Modale Logik Einführung - Logik und Formale Methoden

Modale
Logik
Einführung
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.1
Literatur
•
C. I. Lewis, A survey of symbolic logic, U. of California, 1918.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.2
Literatur
•
•
C. I. Lewis, A survey of symbolic logic, U. of California, 1918.
G. E. Hughes and M.J. Cresswell, An Introduction to Modal Logic,
Methuen & Co Ltd, London,1972.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.2
Literatur
•
•
•
C. I. Lewis, A survey of symbolic logic, U. of California, 1918.
G. E. Hughes and M.J. Cresswell, An Introduction to Modal Logic,
Methuen & Co Ltd, London,1972.
M. Fittings Kapitel im Handbook of Logic in AI and Logic
Programming, Vol. 1,
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.2
Literatur
•
•
•
•
C. I. Lewis, A survey of symbolic logic, U. of California, 1918.
G. E. Hughes and M.J. Cresswell, An Introduction to Modal Logic,
Methuen & Co Ltd, London,1972.
M. Fittings Kapitel im Handbook of Logic in AI and Logic
Programming, Vol. 1,
Part One in den CSLI Lecture Notes von R. Goldblatt,
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.2
Literatur
•
•
•
•
•
C. I. Lewis, A survey of symbolic logic, U. of California, 1918.
G. E. Hughes and M.J. Cresswell, An Introduction to Modal Logic,
Methuen & Co Ltd, London,1972.
M. Fittings Kapitel im Handbook of Logic in AI and Logic
Programming, Vol. 1,
Part One in den CSLI Lecture Notes von R. Goldblatt,
das Kapitel von C. Stirling im zweiten Band des Handbook of
Logic in Computer Science,
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.2
Literatur
•
•
•
•
•
•
C. I. Lewis, A survey of symbolic logic, U. of California, 1918.
G. E. Hughes and M.J. Cresswell, An Introduction to Modal Logic,
Methuen & Co Ltd, London,1972.
M. Fittings Kapitel im Handbook of Logic in AI and Logic
Programming, Vol. 1,
Part One in den CSLI Lecture Notes von R. Goldblatt,
das Kapitel von C. Stirling im zweiten Band des Handbook of
Logic in Computer Science,
die Kapitel über modale Aussagenlogik von R. Bull und K.
Segerberg und über modale Quantorenlogik von J. Garson in
Band II des Handbook of Philosophical Logic,
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.2
Literatur
•
•
•
•
•
•
•
C. I. Lewis, A survey of symbolic logic, U. of California, 1918.
G. E. Hughes and M.J. Cresswell, An Introduction to Modal Logic,
Methuen & Co Ltd, London,1972.
M. Fittings Kapitel im Handbook of Logic in AI and Logic
Programming, Vol. 1,
Part One in den CSLI Lecture Notes von R. Goldblatt,
das Kapitel von C. Stirling im zweiten Band des Handbook of
Logic in Computer Science,
die Kapitel über modale Aussagenlogik von R. Bull und K.
Segerberg und über modale Quantorenlogik von J. Garson in
Band II des Handbook of Philosophical Logic,
die Fortsetzung ihres 68-er Buches von Hughes and Cresswell,
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.2
Ein Puzzle
Drei Weisen werden Hüte aufgesetzt, jedem genau einen. Die Hüte
sind entweder weiß oder schwarz, und jedem ist bekannt, daß mindestens ein schwarzer Hut mit dabei ist. Jeder Beteiligte sieht, welche
Hüte die anderen beiden aufsitzen haben und soll erschließen, welchen Hut er aufsitzen hat, natürlich ohne in einen Spiegel zu schauen,
den Hut abzunehmen oder ähnliches. Nach einer Weile sagt einer der
Weisen: "Ich weiß nicht, welchen Hut ich aufhabe.Nach einer weiteren
Pause des Nachdenkens sagt ein zweiter: "Ich weiß auch nicht, welchen Hut ich aufhabe.Dann,ßagt der Dritte, "weiß ich, daß ich einen
schwarzen Hut aufhabe."
