Entscheidbarkeit

Entscheidbarkeit
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.1
Ununterscheidbarkeit bzgl. Γ
Gegeben:
•
Eine Kripke Struktur K = (G, R, v) und
•
eine Formelmenge Γ ⊆ FmlALmod
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.2
Ununterscheidbarkeit bzgl. Γ
Gegeben:
•
Eine Kripke Struktur K = (G, R, v) und
•
eine Formelmenge Γ ⊆ FmlALmod
Die Ununterscheidbarkeitsrelation ∼Γ auf G wird definiert durch:
g ∼Γ h gdw (K , g) |= A ⇔ (K , h) |= A für alle A ∈ Γ
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.2
Ununterscheidbarkeit bzgl. Γ
Gegeben:
•
Eine Kripke Struktur K = (G, R, v) und
•
eine Formelmenge Γ ⊆ FmlALmod
Die Ununterscheidbarkeitsrelation ∼Γ auf G wird definiert durch:
g ∼Γ h gdw (K , g) |= A ⇔ (K , h) |= A für alle A ∈ Γ
Offensichtlich ist ∼Γ eine Äquivalenzrelation.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.2
Ununterscheidbarkeit bzgl. Γ
Gegeben:
•
Eine Kripke Struktur K = (G, R, v) und
•
eine Formelmenge Γ ⊆ FmlALmod
Die Ununterscheidbarkeitsrelation ∼Γ auf G wird definiert durch:
g ∼Γ h gdw (K , g) |= A ⇔ (K , h) |= A für alle A ∈ Γ
Offensichtlich ist ∼Γ eine Äquivalenzrelation.
Für g ∈ G bezeichnen wir mit [g] die Äquivalenzklasse von g
bezüglich ∼Γ , i.e.
[g] = {h ∈ G | g ∼Γ h}.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.2
Filtration bzgl. Γ
Gegeben sei wieder eine Kripke Struktur K = (G, R, v) und eine
Formelmenge Γ ⊆ FmlALmod
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.3
Filtration bzgl. Γ
Gegeben sei wieder eine Kripke Struktur K = (G, R, v) und eine
Formelmenge Γ ⊆ FmlALmod
Die Kripke Struktur K Γ = (GΓ , RΓ , vΓ ) ist wie folgt definiert
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.3
Filtration bzgl. Γ
Gegeben sei wieder eine Kripke Struktur K = (G, R, v) und eine
Formelmenge Γ ⊆ FmlALmod
Die Kripke Struktur K Γ = (GΓ , RΓ , vΓ ) ist wie folgt definiert
GΓ
= {[g] | g ∈ G}
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.3
Filtration bzgl. Γ
Gegeben sei wieder eine Kripke Struktur K = (G, R, v) und eine
Formelmenge Γ ⊆ FmlALmod
Die Kripke Struktur K Γ = (GΓ , RΓ , vΓ ) ist wie folgt definiert
GΓ
[g]RΓ [h]
= {[g] | g ∈ G}
⇔ ∃g0 ∈ [g]∃h0 ∈ [h](g0 Rh0 )
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.3
Filtration bzgl. Γ
Gegeben sei wieder eine Kripke Struktur K = (G, R, v) und eine
Formelmenge Γ ⊆ FmlALmod
Die Kripke Struktur K Γ = (GΓ , RΓ , vΓ ) ist wie folgt definiert
GΓ
[g]RΓ [h]
vΓ ([g], p)
vΓ ([g], p)
=
⇔
=
=
{[g] | g ∈ G}
∃g0 ∈ [g]∃h0 ∈ [h](g0 Rh0 )
v(g, p)
p∈Γ
beliebig
sonst
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.3
Filtration bzgl. Γ
Gegeben sei wieder eine Kripke Struktur K = (G, R, v) und eine
Formelmenge Γ ⊆ FmlALmod
Die Kripke Struktur K Γ = (GΓ , RΓ , vΓ ) ist wie folgt definiert
GΓ
[g]RΓ [h]
vΓ ([g], p)
vΓ ([g], p)
=
⇔
=
=
{[g] | g ∈ G}
∃g0 ∈ [g]∃h0 ∈ [h](g0 Rh0 )
v(g, p)
p∈Γ
beliebig
sonst
K Γ heißt eine Filtration von K bezüglich Γ.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.3
