Manuskript zum Vorkurs - cs
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Vorkurs
Mathematik
Wirtschaftsingenieurwesen
und
Informatik
DHBW Stuttgart
Campus Horb
Dozent
Dipl. Math. (FH) Roland Geiger
Internet
Vorkurs
Mathematik
Wirtschaftsingenieurwesen
und
Informatik
DHBW Stuttgart
Campus Horb
Dozent
Dipl. Math. (FH) Roland Geiger
Lösungen im Internet
http://www.cs-geiger.de/vorkurs_horb.htm
Manuskript
Vorkurs
Mathematik
Wirtschaftsingenieurwesen
und
Informatik
DHBW Stuttgart
Campus Horb
Dozent
Dipl. Math. (FH) Roland Geiger
Inhaltsverzeichnis
Lösungen im Internet ...................................................................................................3
Grundlagen ................................................................................................................ 14
Symbole .................................................................................................................. 14
Griechische Buchstaben ...................................................................................... 15
Deutsche Schriftzeichen ...................................................................................... 16
Rechenzeichen .................................................................................................... 16
Unäre Operatoren ............................................................................................... 17
Gleichheitszeichen (Symmetrische Relationen) ................................................... 17
Elementare Funktionen ....................................................................................... 18
Intervalle ............................................................................................................ 19
Trigonometrische Funktionen ............................................................................. 19
Zyklometrische Funktionen ................................................................................. 19
Komplexe Zahlen ................................................................................................. 20
Matrizen ............................................................................................................. 20
Matrizenoperationen und – funktionen .............................................................. 21
Differentialrechnung ........................................................................................... 22
Integrale ............................................................................................................. 22
Geometrie ........................................................................................................... 22
Differentialgeometrie ......................................................................................... 23
Mengenlehre ...................................................................................................... 23
Mengenoperationen ........................................................................................... 23
Mengenrelationen .............................................................................................. 24
Zahlenmengen .................................................................................................... 24
Teilbarkeit ........................................................................................................... 24
Elementare arithmetische Funktionen ................................................................ 25
Grundbegriffe des Rechnens ...................................................................................... 26
Die Grundrechenarten ............................................................................................ 26
Die Addition ........................................................................................................ 26
Die Subtraktion ................................................................................................... 26
Die Multiplikation ............................................................................................... 26
Die Division ......................................................................................................... 26
Rangfolge der Grundrechenarten ........................................................................... 27
Variablen ................................................................................................................ 27
Termumformungen und Gleichungen ..................................................................... 28
Was ist eine Termumformung? ........................................................................... 28
5-348
Was ist eine Gleichung? ...................................................................................... 28
Beispiele für Termumformungen ........................................................................ 28
Beispiele für Gleichungen ................................................................................... 28
Das Lösen von Gleichungen durch Probieren .......................................................... 29
Vergleich von Zahlen; die Zahlengerade ................................................................. 29
Ungleichungen ........................................................................................................ 30
Teiler und Vielfache ................................................................................................ 31
Vielfache: ............................................................................................................ 31
Aussagen und Aussageformen ................................................................................ 31
Aussageform ....................................................................................................... 32
Zahlbereiche und elementare Verknüpfungen ........................................................ 33
Runden von Zahlen ................................................................................................. 33
Kaufmännisches Runden ..................................................................................... 34
Mathematische Rundung .................................................................................... 34
Indizierung von Variablen ....................................................................................... 35
Mengen ...................................................................................................................... 36
Grundbegriffe ......................................................................................................... 36
Menge, Element .................................................................................................. 36
Zahlenmengen .................................................................................................... 37
Zahlenbereiche ................................................................................................... 38
Die Zeichen , ................................................................................................. 39
Teilmengen ......................................................................................................... 39
Besondere Arten von Teilmengen ....................................................................... 39
Grundmenge, Definitionsmenge, Lösungsmenge................................................. 40
Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Restmenge .................................................. 41
Schnittmengen ( Durchschnittsmengen ) ............................................................. 41
Darstellung im Mengendiagramm: ...................................................................... 41
Vereinigungsmengen .......................................................................................... 42
Restmengen ( Differenzmengen ) ........................................................................ 42
Venndiagramme ..................................................................................................... 43
Mengenoperationen ............................................................................................... 43
Elementare Rechenoperationen ................................................................................. 44
Grundlagen ............................................................................................................. 44
Regeln und Gesetze: ........................................................................................... 45
Rechengesetze der Addition................................................................................ 45
Addition und Subtraktion von Termen ................................................................ 46
6-348
Die Terme sind gleichartig .................................................................................. 46
Verschiedene Arten von Termen ......................................................................... 47
Eine Klammer kommt hinzu ................................................................................ 47
Regeln für die Auflösung einer Klammer nach „+“ oder „-“: ............................... 47
Weitere Klammern kommen hinzu ...................................................................... 47
Multiplikation; Rechengesetze ............................................................................ 48
Multiplikation als Addition: ................................................................................. 48
Rechengesetze der Multiplikation ....................................................................... 48
Kurzschreibweisen .............................................................................................. 49
Ein Faktor ist 0 .................................................................................................... 49
Bruchrechnung ....................................................................................................... 50
Grundlagen des Bruchrechnens........................................................................... 50
Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen: ........................................................ 52
Potenzen ................................................................................................................ 54
Der Potenzbegriff ................................................................................................ 54
Die Basen 1 und –1 : ........................................................................................... 55
Potenzrechnung mit ganzzahligen Exponenten ....................................................... 55
Zehnerpotenzen ..................................................................................................... 57
Die Herleitung der "Potenzgesetze" ........................................................................ 58
Die "Potenzgesetze" auf einen Blick ....................................................................... 61
Wurzel ....................................................................................................................... 62
Sinn und Zweck der Wurzel .................................................................................... 62
Definition der Wurzel ............................................................................................. 62
Multiplikation von gleichartigen Wurzeln ........................................................... 64
Division von gleichartigen Wurzeln ......................................................................... 64
Verschachteln von Wurzeln .................................................................................... 64
Einige Rechenbeispiele ........................................................................................... 65
Das Rechnen mit Potenzen ..................................................................................... 66
Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: .................................................. 66
Potenzen von Produkten ..................................................................................... 66
Addition und Subtraktion von Potenzen .............................................................. 66
Multiplikation eines Faktors mit einer Summe .................................................... 67
Binomische Formeln ................................................................................................... 68
Grundlagen ............................................................................................................. 68
Formeln .................................................................................................................. 68
Bedeutung .............................................................................................................. 69
7-348
Logarithmen ........................................................................................................... 70
Einfühhrung ........................................................................................................ 70
Logarithmengesetze ............................................................................................ 72
Logarithmen zu einer beliebigen Basis ................................................................ 74
Summenzeichen ......................................................................................................... 75
Motivation und Definition ...................................................................................... 75
Rechengesetze ........................................................................................................ 76
Indexverschiebung .................................................................................................. 77
Produktzeichen ....................................................................................................... 78
Binomialkoeffizient und Fakultät................................................................................ 79
Gleichungen ............................................................................................................... 80
Äquivalenzumformungen bei Gleichungen ............................................................. 80
Lineare Gleichungen ............................................................................................... 81
Sonderfälle beim Lösen von Gleichungen: .............................................................. 81
Die Variable „verschwindet“: .............................................................................. 81
Quadratische Gleichungen ...................................................................................... 82
Kleine Lösungsformel ............................................................................................. 83
Der Vietasche Satz .................................................................................................. 85
Große Lösungsformel ............................................................................................. 87
Quadratische Ergänzung............................................................................................. 88
Zusammenfassung bzw. Anleitung ...................................................................... 88
Bestimmung des Scheitelpunktes ........................................................................ 90
Bruchgleichungen ................................................................................................... 92
Wurzelgleichungen ................................................................................................. 94
Logarithmische Gleichungen ................................................................................... 95
Exponentialgleichungen .......................................................................................... 97
Quadratische Exponentialgleichungen .................................................................... 98
Betragsgleichungen .............................................................................................. 101
Merkmale einer Betragsfunktion ....................................................................... 101
Die verschiedenen Arten von Betragsfunktionsgraphen .................................... 104
Gleichungen mit Parametern ................................................................................ 108
Textgleichungen ................................................................................................... 109
Polynome und Polynomgleichungen ......................................................................... 111
Faktorisierung ...................................................................................................... 111
Bausteine zur Faktorisierung ............................................................................. 112
Kubische Polynome .............................................................................................. 113
8-348
Polynomdivision ................................................................................................... 115
Rechenvorgang ................................................................................................. 115
Substitutionsmethode .......................................................................................... 118
Das Verfahren von Cardano .............................................................................. 119
Biquadratische Gleichungen ................................................................................. 121
Lineare Gleichungssysteme ...................................................................................... 122
Gleichsetzungsverfahren ...................................................................................... 123
Fallunterscheidungen ........................................................................................ 125
Das Einsetzungsverfahren ..................................................................................... 126
Additionsverfahren ............................................................................................... 128
Merkregeln zur Anwendung der einzelnen Verfahren ....................................... 139
Der Gauß‘sche Algorithmus .................................................................................. 141
Lineare Gleichungssysteme mit Parametern ......................................................... 148
Ungleichungen ......................................................................................................... 149
Lineare Ungleichungen ......................................................................................... 149
Quadratische Ungleichungen ................................................................................ 151
Bruchungleichungen ............................................................................................. 158
Betragsungleichungen .......................................................................................... 161
Matrizen .................................................................................................................. 162
Typ einer Matrix ................................................................................................... 163
Zeilenmatrix ......................................................................................................... 163
Spaltenmatrix ....................................................................................................... 163
Nullmatrix ............................................................................................................ 163
Zeilen- und Spaltenvektoren ................................................................................. 164
Gleichheit von Matrizen ....................................................................................... 164
Transponieren ...................................................................................................... 165
Quadratische Matrix ............................................................................................. 166
Die Haupt- und Nebendiagonale: ...................................................................... 166
Diagonalmatrix ..................................................................................................... 166
Einheitsmatrix ...................................................................................................... 167
Untere Dreiecksmatrix .......................................................................................... 167
Obere Dreiecksmatrix ........................................................................................... 167
Symmetrische Matrix ............................................................................................ 168
Schiefsymmetrische Matrix .................................................................................. 168
Addition von Matrizen .......................................................................................... 169
Subtraktion von Matrizen ..................................................................................... 169
9-348
Skalar-Matrix-Multiplikation ................................................................................. 170
Matrizen-Multiplikation ........................................................................................ 170
Gesetze ............................................................................................................. 174
Determinanten ......................................................................................................... 175
Die Determinantenfunktion .................................................................................. 175
Determinanten .................................................................................................. 176
Zweireihige Determinanten .................................................................................. 176
3-reihige Determinanten ...................................................................................... 178
Sarrus-Regel ......................................................................................................... 179
Eigenschaften von Dreier-Determinanten ............................................................. 181
n-reihige Determinanten ...................................................................................... 185
Einreihige Determinanten ..................................................................................... 185
Schnittpunktelement ............................................................................................ 186
Unterdeterminante .............................................................................................. 187
Vorzeichen-Faktor ................................................................................................ 187
Entwicklungsformel........................................................................................... 188
Beispiel zur Entwicklungsformel ........................................................................ 190
Folgen und Reihen ................................................................................................... 191
Folgen .................................................................................................................. 191
Monotonie ........................................................................................................ 191
Schranke ........................................................................................................... 191
Grenzwert und Konvergenz: .............................................................................. 191
Arithmetische Folgen ............................................................................................ 194
Geometrische Folgen ............................................................................................ 194
Alternierende Folge .............................................................................................. 195
Rekursive Folge .................................................................................................... 196
Wachstum ............................................................................................................ 197
Exponentielle Abnahme ........................................................................................ 199
Reihen .................................................................................................................. 200
Arithmetische Reihe ............................................................................................. 201
Geometrische Reihe ............................................................................................. 204
Grenzwerte, Stetigkeit, Differentiation .................................................................... 205
Grenzwerte von Funktionen ................................................................................. 205
Stetige Funktionen ............................................................................................... 207
Differentialrechnung ................................................................................................ 209
Differentiation von Funktionen mit einer unabhängigen Variablen ...................... 209
10-348
Der Differenzenquotient und der Differentialquotient ......................................... 210
Lineare Funktionen ........................................................................................... 210
Nichtlinearen Funktionen .................................................................................. 210
Differentiationsregeln .......................................................................................... 214
Höhere Ableitungen ............................................................................................. 217
Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung ........................ 219
Zahlenmengen ...................................................................................................... 219
Definitionsmenge: ................................................................................................ 219
Wertemenge: ....................................................................................................... 219
Symmetrieeigenschaften ...................................................................................... 219
Extrema ................................................................................................................ 220
Wendepunkte ....................................................................................................... 223
Kurvendiskussion .................................................................................................. 224
Schema der Kurvendiskussion ........................................................................... 224
Beispiel 177:......................................................................................................... 225
Differentiation parameterabhängiger Funktionen ................................................ 228
Funktionen ............................................................................................................... 229
Relationen und Funktionen................................................................................... 229
Grundlegende Funktionen und deren Eigenschaften ............................................ 229
Ganzrationale Funktionen n - ten Grades ............................................................. 229
Verlauf des Graphen ......................................................................................... 230
Symmetrie ........................................................................................................ 231
Nullstellensatz .................................................................................................. 232
Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen................................................... 233
Form gebrochen rationaler Funktionen ............................................................. 233
Eigenschaften von Wurzelfunktionen ................................................................... 234
Exponent kleiner als 1 ....................................................................................... 234
Exponent größer als 1 ....................................................................................... 234
Eigenschaften von Exponentialfunktionen ............................................................ 235
Grundeigenschaften der Funktion f(x) = e x ........................................................ 235
Spiegelung von K: y = e x ergibt K’: y = e -x . .......................................................... 236
Verschiebung der Kurve K: y = e x . ...................................................................... 237
Eigenschaften von Logarithmusfunktionen ........................................................... 242
Eigenschaften für die Kurvendiskussion ............................................................ 242
Logarithmusfunktionen ........................................................................................ 243
Trigonometrische Funktionen ............................................................................... 243
11-348
Integration ............................................................................................................... 244
Geometrische Definition des Integrals .................................................................. 244
Orientierter Flächeninhalt ................................................................................. 244
Stammfunktionen (unbestimmtes Integral) .......................................................... 244
Grundintegrale .................................................................................................. 245
Analytische Definition des Integrals ..................................................................... 245
Rechenregeln für Integrale ................................................................................... 246
Faktorregel ....................................................................................................... 246
Summenregel .................................................................................................... 246
Integration durch einfache Substitution ............................................................ 250
Integration durch erweiterte Substitution ........................................................ 251
Die erweiterte Substitution quadratischer Terme ............................................. 252
Das bestimmte Integral ........................................................................................ 253
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ................................................ 254
Intervalladditivität ............................................................................................ 255
Flächenberechnungen .......................................................................................... 256
Flächenberechnung zwischen zwei Graphen ......................................................... 257
Uneigentliche Integrale ........................................................................................ 266
Bestimmte Integrale für ganzrationale Funktionen ........................................... 271
Bestimmte Integrale für gebrochen rationale Funktionen ................................. 272
Nenner mit Summe: Einfache Substitution ........................................................ 273
Nenner mit Summe: Erweiterte Substitution..................................................... 274
Erweiterte Substitution quadratischer Nenner .................................................. 275
Ergänzungen ..................................................................................................... 276
Extremwertaufgaben ................................................................................................ 277
Extremwertaufgaben für eine Variable: ................................................................ 277
Trigonometrische Zusammenhänge .......................................................................... 286
Trigonometrische Grundlagen .............................................................................. 286
Definition des Sinus im Dreieck ............................................................................ 286
Der Einheitskreis .................................................................................................. 287
Berechnung von Bogen- und Gradmaß .............................................................. 287
Die Sinusfunktion ................................................................................................. 288
Die Amplitude der Sinusfunktion ...................................................................... 289
Periode der Sinusfunktion ................................................................................. 290
Die Phase der Sinusfunktion.............................................................................. 291
Definition des Kosinus im Dreieck ..................................................................... 294
12-348
Definition der Kosinusfunktion ......................................................................... 295
Zusammenhang zwischen Sinus- und Kosinusfunktion ...................................... 296
Definition des Tangens ...................................................................................... 298
Definition der Tangensfunktion ......................................................................... 300
Der Sinussatz ............................................................................................................ 302
Definition 182: .................................................................................................. 303
Der Kosinussatz ........................................................................................................ 304
Vorüberlegungen .................................................................................................. 305
Trigonometrische Gleichungen ............................................................................. 308
Kompliziertere trigonometrische Gleichungen ...................................................... 310
Vektorrechnung ....................................................................................................... 312
Die Vektorgleichung einer Geraden ...................................................................... 312
Das vektorielle Zugmodell .................................................................................... 316
Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen ................................... 325
Charakterisierung der Punkte auf den Koordinatenachsen ................................ 325
Charakterisierung der Punkte in den Koordinatenebenen ................................. 325
Schnittpunkte von Geraden mit den Koordinatenebenen .................................. 326
Besondere Lagen von Geraden .......................................................................... 328
Der Mittelpunkt einer Strecke. ............................................................................. 331
Die Seitenhalbierende .......................................................................................... 332
Teilpunkte einer Strecke. ...................................................................................... 333
Berechnung der Koordinaten des Schwerpunkts ................................................... 336
Ebenen ................................................................................................................. 337
Erreichbarkeit von Punkten auf einer Ebene ..................................................... 337
Grundaufgaben zur Ebenengleichung ................................................................ 339
Geraden in einer Ebene..................................................................................... 344
13-348
Grundlagen
Symbole
Es werden viele Symbole in der Mathematik verwendet. Man kennt zwar das eine oder
andere Symbol, aber bei dem einen oder anderen weiß man nicht mehr so genau was
es bedeuten soll. Die folgende Liste soll Ihnen helfen mit solchen Symbolen zu Recht
zu kommen.
14-348
Griechische Buchstaben
Große Schrift
Kleine Schrift
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
Iota
Kappa
Lambda
My
Ny
Xi
Omikron
Pi
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
15-348
Name
Deutsche Schriftzeichen
Kleinbuchstaben
Großbuchstaben
Rechenzeichen
16-348
Unäre Operatoren
Gleichheitszeichen (Symmetrische Relationen)
17-348
Verhältniszeichen (nicht symmetrische Relationen)
Elementare Funktionen
18-348
Intervalle
Trigonometrische Funktionen
Zyklometrische Funktionen
19-348
Komplexe Zahlen
Matrizen
20-348
Matrizenoperationen und – funktionen
21-348
Differentialrechnung
Integrale
Geometrie
22-348
Differentialgeometrie
Mengenlehre
Mengenoperationen
23-348
Mengenrelationen
Zahlenmengen
Teilbarkeit
24-348
Elementare arithmetische Funktionen
25-348
Grundbegriffe des Rechnens
Die Grundrechenarten
Die Addition
Zusammenzählen heißt addieren, der Rechenvorgang heißt Addition, die einzelnen
Zahlen heißen Summanden, das Ergebnis heißt Summe oder Summenwert.
Beispiel:
2
Summand
+
3
=
5
plus
Summand
gleich
Summenwert
unausgerechnete Summe
Summe
Die Subtraktion
Abziehen heißt subtrahieren, der Rechenvorgang heißt Subtraktion, das Ergebnis heißt
Differenz oder Differenzwert.
Beispiel:
10
-
3
minus
=
7
gleich
Differenzwert
unausgerechnete Differenz
Differenz
Die Multiplikation
Malnehmen heißt multiplizieren, der Rechenvorgang heißt Multiplikation, die einzelnen Zahlen heißen Faktoren, das Ergebnis heißt Produkt oder Produktwert.
3
4
=
12
Faktor
mal
Faktor
gleich
Produktwert
Beispiel:
unausgerechnetes Produkt
Produkt
Die Division
Teilen heißt dividieren, der Rechenvorgang heißt Division, das Ergebnis heißt Quotient
oder Quotientwert.
Beispiel:
12
:
3
geteilt durch
unausgerechneter Quotient
26-348
=
4
gleich
Quotientwert
Quotient
Rangfolge der Grundrechenarten
Beispiel 1:
2+34
1.
(2+3)4
2.
= 2 + 12
=
5
=
=
20
4.
14
( 10 – 6 ) : 2
=
4
=
2
4
:2
10 – 6 : 2
= 10 -
3
= 7
24 : 2 4
5.
3.
24 : ( 2 4 )
6.
=
12 4
= 24 :
=
48
= 3
8
Definition 1:
Vorrangregeln:
Punktrechnung vor Strichrechnung ( , :
vor + , - ) .
Bei gleichem „Rang“ (nur Punktrechnung oder nur Strichrechnung) wird von links nach
rechts gerechnet.
Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet.
Beispiel 2:
Berechnen Sie ( Schreibweise wie in den obigen Beispielen ):
1 10 – 4 + 2
.
2. 20 – 3 4
3. 50 – 5 (2 + 4)
4 24 : 6 2
.
5. (12 + 8) : 4 – 2
6. 20 - (10 – 6 : 3) 2
Variablen
Beispiel 3:
Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet: u = 2 a + 2 b .
Der Buchstabe a ist z.B. stellvertretend für irgendeine Länge. Man sagt: a ist die Variable für die Länge, b ist die Variable für die Breite, u ist die Variable für den Umfang.
Sind für zwei dieser Variablen feste Zahlen bekannt, so lässt sich der W ert der dritten
Variablen berechnen.
Was sind Variablen?
Variablen sind Stellvertreter, Platzhalter, Unbekannte. Sie werden durch Buchstaben
dargestellt und können durch bekannte Zahlen oder Größen ersetzt werden.
27-348
Termumformungen und Gleichungen
Was ist eine Termumformung?
Wir haben bereits Terme kennen gelernt, z.B.
2 + 3 4 ; ( 10 – 6 ) :
Definition 2:
Eine Zahl, eine Variable oder eine Zusammenstellung von Zahlen, Klammern, Rechenzeichen, Variablen heißt Term. Wird ein Term in einen gleichwertigen Term umgewandelt, so spricht man von einer Termumformung.
Termumformungen werden häufig mit Gleichungen verwechselt, weil in beiden Fällen
das Gleichheitszeichen benutzt wird.
Was ist eine Gleichung?
Beispiele von Gleichungen: u = 2 a + 2 b ; 5 x = 30 ; 240 = 2 a + 100 ;
4+7=5+6
Definition 3:
Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch das Gleichheitszeichen verbunden
sind. Die Terme heißen Seiten der Gleichung.
Bemerkung 1:
Es ist empfehlenswert, bei Termumformungen die umgeformten Terme mit dem
Gleichheitszeichen davor untereinander zu schreiben. Bei Gleichungen steht das
Gleichheitszeichen immer zwischen den beiden Termen.
Beispiel 4:
Beispiele für Termumformungen
(6+5)3–2
1.
4 € 5 + 12 €
2.
=
11
3–2
= 20 €
=
33
–2
= 32 €
=
31
+ 12 €
Beispiele für Gleichungen
5 = 30
x = 6
Lösung x = 30
1.
weil 5 6
2.
Lösung
10 + 2 = 32
x = 11
x = 32
weil 10 + 2 11
28-348
3. = 2 a + 100
240 =
70
Lösung a =
2 70 + 100
weil 240
Das Lösen von Gleichungen durch Probieren
In diesem Kapital sollen Gleichungen durch reines Probieren gelöst werden. Die Rechentechniken zum Lösen von Gleichungen werden in späteren Kapiteln ausführlich
behandelt. Auch wenn Sie es anders können, lösen Sie durch Probieren.
Beispiel 5:
Gesucht ist die Lösung der Gleichung: 5 (x + 1) – 3 = 17.
Vorgehensweise durch Probieren:
Für x = 1 erhält man
(un5 ( 1 + 1 ) – 3 = 7 gleich)
17 .
Für x = 2 erhält man
5(2+1)–3=
12
17 .
Für x = 3 erhält man
5(3+1)–3=
17
=
17 !!! Die Lösung lautet x =
3.
Vergleich von Zahlen; die Zahlengerade
Für den Vergleich von Zahlen verwendet man folgende Zeichen:
kleiner als
größer als
= gleich
ungleich
Beispiel 6:
2 3 ; 7 5 ; 4 = 4 ; 4 5.
Die Anordnung von Zahlen kann man mit Hilfe der Zahlengeraden veranschaulichen:
-3 -2 -1
0
1
2
3
Jeder Punkt auf der Zahlengeraden stellt eine Zahl dar. Von zwei Zahlen steht die größere immer weiter rechts auf der Zahlengeraden. So gilt z.B. – 1 4 ; 2,4 - 3,5 ; 0
- 3 ; -10 -1!
Rechts von der 0 liegen die positiven Zahlen, links von der 0 liegen die negativen Zahlen.
Die Zahlen 0; 1; 2; 3; 4 usw. heißen natürliche Zahlen.
Die Zahlen 1; 2; 3; 4 usw. heißen positive ganze Zahlen.
Die Zahlen -1; - 2; -3; -4 usw. heißen negative ganze Zahlen.
29-348
Zur Verdeutlichung können positive Zahlen mit einem Pluszeichen gekennzeichnet werden, z.B. +1; +2; +3; +4 usw. Das zur Kennzeichnung von Zahlen verwendete Plus- bzw.
Minuszeichen nennt man Vorzeichen der Zahl.
Ungleichungen
Formulierungen wie 2 3; 7 + 8 4 + 9 oder 17 3 nennt man Ungleichungen. Sie
können auch eine Variable (oder mehrere) enthalten, z.B. x + 3 18 – x.
Diese Ungleichungen mit Variablen sollen zunächst ebenfall s durch Probieren gelöst
werden. Später werden wir auch Lösungsverfahren kennenlernen.
Beispiel 7:
x+39
Hier tauchen Probleme auf!
- Welche Zahlen stehen für x zur Verfügung? Beispielsweise gilt: 5,7 + 3 9.
- Wie sollen die Lösungen aufgeschrieben werden?
Derartige Probleme werden relativ elegant mit Hilfe der Mengenlehre gelöst
In diesem Kapitel soll x eine Variable für natürliche Zahlen sein.
Die Lösungen für die Ungleichung x + 3 9 lauten dann:
x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5.
Enthalten Ungleichungen eine Variable, dann ergeben zwei weitere Zeichen einen Sinn:
≦kleiner als oder gleich ( auch )
≧ größer als oder gleich ( auch )
Für die obigen Beispiele bedeutet dies:
zu 1. x + 3 ≦9 :
neben den genannten Lösungen kommt die Lösung x = 6 hinzu, 6 + 3 = 9 .
zu 2. 4 + x ≦18 –x : die Lösung x = 7 kommt hinzu, 4 + 11 = 18 – 7 .
Definition 4:
Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen , , , , steht, bilden eine Ungleichung.
Streng genommen enthalten Ungleichungen mit den Zeichen oder je eine Gleichung
und eine Ungleichung, x + 3 9 bedeutet z.B. x + 3 9 oder x + 3 = 9 .
