ x < b} oder ]a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}
]a, b[ := {x ∈
Halboene Intervalle).
(
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 29 / 142
Ordnung und Betrag
Mit Hilfe der Ordnungszeichen denieren wir spezielle Teilmengen von
Seien dazu
3.2
a, b ∈
R mit a < b.
R.
Denition: Intervalle
Beschränkte Intervalle
[a, b] := {x ∈
R | a ≤ x ≤ b} (Abgeschlossenes Intervall, auch a = b
möglich).
R | a < x < b} (Oenes Intervall).
[a, b[ := {x ∈ R | a ≤ x < b} oder ]a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}
]a, b[ := {x ∈
Halboene Intervalle).
(
Unbeschränkte Intervalle:
R | a ≤ x} und ] − ∞, b] := {x ∈ R | x ≤ b}
]a, ∞[ := {x ∈ R | a < x} und ] − ∞, b[ := {x ∈ R | x < b}
] − ∞, ∞[ := R
[a, ∞[ := {x ∈
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 29 / 142
Ordnung und Betrag
3.3
Rechenregeln
Es seien
x, y, z ∈
R. Dann gilt
1
Ist
x<y
und
y < z,
dann gilt
2
Ist
x≤y
und
y ≤ x,
so ist
3
Ist
x<y
dann ist
x < z.
x = y.
x + z < y + z.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 30 / 142
Ordnung und Betrag
3.3
Rechenregeln
Es seien
x, y, z ∈
R. Dann gilt
1
Ist
x<y
und
y < z,
dann gilt
2
Ist
x≤y
und
y ≤ x,
so ist
3
Ist
x<y
dann ist
4
Ist
x>0
und
y > 0,
so ist auch
5
Ist
z>0
und
x < y,
so ist
6
Ist
z<0
und
x < y,
so ist
7
8
Ist
Ist
x < z.
x = y.
x + z < y + z.
0<x<
y , so gilt x1
0≤x≤
y , so gilt x2
>
≤
xy > 0.
xz < yz .
xz > yz .
1
y
> 0.
y2.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 30 / 142
Ordnung und Betrag
Aus den Rechenregeln 3.3 folgt:
3.4
Satz: Vorzeichen von Produkten
Es seien
n
Y
x1 , . . . , x n ∈
xi = 0
R. Dann gilt:
ist gleichbedeutend damit, dass es mindestens ein
i=1
j ∈ {1, . . . , n} gibt mit xj = 0.
n
Y
xi ≥ 0 ist gleichbedeutend damit,
dass nur eine gerade Anzahl der
i=1
Faktoren
xj
negativ ist.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 31 / 142
Ordnung und Betrag
Die Rechenregeln 3.3 liefern für das Rechnen mit Ungleichungen:
3.5
Bemerkung
Die Lösungsmenge einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn wir auf
beiden Seiten ...
... eine Zahl addieren.
... mit einer positiven Zahl multiplizieren.
... eine streng monoton steigende Funktion anwenden. (Genaueres
dazu folgt später.)
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 32 / 142
Ordnung und Betrag
Die Rechenregeln 3.3 liefern für das Rechnen mit Ungleichungen:
3.5
Bemerkung
Die Lösungsmenge einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn wir auf
beiden Seiten ...
... eine Zahl addieren.
... mit einer positiven Zahl multiplizieren.
... eine streng monoton steigende Funktion anwenden. (Genaueres
dazu folgt später.)
Beispiele streng monotoner Funktionen:
Die Wurzelfunktion auf
[0, ∞[.
Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten auf
Exponenten auf
[0, ∞[.
Die Exponentialfunktion auf
(0, ∞).
R und mit geradem
R und die Logarithmusfunktion auf
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 32 / 142
Ordnung und Betrag
3.6
Deniton: Betrag
Der
Betrag einer reellen Zahl x ist deniert als der Abstand zu 0 und wird
mit
|x|
bezeichnet. Also
(
x
|x| :=
−x
Für
x, y ∈
falls
falls
x≥0
x<0
R ist |x − y| der Abstand von x und y.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 33 / 142
Ordnung und Betrag
3.7
Eigenschaften des Betrags
1.
|x| = 0
2.
|x| = | − x|.
3.
−|x| ≤ x ≤ |x|
4.
|xy| = |x||y|.
5.
|x + y| ≤ |x| + |y|.
6.
| |x| − |y| | ≤ |x − y|.
√
x2 = |x|.
7.
ist gleichbedeutend mit
x = 0.
mit Gleichheit an genau einer Stelle, wenn
x 6= 0.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 34 / 142
Ordnung und Betrag
3.8
Satz: Quadratische Ungleichungen
Es gilt
p 2 D
x2 + px + q < 0 ⇔ x +
<
,
2
4
wobei
D = p2 − 4q
die Diskriminante ist. Ist
keine reelle Lösung. Für
D≥0
D<0
so hat die Ungleichung
gilt
√
D
p x + px + q < 0 ⇔ x + <
.
2
2
2
Auÿerdem gilt für
D≥0
x + px + q > 0 ⇔ x +
2
Im Fall
R.
D<0
√
D
p .
>
2
2
ist die Lösungsmenge der Ungleichung
x2 + px + q > 0
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
ganz
Seite 35 / 142
Abbildungen und Funktionen
Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 36 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.1
Denition: Abbildung
Es seien
D
und
W
Mengen. Eine
Vorschrift, die jedem Element
Abbildung f von D nach W
x∈D
genau ein Element
ist eine
f (x) ∈ W
zuordnet.
f (x) heiÿt das Bild von x unter f
D heiÿt der Denitions- und W der Wertebereich
(manchmal besser
Wertevorrat.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 37 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.1
Denition: Abbildung
Es seien
D
und
W
Mengen. Eine
Vorschrift, die jedem Element
Abbildung f von D nach W
x∈D
genau ein Element
ist eine
f (x) ∈ W
zuordnet.
f (x) heiÿt das Bild von x unter f
D heiÿt der Denitions- und W der Wertebereich
(manchmal besser
Wertevorrat.
Ist nun
W,
f : D → W eine Abbildung, so heiÿt die Menge der Elemente in
f getroen wird, die Bildmenge von f und wird mit f (D)
die von
bezeichnet. Es gilt
f (D) := {y ∈ W | ∃x ∈ D : y = f (x)} = {f (x) | x ∈ D} ⊂ W .
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 37 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.2
Ist
Denition, Urbild, Graph
U ⊂W
eine Teilmenge, so nennt man die Menge aller Elemente von
deren Bild in
U
liegt, das
D
Urbild von U . Dies wird mit f −1 (U ) bezeichnet.
Es gilt
f −1 (U ) := {x ∈ D | f (x) ∈ U } ⊂ D .
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 38 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.2
Ist
Denition, Urbild, Graph
U ⊂W
eine Teilmenge, so nennt man die Menge aller Elemente von
deren Bild in
U
liegt, das
D
Urbild von U . Dies wird mit f −1 (U ) bezeichnet.
Es gilt
f −1 (U ) := {x ∈ D | f (x) ∈ U } ⊂ D .
Die Teilmenge
{(x, f (x)) | x ∈ D} ⊂ D × W ,
der Abbildung f .
bezeichnet man als
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Graph
Seite 38 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.3
Bemerkung
f1 : D1 → W1 und f2 : D2 → W2 sind genau dann
D1 = D2 , W1 = W2 und f1 (x) = f2 (x) für alle x ∈ D1 .
Zwei Abbildungen
gleich, wenn
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 39 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.3
Bemerkung
f1 : D1 → W1 und f2 : D2 → W2 sind genau dann
D1 = D2 , W1 = W2 und f1 (x) = f2 (x) für alle x ∈ D1 .
Zwei Abbildungen
gleich, wenn
4.4
Denition: identische Abbildung
Es sei
f :D→D
mit
f (x) := x
für alle
x ∈ D.
identische Abbildung oder Identität auf D
Diese Abbildung heiÿt
und wird hier mit
idD
bezeichnet.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 39 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.3
Bemerkung
f1 : D1 → W1 und f2 : D2 → W2 sind genau dann
D1 = D2 , W1 = W2 und f1 (x) = f2 (x) für alle x ∈ D1 .
Zwei Abbildungen
gleich, wenn
4.4
Denition: identische Abbildung
Es sei
f :D→D
mit
f (x) := x
für alle
x ∈ D.
identische Abbildung oder Identität auf D
Diese Abbildung heiÿt
und wird hier mit
idD
bezeichnet.
Sprechweise:
Oft wird der Begri Funktion parallel zum Begri Abbildung benutzt.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 39 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.5
Denition: Polynome
n ∈ N und a0 , a1 , . . . , an ∈ R mit an 6= 0. Dann heiÿt die Funktion
R → R mit
Es sei
p:
p(x) =
n
X
ak xk = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
k=0
ein
Polynom.
Die Zahl
speziell
grad(p) := n
an
Eine Zahl
der
x0 ∈
heiÿt der
Grad, die ak
Leitkoezient von p.
heiÿen die
Koezienten und
R mit p(x0) = 0 heiÿt Nullstelle von p.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 40 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.6
Satz: Faktorisierung
p ein Polynom und x0 eine Nullstelle. Dann gibt es ein
grad(q) = grad(p) − 1, so dass p(x) = (x − x0 )q(x).
Es sei
mit
Polynom
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
q
Seite 41 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.6
Satz: Faktorisierung
p ein Polynom und x0 eine Nullstelle. Dann gibt es ein
grad(q) = grad(p) − 1, so dass p(x) = (x − x0 )q(x).
Es sei
mit
Die Koezienten des Polynoms
q
Polynom
q
aus der Faktorisierung lassen sich durch
Polynomdivision oder mit Hilfe des Hornerschemas bestimmen.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 41 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.6
Satz: Faktorisierung
p ein Polynom und x0 eine Nullstelle. Dann gibt es ein
grad(q) = grad(p) − 1, so dass p(x) = (x − x0 )q(x).
Es sei
mit
Die Koezienten des Polynoms
q
Polynom
q
aus der Faktorisierung lassen sich durch
Polynomdivision oder mit Hilfe des Hornerschemas bestimmen.
4.7
Hornerschema
Das Hornerschema kann dazu benutzt werden, den Funktionswert eines
Polynoms
p
an einer beliebigen Stelle
x0
zu bestimmen.
Man erhält zusätzlich die Koezienten eines Polynoms
Eins kleiner ist, als der von
p,
q,
dessen Grad um
und das
p(x) = (x − x0 )q(x) + p(x0 )
erfüllt.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 41 / 142
Abbildungen und Funktionen
Beschreibung des Hornerschemas:
Zunächst schreiben wir die Koezienten von
Tabelle und den Wert
0
unter
an .
p
in die erste Zeile einer
Dann führt man dann von links nach
rechts in der Tabelle immer wieder zwei Schritte durch:
1. Addiere die Zahlen der ersten und zweiten Zeile und schreibe sie in die
dritte Zeile.
2. Der zuletzt berechnete Wert wird mit
x0
multipliziert und in die
zweite Zeile der nächsten Spalte eingetragen.
Schlieÿlich gelangt man zu folgendem Abschluÿschema:
an
+
0
=
cn−1
an−1
an−2
···
a1
a0
+
+
+
+
cn−1 x0
cn−2 x0
···
c1 x0
c0 x0
%
=
%
=
%
% = % =
cn−2
cn−3
...
c0
c−1
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 42 / 142
Abbildungen und Funktionen
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 =
(x − x0 )(cn−1 xn−1 + cn−2 xn−2 + · · · c1 x + c0 ) + c−1 .
Dann ist
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 43 / 142
Abbildungen und Funktionen
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 =
(x − x0 )(cn−1 xn−1 + cn−2 xn−2 + · · · c1 x + c0 ) + c−1 .
Dann ist
Ist
x0
eine Nullstelle des Polynoms
p,
so hat man eine Polynomdivision
durchgeführt:
p(x) = (x − x0 )q(x)
mit
q(x) = cn−1 xn−1 + cn−2 xn−2 + · · · c1 x + c0 .
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 43 / 142
Abbildungen und Funktionen
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 =
(x − x0 )(cn−1 xn−1 + cn−2 xn−2 + · · · c1 x + c0 ) + c−1 .
Dann ist
Ist
x0
eine Nullstelle des Polynoms
p,
so hat man eine Polynomdivision
durchgeführt:
p(x) = (x − x0 )q(x)
mit
Man kann nun 4.7 auf
q
q(x) = cn−1 xn−1 + cn−2 xn−2 + · · · c1 x + c0 .
anwenden und so nach und nach Nullstellen von
p
abspalten.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 43 / 142
Abbildungen und Funktionen
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 =
(x − x0 )(cn−1 xn−1 + cn−2 xn−2 + · · · c1 x + c0 ) + c−1 .
