Blatt 6 - math.uni

JProf. Dr. Simon Lentner
Dr. E. Meir
Prof. C. Schweigert
Bereich Algebra und Zahlentheorie
FB Mathematik
Universität Hamburg
Algebra (Bachelor)
Wintersemester 2016/17
Blatt 6
Präsenzübung
1. Seien G1 und G2 Gruppen. Sei g1 ∈ G1 ein Element endlicher Ordnung n1 und
g2 ∈ G2 ein Element endlicher Ordnung n2 . Bestimmen Sie die Ordnung des
Elements (g1 , g2 ) ∈ G1 × G2 .
Was können Sie über die Ordnung zweier kommutierender Elemente einer beliebigen Gruppe G aussagen, d.h. g1 , g2 ∈ G mit g1 ∙ g2 = g2 ∙ g1 .
2. Sei G eine Gruppe und X eine G-Menge. Seien x und y verschiedene Elemente
von X auf der gleichen Bahn. Zeigen Sie, dass die Isotropiegruppen Gx und Gy
in G konjugiert sind. Was können Sie über die Ordnungen der Isotropiegruppen
aussagen?
3. Sei p ≥ 5 eine Primzahl. Bestimmen Sie alle semi-direkten Produkte
(Z2 × Z2 ) o Zp .
Aufgabe 1 (1+1/4+3 Punkte)
1. Entscheiden Sie, ob die folgenden Gruppen isomorph sind und begr ünden Sie
Ihre Antwort:
a) Z12 × Z72 und Z18 × Z48
b) Z72 × Z84 und Z36 × Z168
2. Betrachten Sie die Torsionsuntergruppe Gtor der endlich erzeugten abelschen
Gruppe
G∼
= Z × Z 2 × Z 3 × Z4
mit Erzeugern (g1 , g2 , g3 , g4 ) der Ordnungen ∞, 2, 3, bzw. 4.
a) Was ist die minimale Anzahl von Erzeugern, die man benötigt, um Gtor
zu erzeugen?
b) Der freie Anteil von G ist nicht eindeutig. Geben Sie alle Elemente g ∈ G
an, die einen freien Anteil erzeugen, d.h. für die gilt: hgi ∼
= Z und G ist
das innere direkte Produkt hgiGtor = G.
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Aufgabe 2 (2+2 Punkte)
1. Beschreiben Sie die symmetrische Gruppe S3 als semi-direktes Produkt von
abelschen Gruppen.
2. Sei p eine Primzahl. Klassifizieren Sie alle semi-direkten Produkte Zp o Zp .
Aufgabe 3 (2+1+1 Punkte)
a) Sei G eine abelsche Gruppe, deren Ordnung eine Primzahlpotenz pr ist. Zeigen Sie, dass die Zahl paarweise nicht isomorpher abelscher Gruppen der Ordnung pr gleich der Zahl der Partitionen von r ist, d.h. gleich der Anzahl der
Möglichkeiten, r als Summe natürlicher Zahlen zu schreiben (wobei es auf die
Reihenfolge nicht ankommt).
b) Bestimmen Sie die Zahl der abelschen Gruppen der Ordnung 2 7 bis auf Isomorphie.
c) Bestimmen Sie die Zahl der abelschen Gruppen der Ordnung 10 6 bis auf Isomorphie.
Aufgabe 4 (3 Punkte)
Q
Sei (Gi )i∈I eine Familie von Gruppen und i∈I Gi ihr äußeres direktes Produkt.
Betrachten Sie für jedes j ∈ I den Gruppenhomomorphismus
Q
πj :
i∈I Gi → Gj
(gi )i∈I 7→ gj ,
die kanonische Projektion auf Gj .
Sei H eine beliebige weitere Gruppe, und sei für jedes j ∈ I ein Gruppenhomomorphismus ϕj : H → Gj gegeben. Zeigen Sie, dass dann genau ein Homomorphismus
Y
ψ: H →
Gi ,
i∈I
existiert, so dass πj ◦ ψ = ϕj für alle j ∈ I gilt.
Freiwillige Zusatzfrage: gegeben eine Familie von Vektorräumen und eine Familie
von linearen Abbildungen aus einem gegebenen Vektorraum heraus. Kennen Sie
dann eine Konstruktion, die zu der Familie von Vektorräumen einen Vektorraum
mit ähnlichen Eigenschaften liefert?
Abgabe der Lösungen in der Vorlesung am Freitag, dem 2.12.2016. Besprechung
in den nachfolgenden Übungsgruppen. Sie können in Kleingruppen von höchstens
drei Studierenden abgeben.
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