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Teiler und Vielfache
Die folgenden Begriffe gelten für positive ganze Zahlen.
Definition 5:
Eine positive ganze Zahl n heißt teilbar durch eine positive ganze Zahl m, wenn der
Quotientwert von n : m wieder eine positive ganze Zahl ist. Die Zahl m heißt Teiler der
Zahl n.
Beispiel 8:
Ist 12 teilbar durch 1; 2; 3; 4; 6; 12. Die Teiler von 18 sind 1; 2; 3; 6; 9; 18.
Definition 6:
Den größten gemeinsamen Teiler mehrerer Zahlen bezeichnet man kurz mit ggT.
Beispiel 9:
Der ggT der Zahlen 12 und 18 ist die Zahl 6.
Vielfache:
Definition 7:
Als Vielfache einer positiven ganzen Zahl bezeichnet man alle Zahlen, die durch di ese
Zahl teilbar sind.
Beispiel 10:
Vielfache von 12 sind 12; 24; 36; 48 usw. ; Vielfache von 18 sind 18; 36; 54; 72 usw..
Definition 8:
Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen bezeichnet man kurz mit kgV.
Beispiel 11:
Das kgV der Zahlen 12 und 18 ist die Zahl 36.
Aussagen und Aussageformen
Mit Hilfe der Begriffe „Aussage“ und „Aussageform“ lassen sich Begriffe wie Gleichungen, Ungleichungen, Lösungen sowie logische Schlussfolgerungen genau erklären.
Definition 9:
Eine Behauptung, die wahr oder falsch ist, heißt Aussage.
Beispiel 12:
1.
2 + 3 = 5 ist eine wahre Aussage.
2.
2 + 3 = 6 ist eine falsche Aussage.
3.
7 + 5 13 ist eine wahre Aussage.
4.
„Ist eine Zahl durch 10 teilbar, dann ist sie auch durch 5 teilbar“ ist eine wahre
Aussage.
Diese Aussage lässt sich auch mit dem Folgepfeil „
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“ formulieren:
5
„Eine Zahl ist durch 2 und 3 teilbar
eine wahre Aussage.
die Zahl ist durch 6 teilbar“ ist ebenfalls
In diesem Fall gilt der Folgepfeil auch für die Umkehrung der Aussage in 5.a). Man kann
in solchen Fällen das Zeichen „
“ benutzen (lies: ist äquivalent mit ).
„Die Zahl ist durch 6 teilbar die Zahl ist durch 2 und durch 3 teilbar“.
Aussageform
Definition 10:
Enthält eine Behauptung ( mindestens ) eine Variable, so spricht man von einer Aussageform.
Bei sämtlichen Gleichungen oder Ungleichungen mit Variablen handelt es sich um Aussageformen. Der Begriff „Lösung“ einer Gleichung bzw. Ungleichung lässt sich so formulieren:
Definition 11:
Unter der Lösung einer Gleichung bzw. Ungleichung versteht man die Zahlen,
die beim Einsetzen für die Variable eine wahre Aussage liefern.
Beispiel 13:
Welche der folgenden wahren Aussagen lassen sich umkehren?
Die letzte Ziffer einer positiven ganzen Zahl ist die 0
die Zahl ist durch 5 teilbar.
Die Quersumme einer positiven ganzen Zahl ( Summe aller Ziffern ) ist durch 3 teilbar
die Zahl ist durch 3 teilbar.
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Zahlbereiche und elementare Verknüpfungen
Runden von Zahlen
Definition 12:
Rundung ist eine arithmetische Operation, bei der eine Zahl in Stellenschreibweise,
meist eine Dezimalzahl, durch eine Zahl mit einer geringeren Anzahl signifikanter (bedeutungstragender) Stellen ersetzt wird. Dabei wird der Unterschied zwischen ursprünglicher und gerundeter Zahl, der Rundungsfehler, so gering wie möglich gehalten.
Zweck einer Rundung ist,
Platz für die Darstellung zu sparen, insbesondere bei Dezimalbrüchen und Gleitkommazahlen, oder
die Anzahl der Ziffern der Genauigkeit eines Rechenergebnisses anzupassen
(siehe Fehlerrechnung)
die Genauigkeit des Ergebnis der darstellbaren bzw. messbaren Einheit anzupassen (kleinste mögliche Währungseinheit z.B. Cent, ganze Gramm bei Küchenwaagen,...).
Meist verringert man die Anzahl der Dezimalstellen und damit die Anzahl der dargestellten Ziffern. Doch werden auch große Ganzzahlen gerundet.
Zum Beispiel rundet die Bundesagentur für Arbeit die errechnete Anzahl der Arbeitslosen auf volle 100. Hier bleibt die Anzahl der dargestellten Ziffern unverändert, aber die
letzten zwei Stellen werden als nicht signifikant gekennzeichnet.
Definition 13:
Zahlen verändern
Wird eine positive Zahl vergrößert, so spricht man von Aufrunden, wird sie verkleinert,
von Abrunden. Bei negativen Zahlen sind diese Wörter doppeldeutig. Werden Nachkommastellen nur weggelassen, spricht man von Abschneiden.
Das Runden verändert in den meisten Fällen den Wert der gerundeten Zahl. Gängige
Rundungsverfahren lassen sich gemäß der Richtung einteilen:
Definition 14:
Rundungsverfahren
aufwärts
abwärts
Richtung null
zur nächstgelegenen Rundungszahl.
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Kaufmännisches Runden
Das Kaufmännische Runden geschieht wie folgt:
Definition 15:
Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 0,1,2,3 oder 4, dann wird
abgerundet.
Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 5,6,7,8 oder 9, dann wird
aufgerundet.
Bemerkung 2:
Diese Rundungsregel wird durch die Norm DIN 1333 beschrieben. Das Runden wird so
auch häufig in der Schule gelehrt
Mathematische Rundung
Die Mathematische (auch geodätische oder unverzerrte) Rundung ist wie folgt definiert:
Definition 16:
Folgt auf die letzte beizubehaltende Ziffer eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet.
Folgt auf die letzte beizubehaltende Ziffer eine 5 (gefolgt von weiteren Ziffern, die nicht
alle null sind), 6, 7, 8 oder eine 9, so wird aufgerundet.
Folgt auf die letzte beizubehaltende Ziffer lediglich eine 5 (oder eine 5, auf die nur
Nullen folgen), so wird derart gerundet, dass die letzte beizubehaltende Ziffer gerade
wird.
Bemerkung 3:
Diese Art der Rundung wird in der Mathematik und Ingenieurwissenschaften verwendet. Sie ist im IEEE-754-Standard für das Rechnen mit binären Gleitkommazahlen in
Computern vorgesehen. Weitere Namen für diese Art der Rundung sind Wissenschaftliches oder Symmetrisches Runden.
Beispiel 14:
Beispiele (Rundung auf eine Nachkommastelle):
2,2499 ≈ 2,2 (nach Regel 1)
2,2501 ≈ 2,3 (nach Regel 2)
2,2500 ≈ 2,2 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet)
2,3500 ≈ 2,4 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet)
Bemerkung 4:
Kaufmännisches und unverzerrtes mathematisches Runden unterscheiden sich nur darin, wohin eine Zahl genau in der Mitte zwischen zwei Zahlen mit der gewählten Anzahl
von Dezimalziffern gerundet wird.
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Indizierung von Variablen
Darstellung verschiedener Variablen mit dem gleichen Buchstaben mittels Durchnummerierung (Index)
𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛
Indizes sind z.T. selbst Variablen, deren Werte der Indexmenge entstammen
Das Prinzip der Durchnummerierung lässt sich auf Doppel-/Mehrfachindizierungen ausweiten.
𝑎11 , 𝑎21 , 𝑎22 , … , 𝑎𝑛𝑚
Die Indexmengen haben oft eine einfache Struktur, die etwa eine Anordnung der Variablen 𝑎𝑖𝑗 in einem Rechteckschemaermöglichen (m, n seien natürliche Zahlen):
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑚
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑚
⋮
⋮
⋮
⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑚
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Mengen
Grundbegriffe
Für viele Teilbereiche der Mathematik liefert die Mengenlehre gün stige und logisch
einwandfreie Schreibweisen.
Menge, Element
Definition 17:
Eine Menge ist die Zusammenfassung von unterscheidbaren Dingen zu einem Ganzen.
Die einzelnen Dinge der Menge heißen Elemente.
Schreibweisen für Mengen
Mengen werden in der Mathematik durch Großbuchstaben gekennzeichnet, z.B.:
A,B,C,...,M; auch A 1 , A 2 , A 3 usw.
Folgende Schreibweisen sind sinnvoll :
die aufzählende Form, sie ist besonders übersichtlich;
die Diagrammform, sie ist besonders anschaulich;
die beschreibende Form, sie ist notwendig für Fälle, wenn die anderen Möglichkeiten versagen.
Beispiel 15:
Die aufzählende Form:
Die Menge der Augenzahlen auf einem Würfel: W = { 1;2;3;4;5;6 }. Möglich wäre auch:
W = {2;5;3;6;1;4}; zweckmäßig ist aber eine sinnvolle Reihenfolge beim Aufzählen der
Elemente.
Bemerkung 5:
Die geschweiften Klammern heißen Mengenklammern.
Beispiel 16:
Die Diagrammform:
Die Elemente einer Menge werden mit einer geschlossenen Linie umgeben.
1 2 3
4
5 6
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Beispiel 17:
Die beschreibende Form
In vielen Fällen lassen sich die Elemente einer Menge nicht aufzählen. Versuchen Sie
beispielsweise die Zahlen einschließlich aller Dezimalzahlen aufzuzählen, die größer als
3 sind. Derartige Mengen lassen sich nur beschreiben, z. B.: M = { alle Zahlen, die größer
als 3 sind } oder in mathematischer Kurzschreibweise: M = { x|x > 3 } (lies: Menge aller
x, für die gilt: x>3).
Definition 18:
Die beschreibende Form hat folgendes Aussehen: { x Eigenschaft von x } .
Beispiel 18:
Bei der Menge M = {x|x ist eine natürliche gerade Zahl zwischen 5 und 11} handelt es
sich um die Zahlen 6, 8, 10.
Zahlenmengen
Für bestimmte Zahlenmengen gibt es eine feste Schreibweise, nämlich ein Großbuchstabe mit einem Doppelstrich, z. B.:
ℕ=
{ 0;1;2;3;4;5;...} die Menge der natürlichen Zahlen,
ℕ*=
{ 1;2;3;4;5;...} die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null,
ℤ =
{ ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...} die Menge der ganzen Zahlen,
ℤ* = { ...;-3;-2;-1;1;2;3;...} die Menge der ganzen Zahlen ohne Null,
ℤ_ = { ...;-3;-2;-1} die Menge der negativen ganzen Zahlen,
ℚ =
{x|x lässt sich als Bruchzahl schreiben} die Menge der rationalen Zahlen
(ℚ von Quotient; Begriff Bruchzahl: siehe unten),
ℚ* + = {x|x ist eine positive rationale Zahl},
ℚ+= {x | x = 0 oder x ist ein positive rationale Zahl}
ℝ = {x|x ist eine Zahl auf der Zahlengeraden} die Menge der reellen Zahlen.
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Definition 19:
Merken Sie sich folgende Systematik in der Schreibweise:
ein * bedeutet: Die Null ist ausgeschlossen. (siehe ℤ*)
ein * mit einem + bedeutet: Es sind nur positive Zahlen. (siehe ℚ* + )
ein _ bedeutet: Es handelt sich um negative Zahlen. (siehe ℤ_ )
ein + ohne * bedeutet: Es sind positive Zahlen mit der Null. (siehe ℚ + )
Es gibt Zahlen, die sich nicht als Bruchzahl schreiben lassen, z. B.: = 3,14 ...; ist eine
irrationale Zahl. Die irrationalen Zahlen gehören zu den reellen Zahlen, aber nicht zu
den rationalen Zahlen.
Zahlenbereiche
Mit Hilfe der beschreibenden Form und der Ungleichheitszeichen lassen sich Zahlenbereiche erfassen. Diese können auf der Zahlengeraden dargestellt werden.
Beispiel 19:
a)
[
Klammer nach außen bedeutet: die Zahl 3 gehört nicht dazu
M = {xx< 3}
b)
]
Klammer nach innen bedeutet: die Zahl 3 gehört dazu
M = {xx 3}
c)
[
M = {xx 1} oder M = {x1 x}
d)
[
]
M = {x1 x 3}
Menge aller Zahlen zwischen 1 und 3
einschließlich der Grenzen
e)
]
M = {x1 x 3}
]
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Die Zeichen ,
Mit diesen Zeichen kann man ausdrücken, ob ein Element zu einer Menge gehört oder
nicht.
bedeutet „ist Element von“
bedeutet „ist nicht Element von“
Beispiel 20:
4 1;2;3;4;5;6; 4 ℕ; ℝ; 71;2;3;4;5;6; ℚ; 2 xx<2
Teilmengen
Beim Skatspielen erhält jeder Spieler eine „Teilmenge“ der Menge aller 32 Karten.
Diese Teilmenge umfasst 10 Elemente. Im Stock liegt eine zweielementige Teilmenge.
Definition 20:
Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch ein
Element von B ist. Zeichen:
„ist Teilmenge von“ , „ist nicht Teilmenge von“
Beispiel 21:
W
W
A1
3
5
6
1
6
A2
4
2
2
W
A1 W
1
5
3
7
4
2
3
8
1
4
A2 W
5
7
6
A3
A3 W
Besondere Arten von Teilmengen
Bei gewissen Fragestellungen nach Teilmengen erhält man Antworten, die sich zunächst kaum mit „Teil“ oder „Menge“ vereinbaren lassen, die aber trotzdem mit erfasst
werden müssen.
Beispiel 22:
Jemand hat auf seinem Lottoschein die in der Abbildung markierten Zahlen angekreuzt:
M = {2; 7; 13; 15; 27; 43}
Nach der Ziehung stellt sich die Frage:
„Welcher Teil bzw. welche Teilmenge T dieser sechs Zahlen wurde gezogen?“
Mögliche Antworten sind:
a)Die Zahlen 2, 13, 17 wurden gezogen,
d. h. T = {2; 13; 27}.
b) Nur die Zahl 15 wurde gezogen, d. h. T = {15}.
c)Keine dieser Zahlen wurde gezogen, d. h. T = { }.
d) Alle angekreuzten Zahlen wurden gezogen, d. h.
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T = {2; 7; 13; 15; 27; 43}. Hier enthält T alle Elemente von M, man spricht von einer
unechten Teilmenge.
Fasst man T als Variable für alle möglichen Teilmengen von „richtig angekreuzten Zahlen“ auf, so kann man formulieren: T 2, 7, 13, 15, 27, 43
(lies: Teilmenge von oder gleich).
Durch das Gleichheitszeichen unter dem Teilmengenzeichen wird besonders betont,
dass auch die unechte Teilmenge als Möglichkeit in Frage kommt.
Allgemein gilt:
Zu den Teilmengen einer Menge M gehören immer die leere Menge, die Mengen mit
jeweils einem Element von M und die Menge M selbst.
Grundmenge, Definitionsmenge, Lösungsmenge
Diese drei Begriffe aus der Mengenlehre stellen wesentliche Hilfsmittel für andere Bereiche der Mathematik dar. Das gilt besonders für die Gleichungslehre.
Beispiel 23:
Auf einem Taschenrechner finden Sie die Taste 1/x
erscheint die Zahl 0.5 (Rechnung: 1 : 2 = 0,5).
. Bei der Tastenfolge
2
1/x
Statt der Zahl 2 können Sie eine beliebige andere Zahl eingeben und 1/x drücken.
Alle diese möglichen Zahlen bilden die Grundmenge G für das Rechnen mit der Taste
1/x , d. h. G = ℝ.
Sie erhalten immer ein Ergebnis bis auf eine Ausnahme: Nach
Error ).
0
1/x erscheint E (
Das bedeutet: Die Zahl 0 ist eine Zahl der Grundmenge, mit der man bezüglich der Taste
1/x kein Ergebnis erhält ( durch 0 kann man nicht dividieren! ). Schließt man die Zahl
0 aus, so erhält man die Definitionsmenge D für das Rechnen mit der Taste 1/x .
Beispiel 24:
Die Gleichung 4 x + 5 = 13 soll gelöst werden.
Lösung durch Probieren:
Für x kann eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, 4 ∙ Zahl + 5 liefert immer ein
Ergebnis ( Error ist nicht möglich ).
In diesem Fall ist die Definitionsmenge gleich der Grundmenge (D = G = ℝ). Für x = 2
erhält man die wahre Aussage 4 2 + 5 = 13, jede andere Zahl für x liefert eine falsche
Aussage. Man sagt: Die Gleichung hat die Lösungsmenge L ={2}.
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Definition 21:
Die Grundmenge G enthält alle Elemente, die für eine Rechnung zur Verfügung stehen.
Die Definitionsmenge D enthält alle Elemente der Grundmenge, die man bei einer
Rechnung sinnvoll benutzen kann.
Die Lösungsmenge L enthält alle Elemente der Definitionsmenge, die in einer Aussageform beim Einsetzen für eine Variable eine wahre Aussage liefern.
Daraus ergibt sich: L D G.
(lies: Teilmenge von oder gleich)
Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Restmenge
Die Inhalte dieses Teilkapitels werden besonders für die Wahrscheinlichkei tsrechnung
benötigt.
Schnittmengen ( Durchschnittsmengen )
Beispiel 25:
Gegeben sind zwei Punkte P 1 und P 2 . Gesucht sind alle Punkte, die von P 1 den Abstand
3 cm und gleichzeitig von P 2 den Abstand 2 cm haben.
Lösung:
Die Menge aller Punkte, die von P 1 den Abstand 3 cm haben, liegt auf einem Kreis um
P 1 mit dem Radius
3 cm ( Menge M ); die Menge aller Punkte, die von P 2 den Abstand 2 cm haben, liegt
auf einem Kreis um P 2 mit dem Radius 2 cm ( Menge N ). Die Schnittpunkte S 1 und S 2
der beiden Kreise sind die gesuchten Punkte.
Definition 22:
Die Schnittmenge zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die zur Menge A und
gleichzeitig zur Menge B gehören. Schreibweise: A B (lies: A geschnitten mit B)
Darstellung im Mengendiagramm:
B
A
Hier als Schnittfläche zweier Kreisflächen
AB
Beispiel 26:
Gegeben: A = { 3; 4; 6 }, B = { 1; 2; 3; 4 }, C = { 6; 7 } .
Dann gilt: A B = { 3; 4 }; A C = { 6 }; B C = { }; A B C = { } .
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Vereinigungsmengen
Definition 23:
Die Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die zur Menge
A oder zur Menge B oder zu beiden Mengen gehören.
Schreibweise: A B (lies: A vereinigt mit B).
Beispiel 27:
Gegeben: A = { 3; 4; 6 }, B = { 1; 2; 3; 4 }, C = { 6; 7 } .
Dann gilt: A B = { 1; 2; 3; 4; 6 }; A C = { 3; 4; 6; 7 }; B C = { 1; 2; 3; 4; 6; 7 };
A B C = { 1; 2; 3; 4; 6; 7 } .
Restmengen ( Differenzmengen )
Gesucht sind alle positiven ganzen Zahlen, die kleiner als 10, aber nicht durch 3 teilbar
sind.
Mit A = {1; 2; 3; ...; 9}, B = { 3; 6; 9; 12; ... } erhält man als Ergebnis { 1; 2; 4; 5; 7; 8},
diese Menge enthält nur die Elemente aus A, die nicht zu B gehö ren ( A ohne B ).
Definition 24:
Die Restmenge A ohne B enthält alle Elemente, die zur Menge A, aber nicht zur Menge
B gehören.
Schreibweise: A \ B (lies: A ohne B).
Beispiel 28:
Gegeben ist A = { 1; 2; 3 }, B = { 2; 3; 4; 5 }, C = { 3; 5; 7 }.
Diese Mengen lassen sich in einem Mengendiagramm darstellen (siehe Abb.).
A
1
2
3
B
A
4
1
5
7
2
3
B
A
4
1
5
7
C
A \ B = {1}
2
3
B
A
4
1
5
A B = {2; 3}
2
3
4
5
7
7
C
B
C
A B C = {3}
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C
A C = {1; 2; 3; 5; 7}
Venndiagramme
Definition 25:
Mengendiagramme dienen der grafischen Veranschaulichung der Mengenlehre. Es gibt
unterschiedliche Arten von Mengendiagrammen, insbesondere Euler-Diagramme
(nach Leonhard Euler) oder Venn-Diagramme (nach John Venn).
Mengendiagramme können Mengenbeziehungen verdeutlichen, sind jedoch im Allgemeinen nicht als mathematische Beweismittel geeignet.
Als Beweismittel eignen sich nur solche Mengendiagramme, die alle möglichen Relationen der vertretenen Mengen darstellen; solche Diagramme werden Venn -Diagramme
genannt.
Der Nachteil von Venn-Diagrammen liegt darin, dass sie bei mehr als drei beteiligten
Mengen rasch unübersichtlich werden, weil sie bei n Objekten 2 n Möglichkeiten darstellen müssen. Venn selber konnte unter der Verwendung von Ellipsen bis zu vier,
schließlich sogar fünf beteiligte Mengen darstellen.
Mengenoperationen
Die Mengenoperationen verknüpfen Mengen zu neuen Mengen, indem Eigenschaften
der zu konstruierenden Mengen definiert werden.
Folgende Operationen sind die Wichtigsten:
Durchschnitt
Vereinigung
Differenz
Symmetrische Differenz
Formal können Mengenoperationen als binäre Operationen auf der Potenzmenge einer
Menge angesehen werden.
Alle Mengenoperationen haben gemeinsam, dass sie die Ergebnismenge über logische
Verknüpfungen der Elemente der Ausgangsmenge definieren: Also
Mengenoperation Symbol Logische Verknüpfung Aussage
Durchschnitt
Konjunktion
Vereinigung
Adjunktion
Differenz
Negation der Implikation
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Elementare Rechenoperationen
Grundlagen
Zahlen als Pfeile ( Vektoren )
Jede Zahl hat als Punkt einen festen Platz auf der Zahlengeraden. Sie hat damit einen
bestimmten Abstand von der Null. So ist z.B. die Zahl +3 auf der abgebildeten Zahlengeraden
3 cm ( 3 Längeneinheiten ) von der Null entfernt.
-4
-3
-1
-2
0
1
2
3
4
5
6
3 Längeneinheiten
Eine Zahl kann somit auch durch die Länge einer Strecke veranschaulicht werden. Nun
ist aber die Zahl –3 ebenfalls 3 cm von Null entfernt. Beide Zahlen haben bezüglich der
Null die gleiche Streckenlänge. Man sagt: Sie haben den gleichen Betrag.
Definition 26:
Unter dem Betrag einer Zahl a (a R ) versteht man die Länge der Strecke ( in LängenEinheiten) von der Null bis zur Zahl a.
Der Betrag einer Zahl ist immer positiv ( Länge einer Strecke!), mit einer Ausnahme:
Der Betrag von 0 ist 0.
Um den Betrag einer Zahl a von der Zahl a unterscheiden zu können, wird eine eigene
Schreibweise benötigt: Die Zahl wird zwischen die sogenannten Betragsstriche in folgender Form geschrieben: a lies: Betrag von a. So gilt z.B.: -3= 3, +3 = 3 .
Um Zahlen wie –3 und +3 geometrisch unterscheiden zu können (gleicher Betrag!), gibt
man zusätzlich eine Richtung an, man erhält einen Pfeil (Vektor).
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
(+3)
(-3)
Die Richtung des Pfeils wird durch das Vorzeichen bestimmt. Ein „+“ bedeutet: Pfeil
nach rechts, ein “-“ bedeutet: Pfeil nach links. Schreibweise für einen Pfeil: Die Zahl
wird einschließlich des Vorzeichens in eine Klammer gesetzt (siehe Abbildung).
Zwei Zahlen mit gleichem Betrag, aber entgegengesetzter Richtung, heißen auch Gegenzahlen. So ist die Zahl –3 Gegenzahl von +3 (und umgekehrt).
44-348
Regeln und Gesetze:
Definition 27:
Regeln für Addition und Subtraktion
Die Verbindung von Rechen- und Vorzeichen:
+
(+)
ergibt +,
d.h.
+
(+a)
=
+a
+
(-)
ergibt -,
d.h.
+
(-a)
=
-a
-
(+)
ergibt
-,
d.h.
-
(+a)
=
-a
-
(-)
ergibt
+,
d.h.
-
(-a)
=
+a
Das Vorzeichen + kann wegfallen, d.h. +a = a
Zwei Rechen- bzw. Vorzeichen dürfen nie hintereinander stehen, sie werden durch eine
Klammer getrennt.
Nach den Rechenregeln folgen nun Rechengesetze, die vor allem beim Rechnen mit
Variablen benötigt werden.
Rechengesetze der Addition
Die folgenden Variablen sind stellvertretend für beliebige reelle Zahlen.
Definition 28:
Das Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz): a + b = b + a
Beispiel 29:
2+3 = 3+2
Beachten Sie: 3 - 2 ≠ 2 - 3, aber 3 + (-2) = (-2) + 3, d. h. 3 - 2 = -2 + 3
Sie sehen: Fasst man die Subtraktion als Addition auf, kann man das Vertauschungsgesetz anwenden. Das Minuszeichen muss dabei mit vertauscht werden.
Definition 29:
Das Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz):
a + b + c = (a + b) + c ; a + b + c = a + (b + c)
Beispiel 30:
136 + 447 + 553 = ?
Sie können rechnen: (136 + 447) + 553 = 583 + 553 = 1136,
einfacher geht es so: 136 + (447 + 553) = 136 + 1000 = 1136
Beachten Sie: Mit Minuszeichen können Sie nicht in beliebiger Reihenfolge rechnen,
z. B. 344 - 186 - 44 = ?
(344 - 186) – 44 = 158 - 44 = 114,
im Vergleich dazu: 344 - (186 - 44) = 344 - 142 = 202
Hier gilt die Vorrangsregel 2, d.h. das Ergebnis 114 ist richtig.
45-348
Definition 30:
Die Zahl 0 ist das neutrale Element der Addition: a + 0 = a bzw. 0 + a = a
Die Addition von Gegenzahlen ergibt 0: a + (-a) = 0 bzw. -a + a = 0
Beispiel 31:
(+30) - (-12) + (-15)
2.
=
30
+
12
=
42
-
15
=
27
+15 + 98 + (-15)
-
15
=
98
+
15
=
98
+
0
=
98
+
(-15)
Addition und Subtraktion von Termen
Die Terme sind gleichartig
Beispiel 32:
10 – 3 + 8
,
=
=
7
10x
=
=
15
15x
10 € - 3 € + 8 €
+
-
8
3x
,
10x – 3x + 8x
=
+
7€
8x
= 15 €
+
,
+10x + (-3x) + 8x
8€
=
7x
=
15x
+
8x
Sie sehen:
Es handelt sich hier um Addition bzw. Subtraktion „gleicher Dinge“ (nur reine Zahlen,
nur €, nur x), die Terme sind jeweils gleichartig.