Dann ist
Ist
x0
eine Nullstelle des Polynoms
p,
so hat man eine Polynomdivision
durchgeführt:
p(x) = (x − x0 )q(x)
mit
Man kann nun 4.7 auf
q
q(x) = cn−1 xn−1 + cn−2 xn−2 + · · · c1 x + c0 .
anwenden und so nach und nach Nullstellen von
p
abspalten.
Hilfreich beim Nullstellensuchen:
Hat
p
nur ganzzahlige Koezienten, und ist der Leitkoezient
an = 1,
so
sind alle rationalen Nullstellen sogar ganz und sie sind Teiler des
Koezienten
a0 .
.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 43 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.8
Denition: Rationale Funktionen
Es seien
p
und
q
Polynome. Dann heiÿt die Funktion
f
p(x)
q(x)
| q(x) 6= 0}.
mit
rationale Funktion. Ihr Denitionsbereich ist D = {x ∈ R
f (x) :=
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 44 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.8
Denition: Rationale Funktionen
Es seien
p
und
q
Polynome. Dann heiÿt die Funktion
f
rationale Funktion. Ihr Denitionsbereich ist D = {x ∈ R
4.9
p(x)
q(x)
| q(x) 6= 0}.
mit
f (x) :=
Denition: Potenzfunktion
Es sei
q∈
Q eine rationale Zahl. Dann ist die Potenzfunktion deniert
durch
i)
ii)
fq : ]0, ∞[ → ]0, ∞[, fq (x) = xq ,
fq : [0, ∞[ → [0, ∞[, fq (x) =
falls
q < 0,
xq , falls
q > 0.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 44 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.8
Denition: Rationale Funktionen
Es seien
p
und
q
Polynome. Dann heiÿt die Funktion
f
rationale Funktion. Ihr Denitionsbereich ist D = {x ∈ R
4.9
p(x)
q(x)
| q(x) 6= 0}.
mit
f (x) :=
Denition: Potenzfunktion
Es sei
q∈
Q eine rationale Zahl. Dann ist die Potenzfunktion deniert
durch
i)
ii)
fq : ]0, ∞[ → ]0, ∞[, fq (x) = xq ,
fq : [0, ∞[ → [0, ∞[, fq (x) =
falls
q < 0,
xq , falls
q > 0.
Bemerkung: Später werden wir die Potenzfunktionen auch für irrationale
Exponenten erklären.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 44 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.10
Denition: Einschränkung und Fortsetzung
D1 ⊂ D2 und f1 : D1 → W , f2 : D2 → W zwei Abbildungen
f1 (x) = f2 (x) für alle x ∈ D1 .
Dann heiÿt f1 Einschränkung von f2 und f2 Fortsetzung von f1 . Man
schreibt auch f1 = f2 |D1 .
Es seien
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
mit
Seite 45 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.10
Denition: Einschränkung und Fortsetzung
D1 ⊂ D2 und f1 : D1 → W , f2 : D2 → W zwei Abbildungen
f1 (x) = f2 (x) für alle x ∈ D1 .
Dann heiÿt f1 Einschränkung von f2 und f2 Fortsetzung von f1 . Man
schreibt auch f1 = f2 |D1 .
Es seien
4.11
mit
Denition: Verkettung von Abbildungen
Es seien
f :D→U
Dann ist die
g : V → W Abbildungen und es
Verkettung g ◦ f : D → W deniert durch
und
gelte
U ⊂V.
(g ◦ f )(x) := g(f (x)) .
Statt Verkettung sagt man auch Hintereinanderausführung oder
Komposition und man liest
g◦f
als g nach
f .
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 45 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.12
Denition: Umkehrabbildung
f : D → W und g : W → D Abbildungen mit den Eigenschaften
g ◦ f = idD und (2) f ◦ g = idW .
Dann heiÿen f und g Umkehrabbildungen voneinander und wir schreiben
g = f −1 bzw. f = g −1 . Man sagt dann auch f (und natürlich auch g ) ist
Es seien
(1)
invertierbar.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 46 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.12
Denition: Umkehrabbildung
f : D → W und g : W → D Abbildungen mit den Eigenschaften
g ◦ f = idD und (2) f ◦ g = idW .
Dann heiÿen f und g Umkehrabbildungen voneinander und wir schreiben
g = f −1 bzw. f = g −1 . Man sagt dann auch f (und natürlich auch g ) ist
Es seien
(1)
invertierbar.
f : D → W hat genau dann eine Umkehrabbildung, wenn
f (x) = y für jedes y ∈ W genau eine Lösung x ∈ D hat.
Eine Abbildung
die Gleichung
Die Umkehrabbildung ist dann (für dieses
(x, y)-Paar)
durch
f −1 (y) = x
deniert.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 46 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.12
Denition: Umkehrabbildung
f : D → W und g : W → D Abbildungen mit den Eigenschaften
g ◦ f = idD und (2) f ◦ g = idW .
Dann heiÿen f und g Umkehrabbildungen voneinander und wir schreiben
g = f −1 bzw. f = g −1 . Man sagt dann auch f (und natürlich auch g ) ist
Es seien
(1)
invertierbar.
f : D → W hat genau dann eine Umkehrabbildung, wenn
f (x) = y für jedes y ∈ W genau eine Lösung x ∈ D hat.
Eine Abbildung
die Gleichung
Die Umkehrabbildung ist dann (für dieses
(x, y)-Paar)
durch
f −1 (y) = x
deniert.
Sind
D
und
W
Teilmengen von
Umkehrfunktion
f −1
R, so erhält man den Graphen der
aus dem Graphen von
f
durch Spiegelung an der
winkelhalbierenden.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 46 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.13
Denition: Monotonie
Es sei
I⊂
1
...
R und f : I → R eine Funktion. Dann heiÿt f ...
monoton wachsend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I
mit
x1 < x2
gilt
f (x1 ) ≤ f (x2 ).
2
...
streng monoton wachsend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I
mit
x1 < x2
gilt
f (x1 ) < f (x2 ).
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 47 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.13
Denition: Monotonie
Es sei
I⊂
1
...
R und f : I → R eine Funktion. Dann heiÿt f ...
monoton wachsend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I
mit
x1 < x2
gilt
f (x1 ) ≤ f (x2 ).
2
...
streng monoton wachsend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I
mit
x1 < x2
gilt
f (x1 ) < f (x2 ).
3
...
monoton fallend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I
mit
x1 < x2
gilt
f (x1 ) ≥ f (x2 ).
4
...
streng monoton fallend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I
mit
x1 < x2
gilt
f (x1 ) > f (x2 ).
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 47 / 142
Abbildungen und Funktionen
4.13
Denition: Monotonie
Es sei
I⊂
1
...
R und f : I → R eine Funktion. Dann heiÿt f ...
monoton wachsend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I
mit
x1 < x2
gilt
f (x1 ) ≤ f (x2 ).
2
...
streng monoton wachsend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I
mit
x1 < x2
gilt
f (x1 ) < f (x2 ).
3
...
monoton fallend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I
mit
x1 < x2
gilt
f (x1 ) ≥ f (x2 ).
4
...
streng monoton fallend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I
mit
x1 < x2
gilt
f (x1 ) > f (x2 ).
Beispiel: Die Potenzfunktionen
fq : [0, ∞[ → [0, ∞[
sind streng monoton
steigend.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 47 / 142
Trigonometrie
Kapitel 5 Trigonometrie
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 48 / 142
Trigonometrie
oder
im
(auch
Scheitel
S
Grad
Bogenmaÿ
Winkel werden in
Schenkel
Rad) angegeben:
360◦ =2π
b .
Winkelbereich
α
y
cot α
1
Durch
diese
Betrach-
tungen am Einheitskreis
r=1
sin α
werden vier Funktionen
tan α
deniert.
α
cos α
1
x
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 49 / 142
Trigonometrie
5.1
Denition: Winkelfunktionen
D
Name
Sinus
sin
Cosinus
cos
Tangens
tan
Cotangens
cot
R
R
W
[−1, 1]
R \ { 2k+1
2 π | k ∈ Z}
R \ {kπ | k ∈ Z}
[−1, 1]
R
R
Die Graphen der Sinus- und Cosinusfunktionen
y
y = sin x
π
y = cos x
2π x
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 50 / 142
Trigonometrie
Die Graphen der Tangens- und Cotangensfunktionen:
y
y = tan x
y = cot x
1
π
4
π
2
3π
4
π
5π
4
3π
2
x
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 51 / 142
Trigonometrie
5.2
Interpretation am rechtwinkligen Dreieck
C
Mit diesen Bezeichnungen gilt dann
b
a
A
α
c
sin α =
a
,
b
cos α =
c
b
und
tan α =
a
c
B
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 52 / 142
Trigonometrie
5.3
Denition: Periodische Funktionen
R R heiÿt T -periodisch, wenn
Es sei T > 0. Eine Funktion f :
→
f (x + T ) = f (x) für alle x ∈ .
R
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 53 / 142
Trigonometrie
5.3
Denition: Periodische Funktionen
R R heiÿt T -periodisch, wenn
Es sei T > 0. Eine Funktion f :
→
f (x + T ) = f (x) für alle x ∈ .
R
5.4
Denition: Symmetrie von Funktionen
Es sei
I⊂
R ein um 0 symmetrisches Intervall. Eine Funktion f : I → R
heiÿt ...
gerade, wenn f (−x) = f (x) für alle x ∈ I .
... ungerade, wenn f (−x) = −f (x) für alle x ∈ I .
1. ...
2.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 53 / 142
Trigonometrie
5.5
Satz: Eigenschaften der Winkelfunktionen
1.
sin
2.
sin(x + π) = − sin x
3.
sowie
sin(x +
cos
π
2)
sind
2π -
= cos x
und
und
und
tan
sowie
cot
sind
π -periodisch.
cos(x + π) = − cos x.
cos(x + π2 ) = − sin x.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 54 / 142
Trigonometrie
5.5
Satz: Eigenschaften der Winkelfunktionen
1.
sin
2.
sin(x + π) = − sin x
3.
= cos x und cos(x + π2 ) = − sin x.
sin x
1
tan x =
und cotx =
.
cos x
tan x
cos ist eine gerade Funktion und sin, tan und cot
4.
5.
sowie
sin(x +
cos
2π -
und
und
tan
sowie
cot
sind
π -periodisch.
cos(x + π) = − cos x.
π
2)
Funktionen.
6. Für alle
sind
x∈
sind ungerade
R gilt | sin x| ≤ 1 und | cos x| ≤ 1.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 54 / 142
Trigonometrie
5.5
Satz: Eigenschaften der Winkelfunktionen
1.
sin
2.
sin(x + π) = − sin x
3.
= cos x und cos(x + π2 ) = − sin x.
sin x
1
tan x =
und cotx =
.
cos x
tan x
cos ist eine gerade Funktion und sin, tan und cot
4.
5.
sowie
sin(x +
cos
sind
2π -
und
und
tan
sowie
cot
sind
π -periodisch.
cos(x + π) = − cos x.
π
2)
sind ungerade
Funktionen.
R gilt | sin x| ≤ 1 und | cos x| ≤ 1.
sin(x) = 0 genau dann, wenn x = kπ mit k ∈ Z.
6. Für alle
7.
x∈
cos(x) = 0
8.
9.
genau dann, wenn
x=
2k+1
2 π mit
k∈
Z.
= 1 der Trigonometrische Pythagoras.
1
1
2
cos2 x =
und sin x =
.
2
1 + tan x
1 + cot2 x
2
sin x +
cos2 x
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 54 / 142
Trigonometrie
5.6
Einschränkungen der Winkelfunktionen
Die folgenden Einschränkungen der Winkelfunktionen benutzt man zur
Deniton von Umkehrfunktionen:
1
2
sin π π : − π2 , π2 → [−1, 1] ist streng monoton wachsend.
− ,
2 2
cos [0,π] : [0, π] → [−1, 1] ist streng monoton fallend.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 55 / 142
Trigonometrie
5.6
Einschränkungen der Winkelfunktionen
Die folgenden Einschränkungen der Winkelfunktionen benutzt man zur
Deniton von Umkehrfunktionen:
3
sin π π : − π2 , π2 → [−1, 1] ist streng monoton wachsend.
− ,
2 2
cos [0,π] : [0, π] → [−1, 1] ist streng monoton fallend.
: − π , π → ist streng monoton wachsend.
tan 4
cot
1
2
− π2 , π2
]0,π[
:]0, π[ →
2
2
R
R ist streng monoton fallend.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 55 / 142
Trigonometrie
5.7
Denition: Arcusfunktionen
Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen werden Arcusfunktionen
genannt und sind
1.
arcsin : [−1, 1] → − π2 , π2
2.
arccos : [−1, 1] → [0, π]
