Inhaltsverzeichnis - Spektrum der Wissenschaft
Werbung
Inhaltsverzeichnis 5 Komplexe Zahlen – Rechnen mit imaginären Größen . . . . . . . . . . . . . . . . Teil I: Einführung und Grundlagen 5.1 Die Menge der komplexen Zahlen . . . . . . . 5.2 Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Mengen und Transformationen in der komplexen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 124 130 139 Teil II: Analysis einer reellen Variablen 1 Mathematik – Wissenschaft und Werkzeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Über dieses Lehrbuch, Mathematiker und Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Die didaktischen Elemente dieses Buches . 1.4 Ratschläge zum Studium der Höheren Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Logik, Mengen, Abbildungen – die Sprache der Mathematik . . . . . . 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Eine beweisende Wissenschaft . . . . . . . . . . Grundbegriffe der Aussagenlogik . . . . . . . . Definition, Satz, Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . Elementare Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mächtigkeit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . 3 Rechentechniken – die Werkzeuge der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 1 2 5 8 11 6 Folgen – der Weg ins Unendliche . . . . 13 14 15 22 25 29 32 36 43 Terme, Brüche und Potenzen . . . . . . . . . . . Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . Von Betrag und Abschätzungen . . . . . . . . . Summen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . Die vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . 44 51 59 63 72 4 Elementare Funktionen – Bausteine der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.1 Reellwertige Funktionen einer Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . 6.1 Der Begriff einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Elementare Eigenschaften von Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Teilfolgen und Häufungspunkte . . . . . . . . . 6.5 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Stetige Funktionen – kleine Ursachen haben kleine Wirkungen . . . . . . . . . . . . 7.1 Zur Definition von Funktionen . . . . . . . . . . 7.2 Beschränkte und monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Die Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Grenzwerte für Funktionen und die Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Sätze über reellwertige, stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Reihen – Summieren bis zum Letzten 86 94 105 110 8.1 8.2 8.3 8.4 Die Idee der Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kriterien für Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kriterien für absolute Konvergenz . . . . . . . 149 150 153 158 166 169 179 180 185 186 189 195 200 215 216 224 233 237 X Inhaltsverzeichnis 9 Potenzreihen – Alleskönner unter den Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Definition und Grundlagen . . . . . . . . . . . . . 9.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . 9.5 Der Logarithmus für komplexe Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Differenzialrechnung – Veränderungen kalkulieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 Teil III: Lineare Algebra 249 250 257 265 268 274 283 Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenziationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . Verhalten differenzierbarer Funktionen . . Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spline-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 293 301 316 328 11 Integrale – vom Sammeln und Bilanzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 11.1 Das Lebesgue-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Integrale über unbeschränkte Intervalle oder Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Geometrische Anwendungen des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Parameterintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Integrationstechniken – Tipps, Tricks und Näherungsverfahren . . . . . . . . . . . . 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 340 349 356 365 373 383 Grundtechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . Substitutionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . Integration rationaler Funktionen . . . . . . Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . 384 387 391 396 405 13 Differenzialgleichungen – Zusammenspiel von Funktionen und ihren Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 13.1 13.2 13.3 13.4 Begriffsbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numerische Lösungsmethoden . . . . . . . . . Analytische Lösungsmethoden . . . . . . . . . Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 434 440 447 14 Lineare Gleichungssysteme – Grundlage der linearen Algebra . . . . 14.1 Erste Lösungsversuche . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Das Lösungsverfahren von Gauß und Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Das Lösungskriterium und Anwendungen 14.4 Numerische Lösungsmethoden linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Vektorräume – Schauplätze der linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 465 466 471 479 484 489 Der Vektorraumbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiele von Vektorräumen . . . . . . . . . . . Untervektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . Affine Teilräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 497 499 501 510 16 Matrizen und Determinanten – Zahlen in Reihen und Spalten . . . . . . . . . . . . . . 