Die Art spielt für die Zusammenfassung keine Rolle. Terme wie 10x, 3x, 8x bestehen
aus einer Variablen und einer Beizahl (statt Beizahl sagt man auch Koeffizient).
Gleichartige Terme werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre Beizahlen addiert
bzw. subtrahiert und die Variable beibehält.
Das Ergebnis kann auch negativ sein, so gilt z.B. auf dem Thermometer:
2°C – 5°C = -3°C .
Ebenso gilt: 2x - 5x = -3x .
46-348
Verschiedene Arten von Termen
Man kann nicht 4 Meter und 3 Gramm addieren (4m + 3g), auch nicht 4 Meter und 3
Quadratmeter (4m + 3m²).
Es handelt sich um ungleichartige Terme. Ausdrücke wie 4x + 3y, 4x + 3x² oder 4x + 3xy
lassen sich also nicht durch Addition weiter zusammenfassen.
Dagegen gilt z.B.: 2 Äpfel + 7 Birnen + 3 Äpfel + 5 Birnen = 5 Äpfel + 12 Birnen,
2x + 7y + 3x + 5y = 2x + 3x + 7y + 5y = 5x + 12y
Eine Klammer kommt hinzu
Beispiel 33:
10a + (12b + 3a)
= 10a + 12b + 3a
= 13a + 12b
Regeln für die Auflösung einer Klammer nach „+“ oder „-“:
Steht ein Minuszeichen vor einer Klammer, werden die Rechen- bzw. Vorzeichen in der
Klammer bei Auflösung der Klammer umgekehrt. Dagegen bringt ein Pluszeichen vor
einer Klammer bei deren Auflösung keine Veränderung.
Bemerkung 6:
In der Vorrangsregel 3 heißt es zwar: „Was in der Klammer steht, muss zuerst berechnet
werden“. Beim Rechnen mit Variablen ist dies meist nicht möglich. Daher werden Regeln für die Auflösung von Klammern benötigt.
Beispiel 34:
Aufgaben wie 10 – (4 + 3) können auf beide Arten gelöst werden: 10 – 4 – 3 = 3; 10 –
7=3
Weitere Klammern kommen hinzu
Beispiel 35:
1. 10 – (3 + 2x) - (6 - 5x)
= 10 – 3 - 2x – 6 + 5x
= 1 + 3x
Definition 31:
Sind mehrere Klammern ineinander geschachtelt, dann werden die Klammern von innen nach außen aufgelöst (innere Klammer vor äußerer Klammer!).
47-348
Multiplikation; Rechengesetze
Multiplikation als Addition:
2 + 2 + 2 = 3 2 = 6;
(-3) + (-3) = 2 (-3) = -6;
x + x = 2x = 2x ;
2x + 2x + 2x = 3 2x = 6x
Die Multiplikation ist die Kurzform der Addition gleicher Summanden.
Man könnte die Multiplikation ebenfalls an der Zahlengeraden erklären.
Auf dieses relativ aufwendige Verfahren soll hier verzichtet werden.
Das Vorzeichen eines Produkts:
+4(+3) = +12
+4(-3) = -12
-4(+3) = -12 vergleichen Sie: 20 – 4 3 = 20 - 12
-4(-3) = +12 vergleichen Sie: 20 - (4 (-3)) = 20 - (-12) = 20 + 12
Definition 32:
Regeln:
Das Produkt zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen ist positiv, das Produkt zweier Zahlen mit verschiedenem Vorzeichen ist negativ.
Besteht ein Produkt aus mehr als 2 Faktoren, dann entscheidet die Anzahl der Minuszeichen.
Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus (je 2 Minuszeichen ergeben ein Plus)
eine ungerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Minus.
Rechengesetze der Multiplikation
Die gewählten Variablen sind stellvertretend für beliebige reelle Zahlen.
Definition 33:
Das Vertauschungsgesetz: a b = b a
Beispiel: 3 4 = 4 3 .
Beachten Sie: 3 : 4 4 : 3 .
Das Verbindungsgesetz: a b c = (a b) c oder a b c = a (b c)
Beispiel: 2 3 4 = ?
Achtung: 24 : 6 : 2 =?
(2 3) 4 = 6 4 = 24 oder 2 (3 4) = 2 12 = 24
(24 : 6) : 2 = 4 : 2 = 2. Falsche Rechnung: 24 : (6 : 2) = 24 : 3 = 8
Die Zahl 1 ist das neutrale Element der Multiplikation: a 1 = a bzw. 1 a = a
48-348
Kurzschreibweisen
Statt 1x schreibt man 1x oder x. Statt -1x schreibt man –1x oder –x. Statt 2x (entspricht 21x) schreibt man 2x. Statt x2 schreibt man ebenfalls 2x (nicht x2!). Statt ab
schreibt man ab.
Steht die Beizahl(der Koeffizient) vor der Variablen, kann der Malpunkt weggelassen
werden. Ebenso kann er zwischen Faktoren wegfallen, die Variablen sind.
Ein Minus als Vorzeichen kann als Faktor –1 aufgefasst werden. Das kann über manche
Hürde hinweghelfen! (z.B. 12x – x = 12x - 1x = 11x)
Ein Faktor ist 0
Für jede Zahl reelle Zahl gilt: 0 a = 0 bzw. a 0 = 0.Auch wenn ein Produkt aus vielen
Faktoren besteht: Wenn ein Faktor Null ist, dann ist das ganze Produkt gleich Null.
Beispiel 36:
4x05=4x0=40=0
49-348
Bruchrechnung
Grundlagen des Bruchrechnens
Nachfolgend werden die wesentlichen Zusammenhänge der Bruchrechnung angeführt.
Der Bruchstrich ist nichts anderes als ein Geteilt-Zeichen. Es gilt:
Hat ein Bruch im Zähler und Nenner gleiche Faktoren, so können diese gekürzt werden:
Da der Faktor 5 sowohl im Zähler als auch im Nenner auftaucht, können jeweils Zähler
und Nenner durch diesen Faktor gekürzt werden.
Beim Kürzen steht zwischen den Ausdrücken ein Gleichheitszeichen; somit gilt die Regel des Kürzens auch "rückwärts".
Brüche können also im Zähler und Nenner gleichzeitig mit beliebigen Faktoren multipliziert werden.
Dieses Verfahren nennt man Erweitern des Bruches.
Zwei Brüche werden multipliziert, indem jeweils die Zähler und die Nenner miteinander
multipliziert werden:
Dividiert (geteilt) werden Brüche, indem mit dem Kehrwert multipliziert wird:
Auch, wenn Brüche dividiert werden, kann natürlich das "Geteilt -Zeichen" durch einen
Bruchstrich ersetzt werden:
50-348
Die Addition und Subtraktion von Brüchen ist etwas komplizierter. Sollen zwei Brüche
addiert oder subtrahiert werden, so müssen sie zunächst auf den Hauptnenner gebracht werden. Am besten lässt sich das Verfahren an einem Beispiel verdeutlichen:
Bei dem ersten Ausdruck steht 9 und bei dem zweiten 5 im Nenner. Die Brüche können
erst addiert werden, wenn bei beiden das Gleiche im Nenner steht. Hierzu müssen die
Brüche erweitert werden. Der erste Bruch kann mit dem Nenner des zweiten und der
zweite Bruch mit dem Nenner des ersten erweitert werden:
Nun, da beide Brüche den gleichen Nenner haben, dürfen die Zähler addiert werden:
Wenn mehr als zwei Brüche addiert oder subtrahiert werden sollen, so muß jeder Bruch
mit den Nennern aller anderen Brüche erweitert werden. Z.B.:
Wenn die Nenner gemeinsame Faktoren enthalten, kann man sich allerdings die Arbeit
leichter machen. Dies wird anhand des nachfolgenden Beispiels gezeigt:
Hier reicht es, den zweiten Bruch mit 3 zu erweitern, denn dann haben alle Brüche den
gleichen Nenner.
Die Nenner brauchen also zum Addieren oder Subtrahieren nur auf das kleinste gemeinsame Vielfache gebracht zu werden.
Auch die Addition von Brüchen lässt sich "umdrehen". Ein Bruch kann z.B. folgendermaßen in mehrere Brüche aufgespalten werden:
51-348
Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen:
Definition 34:
Wenn im Zähler und Nenner eines Bruches gemeinsame Faktoren enthalten sind, so
kann man den Bruch kürzen. Bei dem folgenden Beispiel steckt die 3 sowohl im Zähler,
als auch im Nenner und kann entsprechend gekürzt werden.
Bei dem folgenden Term kann man a kürzen. (Wichtig ist, dass das a aus allen
Termen die im Zähler mit + oder - verbunden sind gekürzt wird.)
Definition 35:
Das Gegenteil vom Kürzen ist das Erweitern. Hierbei werden Zähler und Nenner mit einem bestimmten Faktor multipliziert (mal genommen):
Definition 36:
Zwei Brüche werden miteinander multipliziert (mal genommen), indem man
jeweils die Werte im Zähler und die Wert im Nenner miteinander multipliziert:
Definition 37:
Ein Bruch wird durch einen anderen Bruch dividiert (geteilt), indem man ihn
mit dem Kehrwert des anderen Bruches multipliziert (mal nimmt).
Es wurde bei der Darstellung zusätzlich verdeutlicht, dass man das Teilen
durch einen Bruch auch wieder mittels eines Bruchstriches darstellen kann.
Definition 38:
Zwei Brüche werden addiert (zusammen gezählt), indem man sie zunächst auf
einen gemeinsamen Nenner (den Hauptnenner) bringt. Dieses erreicht man,
indem man die Brüche jeweils mit geeigneten Faktoren erweitert. Man kann
z.B. jeweils mit dem Nenner des anderen Bruches erweitern. Als Formel ergibt
sich in diesem Fall:
Beim Subtrahieren (Abziehen) eines Bruches von einem anderen geht man
prinzipiell genauso vor:
52-348
Wenn die Nenner der Brüche (b und d) gemeinsame Faktoren enthalten, so
braucht man nur mit den anderen Faktoren der Nenner zu erweitern. Man
muss hierbei das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner bestimmen. Dieses ist der Hauptnenner.
Ein Bruch ist genau dann gleich Null, wenn der Zähler Null und der Nenner
ungleich Null ist:
Nachfolgend werden einige typische Fehler angeführt:
Hier wurde falsch gekürzt, beim Kürzen müssen alle Terme im Zähler die mit
"+" oder "-" verbunden sind jeweils einzeln durch den Term im Nenner geteilt
werden. Es müsste also auch die 5 noch durch b geteilt werden:
Bei der Addition (bzw. auch der Subtraktion) dürfen nicht die Terme im Nenner addiert (bzw. subtrahiert) werden. Stattdessen müssen die Brüche zunächst auf den Hauptnenner gebracht werden, Nachfolgend können die Terme
im Zähler addiert (bzw. subtrahiert) werden:
53-348
Potenzen
Der Potenzbegriff
Die Multiplikation gleicher Faktoren lässt sich kürzer durch Potenzen ausdrücken, z.B.
2 2 2 2 2 = 2 5 (Berechnung mit dem Taschenrechner: 2 y x 5 = 32).
Definition 39:
a aaa ... a
= a n für a ℝ , n ℕ*
n Faktoren
a n heißt Potenz (gelesen: a hoch n).
a heißt Basis, n heißt Exponent (Hochzahl).
Das ausgerechnete Ergebnis von a n heißt Potenzwert. (32 ist der Potenzwert von 2 5 ).
Für das Rechnen mit Potenzen ist folgende Schreibweise nützlich: a = a 1 .
Der Potenzbegriff deckt sich mit den bekannten Schreibweisen in der Geometrie, z.B:
Flächeninhalt: 1m 1m = 1m², kürzer mm = m²;
Rauminhalt: 1m 1m1m = 1m³, kürzer mmm = m³.
Vorsicht bei einer negativen Basis:(-2)³ = (-2) (-2) (-2) = - 8 ; (-2)4 = (-2) (-2) (-2)
(-2) = + 16 .
Definition 40:
Wird eine negative Zahl potenziert, dann gilt: Das Ergebnis ist positiv, falls der Exponent gerade ist, es ist negativ, falls der Exponent ungerade ist.
Vorsicht beim Taschenrechner!!
Bei der Tastenfolge 2 ± y x 3 erhalten sie unter Umständen die falsche Anzeige ERROR,
d.h. manche Taschenrechner „können keine Potenzwerte von Potenzen mit negativer
Basis berechnen“. Rechnen Sie in diesem Fall mit positiver Basis und beachten Si e anschließend die vorstehende Regel.
Nochmals Vorsicht! -2 4 = -2 2 2 2 = -16 im Unterschied zu (-2) 4 = +16. Im 1. Fall
hat die Potenz 2 4 das Vorzeichen Minus, im 2. Fall gehört das Minuszeichen zur Basis.
54-348
Die Basen 1 und –1 :
Für alle natürlichen Zahlen gilt :
Definition 41:
1 n = 1 ; (-1) n = 1, falls n gerade ; (-1) n = -1, falls n ungerade.
Definition 42:
Vorrangregeln:
Potenzrechnung vor Punktrechnung vor Strichrechnung. Sind Klammern vorhanden, haben diese Vorrang!
Beispiel 37:
60 – 4 2³ = 60 – 4 8 = 28
( 9 – 4 ) ( 2 3 )² = 5 6² = 5 36 = 180
Potenzrechnung mit ganzzahligen Exponenten
Vom Addieren bekannt ist die Schreibweise
"2a" für a + a.
Ebenso schreibt man
5a für a + a + a + a + a.
Eine ähnlich kurze Schreibweise gibt es für die Multiplikation: die Potenzen.
Potenzen sehen so aus:
an
Die Zahl a heißt die Grundzahl oder Basis der Potenz.
Die Zahl n heißt der Exponent. a 3 steht dabei für a · a · a ,
also a 3 = a · a · a.
Potenzen sind aber nicht nur für positive ganzzahlige Exponenten, sondern auch für
negative ganze Exponenten und den Exponenten 0 definiert.
Später werden sie auch für rationale Zahlen (Brüche) und die reellen Zahlen definiert,
aber das kommt an anderer Stelle.
Auf einen Blick sieht die Definition der Potenzen so aus:
Sei k eine ganze Zahl.
Sei a eine beliebige Zahl ungleich 0.
Dann wird definiert:
55-348
Definition 43:
Man sollte sich hier von dem -k in der untersten Zeile der Definition nicht verwirren
lassen. k ist kleiner als Null, also ist -k positiv.
Ist a = 0, so wird für alle n ungleich Null definiert: an = 0
Der Fall 0 0 ist nicht definiert.
Aus der Definition wird klar:
Es gilt die folgende Vereinbarung:
Punkt vor Strich
Potenz vor Punkt
Also ist 4·2 3 = 4·8 = 32 und nicht etwa (4·2)3 = 8 3 = 512.
Ebenso muss ich einen Exponenten, den ich auf ein Produkt anwende, auf alle Faktoren
des Produkts anwenden. Wie im obigen Beispiel erhalte ich:
(4·2)3 = 4 3 · 2 3 = 64 · 8 = 512.
Noch ein weiteres Wort der Vorsicht:
Öfters habe ich bei Schülern gesehen, dass sie bei Summen oder Differenzen dann genauso vorgehen.
Das führt dann zu Rechnungen, in denen behauptet wird
(a + b) 2 sei dasselbe wie a 2 + b 2 .
Mit Hinweis auf die binomischen Formeln sei gesagt, dass ist falsch.
56-348
Zehnerpotenzen
In der Schule begegnet man häufig den Zehnerpotenzen, d.h. Potenzen mit der Basis
10.
Nach der obigen Definition gilt dann also:
Hier gilt derselbe Hinweis wie oben: In der untersten Zeile ist k kleiner als Null, also -k
positiv.
Die 10er-Potenzen treten oft bei sehr großen oder sehr kleinen Zahlen auf.
So ist 10 35 natürlich genau die gleiche Zahl wie
100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000,
nur eben sehr viel kürzer in der Notation.
So erklärt sich dann auch die folgende Schreibweise:
2 · 10 9 , was nichts anderes als eine 2 mit 9 Nullen dahinter, also 2.000.000.000, sprich
zwei Milliarden darstellt.
Bei kleinen Zahlen ist das ähnlich: 2 · 10 -9 ist also gleich:
Zwei Faustregeln zum Umgang mit der Schreibweise mit Zehnerpotenz en erklärt an
Beispielen:
14 · 10 2 = 14 · 100 = 1.400
1,4 · 10 2 = 14 · 100 = 140
Also:
Ist der Exponent k größer als Null, so "wandert das Komma um k Stellen nach
rechts".
Also:
Ist der Exponent k kleiner als Null, so "wandert das Komma um k Stellen nach
links".
57-348
Die Herleitung der "Potenzgesetze"
Das Folgende wird oft als die "Potenzgesetze" bezeichnet.
Diese Gesetze sind Ergebnisse der obigen Definition.
Da sie in verschiedenen Mathe-Büchern verschieden durchnummeriert werden, erspare ich mir hier eine solche Nummerierung.
Wichtiger als zu wissen ob es sich um das erste, zweite oder fünfte Potenzgesetz h andelt ist, dass man die Definition verstanden haben muss und sie anwenden kann.
Das geschieht z.B. bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis. Als erstes
betrachten wir also, wie wir die Potenzen an und a m mit einander multiplizieren. Sind
m und n beide größer oder gleich 0, so ergibt sich aus der Definition folgende Rechnung:
Das ist, wenn man sich die Definition ansieht kein großartig überraschendes Ergebnis.
Wir nehmen a n-mal mit sich selbst mal und multiplizieren das mit a m-mal mit sich
selbst malgenommen. Dann haben wir also n viele a und m viele a, die mit einander
multipliziert werden.
Das bedeutet also, dass a n+m mal mit sich selbst malgenommen wird, und dass ist
nach der obigen Definition eben a n + m .
An einem konkreten Beispiel sieht man es noch deutlicher:
Es stellt sich die Frage, was passiert, wenn m oder n negativ ist, oder wenn gleich beide
negativ sind. Auch dann gilt: a n · a m = a n + m .
Auch das kann man aus der Definition herleiten, allerdings ist die Herleitung, oder der
Beweis, ein wenig aufwendiger. Dieser Beweis ist sehr ausführlich, die folgenden Beweise kürzer.
Damit kann man sich dann auch sehr schnell die Division von Potenten gleicher Basis
klar machen. Dort gilt:
Wir hatten oben der Definition entnommen, dass
Damit gilt:
58-348
Weiter geht es mit der Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten, also
dem Fall, dass a n · b n.
Dann gilt folgendes: a n · b n=(ab) n
Betrachtet man den Fall n > 0, so ist dieses Ergebnis klar per Definition:
Noch einfacher ist es für n = 0, denn dann ist a 0 b 0 =1 · 1 = 1 = (ab) 0
Bleibt die Frage, was geschieht im Fall n < 0?
Auch hier lässt sich das Ergebnis direkt überprüfen, in dem man sich vor Augen hält,
dass potenzieren mit einer negativen Zahl zur Folge hat, dass man die Potenz im Nenner
wieder findet.
Dann ergibt sich in diesem Fall der Beweis durch die Multiplikatio nsregel von zwei Brüchen.
Ein Beispiel zum Zwecke der Klarheit:
a 3 · b 3 = a·a·a·b·b·b = a·b·a·b·a·b = ab·ab·ab = (ab)3
Ähnliches gilt für die Division von Potenzen mit gleichem Exponenten folgendes:
Nach der Definition ist das für den Fall n = 0 sehr einfach, denn man beweist wieder
einmal, dass 1 = 1, und das ist klar.
Der Fall n > 0 ist auch nicht viel schwerer:
Damit bleibt der Fall n < 0 , der im Endeffekt der gleiche Beweis ist, nur dass man mit
Kehrbrüchen arbeiten muss.
59-348
Damit kommen wir zum letzten Teil, dem Potenzieren von Potenzen, also dem Fall
(a n )m . Dabei gilt:
Zuerst betrachten wir den Fall, der am einfachsten zu sehen ist, nämlich n = 0 oder m
= 0. Für diese Fälle zeigt man im Endeffekt wieder 1 = 1.
Sind m und n beide positiv, so nimmt man a n mal m mal mit sich selbst mal:
Ist m negativ und n positiv, so gilt:
Ist m positiv und n negativ, so gilt:
Sind m und n beide negativ, so gilt:
60-348
Die "Potenzgesetze" auf einen Blick
Was bis hierhin hergeleitet wurde, nennt man die "Potenzgesetze". Auf einen Blick sind
sie:
Definition 44:
61-348
Wurzel
Sinn und Zweck der Wurzel
Mit Hilfe der Potenzschreibweise haben wir eine Möglichkeit, lange Terme wie
a · a · a · a · a · a · a als a 7 zu schreiben.
Wir können also Gleichungen lösen, die von der Form
ab = x sind, wenn a und b ganze Zahlen sind,
indem wir sie mit Hilfe der Definition der Potenz ausrechnen.
Was ist nun aber, ich die Gleichung x b = a lösen will?
Dann muss ich mich fragen "Welche Zahl hoch b gibt mir die Zahl a?"
Habe ich den Fall x 2 = 25 so kann ich mir die Lösung "5" mit ein bisschen Denken einfallen lassen, wenn ich noch länger darüber nachdenke, komme ich eventuell noch auf
"-5". Aber was ist mit den folgenden Gleichungen:
x3 = 25 oder
xn = 1 für eine beliebige ganze Zahl n.
Dabei helfen einem die Wurzeln, denn die sind so definiert, dass man solche Gleichungen lösen kann.
Definition der Wurzel
Die n-te Wurzel aus einer Zahl a ziehen bedeutet eine Zahl x zu suchen, die zur n -ten
Potenz erhoben a ergibt. In Zeichen:
Man sagt: "Die n-te Wurzel aus a ist x."
Die Gleichung ist also richtig, wenn x n = a ist. a heißt dann Radikand, n heißt Wurzelexponent und das Ergebnis x heißt die n-te Wurzel aus a.
Der Wurzelexponent 2 wird häufig weggelassen, also schreibt man dann
Definiert wird die n-te Wurzel aus einer Zahl mit Hilfe der Potenzen. Man definiert für
eine ganze Zahl a und ein Zahl n ungleich Null:
Dabei ist auch dieser Fall per Definition abgedeckt:
62-348
Das mag auf den ersten Blick seltsam vorkommen.
Wir hatten gesagt, a n soll für ein n > 0 bedeuten, dass a n-mal mit sich selbst malgenommen werden soll.
Davon sind wir jetzt gar nicht weit entfernt.
Die zweite Wurzel aus 25 soll eine Zahl sein, die 2 mal mit sich selbst malgenommen
wieder 25 ergeben soll.
Die n-te Wurzel aus einer Zahl a soll eine Zahl sein, die n mal mit sich selbst malgenommen wieder a ergibt, also wollen wir, dass:
Das erreichen wir durch eine allgemeinere Definition. Wir definieren:
Nach dieser Definition haben wir dann was wir wollten. Die n-te Wurzel einer Zahl a
mit n potenziert ergibt wieder a selbst:
Wie schon bei der Definition der Potenz ist noch eine Vereinbarung zu erwähnen:
1. Wurzel vor Punkt
2. Punkt vor Strich
Also ist
Ebenso wie bei den Potenzen von Summen und Differenzen sollte man auch bei den
Wurzeln nicht auf die Idee kommen, die Wurzeln aus jedem Summand einzeln zu ziehen. So ist z.B.
und
und da 7 nun mal nicht gleich 5 ist,
ist auch
!!!
63-348
Multiplikation von gleichartigen Wurzeln
Es gilt:
Dass diese Rechenregel gilt, sieht man an dem folgenden Beweis:
Division von gleichartigen Wurzeln
Es gilt:
Der Beweis sieht dann so aus:
Verschachteln von Wurzeln
Es gilt:
Der Beweis dafür ist dieser:
Die Beweise geben schon einen guten Hinweis in die Richtung, wie man meiner Meinung nach am besten mit Wurzeln umgeht: man behandelt sie wie Potenzen.
Im ersten Fall wird zum Beweis das Potenzgesetz über die Multiplikation von Potenzen
mit gleichem Exponenten verwendet.
Im zweiten Fall ist es das Potenzgesetz über die Division von Potenzen mit gleichem
Exponenten.
Im dritten Fall ist es das Potenzieren von Potenzen, was man auch als "Verschachteln"
von Potenzen sehen kann.
Diese Herangehensweise hat einen praktischen Grund:
64-348
Wenn man in der Schule zu den Wurzeln kommt, hat man die Potenzgesetze bereits
hinter sich und (hoffentlich) begriffen, zumindest hat man sie bis zum Abwinken eingeübt.
Wurzeln kann man jetzt genauso behandeln. Alles, was man dafür noch können muss,
ist die Addition und Multiplikation von zwei Brüchen, also:
Also anstatt Wurzeln als etwas exotisches und neuartiges zu behandeln, kann man sehr
gut mit dem arbeiten was man kennt, nämlich Potenzgesetzen und Brüchen.
Ich weiß, dass vielen die Bruchrechnung verhasst ist und sie bei den Aufgaben, wie sie
unten vorkommen, gerne den Taschenrechner zücken.
Dagegen ist eigentlich auch nichts zu sagen, wenn man mit dem Gerät umgehen kann.
Dann schreibt man eben
0,1111111111111111111111111 statt
1
1
und 0,125 statt
9
8
und fragt sich wie genau das mit dem Runden noch mal ging.
Man sieht den Rechenweg nicht, also auch nicht wo man sich eventuell vertan hat, und
die Potenzgesetze kann man zwar auch anwenden, aber eventuell nur mit prima langen
Dezimalzahlen im Exponenten.
Einige Rechenbeispiele
Hier also einige Rechenbeispiele mit Wurzeln. Dabei werde ich zum Teil die Potenzgesetze und Bruchrechnung anwenden.
Bei den Zahlenbeispielen kann man das ganze auch mit dem Taschenrechner machen.
Im Idealfall kommt dann das gleiche heraus.
Beispiel 38:
a
3 4
a
a
a
111
432
a a
1
1
24
a
23
24
24 a 23
65-348
Das Rechnen mit Potenzen
Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis:
Beispiel 39:
2³ 2 4 = 2 2 2 2 2 2 2 = 2 7 = 128
x³ x4 = x7
2x³ 5x4 = 2 5 x3 x4 = 10x 7
8 cm 2 2 cm = 16 cm 3
a 2 b3 a 3 b4 = a2 a3 b 3 b4 = a5 b7 = a 5 b7
Definition 45:
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert
und die Basis beibehält, kurz: a m a n = a (m+n) (die Klammer kann auch wegfallen).