arctan : → − π2 , π2
arccot : → 0, π[
3.
4.
R
R
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 56 / 142
Trigonometrie
5.7
Denition: Arcusfunktionen
Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen werden Arcusfunktionen
genannt und sind
1.
arcsin : [−1, 1] → − π2 , π2
2.
arccos : [−1, 1] → [0, π]
arctan : → − π2 , π2
arccot : → 0, π[
3.
4.
R
R
Die Graphen der Arcusfunktionen sehen wie folgt aus (siehe Bemerkung
4.12):
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 56 / 142
Trigonometrie
y
y
y = arccos x
y = arcsin x
π
2
π
y = arccot x
π
4
x
− π2
π
2
y = arctan x
1
x
− π2
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 57 / 142
Trigonometrie
Beim Rechnen mit den Winkelfunktionen sind folgende Additionstheoreme
sehr nützlich:
5.8
Satz: Additionstheoreme
1
sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x
2
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
tan x ± tan y
tan(x ± y) =
1 ∓ tan x tan y
3
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 58 / 142
Trigonometrie
Beim Rechnen mit den Winkelfunktionen sind folgende Additionstheoreme
sehr nützlich:
5.8
Satz: Additionstheoreme
1
sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x
2
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
tan x ± tan y
tan(x ± y) =
1 ∓ tan x tan y
3
Daraus erhält man dann
5.9
Folgerung: Doppelte Winkel
1.
sin(2x) = 2 sin x cos x
2.
cos(2x) = cos2 x − sin2 x
2 tan x
tan(2x) =
1 − tan2 x
cos2 x = 12 1 + cos(2x) und sin2 x =
3.
4.
1
2
1 − cos(2x)
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 58 / 142
Trigonometrie
Eine kleine Beweisskizze für die Additionstheoreme:
sin x cos y
cos x sin y
x
cos y
cos x cos y
x y
sin y
1
x+y
sin x sin y
cos(x + y)
sin(x + y)
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 59 / 142
Trigonometrie
Und nun noch ein paar spezielle Werte der Winkelfunktionen (und mit den
Additionstheoremen und der Periodizität dann natürlich weitere).
x
in Grad
0
30◦
45◦
60◦
90◦
x
in Rad
0
π
6
π
4
π
3
π
2
sin x
0
1
2
cos x
tan x
cotx
1
√
1
0
√
1
−
1
2
2
3
3
3
√
√
1
2
2
2
√
3
1
1
2
0
−
90◦
√
4
2
√
3
1
3
√
1
3 3
30◦
√
1
2
45◦
√
2
2
60◦
√
3
2
√
1
1
2
0
Eselsbrücke für die Sinus-Werte:
x
in Grad
sin x
0
√
0
2
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 60 / 142
Dierenzierbarkeit
Kapitel 6 Dierenzierbarkeit
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 61 / 142
Dierenzierbarkeit
Die Begrie
Grenzwert und Stetigkeit werden in Mathematikvorlesungen
genau deniert. Hier sollen lediglich die Ideen verdeutlicht werden.
6.1
Sei
Grenzwert und Stetigkeit
I
ein Intervall und
Eine Funktion
f :I→
x0
ein Punkt in
I
oder ein Randpunkt.
R hat in x0 den Grenzwert a, wenn sich die Werte
f (x) nur um beliebig wenig von a unterscheiden, wenn x immer
x0 rückt. f (x0 ) selbst wird dabei nicht betrachtet.
Schreibweisen: lim f (x) = a oder f (x) → a für x → x0 .
näher an
x→x0
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 62 / 142
Dierenzierbarkeit
Die Begrie
Grenzwert und Stetigkeit werden in Mathematikvorlesungen
genau deniert. Hier sollen lediglich die Ideen verdeutlicht werden.
6.1
Sei
Grenzwert und Stetigkeit
I
ein Intervall und
Eine Funktion
f :I→
x0
ein Punkt in
I
oder ein Randpunkt.
R hat in x0 den Grenzwert a, wenn sich die Werte
f (x) nur um beliebig wenig von a unterscheiden, wenn x immer
x0 rückt. f (x0 ) selbst wird dabei nicht betrachtet.
Schreibweisen: lim f (x) = a oder f (x) → a für x → x0 .
x→x0
Die Funktion
f
f
ist stetig auf
nennt man
I,
wenn
f
näher an
stetig in x0 ∈ I , wenn lim f (x) = f (x0 ) ist.
x→x0
in jedem Punkt von
I
stetig ist.
Beispiele unstetiger Funktionen sind Funktionen mit Sprungstellen oder
Polstellen.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 62 / 142
Dierenzierbarkeit
6.2
Denition: Dierenzierbarkeit
Es sei
f :I→
R eine Funktion auf dem oenen Intervall I ⊂ R. f heiÿt ...
dierenzierbar in dem Punkt x0 ∈ I , wenn der Grenzwert des
Dierenzenquotienten
1. ...
lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim
∈
h→0
x − x0
h
existiert. Dieser Wert wird dann mit
2.
f 0 (x0 )
R
bezeichnet und heiÿt die
Ableitung von f an der Stelle x0 .
... dierenzierbar auf I , wenn f an jeder Stelle x ∈ I
dierenzierbar ist.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 63 / 142
Dierenzierbarkeit
6.3
Grundlegende Beispiele
f (x)
f 0 (x)
c
0
x
1
x2
2x
xn
n · xn−1 , n ∈
f (x)
1
x
1
xn
N
f 0 (x)
−
−
1
x2
n
xn+1
sin x
cos x
cos x
− sin x
, n∈
N
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 64 / 142
Dierenzierbarkeit
Die Ableitung einer Funktion
f
kann man auch geometrisch interpretieren.
y
Die Steigung der Tangente
a
T
a
T
im Punkt
ist der Grenzwert der Sekantenstei-
gungen.
x
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 65 / 142
Dierenzierbarkeit
Die Ableitung einer Funktion
f
kann man auch geometrisch interpretieren.
y
Die Steigung der Tangente
a
6.4
im Punkt
ist der Grenzwert der Sekantenstei-
gungen.
T
a
T
x
Tangente
Die Gerade mit der Gleichung
y = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 )
heiÿt
Tangente an den Graphen von f
Tangente an
f
in
im Punkt
x0 , f (x0 )
(kurz auch:
x0 ).
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 65 / 142
Dierenzierbarkeit
Bemerkung: Dierenzierbarkeit in
die Funktionswerte von
f
x0
bedeutet also anschaulich, dass sich
in einer kleinen Umgebung von
die Werte der Tangente annähern lassen. Man sagt auch:
approximierbar. Genauer:
x0 gut durch
f ist linear
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 66 / 142
Dierenzierbarkeit
Bemerkung: Dierenzierbarkeit in
die Funktionswerte von
f
x0
bedeutet also anschaulich, dass sich
in einer kleinen Umgebung von
die Werte der Tangente annähern lassen. Man sagt auch:
approximierbar. Genauer:
6.5
x0 gut durch
f ist linear
Satz: Lineare Approximation
R
Es sei f : I →
eine Funktion auf dem oenen Intervall I ⊂
x0 ∈ I . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1.
f
ist dierenzierbar in
2. Es gibt eine Zahl
lim φ(x) = 0
x→x0
c∈
R und
x0 .
R und eine Funktion φ : I → R mit
und
f (x) = f (x0 ) + c · (x − x0 ) + φ(x) · (x − x0 ) .
In diesem Fall ist
c = f 0 (x0 ).
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 66 / 142
Dierenzierbarkeit
6.7
Satz: Dierentiationsregeln
1.
Vielfache
(cf )0 = cf 0
2.
Summenregel
(f + g)0 = f 0 + g 0
3.
Produktregel
4.
Kettenregel
5.
Quotientenregel
(f · g)0 = f 0 · g + f · g 0
(f ◦ g)0 (x) = f 0 g(x) · g 0 (x)
0
f
f 0g − f g0
=
g
g2
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 67 / 142
Dierenzierbarkeit
6.7
Satz: Dierentiationsregeln
1.
Vielfache
(cf )0 = cf 0
2.
Summenregel
(f + g)0 = f 0 + g 0
3.
Produktregel
4.
Kettenregel
5.
Quotientenregel
(f · g)0 = f 0 · g + f · g 0
(f ◦ g)0 (x) = f 0 g(x) · g 0 (x)
0
f
f 0g − f g0
=
g
g2
Insbesondere ist
1.
(f 2 )0 (x) = 2 · f (x) · f 0 (x).
2.
(f n )0 (x) = n · f n−1 (x) · f 0 (x).
0
1
f 0 (x)
(x) = − 2
.
f
f (x)
3.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 67 / 142
Dierenzierbarkeit
6.8
Satz: Ableitung der Umkehrfunktion
f auf dem Intervall I streng monoton und dierenzierbar und
f 0 6= 0. Dann ist die Umkehrfunktion f −1 dierenzierbar auf
J := f (I). Für y = f (x) ∈ J , also x = f −1 (y), gilt dann
Es sei
es
gelte
0
f −1 (y) =
1
f 0 (x)
.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 68 / 142
Dierenzierbarkeit
6.9
Anwendungen
f (x)
f 0 (x)
√
1
√
2 x
x
√
n
x
xr
tan x
arcsin x
arccos x
arctan x
1
1 1−n
√
= x n
n
n−1
n
n x
rxr−1
1 + tan2 x =
n∈
N
r ∈ Q \ {0}
1
cos2 x
1
1 − x2
1
−√
1 − x2
1
1 + x2
√
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 69 / 142
Dierenzierbarkeit
6.10
Ist
Satz
f :I→
R dierenzierbar in x0 ∈ I , so ist f auch stetig in x0.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 70 / 142
Dierenzierbarkeit
6.10
Ist
Satz
f :I→
6.11
R dierenzierbar in x0 ∈ I , so ist f auch stetig in x0.
Denition: Höhere Ableitungen
f auf I
x 7→ f 0 (x)
1. Ist
2. Ist
f
dierenzierbar, so heiÿt die Funktion
die
dierenzierbar, und
dierenzierbar.
f0
stetig auf
I
so nennt man
f und f 0 dierenzierbar auf I , dann
:= (f 0 )0 die zweite Ableitung von f .
3. Sind
f 00
Ableitung von f .
f0 : I →
R mit
f stetig
nennt man die Funktion
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 70 / 142
Dierenzierbarkeit
6.10
Ist
Satz
f :I→
6.11
R dierenzierbar in x0 ∈ I , so ist f auch stetig in x0.
Denition: Höhere Ableitungen
f auf I
x 7→ f 0 (x)
1. Ist
2. Ist
f
dierenzierbar, so heiÿt die Funktion
die
Ableitung von f .
dierenzierbar, und
dierenzierbar.
f0
stetig auf
I
so nennt man
f und f 0 dierenzierbar auf I , dann
:= (f 0 )0 die zweite Ableitung von f .
3. Sind
f 00
4. Ebenso deniert man höhere Ableitungen
5.
f
heiÿt
k -mal stetig dierenzierbar,
f0 : I →
wenn
R mit
f stetig
nennt man die Funktion
f 000 , f (4) , . . .
f (k)
existiert und stetig ist.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 70 / 142
Anwendungen der Dierentialrechnung
Kapitel 7 Anwendungen der Dierentialrechnung
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 71 / 142
Anwendungen der Dierentialrechnung
7.1
Satz: Mittelwertsatz der Dierentialrechnung
Es sei f auf [a, b]
x0 ∈]a, b[ mit
stetig und auf
]a, b[
f 0 (x0 ) =
dierenzierbar. Dann gibt es ein
f (b) − f (a)
.
b−a
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 72 / 142
Anwendungen der Dierentialrechnung
7.1
Satz: Mittelwertsatz der Dierentialrechnung
Es sei f auf [a, b]
x0 ∈]a, b[ mit
stetig und auf
]a, b[
f 0 (x0 ) =
7.2
Sei
1
dierenzierbar. Dann gibt es ein
f (b) − f (a)
.
b−a
Folgerung
f
auf
[a, b]
0
Ist f (x)
stetig und auf
≥ 0 (> 0)
]a, b[
dierenzierbar. Dann gilt:
für alle
x ∈]a, b[,
so ist
f
auf
[a, b]
(streng)
für alle
x ∈]a, b[,
so ist
f
auf
[a, b]
(streng)
f
[a, b]
monoton steigend.
2
Ist
f 0 (x) ≤ 0 (< 0)
monoton fallend.
3
Ist
f 0 (x) = 0
für alle
x ∈]a, b[,
so ist
auf
konstant.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 72 / 142
Anwendungen der Dierentialrechnung
Wenn nicht anders angegeben, sind im Folgenden die Intervalle stets oen
(diese werden dann mit
I
bezeichnet).
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 73 / 142
Anwendungen der Dierentialrechnung
Wenn nicht anders angegeben, sind im Folgenden die Intervalle stets oen
(diese werden dann mit
7.3
Satz: Krümmung
Es se
f :I→
I
bezeichnet).
R zweimal dierenzierbar. Dann heiÿt (der Graph von) f ...
linksgekrümmt, falls f 00 > 0 auf ganz I .
00
... rechtsgekrümmt, falls f < 0 auf ganz I .
1. ...
2.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 73 / 142
Anwendungen der Dierentialrechnung
Wenn nicht anders angegeben, sind im Folgenden die Intervalle stets oen
(diese werden dann mit
7.3
Satz: Krümmung
Es se
f :I→
I
bezeichnet).
R zweimal dierenzierbar. Dann heiÿt (der Graph von) f ...
linksgekrümmt, falls f 00 > 0 auf ganz I .
00
