1. Hausaufgabe Formale Grundlagen der Informatik

Institut für Informatik der
Universität Zürich
Sommersemester 2003
1. Hausaufgabe
Formale Grundlagen der Informatik
Norbert E. Fuchs ([email protected])
Verantwortlicher Assistent:
Gérard Milmeister ([email protected])
Abgabe bis 22. April 2003, 17.00 Uhr
Briefkasten 67-c, Stockwerk K, Institut für Informatik der Universität Zürich
Bitte die Lösungen direkt in die vorgesehenen Lücken der Blätter schreiben!
Thema: Mengen, Relationen und Funktionen
Name
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Vorname
Aufgabe 3
Matrikelnummer
Aufgabe 4
1
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Summe
Aufgabe 1 (2 Punkte)
1.1 (1 Punkt)
Geben Sie die Mengen
M1
M2
M3
M4
=
=
=
=
{1, 2, 3, 5, 8, 13, 21}
{September, Oktober, November, Dezember}
{1, 4, 27, 256, 3125, 46656, . . .}
{0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, . . .}
in der Schreibweise {x | P(x)} an.
1.2 (1 Punkt)
Gegeben sind die Mengen
A = {a, b, c}, B = {b, d}, C = {{a, b}, {b, d}, ∅}, D = {{a, b, c}}
Bestimmen Sie folgende Mengen:
A − (B ∪ C), P(A) ∩ C, D ∩ C, A ⊕ B
2
Aufgabe 2 (1 Punkt)
2.1 (0.5 Punkte)
Seien A und B Teilmengen einer Grundmenge G. Beweisen Sie das Gesetz von De Morgan
Ac ∩ Bc = (A ∪ B)c
direkt. Es ist hilfreich, sich den Sachverhalt mittels eines Venn-Diagramms zu veranschaulichen.
2.2 (0.5 Punkte)
Gegeben seien die drei beliebigen Mengen A, B und C. Zeigen Sie anhand eines VennDiagramms und eines Gegenbeispiels an, dass die folgende Gleichheit nicht gilt:
A − (B ∩ C) = (A − B) ∩ (A − C)
3
Aufgabe 3 (2 Punkte)
Gegeben sind folgende Relationen:
R1
R2
R3
R4
R5
R6
=
=
=
=
=
=
{(x, y) | x liegt auf y oder y liegt auf x}
{(b, b), (c, a), (a, b)} ⊆ {a, b, c, d} × {a, b, c, d}
{(x, y) | x und y haben einen gemeinsamen Teiler > 1}
{(x, y) | x > y} ⊂ Q × Q
{(a, b), (b, c), (c, c)} ⊆ {a, b, c} × {a, b, c}
{(x, y) | x ≤ y} ⊆ N × N
Welche dieser Relationen sind reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, asymmetrisch oder transitiv? Ist eine der Relationen eine Funktion? Wenn ja, ist diese injektiv,
surjektiv oder bijektiv?
4
Aufgabe 4 (1.5 Punkte)
4.1 (1 Punkt)
Gegeben sei die Relation
R = {(a, a), (a, c), (b, d), (c, d)}
auf der Menge A = {a, b, c, d, e}. Bilden Sie die transitive Hülle hRit , die symmetrische
Hüllle hRis , die reflexiv-transitive Hülle hRirt und die reflexiv-symmetrisch-transitive
Hülle hRirst von R.
4.2 (0.5 Punkte)
Geben Sie im Falle von hRirst die Partition der Menge A an.
5
Aufgabe 5 (1 Punkt)
5.1 (0.5 Punkte)
Geben Sie die Ein- und Aufgabe-Relation R für folgendes Programm an:
INTEGER A
READ A
WHILE A>0 DO A := A*A-A OD
WRITE A
Ist R eine Funktion oder nicht? Begründen Sie die Antwort kurz.
5.2 (0.5 Punkte)
Schreiben Sie, analog zu obigem Beispiel, ein kurzes Programm mit genau einer WHILESchleife, dessen Ein- und Ausgabe-Relation R gegeben ist durch
R = {. . . , (−5, 20), (−4, 12), (−3, 6), (−2, 2), (−1, 0), (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), . . .}
6
Aufgabe 6 (2.5 Punkte)
6.1 (1.5 Punkte)
Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen im Intervall [0, 1) und die Menge der
Punkte im Quadrat mit der Kantenlänge 1 (Punkte (x, y) ∈ R × R mit 0 ≤ x < 1,
0 ≤ y < 1) dieselbe Mächtigkeit haben. (Hinweis: Darstellung von reellen Zahlen in
Dezimalform, z.B. 0.27251 . . .)
6.2 (1 Punkt)
Geben Sie die Kardinalitäten folgender Mengen an:
M1
M2
M3
M4
=
=
=
=
{(x, y) | x, y ∈ {0, 1, 2, 3, 4} ∧ x + y ≡ 0
{(x, y) | x, y ∈ Z ∧ x + y = 0}
{X | X ⊂ P(N) ∧ |X| = 0}
√
{x | x ∈ R+ ∧ x > x2 }
7
mod 5}