Potenzen von Produkten
Beispiel 40:
(2 3)2 = 6 2 = 36 oder (2 3) 2 = 2 2 3 2 = 4 9 = 36
(2 x)3 = 2 3 x 3 = 8x 3
(3ab) 3 = 3 3 a 3 b 3 = 27a 3 b 3
Definition 46:
Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert und die Potenzen miteinander multipliziert, kurz: (a b) n = a n b n .
Addition und Subtraktion von Potenzen
Addieren Sie: 3x² + 4x³
Hoffentlich haben sie nicht als Ergebnis 7x 5 errechnet! Das ist leider falsch! Warum?
Beachten Sie: Eine Zerlegung ergibt 3x² + 4x³ = x² + x² + x² + x³ + x³ + x³ + x³
Man kann 3x² + 4x³ nicht zusammenfassen! Denken Sie an die Geometrie:
3 cm² und 4 cm³ lassen sich ebenfalls nicht zusammenfassen.
Die Terme müssen gleichartig sein, z.B.
4x² + 5x² + y³ + 3y³ = 9x² + 4y³.
Definition 47:
Nur gleiche Potenzen und Vielfache von gleichen Potenzen lassen sich durch Addition
bzw. Subtraktion zusammenfassen.
66-348
Beispiel 41:
1.
4a² 3a³ + 6a5 ;
4.
2a² + 3a³ - a² - 6a³ ; 5.
2.
3 (4x)² + (-2x)² ;
3.
(4x²)³ 2x (-2x)³
x³ 2y² 3x4 5y ;
6.
18 34 - 2 34 5
Multiplikation eines Faktors mit einer Summe
Beispiel 42:
3 (4 + 5)
3 (4 + 5)
oder
die Zahlen 4 und 5 werden mit 3 multipliziert
=
3 9 = 27
=
3 4 + 3 5 = 27
2. 3 (a + b) = 3 a + 3 b = 3a + 3b .
(Statt 3 (a + b) ist auch die Kurzschreibweise 3 (a + b) erlaubt.)
Definition 48:
Das Distributivgesetz: (Gesetz zum „Ausmultiplizieren“ einer Klammer)
Für beliebige Zahlen a; b; c IR gilt :
a (b + c) = a b + a c bzw. (b + c) a = b a + c a
a (b – c) = a b – a c bzw. (b - c) a = b a – c a
Das Gesetz gilt auch für mehr als zwei Summanden in der Klammer, z.B.
a (b + c – d) = a b + a c – a d = ab + ac – ad
Vorsicht! 20 – 3 (6 – 2x) = 20 – 18 + 6x = 2 + 6x
67-348
Binomische Formeln
Grundlagen
Ein Binom (lat. bis, zwei; nomen, Name) ist in der Mathematik ein geklammerter Ausdruck, der aus der Summe, Differenz oder sonstiger Aneinanderreihung zweier Platzhalter (Variablen) oder Zahlen besteht: (a+b) oder (a-b).
Binome finden Verwendung in den Binomischen Formeln zur Erleichterung der Multiplikation von zweistelligen Zahlen. Sie werden ebenfalls benötigt bei der Quadratischen
Ergänzung, einem Lösungsverfahren für Quadratische Gleichungen. Der sichere Umgang mit Binomen gehört zum notwendigen Rüstzeug für Herleitungen von Rechenregeln, etwa der Differentialrechnung.
Die Binomischen Formeln sind in der elementaren Algebra verbreitete Formeln zur Darstellung und zum Lösen von Quadrat-Binomen.
Definition 49:
Sie werden als Merkformeln verwendet, die zum einen das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken erleichtern.
Zum anderen erlauben sie die Term-Umformung von bestimmten Summen und Differenzen in Produkte (die Faktorisierung), was bei der Vereinfachung von Bruchtermen,
beim Radizieren von Wurzeltermen sowie Logarithmenausdrücken sehr oft die einzige
Lösungsstrategie darstellt.
Definition 50:
Formeln
1. Binomische Formel (Plus-Formel)
2. Binomische Formel (Minus-Formel)
3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel)
Die Begründung der Formeln ist durch Ausmultiplizieren einzusehen:
Diese Formeln, häufig in der Mathematik benutzt, bieten auch eine Hilfe beim Kopfrechnen. Das Quadrat einer Zahl zwischen 10 und 100 lässt sich oft ei nfach mit der
binomischen Formel bestimmen. Beispielsweise ist
oder ausführlich
68-348
Binomische Formeln lassen sich auch für höhere Potenzen angeben, diese Verallgemeinerung ist der binomische Lehrsatz. Man benutzt dazu die Binomialkoeffizienten, die
mittels des Pascal'schen Dreiecks leicht zu bestimmen sind.
Bedeutung
Mit Hilfe der binomischen Formel lassen sich Multiplikation und Division auf die einfacheren Rechenarten Quadrieren, Addieren, Subtrahieren, Halbieren und Verdoppeln
zurückführen:
Die erste und zweite Binomische Formel liefern für das Produkt zweier Zahlen a und b:
69-348
Logarithmen
Einfühhrung
70-348
Beispiel 43:
71-348
Logarithmengesetze
72-348
Beispiel 44:
73-348
Logarithmen zu einer beliebigen Basis
74-348
Summenzeichen
Motivation und Definition
Sehr oft haben wir es in der Mathematik mit Summen vieler einzelner Summanden zutun.
Es hat sich herausgestellt, dass der Umgang mit diesen Summen sich erheblich vereinfacht, wenn man ein Zeichen für die Summation einführt.
Definition 51:
Gewählt wurde das große Sigma
.
Für die Summe a m + a m+1 + a m+2 + ::: + a n schreiben wir kürzer
n
a
k m
k
Sprich: "Die Summe von k = m bis n über a k ."
Dabei ist k die Laufvariable, die alle natürlichen Zahlen von m bis n durchläuft, die einzelnen Summanden lauten a k mit dem jeweiligen Index k.
Von der Motivation zur Definition:
Für alle m, n N mit n m wird rekursiv definiert:
n 1
n
k m
k m
a k : a n 1 a k
Und als Anfangswert dieser Rekursion
m 1
a
k m
k
: 0
Wobei wir diesen Startwert auch als leere Summe bezeichnen. Denn es wurden alle a k
mit m k m 1 aufsummiert. Das es keine solchen k gibt, wurde also gar nicht summiert. Außerdem definieren wir noch für alle n m 1
n
a
k m
k
: 0
75-348
Rechengesetze
Es gelten entsprechend die Rechengesetze der Addition beim Umgang mit dem Summenzeichen, Kommutativität und Assoziativität sind redundant. Die Distributivität
drückt sich wie folgt aus (für c R ):
Definition 52:
n
n
k m
k m
c a k c a k
Auch die Addition ist selbsterklärend; falls in zwei solchen Summen die oberen und
unteren Grenzen übereinstimmen, lassen sich die Summanden in der Notation zusammenlegen, also:
Definition 53:
n
n
a b
k m
k
k m
n
k
(a k b k )
k m
Schwieriger wird es jedoch bei der Multiplikation:
n
n
k m
k m
a k b k
Um eine vereinfachte Schreibweise zu gewinnen, multiplizieren wir dieses Produkt in
einzelne Summanden aus und notieren diese wie folgt:
Man kann nun die Summanden jeder Zeile/Spalte addieren und anschließend die Zeilen-/Spaltensummen aufsummieren. Das Addieren der Zeilensummen sieht dann wie
folgt aus:
n
n
a
k m im
k
bi
n
Hier ist
a
im
n
k
b i die Zeilensumme der k-ten Zeile und
n
a
k m im
k
b i ist entsprechend die
Addition dieser Zeilensummen. Analog kann man Spaltensummen berechnen:
n
n
a
im k m
k
bi
Diese Doppelsummen bzw. die Summationsreihenfolgen sind folglich vertauschbar,
d.h. es gilt:
76-348
Definition 54:
n
n
a
k m im
n
n
k bi a k bi
im k m
Häufig lassen sich durch diese Vertauschung Doppelsummen erheblich vereinfachen.
Indexverschiebung
Bei Rechnungen mit dem Summenzeichen erweist es sich als hilfreich die Grenzen der
Laufvariablen k formal zu verschieben. Die Summanden jedoch dürfen sich dabei nicht
verändern, d.h. diese Verschiebung der Grenzen muss in der Definition der Summanden
wieder aufgehoben werden. In Formeln (Indexverschiebung um t):
n
ak
k m
nt
a
k m t
k t
Wichtig ist hierbei darauf zu achten in der Definition der Summanden nur zu k die Verschiebung t zu addieren, nicht zu anderen Elementen der Definition (Konstanten).
Die Rechengesetze des Summenzeichens lassen sich alle mühelos durch vollständige
Induktion beweisen.
Beispiel 45:
n
a)
1 2 3 n i
i 1
b)
10
1
1
1
1
2 3 3 4
10 11 i 2 i i 1
77-348
Produktzeichen
Definition 55:
Das Produkt der reellen Zahlen a m , ..., a n kann man abkürzen in der Form
Definition 56:
n
a m a m 1 a n ai
i m
(sprich: Produkt der a i, für i = m bis n).
n
Einen wichtigen Spezialfall stellt das Produkt a
n
a
(für n N und a 0 = 1) dar.
i 1
Für eine beliebige reelle Zahl bezeichnen wir a n als die n- te Potenz von a. Dabei heißt a Basis
und die Hochzahl n Exponent.
78-348
Binomialkoeffizient und Fakultät
Definition 57:
Seien n, k N {0} mit k n. Dann setzen wir
n
n! i 1 2 3 n und 0! = 1
i 1
(sprich: n- Fakultät);
n nn 1 n k 1
n!
n k ! k!
1 2 k
k
n
(sprich: n über k). Man bezeichnet als Binomialkoeffizienten.
k
Beispiel 46:
a)
0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24.
b)
2 2!
1,
0 2!0!
c)
2 2 3 4
4 ,
1 2 3
3
d)
1 2 5
1 3 3 3 10
.
3
1
2
3
162
1
e)
71!= am Taschenrechner nicht rechenbar (69! ist die letzte rechenbare Zahl).
6 6! 1 2 3 4 5 6
15 .
4 2!4! 1 2 1 2 3 4
Beispiel 47:
5
5
5!
5!
5!
3 (5 3)!*3! 5 3 (5 3)!*(5 (5 3))! 2!*3!
Mit Hilfe der Binomialkoeffizienten ist es außerdem möglich, einen Ausdruck der Form
(a + b) n „auszumultiplizieren“, d.h. in eine Summe zu entwickeln wie folgt:
79-348
Gleichungen
Äquivalenzumformungen bei Gleichungen
Denken Sie bei dem Begriff „Gleichung“ an „Gleichgewicht auf beiden Seiten“. Mit diesem Ansatz lässt sich das Grundprinzip des Lösungsverfahrens für Gleichungen veranschaulichen.
Definition 58:
Es sind nur Umformungen erlaubt, wenn auf beiden Seiten das gleiche durchgeführt
wird (Äquivalenzumformung).
Dieser Vorgang lässt sich mathematisch mit Hilfe einer Rechenanweisung folgendermaßen darstellen:
x+2= 5
-2
Definition 59:
Der Begriff „äquivalente Gleichung“ : Zwei Gleichungen heißen äquivalent (oder:
gleichwertig), wenn sie bezüglich der gleichen Definitionsmenge die gleiche Lösungsmenge haben.
Definition 60:
Der Begriff „Äquivalenzumformung“: Formt man eine Gleichung in eine äquivalente
Gleichung um, so spricht man von einer Äquivalenzumformung. Die Lösungsmenge ändert sich bei einer Äquivalenzumformung nicht.
Definition 61:
Regeln für Äquivalenzumformungen bei Gleichungen:
Man kann die beiden Seiten einer Gleichung vertauschen.
Man kann auf beiden Seiten einer Gleichung
die gleiche Zahl bzw. den gleichen Term addieren;
die gleiche Zahl bzw. den gleichen Term subtrahieren;
mit der gleichen Zahl (0) bzw. dem gleichen Term (0) multiplizieren;
mit der gleichen Zahl (0) bzw. dem gleichen Term (0) dividieren.
Bemerkung 7:
Beachten Sie:
Eine Multiplikation mit 0 auf beiden Seiten ergibt immer 0=0, eine Division durch 0 ist
nicht möglich.
Es ist nicht vorgeschrieben, in welcher Reihenfolge einzelne Umformungen durchzuführen sind.
80-348
Lineare Gleichungen
Vorgehensweise beim Lösen von Gleichungen mit der Variablen x:
In sehr vielen Fällen ist folgende Reihenfolge bei den Umformungen empfehlenswert:
Auflösen von Klammern (falls vorhanden).
Auf beiden Seiten gleichartige Terme zusammenfassen.
Umformungen durch Addition und Subtraktion so, dass auf einer Seite die Anzahl
der x steht und auf der anderen Seite eine Zahl.
Division durch den Faktor vor x (falls dieser 1).
Prüfen, ob das Ergebnis ein Element der Definitionsmenge ist und Lösungsmenge
bestimmen (eventuell mit Probe).
Beispiel 48:
3 (2x – 4) + 6 = 16 + 4 (x + 2), D = ℤ. Die Lösungsmenge ist L = {15} ; Probe!
Bemerkung: Enthält eine Gleichung viele Brüche, dann ist es oft günstiger, zunächst die
Gleichung durch Multiplikation mit dem Hauptnenner umzuformen. Dazu folgendes
Beispiel:
1
3
x+
x
1
4
=
12 ( 31 x + 41 x)
1
2
12
(x + 4)
=
12
1
2
6 x + 24
(x + 4) Klammern auflösen
zusammenfassen
4x + 3x
=
7x
=
6 x + 24
- 6 x
x
=
24
L = {24}
Versuchen Sie zur Übung, die Lösung nach obigem Schema zu finden.
Sonderfälle beim Lösen von Gleichungen:
Die Variable „verschwindet“:
Es gibt zwei Möglichkeiten:
eine falsche Aussage entsteht:
Beispiel 49:
4 (2x + 3)
=
8 (x + 2)
Klammern auflösen
8x + 12
=
8x + 16
- 12
8x
=
8x + 4 - 8x
0
=
4
L = { }, da 0 = 4 eine falsche Aussage ist.
eine wahre Aussage entsteht:
81-348
Beispiel 50:
4 (2x + 4)
=
8 (x + 2)
Klammern auflösen
8x + 16
=
8x + 16
- 16
8x
8x
- 8x
=
0 = 0 L = D ! Wieso?
Setzen Sie für x eine beliebige Zahl ein (z.B. x=17,8), man erhält immer die wahre Aussage 0 = 0.
Eine Lösung „verschwindet“:
Beispiel 51:
5x = 2x
1.
Weg
5x = 2x
: x 5 = 2 L = { } , das ist falsch!
2.
Weg
5x = 2x
- 2x 3x = 0
: 3 x = 0 L = {0}
Probe: 5 0 = 2 0 ist eine wahre Aussage.
Der Fehler im 1. Weg entsteht bei der Division durch die Variable x. Es handelt sich hier
um eine „heimliche“ Division durch 0, da tatsächlich (siehe 2. Weg) x = 0 gilt.
Vermeiden Sie nach Möglichkeit eine Division durch einen Term, der die Variable enthält. Der Fall „Term = 0“ muss sonst beachtet werden.
Quadratische Gleichungen
Eine quadratische Gleichung (auch Gleichung zweiter Ordnung genannt) ist eine Gleichung von der Form
Definition 62:
ax 2 + bx + c = 0,
bzw. eine, die auf diese Form gebracht werden kann. Dabei sind a, b und c fixe (bekannte) Zahlen (sie heißen Koeffizienten der Gleichung) und a 0. (Wäre a = 0, wäre
die Gleichung ja in Wahrheit eine lineare). Da a 0 ist, kann man beide Seiten der Gleichung durch a dividieren.
Mit den Bezeichnungen b/a = p und c/a = q ergibt sich, dass eine quadratische Gleichung auch immer in der Form
x2 + px + q = 0
geschrieben werden kann. (Dies kann man auch als Normalform der quadratischen
Gleichung bezeichnen).
Manchmal wird sie auch p-q-Form genannt. Die Zahlen p, q heißen Koeffizienten der
Gleichung in Normalform oder Parameter. Sie "nummerieren" gewissermaßen die
Menge aller quadratischen Gleichungen durch: Für jede konkrete Wahl dieser Zahlen
ist (x2 + px + q = 0) eine quadratische Gleichung).
Als Grundmenge G wollen wir die Menge R der reellen Zahlen annehmen.
82-348
Die einfachsten quadratischen Gleichungen sind:
x2 = 1
(sie besitzt zwei reelle Lösungen: 1)
x2 = 0
(sie besitzt eine reelle Lösung: 0)
x2 = -1
(sie besitzt keine reelle Lösung)
Diese drei Beispiele charakterisieren, was auch in allgemeineren Fällen passieren kann.
(Aufgabe: Bringen Sie sie in ihre jeweilige Normalform!)
Antworten:
x2 - 1 = 0, das entspricht p = 0 und q = -1,
x2 = 0, das entspricht p = 0 und q = 0,
x2 + 1 = 0, das entspricht p = 0 und q = 1.)
Kleine Lösungsformel
Für die Lösungen einer quadratischen Gleichung, die in der Normalform ( x2 + px + q =
0) vorliegt, gibt es eine handliche Formel, die sogenannte (kleine) Lösungsformel. Sie
lautet
Definition 63:
x1/ 2
p
2
p2
q
4
Bemerkung 8:
Sie hat folgende Bedeutung: Je nachdem, ob p2 /4 - q (also die Zahl unter dem Wurzelzeichen) negativ, 0 oder positiv ist, gibt es keine, eine oder zwei Lösungen.
Ist p2 /4 - q0, so steht unter dem Wurzelzeichen eine negative Zahl. Da man (im
Rahmen der reellen Zahlen) die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht ziehen
kann, gibt es keine reelle Lösung. Die Lösungsmenge ist leer, L = { }.
Ist p2 /4 - q = 0, so steht unter dem Wurzelzeichen 0, und da 0 = 0 ist, gibt es
eine einzige Lösung, x = - p/2. Die Lösungsmenge ist L = {-p/2}. Die Lösungsformel
gilt insofern, als sie zwei gleiche Zahlen beschreibt: x1 = x2 = - p/2.
Ist p2 /4 - q0, so steht unter dem Wurzelzeichen eine positive Zahl. In diesem
Fall gibt es zwei reelle Lösungenx1 und x2 , die gerade von der Lösungsformel angezeigt werden. Die Lösungsmenge ist L = {x1 , x2 }, wobei
Die Kombination p2 /4 - q entscheidet also über die Zahl der Lösungen. Sie wird Diskriminante genannt.
Halten wir fest: Eine quadratische Gleichung hat entweder zwei, eine oder keine Lösung. Wir werden uns später von einem anderen Blickwinkel mit quadratischen Ausdrücken beschäftigen und einen geometrischen Grund dafür kennen lernen.
83-348
Beachten Sie beim Rechnen, dass die Wurzel aus einer reellen (nicht-negativen) Zahl
per Definition immer 0 ist. (So hat etwa 4 nur einen Wert, nämlich 2, während 4
für 2 steht, d.h. für die zwei Werte - 2 und 2).
Beispiel 52:
Gegebene Gleichung:
x2 - 5 x + 6 = 0
(das entspricht p = - 5 und q = 6)
Die Lösungsformel ergibt:
x1/ 2
5
52
5
1
5 1
6
2
4
2
4
2 2
Da unter dem Wurzelzeichen eine positive Zahl auftritt (nämlich 1/4), gibt es zwei reelle
Lösungen, und es darf weitergerechnet werden.
Die Wurzel aus 1/4 ist gleich 1/2, und daher ergibt sich x1,2 = 5/2 1/2, also
x1 = 5/2 - 1/2 = 2 und
x2 = 5/2 + 1/2 = 3.
Die Lösungsmenge ist L = {2, 3}.
Beispiel 53:
Gegebene Gleichung:
x2 - 2 = 0
(das entspricht p = 0 und q = - 2)
Sie kann als x 2 = 2 geschrieben werden, woraus sich die Lösungen 2 ergeben. Die
Lösungsformel ist hier also gar nicht notwendig. Wird sie dennoch benützt, so ergibt
sich
0
02
x1/ 2
2 2
2
4
Die Lösungsmenge ist L = {-2, 2}.
Dieses Beispiel illustriert eine Tatsache, die auch aus der Lösungsformel ersichtlich ist:
Für ganzzahlige Koeffizienten p, q enthalten die Lösungen Wurzeln aus rationalen Zahlen (d.h. aus Brüchen, die in Spezialfällen ganze Zahlen sein können).
Sie sind daher im Allgemeinen irrational. Nur in Einzelfällen (die allerdings häufig als
Beispiele ausgewählt werden) sind die auftretenden Wurzeln selbst wieder rational (oder sogar ganzzahlig).
84-348
Der Vietasche Satz
Unkonventionelle Fragestellung: Geben Sie eine quadratische Gleichung an, die die
Lösungen 1 und 2 hat!
Antwort: Versuchen Sie's mit der Gleichung
( x - 1) ( x - 2 ) = 0 . (Nennt man auch Faktorisierung)
Ohne jede Rechnung ist ersichtlich, dass sie für x = 1 eine wahre Aussage ist (denn dann
ist ja der erste der beiden Faktoren Null), und dass sie für x = 2 eine wahre Aussage ist
(denn dann ist der zweite der beiden Faktoren Null).
Um diesen einfachen Lösungsweg zu verschleiern, multiplizieren wir die Klammer aus
und finden
( x - 1 ) ( x - 2 ) = x2 - 3 x + 2.
Beachten Sie, dass das keine Gleichung ist, sondern eine Identität. Wir haben hier einfach zwei Möglichkeiten, ein und dieselbe Sache darzustellen. Dies können wir benützen, um die Gleichung (( x - 1) ( x - 2 )) in der Form
x2 - 3 x + 2 = 0
anzuschreiben. Die linke Seite ist nach wie vor das Produkt aus x - 1 und x - 2, nur sieht
man das jetzt nicht mehr so schnell. Folglich sind die Lösungen die Zahlen 1 und 2. Mit
dieser Methode zaubern Lehrer/Innen quadratische Gleichungen hervor, deren Lösungen sie im Voraus kennen!
Hinter diesem Vorgang verbergen sich tiefere Zusammenhänge, die erst nach und nach
beim Fortschreiten des Stoffs klarer werden.
Um einen kleinen Vorgeschmack davon zu bekommen, wiederholen wir das Argument,
legen uns aber jetzt auf die Werte der Lösungen nicht fest, sondern bezeichnen sie
lediglich mit x1 und x2 . Die quadratische Gleichung, die x1 und x2 als Lösungen hat, lautet
( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0 .
Wieder multiplizieren wir den Term auf der linken Seite aus und erhalten
( x - x1 ) ( x - x2 ) = x2 - ( x1 + x 2 ) x + x1 x2 ,
und wieder ist das eine Identität: zwei Möglichkeiten, ein und dieselbe Sache darzustellen. Daher kann die Gleichung (( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0) auch in der Form
x2 - ( x1 + x2 ) x + x1x 2 = 0
angeschrieben werden, und wieder wissen wir ohne weitere Rechnung, dass sie die
Lösungen x1 und x2 besitzt. Diese Gleichung ist aber nichts anderes als die Normalform,
d.h. sie ist von der Form x2 + px + q = 0 .
Man kann die Lösungen, die herauskommen sollen, also vorgeben und sich mit Hilfe
dieser Formeln die Gleichung ausrechnen!
Diese Aussage heißt Satz von Vieta (auch Vietascher Wurzelsatz genannt). Sie wird
üblicherweise in der Form
85-348
Definition 64:
x1 + x 2 = - p
x1x 2 = q
angeschrieben. In Worten ausgedrückt lautet sie: Falls die quadratische Gleichung
x2 + px + q = 0 zwei reelle Lösungen x1 und x2 hat, so ist die Summe der beiden Lösungen
- p, und ihr Produkt ist q.
Der Satz gilt auch, wenn die Gleichung nur eine Lösung (nämlich -p/2) hat und x1 = x 2 (
= -p/2) gesetzt wird.
Man kann den Vietaschen Satz übrigens auch durch direkte Rechnung beweisen , indem
die Lösungsformeln für x1 und x2 verwendet werden.
Beispiel 54:
Die Gleichung x2 - 5 x + 6 = 0 , die oben bereits betrachtet und gelöst wurde, hat die
Lösungen 2 und 3. Deren Summe ist 5 (also gerade das Negative von p = -5) und ihr
Produkt ist 6 (also gerade q).
Eine der hinter dem Vietaschen Satz liegenden Einsichten ist die Tatsache, dass jeder
Term der Form x2 + p x + q, sofern er für zumindest eine reelle Zahl x Null ist, als Produkt
von Linearfaktoren geschrieben werden kann. (Ein linearer - genauer: linear-inhomogener - Term ist ein Ausdruck der Form a x + b.
Er heißt auch Polynom erster Ordnung. Ein Term der Form x2 + p x + q oder, ein bisschen
allgemeiner, a x2 + b x + c, heißt quadratischer Term oder Polynom zweiter Ordnung).
Beispiel 55:
Schreiben Sie den Term x2 - 5 x + 6 als ein Produkt von Linearfaktoren!
Lösung:
Die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung sind, wie schon oben berechnet, 2 und 3. Daher gilt die Identität x2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ), was durch Ausmultiplizieren der Klammern überprüft werden kann.
Die Beschäftigung mit Gleichungen hat uns also zu einer Methode geführt, wie manche
quadratische Ausdrücke in elementarere Bestandteile ''zerlegt'' werden können.
Die beiden Linearfaktoren sind so etwas Ähnliches wie die Primfaktoren einer natürlichen Zahl: Die Zahl 35 lässt sich als 5×7 schreiben, wobei 5 und 7 auch als ''Bestandteile'' gedeutet werden können.
86-348
Große Lösungsformel
Eine quadratische Gleichung kann auch in der Form
ax 2 + bx + c = 0,
gegeben sein.
Dabei muss, wie bereits festgestellt, a 0 sein, und der Zusammenhang zur Normalform
ist durch p = b/a und q = c/a gegeben (was sich nach Division beider Seiten durch a
ergibt).
Dann lautet die entsprechende (große) Lösungsformel
Definition 65:
x1 / 2
b b 2 4ac
2a
Je nachdem, ob die unter dem Wurzelzeichen stehende Zahl b2 - 4 ac negativ, 0 oder
positiv ist, hat die Gleichung keine, eine oder zwei reelle Lösungen. Die große ergibt
sich aus der kleinen Lösungsformel, indem einfach p = b/a und q = c/a eingesetzt wird.
Die Kombination b2 - 4 ac entscheidet also über die Zahl der Lösungen. Sie übernimmt
die Rolle, die bei der kleinen Lösungsformel die Kombination p2 /4 - q gespielt hat und
wird, wie diese, Diskriminante genannt.