... rechtsgekrümmt, falls f < 0 auf ganz I .
1. ...
2.
7.4
Denition: Wendestelle, Wendepunkt
Es sei
f :I→
R zweimal dierenzierbar, x0 ∈ I und f 00(x) habe in x0
x0 eine Wendestelle und der Punkt
Wendepunkt (des Graphen) von f .
einen Vorzeichenwechsel. Dann heiÿt
x0 , f (x0 )
ein
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 73 / 142
Anwendungen der Dierentialrechnung
7.5
Denition: Extremum
Es sei
D⊂
Graph von)
1
2
R eine beliebige Teilmenge, f : D → R und x0 ∈ D. (Der
f
hat in
x0
ein ...
globales Maximum, wenn f (x) ≤ f (x0 ) für alle x ∈ D.
...globales Minimum, wenn f (x) ≥ f (x0 ) für alle x ∈ D .
...
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 74 / 142
Anwendungen der Dierentialrechnung
7.5
Denition: Extremum
Es sei
D⊂
Graph von)
1
2
3
f
hat in
x0
ein ...
globales Maximum, wenn f (x) ≤ f (x0 ) für alle x ∈ D.
...globales Minimum, wenn f (x) ≥ f (x0 ) für alle x ∈ D .
...lokales Maximum, wenn es ein oenes Intervall I mit x0 ∈ I
...
dass
4
R eine beliebige Teilmenge, f : D → R und x0 ∈ D. (Der
f (x) ≤ f (x0 )
für alle
x ∈ I ∩ D.
lokales Minimum, wenn es ein oenes Intervall I
...
dass
f (x) ≥ f (x0 )
für alle
gibt, so
mit
x0 ∈ I
gibt, so
x ∈ I ∩ D.
Extrema
zusammen. Wir nennen x0 eine Extremalstelle, f (x0 ) ein Extremum und
x0 , f (x0 ) einen Extrempunkt (des Graphen) von f .
Maxima und Minima fassen wir auch unter dem Namen
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 74 / 142
Anwendungen der Dierentialrechnung
7.6
Satz: Notwendiges Kriterium für Extrema
Es sei
f :I→
R dierenzierbar in x0 ∈ I . Hat f in x0 ein lokales
Extremum, so ist
f 0 (x0 ) = 0.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 75 / 142
Anwendungen der Dierentialrechnung
7.6
Satz: Notwendiges Kriterium für Extrema
Es sei
f :I→
R dierenzierbar in x0 ∈ I . Hat f in x0 ein lokales
Extremum, so ist
f 0 (x0 ) = 0.
Die Umkehrung dieses Satzes ist in der Regel nicht richtig. Das zeigt schon
das Beispiel
f (x) = x3
und
x0 = 0.
Das Phänomen des letzten Beispiels werden wir nun näher beleuchten.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 75 / 142
Anwendungen der Dierentialrechnung
7.7
Satz: Hinreichendes Kriterium für Extrema
Es sei
f :I→
R hinreichend oft dierenzierbar und x0 ∈ I mit f 0(x0) = 0.
Dann gilt
00
1. Ist f (x0 )
2. Ist
<0
,
>0
f 00 (x0 ) = 0
und
so hat
f
in
x0
f 000 (x0 ) 6= 0
ein
so hat
diesem Fall spricht man von einem
lokales Maximum
lokales Minimum
f
in
x0
.
eine Wendestelle. In
Sattelpunkt.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 76 / 142
Anwendungen der Dierentialrechnung
7.7
Satz: Hinreichendes Kriterium für Extrema
Es sei
f :I→
R hinreichend oft dierenzierbar und x0 ∈ I mit f 0(x0) = 0.
Dann gilt
00
1. Ist f (x0 )
2. Ist
<0
,
>0
f 00 (x0 ) = 0
und
so hat
f
in
x0
f 000 (x0 ) 6= 0
ein
so hat
diesem Fall spricht man von einem
lokales Maximum
lokales Minimum
f
in
x0
.
eine Wendestelle. In
Sattelpunkt.
Allgemeiner gilt:
f 00 (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0 und f (n) 6= 0, dann
• Ist n gerade, so hat f in x0 ein
(
(n) (x ) < 0
lokales Maximum, falls f
0
.
(n) (x ) > 0
lokales Minimum,
falls f
0
• Ist n ungerade, so hat f in x0 einen Wendepunkt.
3. Ist
gilt
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 76 / 142
Anwendungen der Dierentialrechnung
Beispiel: Wir betrachten
Funktion
f:
R → R mit f (x) = 2 +sincosx x . Da die
2π -periodisch ist, schauen wir sie uns nur auf einem Teilintervall
[0, 2π]. (genauer auf ] − δ, 2π + δ[, da wir ein oenes
an, nämlich auf
Intervall brauchen).
f (x)
y
f 0 (x)
f 00 (x)
2π
x
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 77 / 142
Integralrechnung
Kapitel 8 Integralrechnung
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 78 / 142
Integralrechnung
8.1
Denition: Stammfunktion
R
f, F : I → Funktionen. F heiÿt Stammfunktion von f auf I ,
I dierenzierbar ist und F 0 (x) = f (x) für alle x ∈ I .
Wenn wir für f eine Stammfunktion suchen, so sagen wir auch: wir
integrieren f .
Wenn wir eine Stammfunktion gefunden haben, so nennen wir f
Es seien
wenn
F
auf
integrierbar.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 79 / 142
Integralrechnung
8.1
Denition: Stammfunktion
R
f, F : I → Funktionen. F heiÿt Stammfunktion von f auf I ,
I dierenzierbar ist und F 0 (x) = f (x) für alle x ∈ I .
Wenn wir für f eine Stammfunktion suchen, so sagen wir auch: wir
integrieren f .
Wenn wir eine Stammfunktion gefunden haben, so nennen wir f
Es seien
wenn
F
auf
integrierbar.
8.2
1
Satz
Ist
F
eine Stammfunktion zu
Konstanten
2
c∈
f,
so ist auch
G=F +c
R eine Stammfunktion von f .
f sind von dieser
G und F zwei Stammfunktionen,
mit G(x) = F (x) + c.
mit einer
Alle Stammfunktionen zu
Form.
Sind also
so gibt es eine Konstante
c∈
R
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 79 / 142
Integralrechnung
8.3
Denition: unbestimmtes Integral
Die Menge aller ZStammfunktionen von
f
und wird mit
Ist
F
f (x) dx
f
heiÿt
unbestimmtes Integral von
bezeichnet.
eine Stammfunktion zu
f
so schreiben wir auch
Z
f (x) dx = F (x) + c .
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 80 / 142
Integralrechnung
8.3
Denition: unbestimmtes Integral
Die Menge aller ZStammfunktionen von
f
und wird mit
Ist
F
f (x) dx
f
heiÿt
unbestimmtes Integral von
bezeichnet.
eine Stammfunktion zu
f
so schreiben wir auch
Z
f (x) dx = F (x) + c .
8.4
Satz: erste Eigenschaften: Linearität
Z
1.
Z
2.
Z
Z
f (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx.
Z
c · f (x) dx = c · f (x) dx für c ∈ .
R
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 80 / 142
Integralrechnung
8.5
Beispiele
1. Wir bekommen grundlegende Beispiele für Stammfunktionen, wenn
wir die Tabellen zu Beispiel 6.3 von rechts nach links lesen.
2. Insbesondere können wir alle Polynome integrieren und bekommen für
p(x) =
n
X
ak xk
k=0
Z
p(x) dx = c +
n+1
X
k=1
ak−1 k
x
k
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 81 / 142
Integralrechnung
Nun folgen zwei wichtige Eigenschaften des Integrals, die sich auf Produkte
und Verkettungen von Funktionen beziehen. Sie folgen direkt aus den
Rechenregeln für das Dierenzieren (Satz 6.7).
8.6
Z
Satz: Partielle Integration
0
f (x) · g (x) dx = f (x) · g(x) −
Z
f 0 (x) · g(x) dx.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 82 / 142
Integralrechnung
Nun folgen zwei wichtige Eigenschaften des Integrals, die sich auf Produkte
und Verkettungen von Funktionen beziehen. Sie folgen direkt aus den
Rechenregeln für das Dierenzieren (Satz 6.7).
8.6
Z
Satz: Partielle Integration
0
f (x) · g (x) dx = f (x) · g(x) −
8.7
Z
f 0 (x) · g(x) dx.
Satz: Substitution
Ist F eine Stammfunktion zu f und ist g
Z
f g(x) · g 0 (x) dx = F g(x) + c.
dierenzierbar, so gilt
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 82 / 142
Integralrechnung
8.8
Folgerungen
Es sei
F
eine Stammfunktion zu
f.
Dann ist
Z
f (x + a) dx = F (x + a) + c
1.
Z
2.
3.
4.
1
F (a · x) + c
a
Z
2
1
g(x) · g 0 (x) dx = g(x) + c
2
Z
1
x · f x2 dx = · F x2 + c
2
f (a · x) dx =
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 83 / 142
Integralrechnung
8.9
Denition: bestimmtes Integral
Es sei
f : [a, b] →
R eine Funktion. Dann hat der Wert F (b) − F (a) für
jede Stammfunktion
F
von
bestimmtes Integral von f
Z
a
b
f
den gleichen Wert. Dieser Wert heiÿt
in den Grenzen
a
und
b
und wird mit
b
f (x) dx = F (x) := F (b) − F (a).
a
bezeichnet. f heiÿt Integrand und a bzw. b untere bzw. obere
Integrationsgrenze sowie [a, b] das Integrationsintervall.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 84 / 142
Integralrechnung
8.10
1
2
Satz: Eigenschaften des bestimmten Integrals
Z
a
Z
b
Z
a
f (x) dx = 0 und
f (x) dx = −
f (x) dx.
a
a
b
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx.
a
a
c
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 85 / 142
Integralrechnung
8.10
1
2
3
Satz: Eigenschaften des bestimmten Integrals
Z
a
Z
b
Z
a
a
4
a
f (x) dx = 0 und
f (x) dx = −
f (x) dx.
a
a
b
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx.
a
a
c
Z b
b Z b
0
f (x) · g 0 (x).
f (x) · g(x) dx = f (x) · g(x) −
Ist
Z
a
b
F
f
eine Stammfunktion zu
f g(x) · g 0 (x) dx =
Z
g(b)
g(a)
a
und ist
g
dierenzierbar, so gilt
g(b)
f (t) dt = F (t) .
g(a)
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 85 / 142
Integralrechnung
8.10
1
2
3
Satz: Eigenschaften des bestimmten Integrals
Z
a
b
Z
Z
a
a
4
Ist
Z
b
F
f g(x) · g 0 (x) dx =
Z
g(b)
g(a)
Z
Ist
f
eine Stammfunktion zu
a
5
a
f (x) dx = 0 und
f (x) dx = −
f (x) dx.
a
a
b
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx.
a
a
c
Z b
b Z b
0
f (x) · g 0 (x).
f (x) · g(x) dx = f (x) · g(x) −
f (x) ≤ g(x)
a
und ist
a
dierenzierbar, so gilt
g(b)
f (t) dt = F (t) .
b
g(a)
Z
f (x) dx ≤
so ist
g
b
g(x) dx.
a
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 85 / 142
Integralrechnung
y
y = f (x)
a
Af (a, b)
8.11
b
x
Folgerung: Integral und Flächeninhalt
Das Integral
Rb
a
f (x) dx
lässt sich als der (orientierte) Inhalt der Fläche
unter dem Graphen der Funktion
f
im Intervall
[a, b]
deuten.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 86 / 142
Integralrechnung
8.12
Denition und Satz: geometrischer Flächeninhalt
Es sei
f
integrierbar. Der
dem Intervall
mit der
[a, b]
x-Achse
geometrische Flächeninhalt Af (a, b) von f
auf
ist deniert als Inhalt der Fläche, die der Graph von
einschlieÿt.
Z
Dieser lässt sich gemäÿ
b
|f (x)| dx
Af (a, b) =
f
berechnen.
a
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 87 / 142
Integralrechnung
8.12
Denition und Satz: geometrischer Flächeninhalt
Es sei
f
integrierbar. Der
dem Intervall
mit der
[a, b]
x-Achse
geometrische Flächeninhalt Af (a, b) von f
auf
ist deniert als Inhalt der Fläche, die der Graph von
einschlieÿt.
Z
Dieser lässt sich gemäÿ
b
|f (x)| dx
Af (a, b) =
f
berechnen.
a
8.13
Beispiel
F (x) = 14 x4 eine Stammfunktion. Damit
Z 1
1
f (x) dx = F (x) = 0, aber
−1
−1
Z 1
Z 1
1 1
Af (−1, 1) =
|f (x)| dx = 2
f (x) dx = F (x) = .
2
0
−1
0
Für
f (x) = x3
ist
gilt also
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 87 / 142
Integralrechnung
Wir haben schon gesehen, dass Integration in einem gewissen Sinne die
Umkehrung der Dierentiation ist. Zum Abschluÿ dieses Kapitels zitieren
wir noch den Satz, der diesen Sachverhalt mathematisch formuliert. Dieser
heiÿt
8.14
Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung
Jede auf einem Intervall
Stammfunktion
[a, b]
stetige Funktion
f
besitzt eine
F.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 88 / 142
Integralrechnung
Wir haben schon gesehen, dass Integration in einem gewissen Sinne die
Umkehrung der Dierentiation ist. Zum Abschluÿ dieses Kapitels zitieren
wir noch den Satz, der diesen Sachverhalt mathematisch formuliert. Dieser
heiÿt
8.14
Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung
Jede auf einem Intervall
Stammfunktion
[a, b]
stetige Funktion
f
besitzt eine
F.
x ∈ [a, b]
Z x
F (x) :=
f (t) dt
Genauer gilt: Deniert man für
a
so ist diese Funktion auf
gilt
[a, b]
stetig, auf
]a, b[
stetig dierenzierbar und es
F 0 (x) = f (x).
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 88 / 142
Logarithmus- und Exponentialfunktion
Kapitel 9 Logarithmus- und Exponentialfunktion
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 89 / 142
Logarithmus- und Exponentialfunktion
Wir können laut des Hauptsatzes der Dierential- und Integralrechnung alle
stetigen Funktionen integrieren. Die Funktion
f (x) =
1
x tauchte allerdings
in unseren Beispielen zur Dierentiation nie als Ergebnis auf (vgl. Tabellen
aus Beispiel 6.3). Ihre Stammfunktion kennen wir also bisher nicht und wir
denieren deshalb wie folgt:
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 90 / 142
Logarithmus- und Exponentialfunktion
Wir können laut des Hauptsatzes der Dierential- und Integralrechnung alle
stetigen Funktionen integrieren. Die Funktion
f (x) =
1
x tauchte allerdings
in unseren Beispielen zur Dierentiation nie als Ergebnis auf (vgl. Tabellen
aus Beispiel 6.3). Ihre Stammfunktion kennen wir also bisher nicht und wir
denieren deshalb wie folgt:
9.1
Die
Denition: Logarithmusfunktion
Logarithmusfunktion (oder der Logarithmus) ln : R+ → R ist deniert
über eine Stammfunktion der auf
R+ stetigen Funktion x 7→ x1 . Genauer:
Z
ln x :=
1
x
1
dt .
t
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 90 / 142
Logarithmus- und Exponentialfunktion
9.2
Satz: Eigenschaften des Logarithmus
1
.
x
1.
ln0 (x) =
2.
ln 1 = 0.
3.
ln(x · y) = ln x + ln y .
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 91 / 142
Logarithmus- und Exponentialfunktion
9.2
Satz: Eigenschaften des Logarithmus
1
.
x
1.
ln0 (x) =
2.
ln 1 = 0.
3.
5.
ln(x · y) = ln x + ln y .
1
ln = − ln x.
x
ln(xr ) = r ln x, ∀r ∈ Q
6.
ln
4.
7.
(später
∀r ∈
R).
ist streng monoton steigend.
lim ln x = ∞
x→∞
Da der Logarithmus
und
ln
lim ln x = −∞
x→0+
streng monoton ist, existiert seine Umkehrfunktion.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 91 / 142
Logarithmus- und Exponentialfunktion
9.3
Die
Denition: Exponentialfunktion
Exponentialfunktion exp : R → R+
Die Zahl
R
R
ist die Umkehrfunktion des
ln : + → .
e := exp(1) = ln−1 (1) ≈ 2, 718281828 . . .
Logarithmus
heiÿt
Eulersche Zahl.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 92 / 142
Logarithmus- und Exponentialfunktion
9.3
Die
Denition: Exponentialfunktion
Exponentialfunktion exp : R → R+
Die Zahl
9.4
R
R
ist die Umkehrfunktion des
ln : + → .
e := exp(1) = ln−1 (1) ≈ 2, 718281828 . . .
Logarithmus
heiÿt
Eulersche Zahl.
Satz: Eigenschaften der Exponentialfunktion
1.
exp
2.
exp(ln x) = ln(exp x) = x.
3.
exp(0) = 1
ist streng monoton wachsend.
und
exp(x) > 0.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 92 / 142
Logarithmus- und Exponentialfunktion
9.3
Die
Denition: Exponentialfunktion
Exponentialfunktion exp : R → R+
R
Die Zahl
9.4
R
heiÿt
Eulersche Zahl.
Satz: Eigenschaften der Exponentialfunktion
1.
exp
2.
exp(ln x) = ln(exp x) = x.
3.
exp(0) = 1
4.
ist die Umkehrfunktion des
ln : + → .
e := exp(1) = ln−1 (1) ≈ 2, 718281828 . . .
Logarithmus
ist streng monoton wachsend.
und
exp(x) > 0.
lim exp(x) = ∞
x→∞
und
lim exp(x) = 0
x→−∞
5.
exp(x) · exp(y) = exp(x
n + y),
exp(n · x) = exp(x) .
6.
exp(rx) = (exp(x))r ∀r ∈ Q
0
7. exp (x)
insbesondere gilt für
(später
∀r ∈
n∈
N damit
R).
= exp(x).
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 92 / 142
Logarithmus- und Exponentialfunktion
9.5
Bemerkung
Aus Satz 9.4 Punkt 5. folgt
Deshalb schreiben wir
exp(q) = eq
exp(x) = ex
für alle
sogar für
q∈
x∈
R.
Q.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 93 / 142
Logarithmus- und Exponentialfunktion
9.5
Bemerkung
Aus Satz 9.4 Punkt 5. folgt
Deshalb schreiben wir
exp(q) = eq
exp(x) = ex
für alle
sogar für
q∈
x∈
R.
Q.
Sinn bekommt die Schreibweise aus der vorigen Bemerkung durch
9.6
Für
Denition: allgemeine Potenz
a, b ∈
R mit a > 0 denieren wir die allgemeine Potenz ab durch
ab := exp(b ln a) .
9.6
Folgerung für die Potenzfunktion
Für alle
r∈
R und x ∈]0, ∞[ gilt
(xr )0 = rxr−1 .
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 93 / 142
Logarithmus- und Exponentialfunktion
Mit Hilfe des Logarithmus können wir unsere Integralregeln weiter ergänzen:
9.7
1
2
Satz
Z
1
dx = ln |x| + c.
x
Z 0
f (x)
dx = ln |f (x)| + c.
f (x)
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 94 / 142
Komplexe Zahlen
Kapitel 10 Komplexe Zahlen
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 95 / 142
Komplexe Zahlen
Die komplexen Zahlen entstehen aus den reellen Zahlen, indem eine neues
Element
10.1
i
(in der Elektrotechnik
j)
mit
i2 = −1
hinzugenommen wird:
Denition: Komplexe Zahlen
Die Menge C der komplexen Zahlen ist deniert als
C = {x + yi | x, y ∈ R}. Dabei sollen die Rechenregeln der reellen Zahlen
gelten (Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz), und zusätzlich sei
i2 = −1.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 96 / 142
Komplexe Zahlen
Die komplexen Zahlen entstehen aus den reellen Zahlen, indem eine neues
Element
10.1
i
(in der Elektrotechnik
j)
mit
i2 = −1
hinzugenommen wird:
Denition: Komplexe Zahlen
Die Menge C der komplexen Zahlen ist deniert als
C = {x + yi | x, y ∈ R}. Dabei sollen die Rechenregeln der reellen Zahlen
gelten (Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz), und zusätzlich sei
i2 = −1.
Ist z = x + yi eine komplexe Zahl,
Realteil und y Imaginärteil von z .
x = Re z und y = Im z .
Die reellen Zahlen kann man durch
so heiÿen die beiden reellen Zahlen
x = x + 0i
als Teilmenge von
x
C
auassen.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 96 / 142
Komplexe Zahlen
Die komplexen Zahlen entstehen aus den reellen Zahlen, indem eine neues
Element
10.1
i
(in der Elektrotechnik
j)
mit
i2 = −1
hinzugenommen wird:
Denition: Komplexe Zahlen
Die Menge C der komplexen Zahlen ist deniert als
C = {x + yi | x, y ∈ R}. Dabei sollen die Rechenregeln der reellen Zahlen
gelten (Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz), und zusätzlich sei
i2 = −1.
Ist z = x + yi eine komplexe Zahl,
Realteil und y Imaginärteil von z .
x = Re z und y = Im z .
Die reellen Zahlen kann man durch
so heiÿen die beiden reellen Zahlen
x = x + 0i
als Teilmenge von
x
C
auassen.
Achtung: Auf
C ist keine Ordnung deniert!
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 96 / 142
Komplexe Zahlen
10.2
Gauÿ'sche Zahlenebene
Die komplexen Zahlen lassen sich als Elemente der Ebene darstellen. Die
Addition ist die Addition von Vektoren.
Für
z =1+i
und
w =4+i
ist
z + w = 5 + 2i.
z+w
2i
z
i
w
1
2
3
4
5
6
−i
Die Zahlen der Form
z = 0 + iy
die
z = x + 0i
imaginäre Achse.
bilden die
reelle Achse, die der Form
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 97 / 142
Komplexe Zahlen
Beim Multiplizieren wird einfach
10.3
Ist
i2 = −1
beachtet:
Addition und Multiplikation
z = a + bi
und
w = c + di,
so ist
1.
z ± w = (a ± c) + (b ± d)i
2.
zw = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 98 / 142
Komplexe Zahlen
Beim Multiplizieren wird einfach
10.3
Ist
i2 = −1
beachtet:
Addition und Multiplikation
z = a + bi
und
w = c + di,
so ist
1.
z ± w = (a ± c) + (b ± d)i
2.
zw = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
10.4
Konjugiert komplexe Zahl
z = a + ib,
z = a − ib.
Ist
so ist die
konjugiert komplexe Zahl z
deniert durch
Mit der dritten binomischen Formel ist
z · z = (a + ib)(a − ib) = a2 − i2 b2 = a2 + b2
immer reell und nicht-negativ.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 98 / 142
Komplexe Zahlen
Durch Erweiterung mit der konjugiert komplexen Zahl kann man für Zahlen
ungleich Null Kehrwerte ausrechnen:
10.5
Kehrwert
a − ib
1
z
a
b
=
= 2
= 2
−i 2
.
z
z·z
a + b2
a + b2
a + b2
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 99 / 142
Komplexe Zahlen
Durch Erweiterung mit der konjugiert komplexen Zahl kann man für Zahlen
ungleich Null Kehrwerte ausrechnen:
10.5
Kehrwert
a − ib
1
z
a
b
=
= 2
= 2
−i 2
.
z
z·z
a + b2
a + b2
a + b2
Genauso kann man komplexe Zahlen durcheinander teilen:
10.6
Quotient
z
a + bi
(a + bi)(c − di)
(ac + bd) + i(bc − ad)
=
=
=
.
w
c + di
(c + di)(c − di)
c2 + d2
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 99 / 142
Komplexe Zahlen
Durch Erweiterung mit der konjugiert komplexen Zahl kann man für Zahlen
ungleich Null Kehrwerte ausrechnen:
10.5
Kehrwert
a − ib
1
z
a
b
=
= 2
= 2
−i 2
.
z
z·z
a + b2
a + b2
a + b2
Genauso kann man komplexe Zahlen durcheinander teilen:
10.6
Quotient
z
a + bi
(a + bi)(c − di)
(ac + bd) + i(bc − ad)
=
=
=
.
w
c + di
(c + di)(c − di)
c2 + d2
Es stellt sich heraus, dass man Zahlen aus
C wie reelle Zahlen addieren,
subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann, und dass weiter die
Kommutativ-, Distributiv- und Assoziativgesetze gelten.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 99 / 142
Komplexe Zahlen
10.7
Weitere Eigenschaften der konjugiert komplexen Zahl
1.
z =z
2.
z+w =z+w
3.
z · w = z · w,
4. Für
5.
R ist
z
z=z
1
Re z =
(z + z),
2
10.8
Der
z∈
1
=
Im z
1
(z 6= 0)
z
=
1
(z − z)
2i
Denition und Eigenschaften: Betrag
Betrag
einer komplexen Zahl z = a + ib ist deniert durch
√
|z| =
a2 + b2 .
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 100 / 142
Komplexe Zahlen
10.7
Weitere Eigenschaften der konjugiert komplexen Zahl
1.
z =z
2.
z+w =z+w
3.
z · w = z · w,
4. Für
5.
R ist
z
z=z
1
Re z =
(z + z),
2
10.8
Der
z∈
1
=
Im z
1
(z 6= 0)
z
=
1
(z − z)
2i
Denition und Eigenschaften: Betrag
Betrag
einer komplexen Zahl z = a + ib ist deniert durch
√
|z| =
Es ist
a2 + b2 .
|z|2 = zz
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 100 / 142
Komplexe Polarkoordinaten
Kapitel 11 Komplexe Polarkoordinaten
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 101 / 142
Komplexe Polarkoordinaten
11.1
Sei
Satz: Polarkoordinatendarstellung
z∈
C \ {0} eine komplexe Zahl, die wir als Punkt in der Zahlenebene
betrachten.
Dann gibt es einen Winkel
ϕ ∈ ] − π, π] und eine reelle Zahl r > 0, so dass z die
folgende Darstellung hat
z = a + ib
z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
Um auch
z = 0
behandeln
zu können beschreiben wir
diese Zahl durch
r=0
und
r = |z|
b = Im z
ϕ = arg z
a = Re z
einen beliebigen Winkel.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 102 / 142
Komplexe Polarkoordinaten
11.2
Denition: Polarkoordinaten
Polarkoordinatendarstellung der
Argument und wird mit arg(z) bezeichnet.
Die Darstellung aus dem obigen Satz heiÿt
Zahl
11.3
z
und der Winkel
ϕ
heiÿt
Satz: Umrechnung
1. Ist
z = r(cos ϕ + i sin ϕ),
so ist
a = r cos ϕ
2. Ist
z = a + ib
und
mit
b = r sin ϕ .
√
r = |z| = a2 + b2 und für z 6= 0 ist