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.3
Formalisierung des Puzzles
Si
der i-te Weise hat einen schwarzen Hut auf
Notation Wi
der i-te Weise hat einen weißen Hut auf
2i A der i-te Weise weiß, daß A wahr ist
jeweils für i ∈ {1, 2, 3}.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.4
Formalisierung des Puzzles
Fakten
•
¬21 S1
(B1 )
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.5
Formalisierung des Puzzles
Fakten
•
¬21 S1
•
¬22 S2
(B1 )
(B2 )
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.5
Formalisierung des Puzzles
Fakten
•
¬21 S1
(B1 )
•
¬22 S2
(B2 )
•
W3 ∧W2 → S1
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.5
Formalisierung des Puzzles
Fakten
•
¬21 S1
(B1 )
•
¬22 S2
(B2 )
•
W3 ∧W2 → S1
•
W3 → 21W3
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.5
Formalisierung des Puzzles
Fakten
•
¬21 S1
(B1 )
•
¬22 S2
(B2 )
•
W3 ∧W2 → S1
•
W3 → 21W3
•
W2 → 21W2
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.5
Formalisierung des Puzzles
Fakten
•
¬21 S1
(B1 )
•
¬22 S2
(B2 )
•
W3 ∧W2 → S1
•
W3 → 21W3
•
W2 → 21W2
•
W3 → 22W3
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.5
Formalisierung des Puzzles
Fakten
•
¬21 S1
(B1 )
•
¬22 S2
(B2 )
•
W3 ∧W2 → S1
•
W3 → 21W3
•
W2 → 21W2
•
W3 → 22W3
•
¬W2 → S2
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.5
Formalisierung des Puzzles
Fakten
•
¬21 S1
(B1 )
•
¬22 S2
(B2 )
•
W3 ∧W2 → S1
•
W3 → 21W3
•
W2 → 21W2
•
W3 → 22W3
•
¬W2 → S2
•
¬W3 → S3
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.5
Akzeptable Axiome
•
alle AL-Axiome z.B. 21 A ∨ ¬21 A
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.6
Akzeptable Axiome
•
alle AL-Axiome z.B. 21 A ∨ ¬21 A
•
(2A ∧ 2(A → B)) → 2B
(K)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.6
Akzeptable Axiome
•
alle AL-Axiome z.B. 21 A ∨ ¬21 A
•
(2A ∧ 2(A → B)) → 2B
•
2(A → B) → (2A → 2B
(K)
(K)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.6
Akzeptable Schlußregeln
•
modus ponens
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.7
Akzeptable Schlußregeln
•
•
modus ponens
A
2A
(G)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.7
Akzeptable Schlußregeln
•
modus ponens
•
A
2A
(G)
•
A→B
2A → 2B
(I)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.7
Akzeptable Schlußregeln
•
modus ponens
•
A
2A
•
A→B
2A → 2B
(I)
•
A↔B
2A ↔ 2B
(E)
(G)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.7
Akzeptable Schlußregeln
•
modus ponens
•
A
2A
•
A→B
2A → 2B
(I)
•
A↔B
2A ↔ 2B
(E)
(G)
Aus (K), (G) und Aussagenlogik folgen alle anderen Axiome und Regeln.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.7
Eine formale Ableitung
W3 ∧W2 → S1
(1)
Faktum
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.8
Eine formale Ableitung
W3 ∧W2 → S1
(1)
Faktum
21 (W3 ∧W2 → S1 )
(2)
aus (1) mit (G)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.8
Eine formale Ableitung
W3 ∧W2 → S1
(1)
Faktum
21 (W3 ∧W2 → S1 )
(2)
aus (1) mit (G)
21 (W3 ∧W2 → S1 ) ∧ ¬21 (S1 ) → ¬21 (W3 ∧W2 )
(3)
aus (K) und Aussagenlogik
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.8
Eine formale Ableitung
W3 ∧W2 → S1
(1)
Faktum
21 (W3 ∧W2 → S1 )
(2)
aus (1) mit (G)
21 (W3 ∧W2 → S1 ) ∧ ¬21 (S1 ) → ¬21 (W3 ∧W2 )
(3)
aus (K) und Aussagenlogik
¬21 (W3 ∧W2 )
(4)
aus (2), (3) und Faktum B1 mit (MP)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.8
Eine formale Ableitung (Forts.)