87-348
Quadratische Ergänzung
Zusammenfassung bzw. Anleitung
Quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Lösen von quadratischen Gleichungen.
Das Verfahren kann nur auf quadratische Gleichungen in der Normalform angewendet
werden.
Definition 66:
quadratische Gleichung auf Normalform bringen, falls noch nicht geschehen.
die Zahl ohne Variable auf die rechte Seite bringen.
die Hälfte des Faktors vor dem x quadrieren und auf beiden Seiten addieren.
Linke Seite als Binom schreiben, rechte zusammenfassen.
Wurzeln ziehen.
Beide Gleichungen nach x auflösen.
Beispiel 56:
Lösen Sie mit dem Verfahren der quadratischen Ergänzung x² − 6x - 40 = 0
erst wird das absolute Glied (also die Zahl ohne Variable) auf die rechte Seite gebracht:
x2 − 6x − 40 = 0
| + 40
x2 − 6x = + 40
Nun versucht man auf der linken Seite vollständiges Quadrat (quadratisches Binom) zu
bekommen:
x2 − 6x ist ein Teil des Binoms x 2 − 6x + 9 = (x − 3) 2 , das heißt: bis zum vollständigen
Quadrat fehlt uns noch die 9.
Die Zahl erhält man indem man den Faktor vor dem x (in diesem Beispiel die 6 ) erst
durch 2 teilt und dann quadriert ( in diesem Beispiel (6:2) 2 = 9 ). Nun addiert man die
9 auf beiden Seiten der Gleichung:
x2 − 6x
= 40
x2 − 6x + 9 = 40 + 9
rechte ausrechnen.
( x − 3 )2
| +9
| linke Seite nach der binomischen Formel zusammenfassen, die
= 49
im nächsten Schritt erhält man zwei lineare Gleichungen:
x − 3 = 7 und x − 3 = − 7
beide Gleichungen nach x auflösen :
x−3= 7
|+3
88-348
x=7+3
x = 10
und
x−3= −7
|+3
x=−7+3
x=−4
somit sind x = 10 und x = − 4 Lösungen der Gleichung x 2 − 6x − 40 = 0.
Als Lösungsmenge: L = { − 4 , 10 }
Beispiel 57:
x² + 4x - 5 = 0
x² + 4x + 4 = 9
p=4
(p/2)² = 2² = 4
quadratische Ergänzung
(x + 2)² = 9
Fortsetzung: unten
x² - 7x + 10 = 0
p = -7
(p/2)² = (-3,5)² = +12,25
x² - 7x + 12,25 = 2,25
(x - 3,5)² = 2,25
x² - 3x - 28 = 0
p = -3
(p/2)² = 2,25
x² - 3x + 2,25 = 30,25
(x - 1,5)² = 30,25
Merke:
Das Vorzeichen des zu ergänzenden Summanden ist immer positiv, da es ein Quadrat
ist!
So geht's nach der quadratischen Ergänzung weiter:
(x + 2)² = 9
| Wurzel ziehen, unterscheide zwei Fälle (siehe oben)
x + 2 = -3 oder x + 2 = 3
| -2
x = -5 oder x = 1
L={-5; 1}
(x - 3,5)² = 2,25
| Wurzel ziehen
89-348
x - 3,5 = -1,5 oder x - 3,5 = 1,5
| + 3,5
x = 2 oder x = 5
L={2; 5}
(x - 1,5)² = 30,25
| Wurzel ziehen
x - 1,5 = -5,5 oder x - 1,5 = 5,5
| + 1,5
x = -4 oder x = 7
L={-4; 7}
Bestimmung des Scheitelpunktes
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
Bestimmung der Lösung mit Hilfe der Lösungsformel:
𝑥1/2
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
=
2𝑎
𝑥1/2 =
1 ± √12 − 4 ∙ 1 ∙ (−2)
2∙1
1 ± √9
2
1±3
𝑥1/2 =
2
𝑥1 = 2
𝑥1/2 =
𝑥2 = −1
𝐿 = {−1; 2}
Lösung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung:
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
𝑥2 − 𝑥 = 2
1
1
=2+
4
4
1 9
𝑥2 − 𝑥 + =
4 4
𝑥2 − 𝑥 +
1 2 9
(𝑥 − ) =
2
4
Wurzel ziehen:
𝑥−
1
3
=±
2
2
Erste Lösung:
90-348
1
3
=+
2
2
4
𝑥= =2
2
Zweite Lösung:
𝑥−
1
3
=−
2
2
2
𝑥 = − = −1
2
𝐿 = {−1; 2}
𝑥−
Weiterhin kann der Scheitel der Parabel berechnet werden:
1 2 9
(𝑥 − ) =
2
4
1
9
𝑆( | − )
2
4
Zeichnen der Funktion:
91-348
Bruchgleichungen
Definition 67:
Ein Quotient, dessen Nenner (mindestens) eine Variable enthält, heißt Bruchterm.
Eine Gleichung mit mindestens einem Bruchterm heißt Bruchgleichung. Eine Gleichung
nur mit x heißt dagegen lineare Gleichung.
Bemerkung 9:
Das bedeutet: Es folgen nun Gleichungen, bei denen die Variable im Nenner steht (und
im Zähler stehen kann). „Variablen im Nenner“ bedeutet „Vorsicht!!“, dieser Nenner
darf nicht 0 werden. Meist muss die Grundmenge eingeschränkt werden.
In allen Beispielen soll G = ℤ sein. Gesucht sind jeweils die Definitionsmenge und die
Lösungsmenge.
Beispiel 58:
10
x
=2;
Bestimmung von D: Der Nenner x darf nicht 0 sein, d.h. D = ℤ \ { 0 }.
Bestimmung von L:
Probe:
10
5
10
x
= 2 x 10 = 2x 5 = x , L = { 5 }
= 2 ist eine wahre Aussage.
Der Rechenschritt „x“ ausführlich:
10
x
=2x
10 x
x
= 2 x kürzen 10 = 2x
Beispiel 59:
8
x+2
=
4
x -1
;
Bestimmung von D:
Der Nenner x + 2 darf nicht 0 sein; er wird 0 für x = -2;
der Nenner x – 1 darf nicht 0 sein; er wird 0 für x = 1 D = ℤ \ { -2; 1 } .
Bestimmung von L:
8
x+2
=
Probe:
4
x -1
| (x + 2) (x – 1) 8 (x – 1) = 4 (x + 2) 8x – 8 = 4x + 8 L = { 4 }.
8
4+2
=
4
4 -1
ist eine wahre Aussage ( 86 =
4
3
).
Der Rechenschritt „ (x + 2) (x – 1) “ ausführlich: Man erhält
8
x + 2
(x + 2) (x – 1) =
4
x 1
∙ (x + 2) (x – 1)
8 (x – 1) = 4 (x + 2) .
92-348
8 (x + 2) (x - 1)
(x + 2)
=
4 (x + 2) (x - 1)
(x - 1)
| kürzen
Definition 68:
Vorgehensweise beim Lösen von Bruchgleichungen:
Bei gegebener Grundmenge muss zunächst die Definitionsmenge bestimmt werden; für
jeden Nenner, der die Variable enthält, muss der Fall „Nenner = 0“ ausgeschlossen werden.
Für die Bestimmung der Lösungsmenge ist es vorteilhaft, wenn möglichst bald die Nenner „verschwinden“.
Dies kann man immer erreichen, wenn die Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert wird.
Nach der Multiplikation mit dem Hauptnenner kann man alle Nenner „wegkürzen“.
Die Variable x eliminieren.
93-348
Wurzelgleichungen
Im Fall der Wurzelgleichung ( x 1 x 2 5 ) weiß man keinen anderen Weg, als die
Gleichung in einer Weise zu ändern, die keine Äquivalenzumformung ist. Dies kann zu
''scheinbaren'' Lösungen führen, die in Wahrheit keine sind.
Wenn wir beide Seiten von ( x 1 x 2 5 ) quadrieren (was keine Äquivalenzumformung darstellt, siehe obige Warnung), so vereinfacht sie sich zu
x + 1 = x2 - 5.
Dies ist eine quadratische Gleichung. Sie kann zu
x2 - x - 6 = 0 umgeformt werden, woraus sich, nach Anwenden der Lösungsformel, die
Lösungen
x1,2 = 1/2 5/2, also x1 = - 2 und x2 = 3 ergeben.
Aber: Diese zwei Zahlen sind nicht unbedingt Lösungen der gegebenen Gleichung, denn
wir haben ja eine ''unerlaubte'' Operation ausgeführt und dabei möglicherweise Information verloren!
Ein kurzer Check zeigt, dass die Zahl -2 gar nicht in der Definitionsmenge liegt, denn
weder x + 1 0 noch x2 - 5 0 gelten für x = -2.
Setzt man x = -2 in die gegebene Gleichung ein, so ergibt sich eine sinnlose Aussage, in
der Wurzeln aus negativen Zahlen vorkommen. Die Zahl 3 hingegen ist in D enthalten
(für x = 3 gilt sowohl x + 1 0 als auch x2 - 5 0).
In die gegebene Gleichung eingesetzt, ergibt sich die Aussage 4 = 4, was einfach 2 =
2 bedeutet. Die Zahl 3 ist also die einzige Lösung des Problems, L = {3}, ungeachtet
dessen, dass im Laufe der Rechnung zwei ''Lösungen'' aufgetreten sind.
Bemerkung 10:
Daraus können wir lernen: Sobald Operationen angewandt werden, die zwar beide Seiten einer Gleichung auf gleiche Weise behandeln, und nicht umkehrbar (und folglich
keine Äquivalenzumformungen) sind, sind alle ab diesem Punkt auftretenden ''Lösungen'' nur als Kandidaten zu behandeln. Im Zweifelsfall ist die sicherste Methode immer,
alle Kandidaten in die Gleichung einzusetzen und zu überprüfen, ob die entstehenden
Aussagen einen Sinn machen und, wenn ja, ob sie wahr oder falsch sind.
94-348
Logarithmische Gleichungen
95-348
96-348
Exponentialgleichungen
97-348
Beispiel 60:
Quadratische Exponentialgleichungen
98-348
99-348
100-348
Betragsgleichungen
Merkmale einer Betragsfunktion
Definition 69:
Das Hauptmerkmal einer Betragsfunktion ist, dass der Betrag immer positiv ist.
Beispiel 61:
17 17
Definition 70:
Die Schreibweise von einer Betragsfunktion
Betragsfunktionen werden innerhalb von Betragsstrichen geschrieben.
Wie zum Beispiel x (gelesen: Betrag von x).
Die Funktionsterme der Betragsfunktionen werden hinter einer geschwungenen Klammer geschrieben.
Beispiel 62:
x
x
x
x0
x0
Beispiel 63:
wenn x 2 0 d .h. x 2
x 2
x2
x2
( x 2) wenn x 2 0 d .h.
Die Zeichnung eines Graphen einer Betragsfunktion
101-348
Beispiel 64:
So sieht zum Beispiel der Graph von x aus.
Dieser Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
Die Gerade des Graphs gehen, wie auf der Zeichnung zu sehen, durch den Punkt
P 1 (1 | 1)
und
P 2 (-1 | 1)
102-348
Beispiel 65:
So sieht beispielsweise der Graph der Funktion 2 x 3 aus.
Dieser Graph ist symmetrisch zu dem Punkt P (1,5 | 0).
Die Geraden dieses Graphs gehen durch den Punkt
P 1 (0 | 3)
und
P 2 (3 | 3)
Die Besonderheit:
Die Besonderheit dieses Graphen ist, dass er auf der x-Achse nach rechts verschoben
ist. Das weist darauf hin, dass es einen negativen x-Wert geben muss.
Bemerkung 11:
Die Verschiebung berechnet man, indem man die im Betrag nicht mit x multiplizierte
Zahl (in diesem Falle (-3)) durch die mit x multiplizierte Zahl (in diesem Falle 2) teilt. So
erhält man die Verschiebung, die in diesem Falle (-1,5) entspricht, auf der x-Achse.
Bemerkung 12:
Bei einer negativen Zahl wird der Graph auf der x-Achse nach rechts, und bei einer
positiven Zahl nach links verschoben.
103-348
Die verschiedenen Arten von Betragsfunktionsgraphen
Es gibt verschiedene Arten von Betragsfunktionsgraphen sowie Betragsfunktionen:
Beispiel 66:
x 3
Beispiel 67:
x 3
104-348
Beispiel 68:
x3
105-348
Beispiel 69:
x3
Beispiel 70:
x 3
106-348
Beispiel 71:
x 3
Beispiel 72:
x 3
107-348
Gleichungen mit Parametern
Beispiel 73:
4x + 14a
=
7b –3x Lösungsvariable x
4x + 14a
=
7b –3x + 3x
7x + 14a
=
7b
7x
=
7b – 14a
x
=
b – 2a
-14a
:7
L = { b – 2a}
Auch hierbei ist eine Probe möglich:
4 (b – 2 a) + 14 a = 7b – 3 (b – 2a) ist eine wahre Aussage (Rechnung!)
Beispiel 74:
12a – 2x
=
4a + 2x
Rechnen Sie:
a) falls x Lösungsvariable ist;
b) falls a Lösungsvariable ist.
Im Fall a) erhalten Sie x = 2a ;
im Fall b) erhalten Sie a = 0,5x .
Umstellen von Formeln
Beispiel 75:
Aus der Physik: v =
s
t
( Geschwindigkeit =
Weg
Zeit
). Diese Formel soll nach t aufgelöst
werden.
v=
s
t
t t v = s : v ( v 0 ! v = 0 ergibt keinen Sinn) t =
108-348
s
v
Textgleichungen
Bei Textaufgaben muss die Gleichung noch aufgestellt werden.
Beispiel 76:
Eine Erbschaft von 18.600 € soll an 4 Personen A, B, C, D folgendermaßen verteilt werden:
B erhält doppelt so viel wie A, C erhält 1000 € mehr als A, D erhält die Hälfte von C.
a) Wie viel € erhält A?
b) Wie viel € erhalten B, C und D?
Man kann versuchen, die Lösungen durch reines Probieren zu finden. Vielleicht gelingt
es. Meist weniger zeitaufwendig ist es, eine derartige Aufgabenstellung in eine Gleichung zu „übersetzen“
(x – Ansatz), deren Lösungsmenge bestimmt wird.
Lösung zu a):
1. Schritt:
Anhand der Fragestellung wird eine Variable x festgelegt. Da der Anteil von A gesucht
wird,
wird dieser mit x bezeichnet.
2. Schritt:
Weitere Unbekannte, die von x abhängen, werden durch x ausgedrückt:
Anteil von A in € : x
Anteil von B in € : 2x
Anteil von C in € : x + 1000
Anteil von D in € :
1
2
∙(x + 1000) .
3. Schritt:
Mit Hilfe des Textes wird eine Gleichung gebildet. In diesem Fall muss die Summe aller
Anteile gleich der Gesamtsumme sein, d.h.:
x + 2x + x + 1000 +
1
2
∙(x + 1000) = 18600 .
4. Schritt:
Die Gleichung wird gelöst, die Frage wird beantwortet.
Lösung: x = 3800 (rechnen Sie), A erhält 3800 € .
Lösung zu b):
Die Anteile lassen sich direkt mit Hilfe von a) (2. Schritt) bestimmen.
B erhält 7.600 €, C erhält 4.800 €, D erhält 2.400 € . Probe: 3.800 + 7.600 + 4.800 +
2.400 = 18.600€ .
109-348
Definition 71:
Lösungsschema für Textgleichungen mit einer Variablen:
1. Festlegung von x .
2. Weitere Unbekannte (falls vorhanden), die von x abhängig sind, werden durch x ausgedrückt.
3. Bildung einer Gleichung.
4. Lösung der Gleichung und Beantwortung der Frage (Schlusssatz).
110-348
Polynome und Polynomgleichungen
Faktorisierung
Definition 72:
Dazu müssen Sie folgendes anwenden können:
lineare und quadratische Gleichungen lösen können;
das Ausklammern beherrschen;
wissen und anwenden können, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn ein Faktor
Null ist;
die Vielfachheit von Nullstellen erkennen und interpretieren können.
Funktionen mit Termen wie z. B.
f(x) = x 3 – 4x2 + 4x oder g(x) = -0,5x 5 + 2x4 –1,5x 2 + 2x - 3
heißen ganzrationale Funktionen, die Terme werden auch als Polynome bezeichnet.
Die höchste auftretende Potenz von x gibt den Grad an, z. B. ist der Grad von f gleich 3
und der Grad von g gleich 5.
Definition 73:
Eine ganzrationale Funktion hat höchstens so viele Nullstelen, wie der Grad angibt.
Also hat f z. B. höchstens drei Nullstellen; das folgende Beispiel zeigt aber, dass es genau zwei sind.
Beispiel 77:
f(x) = x 3 – 4x2 + 4x = x(x-2)2
faktorisierte Form
hat die Nullstellen
x1 = 0 (einfach)
x2 = 2 (doppelt)
VZW (Schnittpunkt)
kein VZW (Berührpunkt)
111-348
Bemerkung 13:
Aus der faktorisierten Form lassen sich die Nullstellen mit ihren Vielfachheiten ablesen.
Eine Nullstelle mit einer ungeraden Vielfachheit (1, 3, 5, ...) bedeutet am Graphen einen
Vorzeichenwechsel (VZW – Schnittpunkt)), aus einer geraden Vielfachheit (2, 4, ... Berührunkt) folgt dagegen, dass an einer solchen Nullstelle kein VZW auftritt.
Mit Hilfe der Nullstellen lässt sich ein Term in seine faktorisierte Form überführen.
Es gilt:
Definition 74:
Hat f(x) genau die Nullstellen x 1 , x2 und x 3 mit den Vielfachheiten n(1), n(2) und n(3),
so lässt sich f(x) schreiben als f(x) = c(x – x 1 )n(1) (x – x2 )n(2)(x – x3 ) n(3) p(x) mit einer
geeigneten Konstante c und einem nullstellenfreien Restpolynom p(x).
Beispiel 78:
f(x) = x 4 –4x3 + 2x 2
x4 –4x3 + 2x2 = 0
x2 (x 2 –4x + 2) = 0
erste Nullstelle: x 1 = 0 (doppelte Nst.)
x2 –4x + 2 = 0
x2 / 3
4 16 4 2
2 2 (jew. einfache N.)
2
Gleichung lösen
Nullstellen: x1 0 x2 2 2 x3 2 2
Die Lösungen sind die Nullstellen
f(x) = x 2 (x – x2 )(x – x3 ) =
x2 (x 2 2 )(x 2 2 )
f(x) in vollständig faktorisierter Form
Bausteine zur Faktorisierung
Ausklammern
Definition 75:
Jeder Summand muss durch den ausgeklammerten Term dividiert werden!
Beispiel 79:
3x + 9y – 12 =
3(x + 3y – 4)
2x3 – 4x 2 + 6x =
2x(x2 – 2x + 3)
3 (x + 5) – 6x (x + 5) =
(x + 5)(3 – 6x)
Binomische Formeln
112-348
Beispiel 80:
x2 + 6x + 9 = x 2 +
23 x
+ 32
9x2 - 30xy + 25y 2
=
81a 2 – 64b 2 =
(9a + 8b)(9a – 8b)
=
(x + 3) 2
(3x – 5y)2
Linearfaktorenzerlegung
Wie oben kennengelernt.
Kubische Polynome
Schon seit Jahrtausenden werden kubische Gleichungen untersucht. Bevor im 16. Jahrhundert ein allgemeines Verfahren zur Lösung gefunden wurde, hat man sich mit speziellen Gleichungen befasst, an denen man Erfahrungen sammeln konnte.
Die Gleichungen
x3 = 0
(x-1)*(x 2 +1) = 0
(x-1)2 *(x-2) = 0
(x-1)*(x-2)*(x-3) = 0
zeigen uns, dass es Gleichungen 3. Grades gibt, die 1, 2, oder 3 Lösungen haben.
Bemerkung 14:
Mindestens eine reelle Lösung gibt es immer.
Das kann man einsehen, wenn man den Graph der Funktion y = a x 3 + b x 2 +c x +d untersucht.
Wenn man eine Gleichung vorliegen hat, deren Koeffizienten ganze Zahlen sind, so hilft
der folgende Satz weiter:
Definition 76:
Sind die Koeffizienten der Gleichung
x3 +b x2 + c x + d = 0
alle ganzzahlig, so sind alle Lösungen ganzzahlig und Teiler des Absolutglieds d.
113-348
Beispiel 81:
Gegeben ist die Gleichung
x3 + x 2 + 4 = 0
Die Teiler des Absolutglieds sind 1, -1, 2, -2, 4, -4
Positive Lösungen kann es sicher nicht geben, so wird also der Suchbereich eingeengt
auf -1, -2, -4.
(-1)3 + (-1)2 + 4 = 4
(-2)3 + (-2)2 + 4 = 0
(-4)3 + (-4)2 + 4 = -44
Wir haben also tatsächlich eine Lösung gefunden: x = -2
Nun können wir von der linken Seite der Gleichung den linearen Faktor (x + 2) abspalten.
Dazu verwenden wir die Polynomdivision.
114-348
Polynomdivision
Die Polynomdivision, auch Partialdivision genannt, ist ein algorithmisches, mathematisches Rechenverfahren. Das Verfahren verläuft analog zur üblichen und aus der
Schule bekannten Division von Zahlen mit Rest, nur dass hier statt zweier Zahlen zwei
Polynome durcheinander dividiert werden und als Ergebnis wieder zwei Polynome –
der „Ganzteil“ und der Rest der Division – stehen.
Definition 77:
Eine Anwendung ist das Lösen von Gleichungen höheren Grades. Wenn eine Lösung x n
zum Beispiel durch Intervallschachtelung gefunden wurde, findet die Polynomdivision
Anwendung, um den Grad der Gleichung um Eins zu senken.
Eine weitere Anwendung findet die Polynomdivision bei der Kurvendiskussion mit der
Bestimmung der Näherungskurven einer rationalen Funktion.
Rechenvorgang
Das Polynom x³ + 6x² + 3x - 10 soll durch das Polynom x + 5 geteilt werden.
Man überlegt zuerst, wie oft (x+5) in das erste Polynom hineinpasst. Das ist hier natürlich etwas unklarer als bei Zahlen.
Man betrachtet dabei stets die höchste Potenz aus beiden Polynomen (also x³ aus dem
ersten und x aus dem zweiten Polynom) und fragt, wie oft x in x³ hineinpasst.
Anders gefragt: Mit was muss man x malnehmen, damit x³ herauskommt?
Natürlich mit x². Das ist das erste Glied unseres Ergebnisses:
(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x²
Hinweis: x³ = x·x²
Wie bei der Division von Zahlen nimmt man nun den neuen Bestandteil des Ergebnisses
mal den Divisor und schreibt ihn passend unter den Dividenden ("passend" bedeutet
hier, gleiche Potenzen von x untereinander zu schreiben):
(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x²
(x³ + 5x²)
Hinweis: (x³ + 5x²) = (x + 5)·x²
Dabei wird (wie bereits erwähnt) darauf geachtet, dass gleiche Potenzen von x untereinander stehen. Nun wird subtrahiert und (im Unterschied zur Division von Zahlen)
alles gleich "heruntergeholt":
(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x²
-(x³ + 5x²)
x² + 3x - 10
115-348
Hinweis: x² = 6x² - 5x²
Aha: Der Rest hat nur noch den Polynomgrad 2! Durch den nächsten Schritt reduzie ren
wir den Grad des Restes weiter, indem wir das x² aus dem Rest herauswerfen. Wieder
die Frage: Wie oft paßt das x aus dem Divisor in das x² (die höchste Potenz des Restes)?
Antwort: x-mal, denn x mal x ergibt x². Der nächste Summand des Quotienten (des
Ergebnisses) ist + x.
(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x² + x
-(x³ + 5x²)
x² + 3x - 10
Das x wird mit dem Divisor (x+5) multipliziert und vom Rest abgezogen:
(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x² + x
-(x³ + 5x²)
x² + 3x - 10
-(x² + 5x)= (x+5)·x
-2x - 10
Frage: Wie oft passt x in -2x? Antwort: -2 mal. Also sind die nächsten Schritte, -2 an das
Ergebnis anzuhängen, mit (x+5) zu multiplizieren und das Produkt vom Rest abzuziehen:
(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x² + x - 2
-(x³ + 5x²)
x² + 3x - 10
-(x² + 5x)
-2x - 10
-(-2x - 10)
0 Es geht ohne Rest auf.
Beispiel 82:
(alle Aufgaben gehen ohne Rest auf)
1.)Teilen Sie (x3 + 3x 2 - x - 3) durch (x+3), durch (x+1) und durch (x-1)
2.)Teilen Sie (x3 - 13x - 12) durch (x+3) , durch (x+1) und durch (x-4)
3.)Teilen Sie (x 4 + 6x 3 – 4x2 - 54x - 45) durch (x+5), (x+3), (x-3) und (x+1)
4.)Teilen Sie (x 7 - 1) durch (x - 1)
5.)Teilen Sie (9x 2 - 121) durch (3x + 11) und (3x - 11)
116-348
Beispiel 83:
Berechnen Sie
1.)
(6x 3 + 8x 2 – 7x – 3) : (3x + 1)
2.)
(–2x 4 – 9x 3 – 7x2 + 9x + 6) : (–2x3 – 5x2 + 3x + 3)
3.)
(6x 2 + 14x + 8) : (3x + 4)
4.)
(16/3x 5 + 64/5x 3 + 36/5x) : (8/3x 3 + 4x)
5.)
(3x 4 – 9x 3 + 7x 2 – 3x + 2) : (3x 2 + 1)
6.)
(2x 3 + 9/2x 2 + x) : (4x 2 + x)
7.)
(2x 5 + 4x 4 + 4x 3 + 10x 2 + 8x + 8) : (2x + 4)
8.)
(2x 4 – x 3 – 4x 2 – 3x – 9) : (2x + 3)
Lösung:
1.)
2x2 + 2x – 3
2.)
x+2
3.)
2x + 2
4.)
2x2 + 9/5
5.)
x2 – 3x + 2
6.)
1/2x + 1
7.)
x4 + 2x 2 + x + 2
8.)
x3 – 2x2 + x – 3
Beispiel 84:
Wir führen eine Polynomdivision durch
(x3 + x2 + 4) : (x+2) = x 2 - x + 2
x3 + 2 x2
- x2
- x2 -2x
2x+4
2x + 4
0
Auch hier ergibt sich also
x3 + x 2 + 4 = (x 2 - x + 2)*(x+2)
Unsere Gleichung ist also umgeformt zu
(x2 - x + 2)*(x+2) = 0
Jetzt kann man weitere Lösungen suchen, allerdings hat das Polynom x 2 - x + 2 keine
reellen Nullstellen.
Letztlich funktioniert diese Methode nur, wenn die Gleichung sehr „gutartig“ ist.