b

arctan − π falls a < 0, b < 0


a



− π2
falls a = 0, b < 0


b
arg(z) = arctan
falls a > 0

a


π

falls a = 0, b > 0


2


b

arctan + π falls a < 0, b ≥ 0.
a
z = a + ib,
so ist
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 103 / 142
Komplexe Polarkoordinaten
11.4
Satz: Rechnen mit Polarkoordinaten
1. Für alle reellen Zahlen gilt:
a>0
a<0
genau dann, wenn
2.
arg(a) = 0
arg(a) = π
arg(z) = − arg(z),
3.
arg(wz) = arg(w) + arg(z),
und
|z| = |z|
und
|wz| = |w| |z|
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 104 / 142
Komplexe Polarkoordinaten
11.4
Satz: Rechnen mit Polarkoordinaten
1. Für alle reellen Zahlen gilt:
2.
3.
4.
5.
a>0
a<0
genau dann, wenn
arg(a) = 0
arg(a) = π
arg(z) = − arg(z),
und
|z| = |z|
arg(wz) = arg(w) + arg(z), und |wz| = |w| |z|
1
1
1
arg
= − arg(z), und =
z
z
|z|
(
arg(z) + π falls arg(z) ≤ 0
arg(−z) =
.
arg(z) − π falls arg(z) > 0
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 104 / 142
Komplexe Polarkoordinaten
11.4
Satz: Rechnen mit Polarkoordinaten
1. Für alle reellen Zahlen gilt:
2.
3.
4.
5.
a>0
a<0
genau dann, wenn
arg(a) = 0
arg(a) = π
arg(z) = − arg(z),
und
|z| = |z|
arg(wz) = arg(w) + arg(z), und |wz| = |w| |z|
1
1
1
arg
= − arg(z), und =
z
z
|z|
(
arg(z) + π falls arg(z) ≤ 0
arg(−z) =
.
arg(z) − π falls arg(z) > 0
Insbesondere ist
arg(z k ) = k arg(z)
und
|z k | = |z|k
für
k∈
Z.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 104 / 142
Komplexe Polarkoordinaten
11.4
Satz: Rechnen mit Polarkoordinaten
1. Für alle reellen Zahlen gilt:
2.
3.
4.
5.
a>0
a<0
genau dann, wenn
arg(a) = 0
arg(a) = π
arg(z) = − arg(z),
und
|z| = |z|
arg(wz) = arg(w) + arg(z), und |wz| = |w| |z|
1
1
1
arg
= − arg(z), und =
z
z
|z|
(
arg(z) + π falls arg(z) ≤ 0
arg(−z) =
.
arg(z) − π falls arg(z) > 0
Insbesondere ist
arg(z k ) = k arg(z)
Formel von Moivre:
Für alle
ϕ∈
und
|z k | = |z|k
für
k∈
Z.
R und n ∈ Z gilt
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos(nϕ) + i sin(nϕ) .
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 104 / 142
Komplexe Polarkoordinaten
Damit können wir nun einige der einer Zahl
z
zugeordneten Zahlen in die
Ebene einzeichnen:
Im z
i
|z| = 1
z
1
−z
1
z
Re z
z
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 105 / 142
Komplexe Polarkoordinaten
Die Multiplikation komplexer Zahlen ist in Polarkoordinaten besonders
einfach (siehe 11.4)
z · w = −4 + 2i
Im z
w = −1 + i
z =3+i
Re z
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 106 / 142
Komplexe Polarkoordinaten
11.5
Für
Denition: komplexe Exponentialfunktion
w = a + ib ∈
C denieren wir
ew := exp(w) := ea (cos b + i sin b) .
Für
t∈
R heiÿt das eit = cos t + i sin t.
Damit schreibt sich die Polarkoordinatendarstellung
z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
kürzer als
z = reiϕ .
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 107 / 142
Komplexe Polarkoordinaten
11.5
Für
Denition: komplexe Exponentialfunktion
w = a + ib ∈
C denieren wir
ew := exp(w) := ea (cos b + i sin b) .
Für
t∈
R heiÿt das eit = cos t + i sin t.
Damit schreibt sich die Polarkoordinatendarstellung
z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
kürzer als
z = reiϕ .
Die so denierte komplexe Exponentialfunktion hat dann bezüglich
Multiplikation, Division und Potenzen die gleichen Eigenschaften wie die
reelle Exponentialfunktion.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 107 / 142
Lineare Gleichungssysteme
Kapitel 12 Lineare Gleichungssysteme
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 108 / 142
Lineare Gleichungssysteme
12.1
Denition: Lineares Gleichungssystem LGS
Ein (reelles)
lineares Gleichungssystem (LGS) mit n Variablen
x1 , x2 , . . . , xn
und
m
Gleichungen hat folgende Gestalt
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
.
.
.
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
mit
Die
R für 1 ≤ i ≤ n und 1 ≤ j ≤ m.
aij , bj ∈
aij nennen
wir die
Koezienten des LGS und die bj
nennen wir die
rechte Seite des LGS.
Das LGS heiÿt homogen, wenn die rechte Seite nur aus Nullen besteht.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 109 / 142
Lineare Gleichungssysteme
Wir denieren
A
heiÿt eine
Einträge von
heiÿt
R


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


A :=  .
.
. .
.
. 
 ..
.
.
am1 am2 . . . amn
Matrix. Die Zahlen aij ∈ R, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n heiÿen
A.
Der Raum aller
(m × n)-Matrizen
mit reellen Einträgen
m×n
Das LGS ist äquivalent zu
Ax = b,
wobei
(Ax)i :=
n
X
aij xj
∀i = 1, . . . , m.
j=1
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 110 / 142
Lineare Gleichungssysteme
Kurzschreibweise: Statt der Form in oben benutzen wir auch die etwas
kompaktere Schreibweise
(A|b) :=
a11
a21
a12
a22
.
.
.
.
.
.
am1 am2
a1n b1
a2n b2
. .
. .
.
.
. . . amn bm
...
...
.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 111 / 142
Lineare Gleichungssysteme
Kurzschreibweise: Statt der Form in oben benutzen wir auch die etwas
kompaktere Schreibweise
(A|b) :=
a11
a21
a12
a22
.
.
.
.
.
.
am1 am2
12.3
a1n b1
a2n b2
. .
. .
.
.
. . . amn bm
...
...
.
Denition: Lösungsmenge
Die Lösungsmenge des LGS
(A|b)
L(A, b) := (x1 , . . . , xn ) ∈
bezeichnen wir mit
Rn | (x1, . . . , xn) löst (A|b)
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 111 / 142
Lineare Gleichungssysteme
12.4
Satz: Gauÿ-Operationen
Die folgenden Operationen verändern die Lösungsmenge eines LGS nicht:
1. Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl
a 6= 0.
2. Vertauschen von Zeilen.
3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
4. Vertauschen von Spalten
Achtung: Wenn man Punkt 4. anwendet, muss man sich merken, welche
Variable zu welcher Spalte gehört!
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 112 / 142
Lineare Gleichungssysteme
12.5
Satz: Gauÿ-Algorithmus
Es sei
(A|b)
ein lineares Gleichungssystem, dann kann man durch geeignete
Gauÿ-Operationen erreichen, dass das LGS die folgende Form bekommt:
y1 y2 · · ·
1 0 ···
0 1 ···
Die
yj
yk yk+1 · · ·
0
∗
···
0
∗
···
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
0
0
0
0
···
···
1
0
.
.
.
.
.
.
0
0
0
c1
c2
.
.
.
.
.
.
∗
0
.
.
.
···
yn
∗
∗
···
···
∗
0
ck
ck+1
.
.
.
0
sind die Variablennamen
···
x1
.
.
.
0
bis
cm
xn ,
aber eventuell in vertauschter
Reihenfolge.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 113 / 142
Lineare Gleichungssysteme
Praktische Durchführung des Gauÿ-Algorithmus:
1k Wir versuchen durch 3.(Tausch von Zeilen), 4.(Tausch von Spalten)
und 1.(Skalierung einer Zeile) eine 1 in die obere linke Ecke zu
bekommen.
(Ist dies nicht möglich, dann endet der Algorithmus, denn die
Koezienten, mit denen man diesen Schritt gestartet hat, sind alle
Null.)
2k Durch Anwenden von 2.(Addition von Zeilen) erzeugen wir Nullen
unterhalb und oberhalb dieser 1.
3k Wir beginnen nun wieder mit Step1. Allerdings wenden wir ihn auf
das kleinere System an, das wir durch Löschen der ersten Spalte und
ersten Zeile erhalten.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 114 / 142
Vektoren
Kapitel 13 Vektoren
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 115 / 142
Vektoren
13.1
Ein
Denition: Vektoren im Zahlenraum
Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-Tupel reeller
Zahlen, also ein Element aus
Rn. Wir schreiben die Komponenten eines
Vektors in eine Spalte:
 
v1
 v2 

~v = 
 ... 
~v = (v1 , v2 , . . . , vn )T ,
wir
die
platzsparende
wobei das
T
meinen).
Denition: Rechnen mit Vektoren
v1
 