519 16.1 16.2 16.3 16.4 Addition und Multiplikation von Matrizen Das Invertieren von Matrizen . . . . . . . . . . Symmetrische und orthogonale Matrizen Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5 Einführung in die Determinanten . . . . . . . 16.6 Definition und Eigenschaften der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7 Anwendungen der Determinante . . . . . . . 17 Lineare Abbildungen und Matrizen – abstrakte Sachverhalte in Zahlen ausgedrückt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1 Ein einführendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Definition einer linearen Abbildung und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel . . . . 17.4 Darstellungsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5 Basistransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6 Determinanten von Endomorphismen . . . 520 526 530 539 544 547 553 561 562 564 570 574 580 582 Inhaltsverzeichnis 18 Eigenwerte und Eigenvektoren – oder wie man Matrizen diagonalisiert . . . . . 18.1 Das Diagonalisieren von Matrizen . . . . . . 18.2 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . 18.3 Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4 Diagonalisierbarkeit von Matrizen . . . . . . 18.5 Diagonalisierung symmetrischer und hermitescher Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6 Numerische Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.7 Die Exponentialfunktion für Matrizen . . . 18.8 Die Jordan-Normalform einer Matrix . . . . 19 Analytische Geometrie – Rechnen statt Zeichnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum 19.3 Weitere Vektorverknüpfungen im Anschauungsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 Wechsel zwischen kartesischen Koordinatensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Euklidische und unitäre Vektorräume – Geometrie in höheren Dimensionen . . 20.1 Euklidische Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . 20.2 Norm, Abstand, Winkel, Orthogonalität . 20.3 Orthonormalbasen und orthogonale Komplemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4 Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.5 Unitäre Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Quadriken – ebenso nützlich wie dekorativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1 Symmetrische Bilinearformen . . . . . . . . . . . 21.2 Hermitesche Sesquilinearformen . . . . . . . . 21.3 Quadriken und ihre Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Die Singulärwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . 21.5 Die Pseudoinverse einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Tensorrechnung – geschicktes Hantieren mit Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1 Einführung in die Tensoralgebra . . . . . . . . 22.2 Kartesische Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Lineare Optimierung – ideale Ausnutzung von Kapazitäten . . . . . . . . . . . . . . 23.1 Typische Problemstellungen . . . . . . . . . . . . 23.2 Sonderfälle von Optimierungsproblemen . 589 590 594 597 602 23.3 Definitionen und Theorie . . . . . . . . . . . . . . 770 23.4 Wandern von Ecke zu Ecke . . . . . . . . . . . . 773 23.5 Das Simplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 777 Teil IV: Analysis mehrerer reeller Variablen 607 612 615 621 635 636 640 645 660 675 676 680 685 692 695 703 704 711 715 727 729 743 744 751 763 764 768 24 Funktionen mehrerer Variablen – Differenzieren im Raum . . . . . . . . . . . . 24.1 Wozu Funktionen von mehreren Variablen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3 Partielle Ableitungen und Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.4 Funktionen Rn → Rm . . . . . . . . . . . . . . . . 24.5 Der Hauptsatz über implizite Funktionen 24.6 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Gebietsintegrale – das Ausmessen von Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.1 25.2 25.3 25.4 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . Volumen, Masse und Schwerpunkt . . . . . Die Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . Wichtige Koordinatensysteme . . . . . . . . . . 26 Kurven und Flächen – von Krümmung, Torsion und Längenmessung . . . . . . . . 26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6 Ebene Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Bogenlänge von Kurven . . . . . . . . . . . Die Krümmung ebener Kurven . . . . . . . . . Raumkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellung von Flächen . . . . . . . . . . . . . . . Basissysteme krummliniger Koordinaten . 27 Vektoranalysis – von Quellen und Wirbeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.1 27.2 27.3 27.4 Skalar- und Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . Differenzialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787 788 792 796 809 816 822 833 834 845 849 854 867 868 873 876 879 885 889 903 904 906 915 922 XI XII Inhaltsverzeichnis 27.5 Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926 27.6 Differenzialoperatoren in krummlinigen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932 28 Differenzialgleichungssysteme – ein allgemeiner Zugang zu Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.1 Definition und qualitatives Lösungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.2 Existenz von Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . 28.3 Die Herleitung des Satzes von PicardLindelöf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.4 Die Lösung linearer Differenzialgleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.5 Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme: Konvergenz, Konsistenz und Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.6 Randwertprobleme: Theorie und numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Partielle Differenzialgleichungen – Modelle von Feldern und Wellen . . . 