117-348
Substitutionsmethode
Bei dieser Methode versucht man, analog zum quadratischen Ergänzen bei den quadratischen Gleichungen eine Substitution, die auf ein kubisches Ergänzen hinausläuft.
Wir verwenden dazu die Umformung
(*)
a b3 a3 3a2b 3ab2 b3
Bei einer Gleichung der Form
x3 bx2 cx d 0
machen wir die Substitution
x z
b
3
eingesetzt in die Gleichung erhalten wir
3
2
b
b
b
z b z c z d 0
3
3
3
b2
b3
2
b2
bc
2
z bz z
bz bz cz d 0
3
27
3
9
3
3
2
Sie sehen, dass die quadratischen Glieder wegfallen, so dass sich insgesamt eine Gleichung der Form
z 3 pz q 0
ergibt.
Dies wird sich im nächsten Abschnitt als ein Fortschritt herausstellen.
Beispiel 85:
Die Gleichung
x3 + 3 x 2 – x – 18 = 0
vereinfachen wir durch die Substitution
x= z -1
Es ergibt sich:
(z-1)3 + 3(z-1) 2 – (z-1) -18 = 0
z 3 – 3z 2 +3z -1 + 3*(z 2 -2z+1) –z + 1 – 18 = 0
z 3 – 4z - 15 = 0
118-348
Das Verfahren von Cardano
Dieses Verfahren wurde wohl von Nicolo Tartaglia (1506 -1559) gefunden, aber von
Girolano Cardano zuerst veröffentlicht.
Wir gehen gleich von einer Gleichung aus, die in die Form
x3 px q 0
gebracht wurde.
Nun kommt eine geniale Substitution:
wir führen eine neue Variable w ein und setzen
x w
p
3w
Eingesetzt in die Gleichung ergibt sich
3
p
p
w
p w
q 0
3w
3w
w3 pw
w3
p2
p3
p2
pw
q0
3w 27w3
3w
p3
q 0 | w3
3
27 w
p3
w
qw3 0
27
6
Eine erneute Substitution
z w3
führt zu einer quadratischen Gleichung. Diese kann gelöst werden und dann wird rücksubstituiert.
Wir machen das an einem Beispiel, das schon Cardano angegeben hat:
x 3 6 x 20 0
Die erste Substitution lautet dann
x w
2
w
Das ergibt:
3
2
2
w 6 w 20 0
w
w
w3 6 w
12 8
12
3 6w
20 0
w w
ww
119-348
w3
8
20 0
w3
w6 20w3 8 0
Substitution z = w 3 ergibt
z 2 20 z 8 0
Eine Lösung ist
z 10 108
also
w3 10 108
w 3 10 108
Daraus erhalten wir die endgültige Lösung:
xw
2
w
2
x 3 10 108
3
10 108
Wenn sie diesen Ausdruck in den Taschenrechner eingeben, erhalten Sie
x=2
und das ist tatsächlich eine Lösung der Gleichung.
Bemerkung 15:
Nicht immer führt diese Methode zum Erfolg. Es hätte ja sein können, dass die quadratische Gleichung, die wir zwischendurch lösen mussten, keine reelle Lösung hat.
Wenn man allerdings die imaginären Zahlen zulässt, also komplexe Lösungen der quadratischen Gleichung verwendet und dann nach obigem Verfahren weiterrechnet,
kommt man schließlich auf die reelle Lösung der ursprünglichen Gleichung. Dies ist ein
starkes Argument, die komplexen Zahlen als mathematische Objekte zuzulassen.
120-348
Biquadratische Gleichungen
Eine biquadratische Gleichung
⇔
ax4 + bx² + c = 0
a(x²)² + bx² + c = 0
wird wie folgt gelöst:
Definition 78:
Das Quadrat der Variablen wird durch eine neue Variable ersetzt (substituiere/ersetze
x² = y)
die entstehende quadratische Gleichung ay² + by + c= 0
gelöst und
die Substitution wieder rückgängig gemacht.
Beispiel 86:
2x4 – 3x² - 20 = 0
Substitution: x² = y
2y² - 3y – 20 = 0
also x² =
Lösen dieser Gleichung ergibt: y 1 =
5
oder x² = 4
2
L = 2,2
121-348
5
; y2 = 4
2
Lineare Gleichungssysteme
Eine Gleichung, die nur eine Unbekannte hat, kann man (in allen euch bekannten Fällen) nach dieser Unbekannten auflösen und somit die Lösungsmenge bestimmen. Unter
der Lösungsmenge sind alle Zahlen zu verstehen, die man für die Unbekannte einsetzen
kann, so dass die Gleichung wahr ist, also "stimmt".
Manche Fragestellungen beinhalten jedoch zwei oder mehr Unbekannte, wobei man
aber auch zwei oder mehr voneinander unabhängige Gleichungen aufstellen kann.
Beispiel 87:
10a + 12b = 38
15a + 2b = 19,4
Leider kann man hier keine der einzelnen Gleichungen für sich genommen so nach einer
Variablen auflösen, dass man den Einzelpreis ablesen kann, denn man bekommt die
andere Variable nicht weg.
Man weiß aber, dass die zu findenden Lösungen für a und b für beide Gleichungen
gleichzeitig gelten müssen. Man hat hier dadurch ein System zweier Gleichungen mit
zwei Unbekannten.
Alle Verfahren, das Problem zu knacken, beruhen darauf, aus den n Gleichungen mit n
Unbekannten (wobei mit n die Anzahl der Gleichungen und Variablen gemeint ist) nur
noch eine Gleichung mit einer Unbekannten zu machen. Es gibt dabei im Wesentlichen
neben dem Erraten und dem graphischen Lösungsverfahren vier algebraische Verfahren:
Gleichsetzungsverfahren
Einsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Eliminationsverfahren
Hat man mehr als zwei Gleichungen, dann führt in jedem Verfahren immer jeder einzelne Schritt zu einer Gleichung, die jeweils eine Variable weniger enthält.
122-348
Gleichsetzungsverfahren
Löst man die Gleichung (2) aus dem obigen Beispiel nach b auf, so erhält man:
b = -7,5a + 9,7.
Diese umgeformte Gleichung nennen wir sinnvollerweise (2').
Da auf der rechten Seite noch das a vorkommt, hängt b also von a ab. Immerhin kann
man hier für jeden Wert von a sofort ein zugehöriges b berechnen.
b = -7,5a + 9,7 beschreibt eine lineare Funktion beschreibt mit der Steigung -7,5 und
dem y-Achsenabschitt 9,7. Zu dieser Funktion kann man einen Graph zeichnen, der eine
Gerade ist.
Dasselbe kann man auch mit der ersten Gleichung durchführen: Auflösen nach b und
Zeichnen des zugehörigen Graphen
b = -5/6a + 19/6 (1').
Der Schnittpunkt beider Graphen ist der Punkt des gesuchten Lösungspaares (a|b),
denn er liegt auf beiden Graphen, und seine Koordinaten (a|b) "passen" somit in beide
Gleichungen. Wenn man einigermaßen genau zeichnet, kann man die Koordinaten und
damit die Preise ablesen.
Den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen berechnet man indem man die Funktionsterme gleich setzt. In unserem Beispiel sind die Funktionsterme
-7,5a + 9,7 und -5/6a + 19/6.
Man setzt sie also gleich und erhält dadurch eine Gleichung, die nur noch eine Unbekannte enthält. Man kann mit ihr also die Lösung für a bestimmen. Das ist das Gleichsetzungsverfahren:
II' = I'
-7,5a + 9,7 = -5/6·a + 19/6
-45a + 58,2 = -5a + 19
58,2 = 40a + 19
39,2 = 40a
| ·6
| + 45a
| - 19
| : 40
0,98 = a
Mit diesem Wert kann man b leicht ausrechnen: Man muss nur in eine der beiden nach
b umgeformten Gleichungen für a den Wert 0,98 einsetzen:
Einsetzen in (1'):
b = -5/6·a + 19/6 = -5/6·0,98 + 19/6 = 2,35
Einsetzen in (2'):
b = -7,5·a + 9,7 = -7,5·0,98 + 9,7 = 2,35
123-348
Man wählt sinnvollerweise die angenehmere Gleichung, was hier sicherlich (2') ist.
Definition 79:
Das Gleichsetzungsverfahren erfordert folgende Schritte:
Löse beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf.
Setze die anderen Seiten der Gleichungen einander gleich.
Löse die so entstandene Gleichung nach der enthaltenen Variablen auf.
Setze die Lösung in eine der umgeformten Gleichungen aus Schritt 1 ein und berechne so die andere Variable.
Beispiel 88:
Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen.
45x+75y=58,5 und
20x+40y=29
Lösung:
Beide Gleichungen werden nach y aufgelöst.
45x+75y=58,5
|-45x
75y=-45x+58,5 |:75
y=-45/75+58,5/75
y=-0,6x+0,78
und
20x+40y=29 |-20x
40y=-20x+29
|:40
y=- ½ x+29/40
y=-0,5x+0,725
Deshalb wenden wir das Gleichsetzungsverfahren an und setzen beide Gleichungen
gleich und lösen sie nach x auf.
-0,6x+0,78=-0,5x+0,725
0,78=0,1+0,725
0,055=0,1x
|+0,6x
|-0,725
| 10
x=0,55
Nun brauchen wir diesen x-Wert nur noch in eine der beiden aufgelösten Gleichungen
einzusetzen und y berechnen.
x=0,55
y=0,45
124-348
Fallunterscheidungen
Beim Gleichsetzungsverfahren gibt es 3 Fallunterscheidungen:
1. Möglichkeit /1. Fall:
Es gibt ein Schnittpunkt und die Aufgabe hat nur eine Lösung, bzw. die Geraden haben
einen Schnittpunkt.
g1
g2
2. Möglichkeit / 2. Fall:
Es gibt keine Lösung, die Graphen laufen parallel.
g1
g2
3. Möglichkeit / 3. Fall:
Es gibt viele Lösungen, wenn überall ein Schnittpunkt ist, d.h. die Graphen und ihre
Funktionsgleichungen sind identisch.
125-348
Das Einsetzungsverfahren
Gegeben sei das Gleichungssystem
5 - 4x = y
(1)
7x - 3y = 51,5
(2)
Wenn man eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst hat, so weiß
man ihren Wert in Abhängigkeit von der anderen Variablen. In unserem Beispiel ist
Gleichung (1) bereits nach y aufgelöst. Alle y, die Lösung des Gleichungs systems sein
wollen, müssen gleich 5 - 4x sein.
Wenn man nun in der anderen Gleichung alle y durch diesen Term ersetzt, der nach der
ersten Gleichung gleich y ist, so erhält man eine Gleichung, die nur noch x enthält:
(2):
7x - 3y = 51,5
Für das y wird (5 - 4x) eingesetzt:
(1) in (2):
7x - 3(5 - 4x) = 51,5
Achtung:
Man muss den Term in Klammern setzen, denn sonst würde man nicht das "komplette"
y (also 5 - 4x) mal -3 nehmen, sondern nur die 5.
Nun kann man wie oben die Gleichung nach x auflösen und das Resultat in (1) einsetzen, um y zu berechnen:
7x - 3(5 - 4x) = 51,5
| Klammer auflösen
7x - 15 + 12x = 51,5
| Zusammenfassen
19x - 15 = 51,5
| + 15
19x = 66,5
| : 19
x = 3,5
In (1):
y = 5 - 4x = 5 - 4·3,5 = -9
Definition 80:
Das Einsetzungsverfahren erfordert folgende Schritte:
Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf. (Eventuell liegt eine gegebene Gleichung schon passend vor. Verfahren Sie sonst so, dass Sie möglichst
keine oder zumindest "einfache" Brüche erhalten.)
Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein.
Löse die so entstandene Gleichung nach der enthaltenen Variablen auf.
Setze die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne so
die andere Variable.
Beispiel 89:
126-348
Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen.
(1) x=3y-2 und (2) 4x-9y=1
Lösung:
1. Schritt:
Einsetzen von x in I
4(3y-2)-9y=1
12y-8-9y=1 |+8
3y=9
|:3
y=3
2. Einsetzen von y in I
x=3 3-2=9-2=7
3. Angabe der Lösungsmenge
L={7; 3}
127-348
Additionsverfahren
Das Additionsverfahren dient dazu, ein "System" von zwei Gleichungen zu lösen, d.h.
herauszubekommen, welche Zahlen man für die beiden vorkommenden Variablen einsetzen muss, damit die beiden Gleichungen aufgehen.
Zum Beispiel könnte man bei der Gleichung 4x + 3y = 10 für x=1 einsetzen und für y=2,
und dann würde die Gleichung aufgehen.
Man könnte aber auch für x=4 einsetzen und für y=-2, und es würde auch gehen. Es
gibt bei einer Gleichung zumeist unendlich viele solcher Lösungen, wenn sie zwei Unbekannte hat.
Wenn die Lösung, also die Werte für x und y, allerdings noch eine zweite Gleichung
erfüllen sollen, dann gibt es in den meisten Fällen nur eine einzige Möglichkeit. Solche
zwei zusammengehörenden Gleichungen nennt man dann "Gleichungssystem".
Beispiel 90:
4x + 3y = 10
-5y = 2x - 19
Jetzt formt man erst mal beide Gleichungen so um, dass alle Variablen auf der linken
Seite stehen, d.h. bei der zweiten Gleichung müssen die 2x auf die linke Seite gebracht
werden:
4x + 3y = 10
-5y = 2x - 19
| -2x
4x + 3y = 10
-2x - 5y = -19
Durch irgendein Verfahren muss nun aus diesen ZWEI Gleichungen, die jeweils BEIDE
Variablen enthalten, eine einzige gemacht werden, die nur noch eine enthält. Beim
Additionsverfahren werden beide Gleichungen entweder addiert oder voneina nder
subtrahiert, das kommt auf die Faktoren an. Dazu später mehr.
Beim Addieren zweier Gleichungen müssen die Faktoren vor den Variablen und die Zahlen getrennt behandelt werden:
Wenn man die beiden Gleichungen 4x + 3y = 10 und -2x - 5y = -19 addiert, dann addiert
man also die beiden Faktoren vor dem x getrennt:
4 + (-2) = 4 - 2 = 2
Für y sieht es so aus:
3 + (-5) = 3 - 5 = -2;
und für die einzelnen Zahlen so:
10 + (-19) = 10 - 19 = -9.
128-348
Die Addition der beiden Gleichungen ergibt damit:
4x + 3y = 10
+
-2x - 5y = -19
=
2x - 2y = -9
Damit ist aber, wie man sieht, keine Variable verschwunden, d.h. wir haben immer noch
eine Gleichung mit zwei Unbekannten!
Das ganze sähe aber schon viel besser aus, wenn z.B. bei der zweiten Gleichung vor
dem x eine -4 stehen würde, dann fiele nämlich das x heraus, denn 4 + (-4) = 4 - 4 = 0!
Und so multipliziert man einfach die komplette zweite Gleichung mit 2:
4x + 3y = 10
-2x - 5y = -19 | ·2
4x + 3y = 10
-4x - 10y = -38
Addieren ergibt jetzt:
0x - 7y = -28
also: -7y = -28
Damit kann y bestimmt werden:
-7y = -28
| : (-7)
y=4
Jetzt wird dieser Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen für y eingesetzt, und
diese Gleichung wird nach x aufgelöst:
4x + 3y = 10
4x + 3·4 = 10
4x + 12 = 10 | - 12
4x = -2
|:4
x = -0,5
Zur Probe die herausgefundenen Werte in beide Gleichungen einsetzen und überprüfen, ob es stimmt:
1. Gleichung:
4x + 3y = 10
4·(-0,5) + 3·4 = 10
-2 + 12 = 10
stimmt.
129-348
2. Gleichung:
-2x - 5y = -19
-2·(-0,5) - 5·4 = -19
1 - 20 = -19
stimmt auch.
Beispiel 91:
3x + 4y = -12
4x - 7y = 21
Ein immer funktionierender Trick ist bei solchen Situationen, jede Gleichung mal den
entsprechenden Faktor in der anderen Gleichung zu nehmen. Die erste Gleichung wird
also mal 4 genommen, weil in der zweiten Gleichung 4x auftreten. Die zweite Gleichung
wird mal 3 genommen, da in der ersten 3x auftreten:
3x + 4y = -12
·4
4x - 7y = 21
·3
12x + 16y = -48
12x - 21y = 63
Nun bringt Addieren in diesem Falle nichts, denn dadurch bekäme man 24x. Hier muss
nun subtrahiert werden! Wir ziehen die zweite von der ersten Gleichung ab und erhalten:
Bei x:
12x - 12x = 0x, x fällt also weg!
Bei y:
16y - (-21y) = 16y + 21y = 37y
Bei den Zahlen:
-48 - 63 = —111
also:
12x + 16y = -48
—
12x - 21y = 63
=
37y = -111
| :37
y = -3
Einsetzen in zweite Gleichung:
4x - 7y = 21
4x - 7·(-3) = 21
4x + 21 = 21
4x = 0
| -21
| :4
x=0
Probe:
1. Gleichung:
130-348
3x + 4y = -12
3·0 + 4·(-3) = -12
0 - 12 = -12 stimmt.
2. Gleichung:
4x - 7y = 21
4·0 - 7·(-3) = 21
Definition 81:
Das Additionsverfahren erfordert folgende Schritte:
Beide Gleichungen so umformen, dass die Variablen (mit ihren Faktoren) auf einer
Seite (links) vom Gleichheitszeichen stehen und auf der anderen Seite (rechts)
eine einzelne Zahl.
Suche jeweils das kleinste gemeinsame Vielfache der Faktoren vor x und vor y.
Wähle die Variable aus, bei der das kleinere kgV auftritt, und multipliziere beide
Gleichungen so, dass vor dieser Variablen jeweils gleiche Fa ktoren stehen (das ist
dann nämlich das kleinste gemeinsame Vielfache).
Man kann auch ohne Umschweife die erste Gleichung mit dem Faktor vor dem x
der zweiten Gleichung multiplizieren und umgekehrt.
Falls die (betragsmäßig gleichen) Faktoren das selbe Vorzeichen haben, dann subtrahiere die Gleichungen voneinander. Wenn sie unterschiedliche Vorzeichen haben, dann addiere sie.
Dies geschieht komponentenweise, d.h. die Faktoren vor x werden untereinander
addiert, die Faktoren vor dem y (oder entsprechenden anderen Variablen), und
die einzelnen Zahlen werden für sich behandelt.
Dadurch entsteht eine Gleichung mit nur einer Variablen. Diese wird nun durch
normale Äquivalenzumformungen nach der Variablen aufgelöst.
Der erhaltene Wert wird in eine der ursprünglichen Gleichungen für die jeweilige
Variable eingesetzt, wodurch wieder eine Gleichung entsteht, die nur noch eine
Variable, nämlich die andere, enthält.
Nach dieser auflösen!
Probe machen, indem die Lösungen in beide Gleichungen eingesetzt werden. Die
Lösungen stimmen nur dann, wenn beide Gleichungen "aufgehen".
Definition 82:
Der Grad gibt an, wie viele Gleichungen und wie viele Unbekannte das Gleichungssystem hat; im Falle 3 also drei Gleichungen mit drei Unbekannten.
131-348
Beispiel 92:
3a - b = c
a + 2c = 4 - 4b
2b + c = 1
Es kommt relativ häufig vor, dass nicht in allen Gleichungen alle Variablen vorkommen.
Hier fehlt z.B. in III das a. Man kann nun diese 3. Gleichung ausnutzen, um in I und II c
zu eliminieren (eliminieren = auslöschen). Dazu lösen wir sie zunächst nach c a uf, um
sie dann in I und II einzusetzen:
III:
2b + c = 1 | - 2b
III': c = 1 - 2b
in I: 3a - b = c
3a - b = 1 - 2b | +2b
3a + b = 1
in II: a + 2c = 4 - 4b
a + 2(1 - 2b) = 4 - 4b
a + 2 - 4b = 4 - 4b
| +4b -2
a=2
Damit sind zwei Gleichungen mit insgesamt zwei Unbekannten (a und b) entstanden,
also dieses Gleichungssystem:
3a - b = 1 - 2b
a=2
Freundlicherweise kommt in der zweiten Gleichung gar kein b mehr vor, womit die Lösung für a schon bekannt ist und in die erste eingesetzt werden kann, um b zu berechnen:
3a + b = 1
3·2 + b = 1 | -6
b = -5
Mit den nunmehr bekannten Werten für a und b kann c berechnet werden. b allein
reicht dafür auch schon aus, da in III' kein a vorkommt:
in III': c = 1 - 2b
c = 1 - 2·(-5) = 1 + 10 = 11
Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen oder ohne Lösung
Das folgende Gleichungssystem hat keine Lösung:
132-348
x - z = 2y - 5
y - 4x + z = 6
2x + 3y = 3 - z
I:
x - z = 2y - 5
I':
x = 2y + z - 5
| +z
in II: y - 4(2y + z - 5) + z = 6
-7y - 3z + 20 = 6
II':
| -20
-7y - 3z = -14
in III: 2(2y + z - 5) + 3y = 3 - z
III'
7y + 2z - 10 = 3 - z
| +z
7z + 3z - 10 = -3
| ·(-1)
-7z - 3z + 10 = -3
| -10
-7y - 3z = -13
Vergleiche II' mit III'. Die linken Seiten sind identisch, die rechten jedoch nicht. Weiteres Gleichsetzen führt auf die falsche Aussage -14 = -13. In solchen Fällen existiert keine
Lösung.
Wäre dagegen das Gleichungssystem so gegeben:
x - z = 2y - 5
y - 4x + z = 7
2x + 3y = 3 - z
dann bekommt man mit analogen Schritten
...
II':
-7y - 3z = -14
...
III'
-7y - 3z = -14
Also zwei identische Gleichungen. Man sagt in einem solchen Fall, die Gleichungen sind
linear abhängig. Tatsächlich erhält man III, wenn man I+2·II bildet. Man hat demnach
eigentlich nur zwei unabhängige Gleichungen mit drei Unbekannten und kann keine
eindeutige Lösung ermitteln.
Man geht in diesen Fällen von einer freien Variablen aus, z.B. z, und beschreibt die
übrigen in Abhängigkeit von ihr: y = 2 - 3/7·z, x = 1/7·z - 1.
133-348
Beispiel 93:
Gleichungssystem mit vier Unbekannten lösen
I:
6p - q + m = 12n - 5
II: -2q - 8 = -6p + 8n - 2m
III: 2m = 4n - 3p + 5
IV: 3p = 9 + 4n + q
Gleichung IV nach q auflösen:
3p = 9 + 4n + q
IV': q = 3p - 4n - 9
IV' in I:
6p - q + m = 12n - 5
6p - (3p - 4n - 9) + m = 12n - 5
6p - 3p + 4n + 9 + m = 12n - 5
| +5 -4n
I': 3p + 14 + m = 8n
IV' in II:
-2q - 8 = -6p + 8n - 2m
-2(3p - 4n - 9) - 8 = -6p + 8n - 2m
-6p + 8n + 18 - 8 = -6p + 8n - 2m
10 = -2m
-5 = m
| -8n +6p
| :(-2)
sehr schön!
in I':
3p + 14 + (-5) = 8n
3p + 9 = 8n
p = 8/3n - 3
III: 2m = 4n - 3p + 5
2(-5) = 4n - 3(8/3n - 3) + 5
-10 = 4n - 8n + 9 + 5
-10 = -4n + 14
-24 = -4n
| -14
| :(-4)
134-348
6=n
p = 8/3n - 3
(siehe oben)
p = 8/3·6 - 3
p = 13
IV': q = 3p - 4n - 9 = 3·13 - 4·6 - 9 = 6
Derartige Gleichungssysteme löst man systematischer mit dem ®Gaußschen Verfahren
Beispiel 94:
Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen.
6y=9x-81 und 6x-4y=12
Lösung: L={}
Lösung:
1. Schritt:
Rechnung:
6y=9x-81
|:6
y=1 ½ x-13 ½
6x-4y=12
|-6x
-4y=-6x+12 |:(-4)
y=-1 ½ x-3
2. Gleichsetzen von I und II
1 ½ x-13 ½ =1 ½ x-3 |+13 ½
1 ½ x=1 ½ x+10 ½
|-1 ½ x
10 ½=0
3. Angabe der Lösungsmenge
L={}
135-348
Beispiel 95:
Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen
4x-7y=41 und 5x+3y=63
3
38
Lösung: L = { ; − }
4
7
Lösung:
1. Schritt:
4x-7y=41
|-4x
-7y=-4x+41 |:(-7)
4
6
y= x+5
7
7
5x+3y=63 |-5x
3y=-5x+63 | :3
2
y=-1 x+21
3
2. Gleichsetzen von I und II
4
6
2
6
x-5 =-1 x+21 |+5
7
7
3
7
4
2
6
2
x=-1 x+26
|+1 x
7
3
7
3
47 168
47
x=
|:
21
7
21
3
x=
4
3. Einsetzen von x in I
4 3
6 3 6
3
-5 = -5 =-5
7 4
7 7 7
7
4. Angabe der Lösungsmenge
3
38
L = { ;− }
4
7
Beispiel 96:
136-348
Fallunterscheidung mit Beispielen
Die 3 Fallunterscheidungen gibt es auch bei dem Gleichsetzungsverfahren. Hier möchte
ich Ihnen die ganzen Fälle mit Beispielen zeigen
1. Möglichkeit:
Es gibt einen Schnittpunkt und die Gleichung hat nur eine Lösung.
g1
g2
Beispiel 97:
6x+14y+8=0 und 8y=x-9
1. Schritt:
Rechnung:
6x+14y+8=0 |-8
6x+14y=-8 |-6x
14y=-6x-8 | :14
3 4
y=- x7 7
8y=x-9 | :8
1
1
y= x-1
8
8
2. Gleichsetzen von I und II
3 4 1
1
- x- = x-1 | 56
7 7 8
8
-24x-32=7x-63 |+32
-24x=7x-31
|-7x
-31x=-31
|:(-31)
x=1
3. Einsetzen von x in I
3
4 3 4
- 1- =- - =-1
7
7 7 7
4. Angabe der Lösungsmenge
L={1; -1}
137-348
2. Möglichkeit:
Es gibt keine Lösung, die Graphen laufen parallel.
g1
g2
Die Lösungsmenge ist dann L={}.
Beispiel 98:
6y=9x-81 und 6x-4y=12
1. Schritt:
Rechnung:
6y=9x-81 |:6
y=1 ½ x-13 ½
6x-4y=12 |-6x
-4y=-6x+12 | :(-4)
y=1 ½ x-3
2. Gleichsetzen von I und II
1 ½ x-13 ½ =1 ½ x-3 |+13 ½
1 ½ x=1 ½ x+10 ½
|-1 ½ x
x=0
3. Angabe der Lösungsmenge
L={}
Wenn die Funktionsgleichungen das gleiche m, aber ein unterschiedliches b haben,
verlaufen die Graphen parallel.