Mit
benutzen
Schreibweise
andeutet, dass wir eigentlich einen Spaltenvektor
vn
13.2
(Manchmal

~v =  ... , w
~ =

α · ~v = 
vn

αv1
.
.
.
w1

.
.
.

wn

und
α∈
R ist ~v + w~ = 
v1 + w1

.
.
.

und
vn + wn
.
αvn
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 116 / 142
Vektoren
Wir beschränken uns in den kommenden Betrachtungen auf
R2 und R3,
obwohl alles auch im Höherdimensionalen und allgemeineren Situationen
richtig bleibt.
2~v
~v
~0
~v + w
~
− 12 ~v
w
~
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 117 / 142
Vektoren
13.3
Satz: Rechenregeln für Vektoren
Es seien
~u, ~v
und
w
~
Vektoren und
α
und
β
seien reelle Zahlen, dann gilt:
1.
~v + w
~ =w
~ + ~v .
2.
~u + (~v + w)
~ = (~u + ~v ) + w
~.
Es gibt einen Nullvektor ~
0 mit ~v + ~0 = ~0 + ~v = ~v .
3.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 118 / 142
Vektoren
13.3
Satz: Rechenregeln für Vektoren
Es seien
~u, ~v
und
w
~
Vektoren und
α
und
β
seien reelle Zahlen, dann gilt:
1.
~v + w
~ =w
~ + ~v .
2.
4.
~u + (~v + w)
~ = (~u + ~v ) + w
~.
Es gibt einen Nullvektor ~
0 mit ~v + ~0 = ~0 + ~v = ~v .
Zu ~
v gibt es einen Vektor −~v mit ~v + (−~v ) = ~0.
5.
α · (β · ~v ) = (αβ) · ~v .
6.
1 · ~v = ~v .
3.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 118 / 142
Vektoren
13.3
Satz: Rechenregeln für Vektoren
Es seien
~u, ~v
und
w
~
Vektoren und
α
und
β
seien reelle Zahlen, dann gilt:
1.
~v + w
~ =w
~ + ~v .
2.
4.
~u + (~v + w)
~ = (~u + ~v ) + w
~.
Es gibt einen Nullvektor ~
0 mit ~v + ~0 = ~0 + ~v = ~v .
Zu ~
v gibt es einen Vektor −~v mit ~v + (−~v ) = ~0.
5.
α · (β · ~v ) = (αβ) · ~v .
6.
1 · ~v = ~v .
7.
(α + β) · ~v = α · ~v + β · ~v .
8.
α · (~v + w)
~ = α · ~v + α · w
~
3.
Bemerkung zu 3.: ... nämlich
~0 := (0, 0, . . . , 0)T .
Bemerkung zu 4.: ... nämlich
−~v := (−1) · ~v = (−v1 , . . . , −vn )T .
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 118 / 142
Vektoren
13.4
Denition: Linearkombination
Es seien
~v1 , . . . , ~vn
Elemente des
Rm. Eine Summe der Form
α1~v1 + α2~v2 + . . . + αn~vn
heiÿt
Linearkombination und die Zahlen αj ∈ R heiÿen Koezienten der
Linearkombination.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 119 / 142
Vektoren
13.4
Denition: Linearkombination
Es seien
~v1 , . . . , ~vn
Elemente des
Rm. Eine Summe der Form
α1~v1 + α2~v2 + . . . + αn~vn
heiÿt
Linearkombination und die Zahlen αj ∈ R heiÿen Koezienten der
Linearkombination.
6
4
2
!
Beispiele: Der Vektor
1
0
0
!
,
0
1
0
!
und
0
0
1
∈
R3 ist eine Linearkombination der Vektoren
!
mit Koezienten
6, 4
und
2,
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 119 / 142
Vektoren
13.4
Denition: Linearkombination
Es seien
~v1 , . . . , ~vn
Elemente des
Rm. Eine Summe der Form
α1~v1 + α2~v2 + . . . + αn~vn
heiÿt
Linearkombination und die Zahlen αj ∈ R heiÿen Koezienten der
Linearkombination.
6
4
2
!
Beispiele: Der Vektor
1
0
0
!
,
0
1
0
!
und
0
0
1
∈
R3 ist eine Linearkombination der Vektoren
!
mit Koezienten
6, 4
und eine Linearkombination der Vektoren
Koezienten
4, 0
und
und
1
1
0
!
2,
0
1
1
!
,
1
0
1
!
und
mit
2.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 119 / 142
Vektoren
13.5
Denition: Linear abhängig
Die Vektoren
α1 , . . . , α n ∈
~v1 , . . . , ~vn ∈
R gibt, die nicht alle Null sind, so dass aber die
Linearkombination
Sie heiÿen
Rm heiÿen linear abhängig, wenn es Zahlen
α1~v1 + α2~v2 + . . . + αn~vn = ~0
ist.
linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig sind.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 120 / 142
Vektoren
13.5
Denition: Linear abhängig
Die Vektoren
α1 , . . . , α n ∈
~v1 , . . . , ~vn ∈
R gibt, die nicht alle Null sind, so dass aber die
Linearkombination
Sie heiÿen
13.6
Rm heiÿen linear abhängig, wenn es Zahlen
α1~v1 + α2~v2 + . . . + αn~vn = ~0
ist.
linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig sind.
Bemerkung
Die Vektoren
~v1 , . . . ~vn
sind genau dann linear unabhängig, wenn die
Gleichung
α1~v1 + α2~v2 + . . . + αn~vn = ~0
(als Gleichung für die Zahlen
α1 = . . . = αn = 0
α1 , . . . , α n )
nur die Lösung
hat.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 120 / 142
Vektoren
13.7
1.
2.
Beispiele
 
 
 
1
2
1





Die Vektoren ~
u = 2 , ~v = 6 , w
~ = 1 ∈ 3 sind linear
3
8
2
abhängig, denn es gilt 4~
u + (−1)~v + (−2)w
~ = 0.
1
2
Die Vektoren ~
v=
,w
~=
∈ 2 sind linear unabhängig, denn
2
1
α+
2β
=
0
α~v + β w
~ = ~0 ist gleichbedeutend mit dem LGS
und
2α+ β = 0
dies hat die eindeutige Lösung α = β = 0 (vgl. das Kapitel über LGS).
R
R
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 121 / 142
Vektoren
13.8
1.
2.
Bemerkung
Rm ist genau dann linear abhängig, wenn ~v = 0.
Die lineare Abhängigkeit zweier Vektoren ~
v, w
~ ∈ R3 \ {~0} ist
~v ∈
gleichbedeutend mit jeweils
a)
~v
und
w
~
liegen auf einer Geraden durch den Nullpunkt, und
b) je einer der Vektoren ist ein Vielfaches des anderen.
3. Die lineare Abhängigkeit dreier Vektoren
~u, ~v , w
~∈
R3 \ {~0} ist
gleichbedeutend mit jeweils
a)
~u, ~v
und
w
~
liegen in einer Ebene durch den Nullpunkt, und
b) mindestens einer der Vektoren ist eine Linearkombination der
anderen beiden.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 122 / 142
Vektoren
13.9
Weitere wichtige Begrie und Bemerkungen
1. Das
Erzeugnis (oder Spann) der Vektoren ~v1 , . . . , ~vk ∈ Rm
ist die
Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren. (Das ist auch für
eine beliebige Menge von Vektoren erklärt).
V eindeutig(!) als
~v1 , . . . , ~vk ∈ V darstellen, dann
Basis von V .
2. Lässt sich jedes Element eines Vektorraums
Linearkombination der Vektoren
man
~v1 , . . . , ~vk
eine
nennt
3. Die Elemente einer Basis sind linear unabhängig.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 123 / 142
Vektoren
13.9
Weitere wichtige Begrie und Bemerkungen[cont.]
Speziell für das Rechnen im
4.
n
Vektoren des
Rn heiÿt das
Rn sind genau dann linear unabhängig, wenn sie eine
Basis bilden.
Standardbasis des Rn
Einheitsvektoren
5. Die
besteht aus den
kanonischen
 
 
 
1
0
0
0
1
0
 
 
 
0
0
0
 
 
 
~e1 =  .  , ~e2 =  .  , . . . , ~en =  .  .
 .. 
 .. 
 .. 
 
 
 
0
0
0
0
0
1
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 124 / 142
Skalar- und Vektorprodukt
Kapitel 14 Skalar- und Vektorprodukt
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 125 / 142
Skalar- und Vektorprodukt
14.1
Denition: Skalarprodukt, Norm und Winkel
1. Das
Skalarprodukt zweier Vektoren ~v , w
~ ∈ Rn
ist deniert durch
~v · w
~ := v1 w1 + v2 w2 + . . . + vn wn .
2. Die
Norm (oder der Betrag) eines Vektors ist deniert durch
k~v k :=
3. Der
p
√
~v · ~v = v12 + v22 + . . . + vn2 .
Winkel ψ ∈ [0, π] zwischen zwei Vektoren ~v , w
~ ∈ Rn , beide nicht
der Nullvektor, ist deniert durch
cos ψ =
~v · w
~
.
k~v kkwk
~
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 126 / 142
Skalar- und Vektorprodukt
Das Winkel wird über das Skalarprodukt so deniert, dass er mit dem
ebenen Winkel im
R2 übereinstimmt. Hilfsmittel ist der Kosinussatz:
c
α
a
b
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 127 / 142
Skalar- und Vektorprodukt
14.2
1.
2.
3.
Satz: Eigenschaften des Skalarproduktes und der Norm
~v · w
~ =w
~ · ~v .
~v · αw
~ + β~u = α(~v · w)
~ + β(~v · ~u .
Für ~
v 6= ~0 ist k~v1k ~v = 1.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 128 / 142
Skalar- und Vektorprodukt
14.2
1.
2.
3.
4.
Satz: Eigenschaften des Skalarproduktes und der Norm
~v · w
~ =w
~ · ~v .
~v · αw
~ + β~u = α(~v · w)
~ + β(~v · ~u .
Für ~
v 6= ~0 ist k~v1k ~v = 1.
~v · w
~ =0
genau dann, wenn
5. Der Vektor
−b
a
~v
und
w
~
senkrecht aufeinander stehen.
steht senkrecht auf dem Vektor
a
.
b
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 128 / 142
Skalar- und Vektorprodukt
14.2
1.
2.
3.
4.
Satz: Eigenschaften des Skalarproduktes und der Norm
~v · w
~ =w
~ · ~v .
~v · αw
~ + β~u = α(~v · w)
~ + β(~v · ~u .
Für ~
v 6= ~0 ist k~v1k ~v = 1.
~v · w
~ =0
genau dann, wenn
5. Der Vektor
−b
a
6.
k~v k ≥ 0.
7.
k~v k = 0
8.
kα~v k = |α|k~v k.
~v
und
w
~
senkrecht aufeinander stehen.
steht senkrecht auf dem Vektor
genau dann, wenn
a
.
b
~v = ~0.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 128 / 142
Skalar- und Vektorprodukt
14.3
Satz: Dreiecksungleichung
Für Vektoren
~v
und
w
~
gilt
k~v + wk
~ ≤ k~v k + kwk
~
und
k~v k − kwk
~ ≤ k~v − wk
~ ,
sowie damit dann
k~v − wk
~ ≤ k~v − ~uk + k~u − wk
~ .
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 129 / 142
Skalar- und Vektorprodukt
14.3
Satz: Dreiecksungleichung
Für Vektoren
~v
und
w
~
gilt
k~v + wk
~ ≤ k~v k + kwk
~
und
k~v k − kwk
~ ≤ k~v − wk
~ ,
sowie damit dann
k~v − wk
~ ≤ k~v − ~uk + k~u − wk
~ .
14.4
Satz: Parallelogrammgleichung
Für Vektoren
k~v +
~v
wk
~ 2
und
w
~
gilt
+ k~v − wk
~ 2 = 2k~v k2 + 2kwk
~ 2.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 129 / 142
Skalar- und Vektorprodukt
Im Fall des
R3 gibt es noch ein Produkt zwischen Vektoren, dass als
Ergebnis wieder einen Vektor liefert.
14.5
Denition: Kreuzprodukt
 