29.1 Klassifizierung partieller Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.2 Separationsansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.3 Quasilineare partielle Differenzialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . 29.4 Potenzialtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.5 Die Methode der finiten Elemente . . . . . . 945 946 951 957 30.3 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043 30.4 Die diskrete Fouriertransformation . . . . . . 1054 31 Funktionalanalysis – Operatoren wirken auf Funktionen . . . . . . . . . . . . . 1067 31.1 Normierte Räume, Banachräume, Hilberträume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Lineare, beschränkte Operatoren und Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Funktionale und Distributionen . . . . . . . . . 31.4 Operatoren in Hilberträumen . . . . . . . . . . . 31.5 Approximation von Operatoren . . . . . . . . . 1068 1075 1081 1087 1094 961 32 Funktionentheorie – von komplexen Zusammenhängen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101 971 975 32.1 Komplexe Funktionen und Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102 32.2 Komplexe Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . 1114 32.3 Laurent-Reihen und Residuensatz . . . . . . . 1125 991 33 Integraltransformationen – Multiplizieren statt Differenzieren . . . . . . . . . . . . . 1141 992 1000 33.1 Transformation von Funktionen . . . . . . . . 1142 33.2 Die Laplacetransformation . . . . . . . . . . . . . 1145 33.3 Die Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . 1158 1007 1012 1018 Teil V: Höhere Analysis 34 Spezielle Funktionen – nützliche Helfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175 34.1 Die Gammafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2 Differenzialgleichungen aus Separationsansätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.3 Das Sturm-Liouville-Problem . . . . . . . . . . . 34.4 Orthogonalpolynome und Kugelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.5 Zylinderfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176 1178 1180 1181 1188 35 Optimierung und Variationsrechnung – Suche nach dem Besten . . . . . . . . . . . . 1195 35.1 35.2 35.3 35.4 30 Fouriertheorie – von schwingenden Saiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033 30.1 Trigonometrische Polynome . . . . . . . . . . . . 1034 30.2 Approximation im quadratischen Mittel . 1037 Optimierungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . Optimierung unter Nebenbedingungen . . Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numerische Verfahren zur Optimierung . . 1196 1203 1208 1215 Inhaltsverzeichnis Teil VI: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 38.3 Das Gesetz der großen Zahlen und der Hauptsatz der Statistik . . . . . . . . . . . . 1310 38.4 Mehrdimensionale zufällige Variable . . . . 1316 39 Spezielle Verteilungen – Modelle des Zufalls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327 39.1 Spezielle diskrete Verteilungsmodelle . . . 1328 39.2 Stetige Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337 39.3 Die Normalverteilungsfamilie . . . . . . . . . . . 1347 40 Schätz- und Testtheorie – Bewerten und Entscheiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367 36 Deskriptive Statistik – wie man Daten beschreibt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227 36.1 36.2 36.3 36.4 36.5 36.6 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lageparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Streuungsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strukturparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mehrdimensionale Verteilungen . . . . . . . . 1228 1230 1237 1246 1250 1252 37 Wahrscheinlichkeit – die Gesetze des Zufalls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269 37.1 37.2 37.3 37.4 Wahrscheinlichkeits-Axiomatik . . . . . . . . . Die bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . Die stochastische Unabhängigkeit . . . . . . Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1270 1277 1282 1284 38 Zufällige Variable – der Zufall betritt den R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295 38.1 Der Begriff der Zufallsvariablen . . . . . . . . . 1296 38.2 Erwartungswert und Varianz einer zufälligen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304 40.1 Grundaufgaben der induktiven Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2 Die Likelihood und der MaximumLikelihood-Schätzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.3 Die Güte einer Schätzung . . . . . . . . . . . . . 40.4 Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.5 Grundprinzipien der Testtheorie . . . . . . . . 1368 1370 1378 1382 1389 41 Lineare Regression – die Suche nach Abhängigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403 41.1 Die Ausgleichsgeraden . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Das Regressionsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Schätzen und Testen im linearen Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Die lineare Einfachregression . . . . . . . . . . . 41.5 Fallstricke im linearen Modell . . . . . . . . . . 1404 1406 1411 1418 1424 Hinweise zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 1433 Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 1456 Bildnachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1481 Symbolglossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493 XIII