Filtrationslemma für K
1. Sei Γ ⊆ FmlALmod abgeschlossen unter Teilformeln, dann gilt für
alle A ∈ Γ und alle g ∈ G
(K , g) |= A gdw (K Γ , [g]) |= A
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.4
Filtrationslemma für K
1. Sei Γ ⊆ FmlALmod abgeschlossen unter Teilformeln, dann gilt für
alle A ∈ Γ und alle g ∈ G
(K , g) |= A gdw (K Γ , [g]) |= A
2. Ist Γ endlich mit #Γ = n, dann ist #G(Γ) ≤ 2n .
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.4
Entscheidbarkeit für K
Theorem:
Die modale Aussagenlogik K ist entscheidbar, d.h. es gibt einen
Algorithmus, der für jede Formel A ∈ FmlALmod entscheidet, ob A
eine K-Tautologie ist oder nicht.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.5
Entscheidbarkeit für K
Theorem:
Die modale Aussagenlogik K ist entscheidbar, d.h. es gibt einen
Algorithmus, der für jede Formel A ∈ FmlALmod entscheidet, ob A
eine K-Tautologie ist oder nicht.
Beweis:
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.5
Entscheidbarkeit für K
Theorem:
Die modale Aussagenlogik K ist entscheidbar, d.h. es gibt einen
Algorithmus, der für jede Formel A ∈ FmlALmod entscheidet, ob A
eine K-Tautologie ist oder nicht.
Beweis:
Sei Γ die endliche Menge aller Teilformeln von ¬A.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.5
Entscheidbarkeit für K
Theorem:
Die modale Aussagenlogik K ist entscheidbar, d.h. es gibt einen
Algorithmus, der für jede Formel A ∈ FmlALmod entscheidet, ob A
eine K-Tautologie ist oder nicht.
Beweis:
Sei Γ die endliche Menge aller Teilformeln von ¬A.
Wenn ¬A überhaupt erfüllbar ist, dann nach dem Filtrationslemma
auch in einer Kripke Struktur mit höchstens 2n Welten, n = #Γ.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.5
Entscheidbarkeit für K
Theorem:
Die modale Aussagenlogik K ist entscheidbar, d.h. es gibt einen
Algorithmus, der für jede Formel A ∈ FmlALmod entscheidet, ob A
eine K-Tautologie ist oder nicht.
Beweis:
Sei Γ die endliche Menge aller Teilformeln von ¬A.
Wenn ¬A überhaupt erfüllbar ist, dann nach dem Filtrationslemma
auch in einer Kripke Struktur mit höchstens 2n Welten, n = #Γ.
Alle Kripke Stukturen mit höchstens 2n Welten lassen sich endlich
aufzählen und es ist für jede dieser Strukturen entscheidbar ob ¬A in
ihr wahr ist oder nicht.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.5
Entscheidbarkeitstheorem
Jede modale Logik, die aus K durch Hinzunahme von einem oder
mehreren der Axiome
2p → p
p → 23 p
2 p → 22 p
entsteht, besitzt die endliche Modelleigenschaft und ist entscheidbar.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.6
Entscheidbarkeitstheorem
Jede modale Logik, die aus K durch Hinzunahme von einem oder
mehreren der Axiome
2p → p
p → 23 p
2 p → 22 p
entsteht, besitzt die endliche Modelleigenschaft und ist entscheidbar.
Beweis:
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.6
Entscheidbarkeitstheorem
Jede modale Logik, die aus K durch Hinzunahme von einem oder
mehreren der Axiome
2p → p
p → 23 p
2 p → 22 p
entsteht, besitzt die endliche Modelleigenschaft und ist entscheidbar.
Beweis:
Man muß zeigen, daß der filtrierte Rahmen (GΓ , RΓ ) reflexiv,
symmetrisch bzw. transitiv ist, wenn der Ausgangsrahmen (G, R)
diese Eigenschaft hatte.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.6
K:
Filtration transitiver Strukturen
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.7
K:
Filtration transitiver Strukturen
transitiv
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.7
K:
Filtration transitiver Strukturen
transitiv
Γ = {p, q}
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.7
K:
Filtration transitiver Strukturen
transitiv
Γ = {p, q}
KΓ :
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.7
K:
Filtration transitiver Strukturen
transitiv
Γ = {p, q}
KΓ :
nicht transitiv
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.7
Übungsaufgabe
Die in der Definition einer Filtration gegebene Definition für R Γ ist
nicht die einzig mögliche. Zeigen Sie, daß auch mit der Relation R Γ
das Filtrationslemma richtig bleibt:
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.8
Übungsaufgabe
Die in der Definition einer Filtration gegebene Definition für R Γ ist
nicht die einzig mögliche. Zeigen Sie, daß auch mit der Relation R Γ
das Filtrationslemma richtig bleibt:
[g]RΓ [h] gdw für alle 2B, B ∈ Γ gilt
aus (K , g) |= 2B folgt (K , h) |= B
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.8