3. Möglichkeit:
Es gibt viele Lösungen, wenn überall ein Schnittpunkt ist. D.h. die Graphen und ihre
Funktionsgleichungen sind identisch. Und die Graphen „liegen aufeinander“.
Die Lösungsmenge ist dann L={(x; y)|y=8x+3; x R }
Beispiel 99:
2
2x+ 3y=4 und 10x+7,5y=20
1. Schritt:
138-348
Rechnung:
2
2x+ 3y=4
|-2x
2
2
y=-2x+4 |: 3
3
4
8
y=- 3x+ 3
10x+7,5y=20 |-10x
7,5y=-10x+20 | :7,5
4
8
y=- 3x+ 3
2. Gleichsetzen von I und II
4
8
4
8
4
- 3x+ 3=- 3x+ 3
|+ 3x
8 8
=
3 3
4
8
3
3
L={(x; y)|y=- x+ }
Merkregeln zur Anwendung der einzelnen Verfahren
I 4x-7y=28
II 2x-12=2y
Am besten geeignet ist das Einsetzungsverfahren, weil man die II Gleichung nur noch
durch 2 dividieren muss.
I 6x+11y=31
II -2x-7y=12
Am besten geeignet ist das Additionsverfahren, weil man die II Gleichung nur noch
mit 3 multiplizieren muss.
I 3x+40=y
II y=12-5x
Am besten geeignet ist das Gleichsetzungsverfahren, weil man die beiden Gleichungen gleichsetzen kann, sie sind schon nach y umgeformt.
I y=4x-7
II 2x-12y=9
Am besten geeignet ist das Einsetzungsverfahren, weil man y gleich in die II Gleichung
einsetzen kann.
I 4x-9y=3
II -8x-4y=12
Am besten geeignet ist das Additionsverfahren, weil man die I Gleichung nur noch
mit –2 multiplizieren muss.
I x=-4y+9
II -7y-8=x
139-348
Am besten geeignet ist das Gleichsetzungsverfahren, weil man die Gleichung gleichsetzen kann.
I -7x-9y=4
II 7x-8y=12
Am besten geeignet ist das Additionsverfahren, weil man y gleich auflösen kann.
I 9x-4y=8
II -18y-4x=7
Am besten geeignet ist das Gleichsetzungsverfahren, weil man die Gleichungen
gleichsetzen kann.
140-348
Der Gauß‘sche Algorithmus
Dieses Verfahren dient zur Lösung von linearen Gleichungssystemen
Es eignet sich zur Bestimmung einer speziellen Lösung als auch zur Angabe der gesamten Lösungsmannigfaltigkeit.
Durch moderne Rechneranlagen lässt sich das Gauß‘sche Eliminationsverfahren sehr
gut durchführen und hat deshalb an Bedeutung gewonnen.
Seine Idee besteht darin, aus einem System von m linearen Gleichungen mit n Variablen
m-1 Gleichungen so umzuformen, dass eine der Variablen, etwa x1 , in diesen m-1 Gleichungen nicht mehr vorkommt, also eliminiert wird.
Aus m-2 von diesen m-1 neuen Gleichungen lässt sich nun z.B. x 2 entfernen. Indem man
so fortfährt, erhält man schließlich eine einfach zu lösende Gleichung, die nur noch
eine Variable x n aufweist.
Das Gleichungssystem lässt sich dann einfach nach allen anderen Variablen auflösen,
da immer nur eine unbekannte Variable vorhanden ist.
Rechenschema:
a11 x1 a12 x 2 a13 x3 a14 x 4 b1
a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x3 a 24 x 4 b2
a31 x1 a32 x 2 a33 x3 a34 x 4 b3
a 41 x1 a 42 x 2 a 43 x3 a 44 x 4 b4
x1 a12 x 2 a13 x3 a14 x 4 b1
a x2 a x a x4 b
'
22
'
23 3
'
24
'
2
'
'
'
a32
x 2 a33
x3 a34
x 4 b3'
'
'
'
a 42
x 2 a 43
x3 a 44
x 4 b4'
x1 a12 x 2 a13 x3 a14 x 4 b1
x2 a x a x4 b
'
23 3
'
24
'
2
''
''
a33
x3 a34
x 4 b3''
''
''
a 43
x3 a 44
x 4 b4''
x1 a12 x 2 a13 x3 a14 x 4 b1
x2 a x a x4 b
'
23 3
'
24
'
2
''
x3 a34
x 4 b3''
x 4 b4'''
1
2
3
4
1'
2'
3'
4'
1' '
2' '
3' '
4' '
1' ' '
2' ' '
3' ' '
4' ' '
141-348
Im allgemeinen Teil wird ein Gleichungssystem mit 4 Variablen veranschaulicht:
(1‘) erhalten wir durch Division von (1) durch a 11 (Vor. a 11 ≠0)
Dann multiplizieren wir (1‘) mit a 21 und subtrahieren von (2) und erhalten (2‘).
Dann multiplizieren wir (1‘) mit a 23 und subtrahieren von (3) und erhalten (3‘).
Entsprechend erhält man (4‘)
Anschließend wird (2‘) zu (2‘‘) vereinfacht und zur Umformung von (3‘) in (3‘‘) und von
(4‘) in (4‘‘) verwendet.
Dies wird analog bis ( 4‘‘‘) fortgesetzt, so dass man nach der Variablen auflösen kann.
142-348
Beispiel 100:
x1
2 x3 x 4 11
(1)
4 x1 x 2 3x3 2 x 4 23
( 2)
3x1 2 x 2 x3
(3)
x4 6
x1 x 2 x3 2 x 4 14
x1
1
x2
0
x3
2
x4
1
4
3
1
1
2
1
3
1
1
2 23
1
6
2
14
x1
x2
x3
x4
b
1
0
2
1
11
0
0
1
2
5 2 21
5 4 27
0
1
1
1
3
x1
x2
x3
x4
b
1
0
0
0
1
0
2
1
11
5 2 21
5
0
15
0
0
4
3
24
x1
x2
x3
x4
b
1
0
0
1
2
1
11
5 2 21
0
0
0
0
1
04
0
3
3
12
x1
x2
x3
x4
b
1
0
2
1
11
0
1
0
0
1
0
3
0
0
0
1
4
( 4)
b
11
5 2 21
1 * x4 4 x4 4
1 * x3 0 * x 4 3 x3 3
1 * x 2 5 * x3 2 * x 4 21 x 2 2
1 * x1 0 * x 2 2 * x3 1 * x 4 11 x 2 1
143-348
Sonderfälle:
Unlösbare Gleichungssysteme
4 x3 2 x 4 14
2 x1
4 x1 x 2 3 x3 2 x 4 15
3 x1 2 x 2 x3 x 4 10
x1 x 2 x3 x 4 10
x1
x2
x3
x4
b
2
4
3
1
0
1
2
1
4
3
1
1
2
2
1
1
14
15
10
10
x1
1
x2
0
x3
2
x4
1
0
0
0
1
2
1
5 2 13
5 4 11
1 2 3
x1
1
0
x2
0
1
x3 x 4
b
2
1
7
5 2 13
0
0
0
0
5
4
0
0
15
16
x1
x2
x3
x4
b
1
0
2
1
7
0
1
0
0
1
0
3
0
0
0
0
4
b
7
5 2 13
0 4 Widerspruch Gleichungssystem unlösbar
Entsteht bei einer Umformung ein Widerspruch, so ist das Gleichungssystem unlösbar.
Handelt es sich bei dem Gleichungssystem um ein homogenes System (rechte
Seite = 0), so kann dieser Fall nicht auftreten.
144-348
Das Gleichungssystem hat mehrere Lösungen
x1
x2
x3
x4
b
2
0
4
2
14
4
1
3
2
15
3
2
1
1 10
1
1
1
1
x1
x2
x3
x4
b
1
0
2
1
7
0
1
5 2 13
0
2
5 4 11
0
1
1 2
1
x1
x2
x3
x4
b
1
0
2
1
7
0
1
0
0
5
0
15
0
0
4
0
12
x1
x2
x3
x4
b
1
0
2
1
7
0
1
0
0
1
0
3
0
0
0
0
0
6
5 2 13
5 2 13
0´ 0 x 4 ist frei wählbar
x4 p
x3 3
x 2 5 3 2 p 13
x2 2 2 p
x1 2 3 1 p 7
x1 1 p
Gleichungen, die auf beiden Seiten 0 sind, können gestrichen werden. Reichen die verbleibenden Gleichungen nicht aus zur Auflösung, so sind eine oder me hrere Variablen
frei wählbar.
145-348
Beispiel 101:
Bestimmen Sie die Lösung dieses Gleichungssystems.
I
3x-y+4z=12
II
x-2y+z=5
III
6x-4y+3z=16
Lösung: L={1; -1; 2}
Lösung:
I
3x-y+4z=12
II
x-2y+z=5
III
6x-4y+3z=16
| (-3)
I
3x-y+4z=12
II
5y+z=-3
III
| (-2)
|2
|5
-2y-5z=-8
I
3x-y+4z=12
II
5y+z=-3
III
+
-23z=-46
-23z=-46 | :(-23)
z=2
III in II :
5y+2=-3 |-2
5y=-5
| :5
y=-1
y=-1 und z=2 in I
3x-(-1)+4 2=12
|-9
3x=3
|:3
x=1
Angabe der Lösungsmenge
L={1; -1; 2}
146-348
Beispiel 102:
Beispiel 103:
147-348
Beispiel 104:
Lineare Gleichungssysteme mit Parametern
Werden genauso gelöst.
148-348
Ungleichungen
Formulierungen wie 2 3 ; 7 + 8 4 + 9 oder 17 3 nennt man Ungleichungen. Sie
können auch eine Variable (oder mehrere ) enthalten, z.B. x + 3 18 – x.
Beispiel 105:
x+39
Hier tauchen Probleme auf!
- Welche Zahlen stehen für x zur Verfügung? Beispielsweise gilt: 5,7 + 3 9.
- Wie sollen die Lösungen aufgeschrieben werden?
Derartige Probleme werden relativ elegant mit Hilfe der Mengenlehre gelöst
Die Lösungen für die Ungleichung x + 3 9 lauten dann:
x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5.
Enthalten Ungleichungen eine Variable, dann ergeben zwei weitere Zeichen einen Sinn:
≦kleiner als oder gleich ( auch )
≧ größer als oder gleich ( auch )
Für die obigen Beispiele bedeutet dies:
zu 1. x + 3 ≦9 : neben den genannten Lösungen kommt die Lösung x = 6 hinzu, 6 + 3
=9.
zu 2. 4 + x ≦18 –x : die Lösung x = 7 kommt hinzu, 4 + 11 = 18 – 7 .
Definition 83:
Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen , , , , steht, bilden eine Ungleichung.
Lineare Ungleichungen
Definition 84:
Grundgedanke:
Man formt mit Äquivalenzumformungen komplizierte Ungleichungen so um, dass man
einfachere Ungleichungen erhält, aus denen man die Lösungsmenge ablesen kann.
Durch Äquivalenzumformungen wird die Lösungsmenge der Ungleichung nicht verändert.
Definition 85:
1. Äquivalenzumformung
Addiert man zum Linksterm und zum Rechtsterm die gleiche Zahl a (a Q), so verändert
man die Lösungsmenge der Ungleichung nicht.
Die gleiche Regel gilt auch für die Subtraktion.
Beispiel 106:
149-348
x + 6 14
/ -6
(Auf beiden Seiten 6 subtrahieren.) G = Q
x + 6 – 6 14 – 6
(Zusammenfassen.)
x8
(Lösungsmenge angeben.)
L = {x| x 8}
(Die Lösungsmenge kann nicht in aufzählender
Form angegeben werden. Man wählt die beschreibende Form: L = { x | x8}
Beispiel 107:
x – 4 29
/ +4
G=Q
x – 4 + 4 29 + 4
x 33
= { x | x 33}
Definition 86:
2. Äquivalenzumformung
Liest man eine Aussageform von rechts nach links, so erhält man eine dazu äquivalente
Aussageform.
Beispiel 108:
17 x – 9
/ +9
7+9x–9+9
26 x
x 26
L = { x | x 26 }
Definition 87:
3. Äquivalenzumformung
Multipliziert man den Linksterm und den Rechtsterm einer Ungleichung mit der gleichen positiven Zahl, so erhält man eine Ungleichung, die zur ursprünglichen Ungleichung äquivalent ist.
Die Regel gilt ebenfalls für die Division mit einer positiven Zahl.
!!! Achtung: Die Multiplikation mit der Zahl 0 ist keine Äquivalenzumformung.
150-348
Beispiel 109:
4x 34
/:4
(Beide Seiten durch 4 teilen.)
G=Q
4x : 4 34 : 4
x 8,5
L = { x | x 8,5 }
Definition 88:
3. Äquivalenzumformung
Multipliziert (bzw. dividiert) man den Linksterm und den Rechtsterm einer Ungleichung
mit der gleichen negativen Zahl, so erhält man eine Ungleichung, die zur ursprünglichen
äquivalent ist, wenn man durch bzw. durch ersetzt und umgekehrt. (Inversionsgesetz)
Beispiel 110:
2,5 x 6,25 / : (2,5) [Beide Seiten durch ( 2,5) dividieren] G = Q
x 2,5
! Achtung: Das Zeichen kehrt sich um!
L = { x| x 2,5}
Quadratische Ungleichungen
Für das Lösen quadratischer Ungleichungen gelten die gleichen Regeln, die bereits vom
Lösen von Ungleichungen bekannt sind.
Zuerst betrachten wir an einigen Beispielen die Äquivalenzumformungen für Ungleichungen:
Addition / Subtraktion der gleichen Konstanten auf beiden Seiten der Ungleichung:
Beispiel 111:
x 2 4 12
| 4
x 2 16
|
x 4,
bzw.
also
4 x4
x 4;4
Beispiel 112:
x 2 7 16
| 7
x2 9
|
x 3,
bzw.
also
x 3 oder x 3
x ;3 3;
151-348
Beispiel 113:
x 32 9 16
| 9
x 32 25
|
x3 5
Positiven und negativen Fall betrachten:
x 3 5 oder x 3 5
also
x 8 und x 2
bzw.
x 8;2
Addition / Subtraktion des gleichen Vielfachen einer Variablen auf beiden Seiten:
Beispiel 114:
x 2 7 x 4 3x
| 3x
x2 4x 4 0
|
x 22 0
Die linke Seite der Ungleichung ist ein Quadrat und somit stets nicht -negativ. Die Ungleichung ist also für alle x R erfüllt.
Beispiel 115:
3x 2 2 x 2 1
| 2 x 2
x2 1
|
x 1,
bzw.
also
1 x 1
x 1;1
Multiplikation mit der / Division durch die gleiche(n) positive(n) Konstante auf beiden Seiten:
Beispiel 116:
0,5 x 2 18
| 2
x 2 36
|
x 6,
bzw.
also
6 x6
x 6;6
152-348
Beispiel 117:
3x 2 12 12x
|: 3
x2 4 4x
| 4 x
x2 4x 4 0
x 22 0
Die linke Seite der Ungleichung ist ein Quadrat und somit stets nicht -negativ. Die Ungleichung ist also unlösbar.
Multiplikation mit der / Division durch die gleiche(n) negative(n) Konstante auf beiden Seiten, wobei jedoch das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden muss!
Beispiel 118:
15 x 2 20
| 5
x 2 100
|
x 10 ,
bzw.
also
10 x 10
x 10;10
Beispiel 119:
4 x 2 12 x 9 25 |: 4
x 2 3x 94
x 32 2 254
x 32
25
4
|
5
2
x 32
5
2
oder x 32
5
2
also
x 1 oder x 4
bzw.
x ;1 4;
Bei Multiplikation mit dem / Division durch das Vielfache(n) einer Variablen könnte
diese Variable prinzipiell einen positiven oder einen negativen Wert besitzen; da man
i.a. aber nicht weiß, welcher Fall vorliegt, ist eine Fallunterscheidung notwendig:
153-348
Beispiel 120:
x
4
x
| x
I. Fall: x 0
oder II. Fall: x 0
x2 4
oder
x2 4
x 2
oder
x 2
x2
oder
x2
x 2 (!)
oder
x2
bzw.
x ;2 0;2
Beispiel 121:
20 x
9
5x
| 5 x
I. Fall: x 0
oder II. Fall: x 0
100x2 9
oder 100x2 9
10 x 3
oder
10 x 3
oder 10 x 3
x 0,3 (!)
oder
bzw.
10 x 3
x 0,3
x 0,3;0 0,3;
154-348
Beispiel 122:
1
4
x3 8x x 2
x x2 32 4x2
| 4 und Ausklammern von x
|: x
I. Fall: x 0
oder II. Fall: x 0
x 2 32 4 x
oder
x 2 32 4 x
x 2 4 x 32 0
oder
x 2 4 x 32 0
x 4 x 8 0
oder
x 4 x 8 0
Im letzten Schritt wurde jeweils die linke Seite der Ungleichung faktorisiert. Dazu ist
natürlich die Kenntnis der Nullstellen. nötig; man erhält sie entweder mit Hilfe des Satzes von Vieta oder über die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
Nun ist aber der Wert eines Produktes genau dann negativ, wenn beide Faktoren verschiedene Vorzeichen haben, und genau dann positiv, wenn beide Faktoren das gleiche
Vorzeichen haben. Wir betrachten die obigen Fälle nochmals gesondert und erhalten
...
im I. Fall ( x 0 ):
( x 4 0 und x 8 0 )
oder ( x 4 0 und x 8 0 )
( x 4 und x 8 )
oder ( x 4 und x 8 )
Insgesamt im I. Fall also:
4 x 0 oder x 8
im II. Fall ( x 0 ):
( x 4 0 und x 8 0 )
oder ( x 4 0 und x 8 0 )
( x 4 und x 8 )
oder ( x 4 und x 8 )
x 4
oder
Insgesamt im II. Fall also:
x 8
x 8
Die Ungleichung wird also gelöst, wenn 4 x 0 oder x 8 .
Um die Betonung vor allem auf die genannten Äquivalenzumformungen zu legen, waren alle vorangegangenen Beispiele so gewählt, dass sie sich ohne große Mühe lösen
ließen. Erst im letzten Beispiel ist die wesentliche
Strategie zur Lösung von quadratischen Ungleichungen zu erkennen:
155-348
Definition 89:
Zuerst bringt man alle Summanden auf die linke Seite der Ungleichung.
Der dabei entstandene Term ax2 bx c (im obigen Beispiel x 2 4 x 32 ) wird faktorisiert. Dazu muss man zuerst seine Nullstellen bestimmen.
Das Produkt x x1 x x2 (im obigen Beispiel x 4 x 8 ) ist genau dann negativ,
wenn beide Faktoren verschiedene Vorzeichen haben, und genau dann positiv, wenn
beide Faktoren das gleiche Vorzeichen haben. Dieser Ansatz führt schließlich auf die
Lösung der Ungleichung.
Beispiel 123:
x 2 12 8x
| 8x
x 2 8x 12 0
NR:
x1/ 2 8
x 2 8x 12 0
6448
2
824 4 2
x1 2 , x2 6 ;
x 2 x 6 0
Die Faktoren müssen also verschiedene Vorzeichen besitzen:
( x 2 0 und x 6 0 )
oder ( x 2 0 und x 6 0 )
( x 2 und x 6 )
oder ( x 2 und x 6 )
also
x 2;6
Dies kann man auch schön am Graphen interpretieren,
denn die Ungleichung x2 8x 12 0 beschreibt diejenigen x-Werte, für welche f x x2 8x 12 negative
Werte annimmt, also die zugehörige Parabel unterhalb
der x-Achse verläuft.
Alternativ könnten als Lösungsweg also auch die Nullstellen. der entsprechenden Funktion bestimmt werden und
anschließend die Bereiche des Graphen, die durch die Ungleichung beschrieben werden.
Im folgenden Beispiel werden beide Lösungswege dargestellt!
156-348
Beispiel 124:
2 x2 3x 14
| 3x 14
2 x 2 3x 14 0
NR:
2 x 2 3x 14 0
x1/ 2 3
9112
4
3411
x1 2 , x2 3,5 ;
1. Weg:
x 2 x 3,5 0
Die Faktoren müssen also das gleiche Vorzeichen besitzen:
( x 2 0 und x 3,5 0 ) oder ( x 2 0 und x 3,5 0 )
( x 2 und x 3,5 )
oder ( x 2 und x 3,5 )
x 2
oder
also
x 3,5
x ;2 3,5;
2. Weg:
Die zugehörige Funktion f x 2x2 3x 14 haben wir schon in einem
vorherigen Beispiel. betrachtet, rechts ist nochmals ihr Graph abgebildet.
Die Ungleichung 2 x 2 3x 14 0 beschreibt diejenigen x-Werte, an denen
die Funktion nicht-negative Werte annimmt. Dem Graphen entnimmt
man, dass dies „außerhalb“ der Nullstellen. der Fall ist.
Liegt der Graph nicht vor, so überlegt man sich entweder, dass die Parabel
nach oben geöffnet sein muss (weil der Koeffizient von x 2 , nämlich 2, positiv ist), oder
behilft sich mit einfachem Ausprobieren, indem man einen Wert zwischen den beiden
Nullstelle einsetzt, am einfachsten hier z.B. x 0 ; man erhält f 0 14 , und da dieser
Wert negativ ist, weiß man, dass die Parabel zwischen den Nullstelle unterhalb der xAchse verlaufen muss, außerhalb der Nullstelle also oberhalb der x-Achse.
Diese Bereiche „außerhalb“ (und inklusive) der Nullstelle. sind nun aber – genau wie
auch im obigen Lösungsweg bestimmt – die Bereiche mit x 2 oder x 3,5 . Also erhalten wir auch hier:
x ;2 3,5;
157-348
Bruchungleichungen
Definition 90:
Es gelten die Äquivalenzumformungen für Ungleichungen.
Da die Variable im Nenner vorkommen kann, muss eine Definitionsmenge auf jeden
Fall angegeben werden.
Es muss eine Fallunterscheidung durchgeführt werden.
Bemerkung 16:
Bevor wir mit Rechnungen beginnen, sollten zwei wichtige Dinge geklärt werden.
1. Was ist ein Bruchterm und
2. Was ist eine Bruchungleichung? Unter einem Bruchterm versteht man einen Bruch,
dessen Nenner - das ist die Zahl unter dem Bruchstrich - eine Variable enthält. Und eine
Bruchungleichung ist eine Ungleichung, die mindestens einen Bruchterm enthält.
Bruchungleichungen lassen sich wie auch Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen lösen.
Zuvor muss jedoch ein Blick auf die Nenner der Bruchungleichungen geworfen werden,
um die Definitionsmenge zu bestimmen.
Es gilt:
Es darf kein Wert für eine Variable eingesetzt werden, welcher zu einer Division durch
Null führt.
Zu bestimmen sind also die Nennernullstellen, denn genau diese Werte gehören nicht
zur Definitionsmenge.
Ebenfalls zu beachten ist, dass bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl oder bei
der Division durch eine negative Zahl das Relationszeichen umgekehrt werden muss.
Wird eine Bruchungleichung mit einer Variablen multipliziert oder durch sie dividiert,
muss eine Fallunterscheidung gemacht werden.
158-348
Beispiel 125:
Zunächst bestimmen wir die Definitionsmenge. So darf x = 5 nicht in die Ungleichungen
eingesetzt werden, da sonst eine Division durch Null erfolgen würde. Im Anschluss
überlegen wir uns die Bedingungen, für die ein Bruch größer als Null wird. Dies ist der
Fall Nr. 1, wenn Zähler und Nenner größer Null werden oder Fall Nr. 2, wenn Zähler und
Nenner kleiner Null werden. Fall 1 und Fall 2 werden berechnet und die jeweils schärfere Bedingung wird angesetzt ( Es wird die Bedingung genommen, welche die andere
mit einschließt ).
159-348
Beispiel 126:
1.Schritt: Definitionsbereich bestimmen
2.Schritt: Mit Nenner (3x–2) multiplizieren (Fallunterscheidung nötig)
3.Schritt: Brüche kürzen: Brüche fällen weg
4.Schritt: Ungleichungssysteme lösen
5.Schritt: Lösungsmenge bestimmen (Vereinigungsmenge der Lösungen)
160-348
Betragsungleichungen
Definition 91:
Kommen in einer Gleichung oder Ungleichung Betragsterme vor, so müssen d iese mit
Hilfe einer Fallunterscheidung erst aufgelöst werden, bevor die endgültige Gleichung
oder Ungleichung gelöst werden kann.
Beispiel 127:
|2𝑥| < 6
Auflösen des Betrags. Lösen der linearen Ungleichung.
1. Fall:
2𝑥 ≥ 0
2𝑥 < 6
𝑥<3
𝐿1 = {0 ≤ 𝑥 < 3}
2. Fall:
2𝑥 < 0
−2𝑥 < 6
𝑥 > −3
𝐿2 = {−3 < 𝑥 ≤ 0}
𝐿 = 𝐿1 ∩ 𝐿2 {−3 ≤ 𝑥 ≤ 3}
161-348
Matrizen
Definition 92:
Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema.
Die Matrix (Mehrzahl: Matrizen) besteht aus waagerecht verlaufenden Zeilen und senkrecht verlaufenden Spalten.
Verdeutlichung am Beispiel:
Bemerkung 17:
Eine Matrix besteht aus reellen Zahlen, die man Elemente nennt. Z.B. sind die
Elemente a 21 und a 22 Elemente der Matrix oben, genauer gesagt die Elemente der
zweiten Zeile der Matrix.
Eine Matrix wird in runde Klammern geschrieben.
Eine Matrix wird mit einem großen Buchstaben bezeichnet, deren Elemente mit
kleinen Buchstaben. Beispiel: Die Matrix A besteht aus den Elementen a 11 , a 12 ,
a 21 , ...
Anhand der Bezeichnung des Elementes kann man erkennen, zu welcher Matrix
es gehört, am Index eines Elementes kann man erkennen, in welcher Zeile und
Spalte das Element steht: z.B. ist das Element a 32 in der 3.Zeile und 2.Spalte der
Matrix A zu finden.
Weites Beispiel: Das Element c 97 steht in der 9.Zeile und 7.Spalte der Matrix C.
Weitere Bezeichnungen:
Definition 93:
Für die Matrix A (siehe Bild) gibt es eine kürzere Schreibweise:
A=(a ik) mit 1<i<3 und 1<k<2. Oder noch kürzer: A=(a ik) (3,2).
Allgemein schreibt man: A=(a ik)(m,n) für eine Matrix A mit m Zeilen und n Spalten, die
aus den Elementen a ik besteht.
162-348
Typ einer Matrix
Definition 94:
Hat eine Matrix m Zeilen und n Spalten, so sagt man, dass die Matrix vom Typ (m,n) ist,
z.B. ist die Matrix A (siehe Bild) vom Typ (3,2).
Zeilenmatrix
Definition 95:
Besteht eine Matrix nur aus einer Zeile, so nennt man sie Zeilenmatrix.
