Blatt 1

Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Detlev Hoffmann
Marco Sobiech/ Nico Lorenz
Sommersemester 2017
Übungsblatt 1
26. April 2017
Lineare Algebra 2
Aufgabe 1.1:
Es sei K ein Körper, und V ein K–Vektorraum. Desweiteren seien U1 , U2 ⊆ V
Untervektorräume von V . Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(a) Die Abbildung
f ∶ U1 Ð→ (U1 + U2 )/U2 ,
x z→ [x]U2 ,
ist linear.
(b) f ist surjektiv und Kern(f ) = U1 ∩ U2 .
(c) Die Quotientenräume U1 /(U1 ∩ U2 ) und (U1 + U2 )/U2 sind isomorph.
Aufgabe 1.2:
Wir betrachten den R–Vektorraum R4 und die Untervektorräume
(a)
⎧
⎪
⎪
⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ −1 ⎟⎪
⎟,⎜
⎟⎬ ,
U1 ∶= span ⎨⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
−1
−1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝
⎠
⎝
⎠
⎪
⎪
1
1
⎭
⎩
⎧
⎪
⎪
⎛ −1 ⎞⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎜ 0 ⎟⎪
⎟⎬ ,
U2 ∶= span ⎨⎜
⎜
⎟
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝
⎠
⎪
⎪
1
⎭
⎩
⎧
⎪
⎪
⎛ 1 ⎞⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎜ 1 ⎟⎪
⎟⎬ .
U3 ∶= span ⎨⎜
⎜
⎟
−1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝
⎠
⎪
⎪
1
⎭
⎩
(b)
⎧
⎪
⎪
⎛ 1 ⎞⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎜ 1 ⎟⎪
⎟⎬ ,
U1 ∶= span ⎨⎜
⎜ −1 ⎟⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎩⎝ 2 ⎠⎪
⎧
⎪
⎪
⎛ −1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎪
⎟ , ⎜ ⎟⎬ ,
U2 ∶= span ⎨⎜
⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎩⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎪
⎧
⎪
⎪
⎛ −3 ⎞⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎜ −1 ⎟⎪
⎟⎬ .
U3 ∶= span ⎨⎜
⎜ 3 ⎟⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩⎝ −1 ⎠⎪
⎭
Zeigen Sie oder widerlegen Sie jeweils: R4 = U1 ⊕ U2 ⊕ U3 .
Aufgabe 1.3:
Es sei K ein Körper. Weiter seien n, m ∈ N, und n1 , . . . , nm ∈ N mit n1 + ⋯ + nm = n. Es sei
A ∈ Mn (K) eine Matrix der Form
⎛A1
⎜
A2
∗
⎜
⎜
A
3
⎜
⎜
0
⋱
⎜
⎝
Am
⎞
⎟
⎟
⎟,
⎟
⎟
⎟
⎠
wobei Ai ∈ Mni (K) für i ∈ {1, . . . , m}. Zeigen Sie:
m
det A = ∏ det Ai .
i=1
(Hinweis: Zeigen Sie erst den Fall m = 2 mittels vollständiger Induktion über n1 .)
1
Aufgabe 1.4:
Für n ∈ N seien a1 , a2 , . . . , an ∈ K. Zeigen Sie:
⎛
⎜
⎜
det ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 a1
a21
1 a2
a22
⋮
⋮
⋮
1 an a2n
⋯ an−1
⎞
1
n−1 ⎟
⋯ a2 ⎟
⎟ = ∏ (aj − ai ).
⎟
⋯
⋮ ⎟
⎟ 1≤i<j≤n
n−1 ⎠
⋯ an
(Hinweis: Falls a1 , . . . , an paarweise verschieden sind: Beweisen Sie die Aussage mittels vollständiger
Induktion über n.)
Aufgabe 1.5:
Bestimmen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen.
(a)
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
3
4
1
0
0
1
4
4
2
0
2
1
2
1
1
⎞
⎟
⎟ ∈ M4 (Z/5Z)
⎟
⎠
(b)
0
2 −1
⎛ 1
⎜ 5 −1 10 −2
⎜
⎜ −2
2 −3 −2
⎜
⎜ 0 −3
0
9
⎜
⎝ 1
1 −1 −10
2
7
2
8
3
⎞
⎟
⎟
⎟ ∈ M5 (Q)
⎟
⎟
⎟
⎠
Abgabe bis Freitag, den 28. April, 10 Uhr in den jeweiligen Briefkasten im
Eingangsbereich des Mathematikgebäudes.
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