(W3 → 21W3 ) ∧ (W2 → 21W2 )
(5)
Fakten
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.9
Eine formale Ableitung (Forts.)
(W3 → 21W3 ) ∧ (W2 → 21W2 )
(5)
Fakten
W3 ∧W2 → 21W3 ∧ 21W2
(6)
mit AL aus (5)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.9
Eine formale Ableitung (Forts.)
(W3 → 21W3 ) ∧ (W2 → 21W2 )
(5)
Fakten
W3 ∧W2 → 21W3 ∧ 21W2
(6)
mit AL aus (5)
W3 ∧W2 → 21 (W3 ∧W2 )
(7)
mit (M), AL und (6)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.9
Eine formale Ableitung (Forts.)
(W3 → 21W3 ) ∧ (W2 → 21W2 )
(5)
Fakten
W3 ∧W2 → 21W3 ∧ 21W2
(6)
mit AL aus (5)
W3 ∧W2 → 21 (W3 ∧W2 )
(7)
mit (M), AL und (6)
¬(W3 ∧W2 )
(8)
mit AL aus (7) und (4)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.9
Eine formale Ableitung (Forts.)
22 (W3 → ¬W2 )
(9)
mit AL und Regel (G) aus (8)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.10
Eine formale Ableitung (Forts.)
22 (W3 → ¬W2 )
(9)
mit AL und Regel (G) aus (8)
22W3 → 2¬W2
(10)
mit Axiom (K) und AL aus (9)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.10
Eine formale Ableitung (Forts.)
22 (W3 → ¬W2 )
(9)
mit AL und Regel (G) aus (8)
22W3 → 2¬W2
(10)
mit Axiom (K) und AL aus (9)
¬22 ¬W2 → ¬22W3
(11)
Kontraposition von (10)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.10
Eine formale Ableitung (Forts.)
22 (W3 → ¬W2 )
(9)
mit AL und Regel (G) aus (8)
22W3 → 2¬W2
(10)
mit Axiom (K) und AL aus (9)
¬22 ¬W2 → ¬22W3
(11)
Kontraposition von (10)
¬W2 → S2
(12)
Faktum
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.10
Eine formale Ableitung (Forts.)
22 (¬W2 → S2 )
(13)
mit Regel (G) aus (12)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.11
Eine formale Ableitung (Forts.)
22 (¬W2 → S2 )
(13)
mit Regel (G) aus (12)
22 ¬W2 → 22 S2
(14)
mit (MP), Axiom (K) aus (13)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.11
Eine formale Ableitung (Forts.)
22 (¬W2 → S2 )
(13)
mit Regel (G) aus (12)
22 ¬W2 → 22 S2
(14)
mit (MP), Axiom (K) aus (13)
¬22 ¬W2
(15)
aus (14) mit AL und Faktum B2
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.11
Eine formale Ableitung (Forts.)
22 (¬W2 → S2 )
(13)
mit Regel (G) aus (12)
22 ¬W2 → 22 S2
(14)
mit (MP), Axiom (K) aus (13)
¬22 ¬W2
(15)
aus (14) mit AL und Faktum B2
¬22W3
(16)
aus (15) und (11)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.11
Eine formale Ableitung (Forts.)
¬W3
(17)
aus (16), dem Faktum W3 → 22W3 und AL
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.12
Eine formale Ableitung (Forts.)
¬W3
(17)
aus (16), dem Faktum W3 → 22W3 und AL
S3
(18)
aus (17) mit dem Faktum ¬W3 → S3
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.12
Eine formale Ableitung (Forts.)
¬W3
(17)
aus (16), dem Faktum W3 → 22W3 und AL
S3
(18)
aus (17) mit dem Faktum ¬W3 → S3
2 3 S3
(19)
mit Regel (G) aus (18)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.12
Modale Formeln
Die Menge, FmlALmod , der Formeln der modalen Aussagenlogik ist
die kleinste Menge mit den Eigenschaften:
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.13
Modale Formeln
Die Menge, FmlALmod , der Formeln der modalen Aussagenlogik ist
die kleinste Menge mit den Eigenschaften:
•
jede aussagenlogische Variable ist eine Element von Fml ALmod .