 
v1
w1



Es seien ~
v = v2 , w
~ = w2  ∈ 3 . Dann ist das Kreuzprodukt
v3
w3
Vektorprodukt) ~v × w
~ deniert durch


v2 w3 − v3 w2
~v × w
~ := v3 w1 − v1 w3  .
v1 w2 − v2 w1
R
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
(oder
Seite 130 / 142
Skalar- und Vektorprodukt
14.6
1.
2.
Satz: Eigenschaften des Kreuzproduktes
~v × w
~ = −w
~ × ~v .
~v × αw
~ + β~u = α(~v × w)
~ + β(~v × ~u .
3. Ist
α
der Winkel zwischen
~v
und
4.
~v × w
~ = ~0
5.
(~v × w)
~ · ~v = (~v × w)
~ ·w
~ = 0.
als auch auf w
~.
6.
k~v × wk
~
genau dann, wenn
~v
w
~
so ist
und
D.h.
w
~
k~v × wk
~ = k~v kkwk
~ sin α.
linear abhängig sind.
~v × w
~
steht sowohl senkrecht auf
entspricht dem Flächeninhalt des von
~v
und
w
~
~v
aufgespannten
Parallelogramms.
7.
~v , w
~
und
~v × w
~
bilden in dieser Reihenfolge ein
Rechtssystem.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 131 / 142
Skalar- und Vektorprodukt
~v × w
~
Mittelnger
Rechte-HandRegel
w
~
Zeigenger
~v
Daumen
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 132 / 142
Skalar- und Vektorprodukt
Eine Kombination des Skalarproduktes und des Kreuzproduktes im
R3
liefert ein weiteres geometrisch relevantes Produkt:
14.7
Das
Denition: Spatprodukt
Spatprodukt dreier Vektoren ~u, ~v , w
~ ∈ R3
ist deniert durch
s(~u, ~v , w)
~ = ~u · (~v × w)
~
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 133 / 142
Skalar- und Vektorprodukt
Eine Kombination des Skalarproduktes und des Kreuzproduktes im
R3
liefert ein weiteres geometrisch relevantes Produkt:
14.7
Das
Denition: Spatprodukt
Spatprodukt dreier Vektoren ~u, ~v , w
~ ∈ R3
ist deniert durch
s(~u, ~v , w)
~ = ~u · (~v × w)
~
ie folgenden Eigenschaften des Spatproduktes sind direkte Konsequenzen
aus denen der beiden beteiligten Produkte:
14.8
Folgerung: Eigenschaften des Spatproduktes
1. Das Spatprodukt ist
total schiefsymmetrisch, d.h.
s(~u, ~v , w)
~ = s(w,
~ ~u, ~v ) = s(~v , w,
~ ~u)
= −s(~v , ~u, w)
~ = −s(~u, w,
~ ~v ) = −s(w,
~ ~v , ~u)
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 133 / 142
Skalar- und Vektorprodukt
14.8
Denition: Spatprodukt[cont.]
2. Der Betrag des Spatproduktes
des von
~u, ~v
und
w
~
|s(~u, ~v , w)|
~ ,
entspricht dem Volumen
aufgespannten Parallelepipeds.
~u × ~v
w
~
~v
~u
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 134 / 142
Skalar- und Vektorprodukt
Bemerkung: Man kann das Spatprodukt der Vektoren
 
v1
~v = v2 
v3
−
und
 
w1
w
~ = w2 
w3
mit Hilfe der
u1
v1
w1
u1
v1
u2
v2
w2
u2
v2
? u3
? v3
? w3 _
u3
−
−
+
v3
_
+
 
u1

~u = u2 ,
u3
Sarrus-Regel berechnen.
_
+
Es ist nämlich
s (~u, ~v , w)
~ = u1 v2 w3 + v1 w2 u3 + w1 u2 v3 − u3 v2 w1 − v3 w2 u1 − w3 u2 v1
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 135 / 142
Geraden und Ebenen
Kapitel 15 Geraden und Ebenen
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 136 / 142
Geraden und Ebenen
15.1
Denition: Gerade und Ebene
R
~v , w
~ ∈ 3 linear unabhängige Vektoren
Gerade g ist eine Menge der Form
Es seien
Eine
g = {~x = ~a + t~v | t ∈
Eine
Ebene E
~a
ein weiterer Vektor.
R}.
ist eine Menge der Form
E = {~x = ~a + t~v + sw
~ | t, s ∈
Dabei heiÿen
und
~a Aufpunktvektor
R}
und
~v
bzw.
~v , w
~ Richtungsvektoren
der
Geraden bzw. Ebene. Diese Darstellungen nennt man
Parameterdarstellungen der Geraden bzw. Ebene.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 137 / 142
Geraden und Ebenen
15.2
Denition: Gerade und Ebene
R
~v , w
~ ∈ 3 linear unabhängige Vektoren
Gerade g ist eine Menge der Form
Es seien
Eine
g = {~x = ~a + t~v | t ∈
Eine
Ebene E
~a
ein weiterer Vektor.
R}.
ist eine Menge der Form
E = {~x = ~a + t~v + sw
~ | t, s ∈
Dabei heiÿen
und
~a Aufpunktvektor
R}
und
~v
bzw.
~v , w
~ Richtungsvektoren
der
Geraden bzw. Ebene. Diese Darstellungen nennt man
Parameterdarstellungen der Geraden bzw. Ebene.
Bemerkung: Geraden kann man analog im
n≥2
Rn für n ≥ 1 und Ebenen für
denieren.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 137 / 142
Geraden und Ebenen
15.3
Bemerkung
Die Richtungsvektoren sind nicht eindeutig.
1. Im Fall der Gerade ist mit
~v
auch jeder Vektor
α~v
für
α 6= 0
ein
Richtungsvektor der gleichen Geraden.
2. Im Fall der Ebene lässt sich jeder der Richtungsvektoren
durch eine Linearkombinaton
α~v + β w
~
~v
und
w
~
ersetzen, ohne die Ebene zu
ändern (man muss nur die lineare Unabhängigkeit erhalten).
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 138 / 142
Geraden und Ebenen
15.5
Bemerkung
Die Richtungsvektoren sind nicht eindeutig.
1. Im Fall der Gerade ist mit
~v
auch jeder Vektor
α~v
für
α 6= 0
ein
Richtungsvektor der gleichen Geraden.
2. Im Fall der Ebene lässt sich jeder der Richtungsvektoren
durch eine Linearkombinaton
α~v + β w
~
~v
und
w
~
ersetzen, ohne die Ebene zu
ändern (man muss nur die lineare Unabhängigkeit erhalten).
15.6
Denition: Parallelität
1. Zwei Geraden im
R3 heiÿen parallel, wenn ihre Richtungsvektoren
linear abhängig sind.
2. Zwei Ebenen im
R3 heiÿen parallel, wenn die Richtungsvektoren der
einen Ebene jeweils als Linearkombination der Richtungsvektoren der
anderen Ebene dargestellt werden können.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 138 / 142
Geraden und Ebenen
15.7
Denition: Normalenvektor einer Ebene
Ein Vektor
~n
heiÿt
Normalenvektor der Ebene E , wenn ~n auf allen
Richtungsvektoren der Ebene senkrecht steht.
Gilt zusätzlich noch
k~nk = 1,
Einheitsnormalenvektor.
so nennt man
~n
einen
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 139 / 142
Geraden und Ebenen
15.9
Denition: Normalenvektor einer Ebene
Ein Vektor
~n
heiÿt
Normalenvektor der Ebene E , wenn ~n auf allen
Richtungsvektoren der Ebene senkrecht steht.
Gilt zusätzlich noch
k~nk = 1,
Einheitsnormalenvektor.
15.10
so nennt man
~n
einen
Satz
w
~ Richtungsvektoren einer Ebene, so ist
1
(~v × w)
~ ein Einheitsnormalenvektor der
~n :=
k~v × wk
~
1. Sind
~v
und
Ebene.
2. Der Einheitsnormalenvektor einer Ebene ist bis auf das Vorzeichen
eindeutig.
3. Zwei Ebenen sind genau dann parallel, wenn die
Einheitsnormalenvektoren (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmen.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 139 / 142
Geraden und Ebenen
Geraden sind bereits durch die Angabe zweier unterschiedlicher Punkte
eindeutig festgelegt, eine Ebene durch die Angabe dreier Punkte, die nicht
auf einer Geraden liegen.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 140 / 142
Geraden und Ebenen
Geraden sind bereits durch die Angabe zweier unterschiedlicher Punkte
eindeutig festgelegt, eine Ebene durch die Angabe dreier Punkte, die nicht
auf einer Geraden liegen.
15.12
Satz
Es seien zwei verschiedene Punkte im Raum und
gibt es genau eine Gerade, die
g = {~
p + t(~q − p~) | t ∈
Es sei
~r
p~
R}.
und
~q
p~
und
~q
gegeben. Dann
enthält. Diese ist gegeben durch
g durch p~ und ~q
p~, ~q und ~r enthält.
ein weiterer Punkt, der nicht auf der Geraden
liegt. Dann gibt es genau eine Ebene, die die Punkte
Diese ist gegeben durch
E = {~
p + t(~q − p~) + s(~r − p~) | t, s ∈
R}.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 140 / 142
Geraden und Ebenen
15.13
Satz: Hessesche Normalenform
1. Eine Ebene
sich
E
E
im
R3 und ~a ein beliebiger Aufpunktvektor. Dann lässt
in der Form
E = {~x | ~n · (~x − ~a) = 0} = {~x | ~n · ~x = ~n · ~a},
darstellen, wobei
2. Ist
~n
~n
ein Normalenvektor der Ebene ist.
ein Einheitsnormalvektor der Ebene, so ist
d0 := ~n · ~a
unabhängig
von der Wahl des Aufpunktes.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 141 / 142
Geraden und Ebenen
15.14
Satz: Hessesche Normalenform
1. Eine Ebene
sich
E
E
im
R3 und ~a ein beliebiger Aufpunktvektor. Dann lässt
in der Form
E = {~x | ~n · (~x − ~a) = 0} = {~x | ~n · ~x = ~n · ~a},
darstellen, wobei
2. Ist
~n
~n
ein Normalenvektor der Ebene ist.
ein Einheitsnormalvektor der Ebene, so ist
d0 := ~n · ~a
unabhängig
von der Wahl des Aufpunktes.
3. Wählt man den Einheitsnormalenvektor
~n
so, dass
d0 ≥ 0,
so nennt
man die Darstellung
E = {~x | ~n · ~x = d0 }
Hessesche Normalenform (HNF) der Ebene.
4. Ist
d0 > 0,
so ist die HNF eindeutig.
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 141 / 142
Geraden und Ebenen
Mit Hilfe der HNF kann man den Abstand eines Punktes von einer Ebene
bestimmen
15.15
Es sei
Satz: Abstand Punkt↔Ebene
{~x | ~n · ~x = d0 }
die HNF der Ebene
P ein
d(P ) := |~n · (~a − p~)|
E
und
~a
ein beliebiger
p~
Aufpunktvektor. Ferner sei
Punkt im Raum und
Dann misst
den Abstand des Punktes
Ebene
sein Ortsvektor.
P
von der
E.
Insbesondere gilt für den Nullpunkt
d(O) = d0 .
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017)
Seite 142 / 142