•
für F1 , F2 ∈ FmlALmod liegen auch F1 ∧ F2 , F1 ∨ F2 , F1 → F2 und
¬F1 in FmlALmod .
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.13
Modale Formeln
Die Menge, FmlALmod , der Formeln der modalen Aussagenlogik ist
die kleinste Menge mit den Eigenschaften:
•
jede aussagenlogische Variable ist eine Element von Fml ALmod .
•
für F1 , F2 ∈ FmlALmod liegen auch F1 ∧ F2 , F1 ∨ F2 , F1 → F2 und
¬F1 in FmlALmod .
•
für F ∈ FmlALmod gilt auch 2F ∈ FmlALmod und 3F ∈ FmlALmod .
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.13
Modale Ableitbarkeit
Jedes modallogische System S induziert eine Ableitbarkeitsrelation
`S .
Σ `S A
gilt für eine Formelmenge Σ ⊆ FmlALmod und eine Formel A ∈
FmlALmod , wenn es einen Beweis für A gibt, der nur die Formeln aus
Σ und die Axiome und Schlußregeln von S benutzt.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.14
Das modallogische System K
Axiome
alle AL-Tautologien
(A → B) → (2(A) → 2B)
Regeln
A,A→B
B
A
2A
(K)
(MP)
(G)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.15
Einige modallogische Systeme
T
D
B
S4
S5
S4.2
S4.3
K
K
T
T
T
S4
S4
C
K
+
+
+
+
+
+
+
+
2A → A
2A → 3A
¬A → 2¬2A
2A → 22A
¬2A → 2¬2A
32A → 23A
2(2(A → B)) ∨ 2(2(B → A))
A→B
statt (G).
2A → 2B
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.16
Beispiel eines Transitionssystems
Senderautomat in einem alternating bit protocol
siehe Holzmann91, Seite 75
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.17
Eigenschaften des Beispiels
2F soll im Zustand z1 wahr sein, wenn in allen Zuständen z, die von
z1 aus in einem Transitionsschritt erreicht werden können, die Formel
F wahr ist.
(s ∧ r)
(s ∧ r)
(s ∧ r)
(¬s ∧ ¬r)
(¬s ∧ ¬r)
(¬s ∧ ¬r)
→
→
→
→
→
→
2¬s
22¬s
222¬s
2s
22s
222s
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.18
Kripke Rahmen
Ein Kripke Rahmen
(G, R)
besteht aus einer beliebigen nicht leeren Menge G und einer
zweistelligen Relation R auf G.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.19
Kripke Rahmen
Ein Kripke Rahmen
(G, R)
besteht aus einer beliebigen nicht leeren Menge G und einer
zweistelligen Relation R auf G.
Die Elemente von G heißen mögliche Welten, die Relation R die Zu-
gänglichkeitsrelation.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.19
Kripke Strukturen
Eine aussagenlogische Kripke Struktur
K = (G, R, v)
besteht aus einem Kripke Rahmen (G, R) und einer Abbildung v :
G × P → {0, 1}, die jeder aussagenlogischen Variablen p ∈ P in
Abhängigkeit von einer möglichen Welt g ∈ G einen Wahrheitswert
v(g, p) zuordnet.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.20
Der Modellbegriff
K = (G, R, v) eine Kripke Struktur, g ∈ G und F ∈ FmlALmod .
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.21
Der Modellbegriff
K = (G, R, v) eine Kripke Struktur, g ∈ G und F ∈ FmlALmod .
1 g |= p
gdw
v(g, p) = 1 für p ∈ P
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.21
Der Modellbegriff
K = (G, R, v) eine Kripke Struktur, g ∈ G und F ∈ FmlALmod .
1 g |= p
2 g |= F ∧ H
gdw
gdw
v(g, p) = 1 für p ∈ P
g |= F und g |= H
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.21
Der Modellbegriff
K = (G, R, v) eine Kripke Struktur, g ∈ G und F ∈ FmlALmod .
1 g |= p
2 g |= F ∧ H
3 g |= F ∨ H
gdw
gdw
gdw
v(g, p) = 1 für p ∈ P
g |= F und g |= H
g |= F oder g |= H
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.21
Der Modellbegriff
K = (G, R, v) eine Kripke Struktur, g ∈ G und F ∈ FmlALmod .
1
2
3
4
g |= p
g |= F ∧ H
g |= F ∨ H
g |= F → H
gdw
gdw
gdw
gdw
v(g, p) = 1 für p ∈ P
g |= F und g |= H
g |= F oder g |= H
(nicht g |= F)
oder g |= H
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.21
Der Modellbegriff
K = (G, R, v) eine Kripke Struktur, g ∈ G und F ∈ FmlALmod .
1
2
3
4
g |= p
g |= F ∧ H
g |= F ∨ H
g |= F → H
5 g |= ¬F
gdw
gdw
gdw
gdw
gdw
v(g, p) = 1 für p ∈ P
g |= F und g |= H
g |= F oder g |= H
(nicht g |= F)
oder g |= H
nicht g |= F
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.21
Der Modellbegriff
K = (G, R, v) eine Kripke Struktur, g ∈ G und F ∈ FmlALmod .
1
2
3
4
g |= p
g |= F ∧ H
g |= F ∨ H
g |= F → H
5 g |= ¬F
6 g |= 2F
gdw
gdw
gdw
gdw
gdw
gdw
v(g, p) = 1 für p ∈ P
g |= F und g |= H
g |= F oder g |= H
(nicht g |= F)
oder g |= H
nicht g |= F
für alle h mit R(g, h)
gilt h |= F
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.21
Der Modellbegriff
K = (G, R, v) eine Kripke Struktur, g ∈ G und F ∈ FmlALmod .
1
2
3
4
g |= p
g |= F ∧ H
g |= F ∨ H
g |= F → H
gdw
gdw
gdw
gdw
5 g |= ¬F
6 g |= 2F
gdw
7 g |= 3F
gdw
gdw
v(g, p) = 1 für p ∈ P
g |= F und g |= H
g |= F oder g |= H
(nicht g |= F)
oder g |= H
nicht g |= F
für alle h mit R(g, h)
gilt h |= F
es gibt ein h mit R(g, h),
so daß h |= F
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.21
Beispiel
Ist K1 die Kripke Struktur des alternating bit Protokols, dann gilt
K1 |= (s ∧ r) → 2¬s
K1 |= (s ∧ r) → 22¬s
K1 6|= (s ∧ r) → 222¬s
K1 |= (¬s ∧ ¬r) → 2s
K1 |= (¬s ∧ ¬r) → 22s
K1 6|= (¬s ∧ ¬r) → 222s
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.22
Konsequenzrelationen
Lokale modallogische Konsequenz
Sei Σ ⊆ FmlALmod und F ∈ FmlALmod .
Σ `L F
gilt genau dann, wenn für jede Kripke Struktur
K = (G, R, v) und jede Welt g ∈ G gilt:
falls g |= Σ , dann g |= F
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.23
Konsequenzrelationen
Globale modallogische Konsequenz
Σ `G F
gilt genau dann, wenn für jede Kripke Struktur
K = (G, R, v):
falls für jede Welt g ∈ G gilt g |= Σ
dann
dann gilt auch für jede Welt g ∈ G
g |= F
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.24
Relative Konsequenzrelationen
Sei T eine Klasse von Kripke Strukturen.
Relative Lokale modallogische Konsequenz
Sei Σ ⊆ FmlALmod und F ∈ FmlALmod .
Σ `TL F
gilt genau dann, wenn für jede Kripke Struktur
K = (G, R, v) ∈ T und jede Welt g ∈ G gilt:
falls g |= Σ , dann g |= F
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.25
Relative Konsequenzrelationen
Sei T eine Klasse von Kripke Strukturen.
Relative Globale modallogische Konsequenz
Σ `TG F
gilt genau dann, wenn für jede Kripke Struktur
K = (G, R, v) ∈ T:
falls für jede Welt g ∈ G gilt g |= Σ
dann
dann gilt auch für jede Welt g ∈ G
g |= F
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.26
Tautologie und Erfüllbarkeit
Eine Formel F heißt eine modallogische Tautologie oder
allgemeingültig, wenn 0/ ` F gilt.
Gilt für eine Klasse T von Kripke Strukturen 0/ `T F dann nennen wir
F eine T-Tautologie.
Eine Formelmenge Σ ⊆ FmlALmod heißt erfüllbar, wenn es eine Kripke Stuktur K und eine Welt g gibt mit (K , g) ` Σ.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.27
Deduktionstheorem
Für A, B ∈ FmlALmod gilt
B `L A
gdw
gdw
{B, ¬A} ist nicht erfüllbar
`L B → A
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.28
Deduktionstheorem
Für A, B ∈ FmlALmod gilt
B `L A
gdw
gdw
{B, ¬A} ist nicht erfüllbar
`L B → A
Beweis:
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.28
Deduktionstheorem
Für A, B ∈ FmlALmod gilt
B `L A
gdw
gdw
{B, ¬A} ist nicht erfüllbar
`L B → A
Beweis:
Durch Einsetzen der Definitionen erhält man
B `L A
gdw
{B, ¬A} ist nicht erfüllbar
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.28
Deduktionstheorem
Für A, B ∈ FmlALmod gilt
B `L A
gdw
gdw
{B, ¬A} ist nicht erfüllbar
`L B → A
Beweis:
Durch Einsetzen der Definitionen erhält man
B `L A
gdw
{B, ¬A} ist nicht erfüllbar
Rein aussagenlogisch ist die folgende Äquivalenz gültig:
{B → A} nicht erfüllbar
gdw
{B, ¬A} n. e.
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.28
Deduktionstheorem
Für A, B ∈ FmlALmod gilt
B `L A
gdw
gdw
{B, ¬A} ist nicht erfüllbar
`L B → A
Beweis:
Durch Einsetzen der Definitionen erhält man
B `L A
gdw
{B, ¬A} ist nicht erfüllbar
Rein aussagenlogisch ist die folgende Äquivalenz gültig:
{B → A} nicht erfüllbar
gdw
{B, ¬A} n. e.
Wieder durch Einsetzen der Definitionen sieht man
{B → A} ist nicht erfüllbar
gdw
`L B → A
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.28
Übungsaufgaben
Aufgabe 1
Mit K bezeichnen wir die Klasse aller Kripke Strukturen ohne
Einschränkung an die Zugänglichkeitsrelation.
Zeigen, daß die folgenden Formeln K-Tautologien sind.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2F ↔ ¬3¬F
2(P → Q) → (2P → 2Q)
2(P ∧ Q) ↔ (2P ∧ 2Q)
3(P ∨ Q) ↔ (3P ∨ 3Q)
(2P ∨ 2Q) → 2(P ∨ Q)
3(P ∧ Q) → (3P ∧ 3Q)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.29
Übungsaufgaben
Aufgabe 2
Mit S5 bezeicht man die Klasse aller Kripke Strukturen, deren
Zugänglichkeitsrelation eine Äquivalenzrelation ist.
Geben Sie Kripke Strukturen an, die zeigen, daß die folgenden
Formeln nicht einmal S5-Tautologien sind.
1. 2(P ∨ Q) → (2P ∨ 2Q)
2. (3P ∧ 3Q) → 3(P ∧ Q)
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.30
Übungsaufgaben
Aufgabe 3
Mit T bezeicht man die Klasse aller Kripke Strukturen, mit reflexiver
Zugänglichkeitsrelation, mit S4 die Klasse mit reflexiv-transitivem R.
Zeigen Sie:
1. Die folgenden Beziehungen zwischen modalen Literalen sind
T-Tautologien:
(a) 2 p → p
(b) p → 3 p
(c) 22 p → 2 p
(d) 23 p → 3 p
(e) 2 p → 32 p
(f) 3 p → 33 p
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.31
Übungsaufgaben
1. Die folgenden Formeln sind S4-Tautologien:
(a) 22 p ↔ 2 p
(b) 33 p ↔ 3 p
2. S5-Tautologien:
(a) 32 p ↔ 2 p
(b) 23 p ↔ 3 p
P. H. Schmitt: Nichtklassische Logik – p.32