Das Beispiel zeigt eine Zeilenmatrix:
Eine Zeilenmatrix ist somit vom Typ (1,n)
Spaltenmatrix
Definition 96:
Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte, so heißt sie Spaltenmatrix.
Das Beispiel zeigt eine Spaltenmatrix:
Eine Spaltenmatrix ist somit vom Typ (m,1)
Nullmatrix
Definition 97:
Besteht eine beliebige Matrix nur aus Nullen, so nennt man sie eine Nullmatrix. Das
Beispiel zeigt eine Nullmatrix von Typ (3,4):
163-348
Zeilen- und Spaltenvektoren
Definition 98:
Die Zeilen einer Matrix bezeichnet man auch als Zeilenvektoren, analog bezeichnet man
die Spalten als Spaltenvektoren.
Beispiel:
Die folgende Matrix besteht aus drei Zeilen und zwei Spalten, also aus drei Zeilenvektoren (oder aus zwei Spaltenvektoren):
Es gilt also:
1.Zeilenvektor von A = (a 11 ,a 12 )
2.Zeilenvektor von A = (a 21 ,a 22 )
3.Zeilenvektor von A = (a 31 ,a 32 )
1.Spaltenvektor von A = (a 11 ,a 21 ,a 31 )
2.Spaltenvektor von A = (a 12 ,a 22 ,a 32 )
Gleichheit von Matrizen
Definition 99:
Zwei Matrizen A=(a ik ) und B=(b ik ) sind gleich, wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt
sind:
Die beiden Matrizen sind vom gleichen Typ
Die Matrizen stimmen in jedem Element überein:
a ik = b ik (für alle i,k)
Beispiel 128:
Folgende zwei Matrizen sind gleich:
164-348
Transponieren
Definition 100:
Vertauscht man die Zeilen und die Spalten einer Matrix A, so heißt die entstandene
Matrix die "Transponierte der Matrix A".
Die Transponierte der Matrix A nennt man A T .
Beispiel 129:
Als Beispiel sei folgende Matrix vom Typ (3,2) gegeben:
Vertauschen wir nun die Zeilen und Spalten der Matrix, so erhalten wir A T , d.h. die
Transponierte der Matrix A:
Bemerkung 18:
Ist die Matrix A vom Typ (m,n), so ist die A T vom Typ (n,m)
Transponiert man eine Matrix zweimal, so erhält man wieder die ursprüngliche Matrix.
Als Formel: (A T )T = A
Die Elemente der Matrix A und der Matrix A T stehen in folgenden Zusammenhang:
165-348
Quadratische Matrix
Definition 101:
Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, bei der die Anzahl der Ze ilen mit der Anzahl
der Spalten übereinstimmt.
Quadratische Matrizen sind also Matrizen vom Typ (m,m).
Die Haupt- und Nebendiagonale:
Definition 102:
Quadratische Matrizen (und nur diese) haben eine so genannte Hauptdiagonale sowie
eine Nebendiagonale.
Die Hauptdiagonale beginnt immer links oben (beim Element a 11 ) und endet rechts unten (im Beispiel beim Element a 33 ).
Die Nebendiagonale beginnt rechts oben und endet links unten.
Transponiert man eine Matrix A, so entspricht dies einer Spiegelung an der Haup tdiagonalen.
Diagonalmatrix
Definition 103:
Ein Spezialfall der quadratischen Matrix ist die so genannte Diagonalmatrix, bei der alle
außerhalb der Hautdiagonalen liegenden Elemente gleich Null sind.
Eine Diagonalmatrix hat also immer die folgende Gestalt:
Beispiel 130:
166-348
Einheitsmatrix
Definition 104:
Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall der Diagonalmatrix, die wiederum ein Spezialfall
der quadratischen Matrix ist:
Eine Diagonalmatrix, bei der alle Diagonalelemente gleich 1 sind, nennt man Einheitsmatrix.
Beispiel 131:
Untere Dreiecksmatrix
Definition 105:
Ein weiterer Spezialfall der quadratischen Matrix ist die so genannte "untere Dreiecksmatrix". Bei ihr sind alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen gleich Null.
Eine "untere Dreiecksmatrix" hat also immer die folgende Gestalt:
Beispiel 132:
Obere Dreiecksmatrix
Beispiel 133:
Neben der unteren gibt es auch eine obere Dreiecksmatrix.
Bei der oberen Dreiecksmatrix sind alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen gleich
Null.
Eine "obere Dreiecksmatrix" hat also immer die folgende Gestalt:
167-348
Beispiel 134:
Symmetrische Matrix
Definition 106:
Ein weiterer Spezialfall der quadratischen Matrix ist die so genannte "symmetrische
Matrix":
Bei der "symmetrischen Matrix" sind alle Elemente spiegelbildlich zur Hauptdiagonalen
angeordnet:
a ik = a ki
Beispiel 135:
Folgende zwei Matrizen sind symmetrische Matrizen:
Schiefsymmetrische Matrix
Definition 107:
Ein weiterer Spezialfall der quadratischen Matrix ist die so genannte "schiefsymmetrische Matrix":
Eine "schiefsymmetrischen Matrix" liegt vor, wenn gilt:
Die Elemente, die spiegelbildlich zur Hauptdiagonalen liegen, sind vom Betrag
gleich, haben aber entgegengesetzte Vorzeichen.
Die Hauptdiagonalenelemente sind gleich Null.
Beide Teile der Definition kann man durch folgende Formel
zusammenfassen:
a ik= -a ki
Beispiel 136:
Folgende zwei Matrizen sind schiefsymmetrische Matrizen:
168-348
Addition von Matrizen
Definition 108:
Zwei Matrizen werden addiert, indem Elemente mit gleichem Index addiert werden.
Wichtige Anmerkung
Die beiden Matrizen die addiert werden sollen, müssen vom gleichem Typ sein, d.h. die
Anzahl der Zeilen muss bei beiden Matrizen gleich sein, und die Anzah l der Spalten
muss bei beiden Matrizen gleich sein.
Gesetze
Für die Matrizenaddition gelten folgende Gesetze:
Kommutativgesetz: A+B = B+A
Assoziativgesetz: A+(B+C) = (A+B)+C
Beispiel:
Subtraktion von Matrizen
Definition 109:
Zwei Matrizen werden subtrahiert, indem Elemente mit gleichem Index subtrahiert
werden.
Wichtige Anmerkung
Die beiden Matrizen die subtrahiert werden sollen, müssen vom gleichem Typ sein, d.h.
die Anzahl der Zeilen muss bei beiden Matrizen gleich sein, und die Anzahl der Spalten
muss bei beiden Matrizen gleich sein.
Gesetze
Für die Matrizensubtraktion gilt weder das Assoziativgesetz noch das Kommutativgesetz.
Beispiel 137:
169-348
Skalar-Matrix-Multiplikation
Definition 110:
Ein Skalar (eine Zahl) wird mit einer Matrix A multipliziert, indem man jedes Matrixelement mit dem Skalar multipliziert.
Gesetze:
Für die Skalar-Matrix-Multiplikation gelten folgende Gesetze:
Assoziativgesetz:
1 (2 A) = (1 2 )A
Distributivgesetze: (1 +2 )A = 1 A+2 A
1 (A+B) = 1 A + 1 B
Beispiel 138:
Bemerkung 19:
Das Beispiel bzw. die Definition kann man auch anders herum lesen:
Ein Faktor der in allen Elementen einer Matrix enthalten ist, darf vor die Matrix
geschrieben werden.
Den "Multiplikationspunkt" haben wir, so wie es üblich ist, fortgelassen, z.B.
müsste man für 1 (2 A) genau genommen 1 ·(2 ·A) schreiben.
Matrizen-Multiplikation
Definition 111:
Das Produkt einer Matrix A=(a ik ) mit einer Matrix B=(b ik ) ist ebenfalls eine Matrix, die
wir Matrix C=(c ik) nennen.
Die Elemente c ikder Matrix C werden auf folgende Weise gebildet:
Das Element c ik ist das Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors der Matrix A mit dem kten Spaltenvektor der Matrix B.
Beispiel 139:
Gegeben sei eine Matrix A=(a ik ) und eine Matrix B=(b ik ). Das Produkt der beiden Matrizen ist laut Definition wieder eine Matrix, die wir in der Definition C=(c ik) genannt hatten:
170-348
Warum die Matrix C vom Typ (3,2) ist wird erst auf der nächsten Seite erklärt. Jetzt
wollen wir die Matrix erst einmal berechnen:
Um die Matrix C zu bestimmen muss man nun (mit Hilfe der Definition) deren Elemente
cik bestimmen. Exemplarisch bestimmen wir c 32 :
Laut Definition ist c 32 gleich dem Skalarprodukt aus dem 3.Zeilenvektor der Matrix A
und dem 2.Spaltenvektor der Matrix B:
Nun können wir das Element c 32 in die Matrix C eintragen:
Die Berechnung der restlichen Elemente (c 11 , c 12 , c21 , c22 und c 31 ) erfolgt analog. Das
Ergebnis lautet:
Bemerkung 20:
Das Matrizenprodukt A·B ist nur definiert, wenn die Spaltenzahl der Matrix A mit
der Zeilenzahl der Matrix B übereinstimmt.
Man sagt auch: Ist eine Matrix A vom Typ (m,n) so kann sie nur dann mit einer
Matrix B multipliziert werden, wenn die Matrix B vom Typ (n,r) ist.
Erklärung:
Nehmen wir an, die Spaltenzahl der Matrix A würde nicht mit der Zeilenzahl der Matrix
B übereinstimmen, sondern wäre z.B. kleiner:
Nun berechnen wir z.B. c 11 . Laut Definition ist c 11 gleich dem Skalarprodukt aus dem
1.Zeilenvektor von A und dem 1.Spaltenvektor von B.
(a 11 , a 12 )·(b 11 , b 21 , b 31 )
171-348
Dieses Skalarprodukt ist aber gar nicht definiert. Das Skalarprodukt ist nämlich nur zwischen Vektoren definiert, die gleich viele Komponenten haben.
Ist das Skalarprodukt nicht definiert, so gilt dies auch für das Matrizenprodukt.
Bemerkung 21:
Die Matrix C=A·B hat so viele Zeilen wie die Matrix A und so viele Spalten wie die Matrix
B.
Man sagt auch: Ist die Matrix A vom Typ (m,n) und B vom Typ (n,r), so ist die Matrix C
vom Typ (m,r).
Warum ist das so? Wir erklären dies am Beispiel der Vorseite.
Laut obigen Satz hat die Matrix C genau 3 Zeilen.
Nun beweisen wir, dass die Matrix C keine 4 Zeilen haben kann:
Nehmen wir an, die Matrix C hätte 4 Zeilen, dann gäbe es z.B. ein Element c 41 . Dieses
wäre definiert als das Skalarprodukt aus dem 4.Zeilenvektor von A und dem 1.Spaltenvektor von B.
Da die Matrix A aber keinen 4.Zeilenvektor hat, kann man kein Element c 41 bilden, und
somit hat die Matrix C keine 4 Zeilen.
Beispiel 140:
Gegeben seien die Matrizen A und B, gesucht das Matrizenprodukt C=A ·B
Als erstes werden wir das Element c 11 berechnen. Laut Definition gilt:
c11 ist gleich dem Skalarprodukt aus dem 1.Zeilenvektor der Matrix A und dem
1.Spaltenvektor der Matrix B:
Jetzt tragen wir c 11 in die Ergebnismatrix ein:
172-348
Analog berechnen wir das Element c 12 der Ergebnismatrix: Laut Definition ist c 12 gleich
dem Skalarprodukt aus dem 1.Zeilenvektor der Matrix A und dem 2.Spaltenvektor der
Matrix B:
Auch c 12 tragen wir in die Ergebnismatrix ein:
Schließlich müssen wir nur noch die Elemente c 21 und c 22 berechnen:
c21 ist das Skalarprodukt aus dem 2.Zeilenvektor der Matrix A und dem 1.Spaltenvektor
der Matrix B.
c22 ist das Skalarprodukt aus dem 2.Zeilenvektor der Matrix A und dem 2.Spaltenvektor
der Matrix B.
Will man eine Matrix berechnen, so kann man das am einfachsten mit dem folgenden
Schema machen:
Das Falk-Schema
Gegeben seien zwei Matrizen A und B. Gesucht ist deren Produkt C=A·B:
Die Matrix A schreibt man nach links, die Matrix B nach oben:
173-348
Will man nun ein Element berechnen, so stehen die Vektoren die man dazu braucht
links bzw. oberhalb des gesuchten Elementes.
Exemplarisch haben wir die Elemente c 11 und c 32 berechnet:
Gesetze
Für die Multiplikation von Matrizen gelten folgende Gesetze:
Kommutativgesetz: nein, gilt im Allgemeinen nicht
Assoziativgesetz:
(AB)C = A(BC)
Distributivgesetze: A(B+C) = AB + AC
(A+B)C = AC + BC
174-348
Determinanten
Wiederholung: Was ist eine Funktion?
Um das folgende zu verstehen, muss der Begriff der "Funktion" kurz wiederholt werden:
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnungsvorschrift die jedem Element einer Menge
genau ein Element einer zweiten Menge zuordnet.
Bei einer "ganz normalen" Funktion wird also einer Zahl wieder eine Zahl zugeordnet.
Das Bild zeigt eine solche Funktion:
Diese Funktion ordnet den Zahlen 1 bis 6 der linken Menge eindeutig eine Zahl zu, d.h.
jeder Zahl der linken Menge wird genau eine Zahl der rechten Menge zugeordnet.
Die Determinantenfunktion
Man kann aber auch Funktionen definieren, die einer quadratischen Matrix eine Zahl
zuordnen. Zu dieser Art von Funktionen gehört die Determinantenfunktion:
175-348
Determinanten
Die Determinantenfunktion ordnet Matrizen einen Funktionswert (Zahl) zu. Diesen
Funktionswert nennt man "Determinanten".
Im vorigen Bild gilt z.B.:
Die Determinante der Matrix E ist die Zahl 2, die Determinante der Matr ix F ist die Zahl
8 und die Determinante der Matrix G ist die Zahl 4.
Zweireihige Determinanten
Vorbemerkung zur Definition:
Auf der vorigen Seite hatten wir gesagt, das die Determinantenfunktion einer quadratischen Matrix eine Zahl zuordnet.
Diese Zahl hatten wir den Namen Determinante gegeben.
Nun müssen wir natürlich noch definieren, welchen Wert diese Zahl hat. Zuerst definieren wir 2-reihige Determinanten:
Definition 112:
Die Determinantenfunktion ordnet nur quadratischen Matrizen eine Zahl zu. Für nichtquadratische Matrizen ist die Determinantenfunktion nicht definiert.
Natürlich ist die Determinantenfunktion wie jede andere Funktion eindeutig, d.h. jeder
quadratischen Matrix wird genau eine Determinante (Zahl) zugeordnet.
Beispiel 141:
2-reihige Matrix berechnen. Gegeben sei folgende Matrix:
Nun berechnen wir die Determinante nach oben genannter Formel:
Lösung: Die Determinante ist die Zahl 4.
176-348
Beispiel 142:
Schreibweisen:
Auf der vorigen Seite hatten wir die Determinantenfunktion definiert, und zwar für den
Fall einer 2-reihigen Matrix:
Der Zahl "rechts vom Pfeil" hatten wir Determinante D genannt, die der Matrix A zugeordnet wurde.
Wir nennen die Zahl deshalb auch det A:
Oft schreibt man stattdessen auch |A|:
Eine Variante dieser Bezeichnungsart ist folgende, bei der nochmals a lle Elemente aufgezählt werden:
177-348
Sprechweisen
Ich berechne die Determinante |A| heißt, ich berechne welcher Wert der Matrix A
durch die Determinantenfunktion zugewiesen wird.
3-reihige Determinanten
Definition 113:
Auf der vorigen Seite hatten wir die Determinantenfunktion für 2-reihige Matrizen definiert. Jetzt wollen wir das gleiche für 3-reihige Matrizen machen. Die Definition lautet:
mit |A| = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 31 a 22 a 13 - a 32 a 23 a 11 - a 33 a 21 a 12
Beispiel 143:
Als Beispiel sei folgende Matrix gegeben:
Die Determinantenfunktion ordnet der Matrix A die Determinante |A| zu:
Will man nun die Determinante berechnen, so muss man die obige Definition benutzen:
|A| = 0·5·1 + 2·4·3 + 5·6·2 - 3·5·5 - 2·4·0 - 1·6·2 = 0+24+60-75-0-12 = -3
Die Determinante |A| hat also den Wert -3.
178-348
Sarrus-Regel
Was ist die Sarrus-Regel?
Die auf der vorigen Seite gelernte Definition für 3-reihige Determinanten kann man sich
mit der Regel von Sarrus merken. Sie ist also keine neue Definition, sondern eine simple
Merkhilfe.
Erklärung der Regel:
Zuerst schreiben wir die zwei ersten Spalten der Determinante |A| nochmals rechts
neben dieselbe:
Die drei im folgenden Bild eingezeichneten Diagonalen nennt man die Hauptdiagonalen. Das Produkt je einer Hauptdiagonalen nennt man Hauptdiagonalenprodukt. Wir
haben also drei Hauptdiagonalenprodukte (kurz HP's):
Die anderen drei Diagonalen nennt man Nebendiagonalen bzw. ihre Produkte die Nebendiagonalen-Produkte.
Addiert man die drei Hauptdiagonalen-Produkte und subtrahiert davon die drei Nebendiagonalen-Produkte, so erhält man die von der Vorseite bekannte Formel für |A|:
|A|=a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 -a 31 a 22 a 13 -a 32 a 23 a 11 -a 33 a 21 a 12
179-348
Beispiel 144:
Gegeben sei die folgende Determinante, deren Wert noch nicht bestimmt ist. Wir benutzen das Lösungsschema der vorigen Seite.
Zuerst schreiben wir die zwei ersten Spalten der Determinante |A| nochmals rechts
neben dieselbe:
Jetzt bestimmen wir die drei Hauptdiagonalenprodukte (HP's):
Danach bestimmen wir die drei Nebendiagonalenprodukte (NP's):
Schließlich addieren wir die drei Hauptdiagonalen-Produkte, subtrahieren davon die
drei Nebendiagonalen-Produkte und erhalten die Determinante |A|:
|A| = 0+24+60-75-0-12 = -3
180-348
Beispiel 145:
Eigenschaften von Dreier-Determinanten
181-348
182-348
Beispiel 146:
=60(40+10)=3000
Hier wurde am Ende die erste Zeile von der 2. subtrahiert, was die beiden Nullen ergeben hat.
183-348
Beispiel 147:
Hier wurde am Ende die 2. Spalte von der dritten subtrahiert.
Beispiel 148:
184-348
n-reihige Determinanten
Anmerkung
Genauso wie für 2- und 3-reihige Determinanten müssten wir auch für 4-, 5-, 6-, ... , nreihige Determinanten eine Formel angeben, mit der man sie berechnen kann.
Dabei stößt man aber schnell an Grenzen, denn schon eine Determinante mit 5 Reihen
hat eine Lösungsformel mit 120 Summanden! Das ist zu viel Arbeit!
Wir werden aber bald eine Definition (=Lösungsformel) der Determinantenfunktion
kennen lernen, die wesentlich kürzer und eleganter ist.
Da die Berechnung von Determinanten mit mehr als 3 Reihen sehr aufwendig aber doch
Routinearbeit ist, werden sie oft mit Computerprogrammen oder Taschenrechnern berechnet!
Einreihige Determinanten
Bis jetzt haben wir noch keine einreihigen Determinanten definiert.
Die Definition der "Einreihigen Determinante" ist kurz und simpel.
Definition 114:
Eine einreihige Determinante hat den gleichen Wert wie ihr (einziges) Element. Die
Formel dazu:
|a 11 | = a 11
Beispiel
Welchen Wert hat die Determinante |4711|?
Antwort: Die Determinante hat den Wert 4711.
185-348
Schnittpunktelement
Definition 115:
Streicht man in einer Determinante eine beliebige Zeile i und außerdem eine beliebige
Spalte k, so nennt man das Element a ik das Schnittpunktelement.
Das Schnittpunkt-Element a ik ist also genau das Element, dass sowohl in der gestrichenen Zeile als auch in der gestrichenen Spalte steht.
Beispiel 149:
Als Beispiel sei eine 3-reihige Determinante gegeben:
Als Beispiel streichen wir die dritte Zeile und die zweite Spalte:
Das Schnittpunkt-Element ist dann das Element a 32 :
186-348
Unterdeterminante
Definition 116:
Streicht man in einer Determinante eine beliebige Zeile i und eine beliebi ge Spalte k,
so nennt man die übrig bleibenden Elemente die Unterdeterminante D ik .
Beispiel 150:
Gegeben sei eine dreireihige Determinante |A|:
Nun streichen wir eine Zeile i und eine Spalte k.
Als Beispiel streichen wir die 3.Zeile und die 2.Spalte:
Es bleiben vier Elemente übrig die nicht gestrichen wurden.
Diese vier Elemente bilden die so genannte Unterdeterminante D 32 :
Beachte:
Hat die Determinante n Reihen, so haben alle Unterdeterminanten n -1 Reihen.
Vorzeichen-Faktor
Vorbemerkung zur Definition
Man kann eine Funktion definieren, die jeder Unterdeterminante D ik einen Vorzeichenfaktor zuordnet.
Der Vorzeichenfaktor kann den Wert (+1) oder (-1) haben.
Die Funktion nennen wir die "Vorzeichenfunktion".
Definition 117:
Der Unterdeterminante D ik wird durch die Vorzeichenfunktion
der Vorzeichenfaktor V ik zugeordnet. Dieser berechnet sich so:
D ik -> V ik = (-1)i+k
187-348
Beispiel 151:
Nehmen wir an, wir streichen in einer Determinante z.B. die 3.Zeile und die 2.Spalte,
so dass die Unterdeterminante D 32 entsteht:
Der Unterdeterminante D 32 wird dann der Vorzeichenfaktor V 32 zugeordnet, der sich
nach obiger Definition berechnen lässt:
V ik = (-1)i+k = (-1)3+2 =(-1)5 =(-1)
Anmerkung
Das Produkt aus Vorzeichenfaktor V ik und Unterdeterminante D ik nennt man auch "algebraisches Komplement" A ik:
A ik = V ik · D ik
Entwicklungsformel
Jetzt definieren wir eine n-reihige Determinante durch ihre Unterdeterminanten.
Die Formel nennen wir Entwicklungsformel. Auf den nächsten Seiten werden wir dann
sehen, wozu diese Formel zu gebrauchen ist.
188-348
Definition 118:
Gegeben sei eine n-reihige-Determinante, im Beispiel eine 3-reihige:
Hat die Determinante n-Reihen, so schreiben wir sie n-mal nebeneinander, d.h. in unserem Beispiel 3-mal:
Nun streichen wir in allen Determinanten die erste Reihe, sowie in der n -ten Determinante die n-te Spalte:
Es entstehen n Unterdeterminanten (im Beispiel entstehen drei):
Diese Unterdeterminanten addieren wir: D 11 +D 12 +D 13 +...+D 1n
Jetzt multiplizieren wir noch jede Unterdeterminante mit dem gleichnamigen Vorzeichenfaktor und Schnittpunkt-Element:
V 11 a 11D 11 + V 12 a 12 D 12 + ... + V 1n a 1nD 1n
Schließlich definieren wir, dass diese Formel gleich der gegebenen Determinante D sein
soll:
D = V 11a 11 D 11 + V 12 a 12 D 12 + ... + V 1na 1nD 1n
Meist schreibt man die Entwicklungsformel mit dem -Zeichen:
189-348
Beispiel zur Entwicklungsformel
Beispiel 152:
Als Beispiel sei eine 3-reihige-Determinante gegeben:
Laut Definition müssen wir die Determinante 3x aufschreiben:
Dann müssen wir die erste Zeile streichen und je eine der Spalten:
Es entstehen drei Unterdeterminanten:
Jetzt addieren wir diese drei Unterdeterminanten:
Jede Unterdeterminante multiplizieren wir mit ihrem gleichnamigen Vorzeichenfaktor
und Schnittpunktelement:
Die drei Vorzeichenfaktoren müssen wir noch berechnen:
V 11 = (-1)1+1 =1
V 12 = (-1)1+2 = -1
V 13 = (-1)1+3 =1
Die 3-reihige Determinante D, ausgedrückt durch 2-reihige Unterdeterminanten, lautet
somit:
=-123
190-348
Folgen und Reihen
Folgen
Definition 119:
Als (reelle) Zahlenfolge bezeichnet man eine geordnete Folge von Zahlen. Zum Unterschied von Mengen schreibt man Folgen in spitzen Klammern: a 1 , a 2 , a 3 , ...
Das n-te Folgenglied schreibt man a n oder a(n). n heißt Index von a n. (Manchmal beginnt man die Zählung auch mit a 0 .)
Eine Folge kann auf verschiedene Arten dargestellt werden:
Definition 120:
Man gibt an, wie man aus einem Folgenglied das nächste berechnet (rekursive Darstellung) oder wie man aus n das n-te Folgenglied berechnet (explizite Darstellung).
Beispiel 153:
(1)
<2, 4, 6, 8, 10, ... >
a 1 = 2, a n+1 = a n + 2
a n = 2n
Bemerkung 22:
Monotonie
Definition 121:
Eine Folge a n ist monoton wachsend,
wenn die Folgenglieder immer größer werden
a n a n+1 für alle n N
Eine Folge a nist monoton fallend, wenn die Folgenglieder immer kleiner werden:
a n a n+1 für alle n N
Wenn < oder > gilt, spricht man von strenger Monotonie.
Schranke
Definition 122:
Eine Zahl s o heißt obere Schranke der Folge a n, wenn alle Folgenglieder kleiner
oder gleich s o sind:
a n s o für alle n N
Eine Zahl s u heißt untere Schranke der Folge a n, wenn alle Folgenglieder größer oder
gleich s u sind:
a n s u für alle n N
Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie eine obere und eine untere Schranke besitzt.
Grenzwert und Konvergenz:
Bei manchen Folgen stellen wir fest, dass sich die Folgenglieder einer bestimmten Zahl
annähern. Diese Zahl heißt Grenzwert oder Limes der Folge:
191-348
Definition 123:
Die Zahl a heißt Grenzwert der Folge a n, wenn die Differenz |a n - a| für genügend
große n beliebig klein wird.
Man schreibt:
lim 𝑎𝑛 = 𝑎
𝑛→∞
(a = Limes von a n für n gegen unendlich).
Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent (sie konvergiert bzw. strebt
gegen a).
Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent.
Wenn eine Folge monoton und beschränkt ist, ist sie konvergent.
Beispiel 154:
Die Folge
1
𝑛
konvergiert gegen 0.
𝑎𝑛 =
Die Folgenglieder nehmen zwar nie den Wert 0 an, aber die Differenz |a n - 0| wird
kleiner als jede beliebige Zahl . Setzen wir z.B. = 0,01:
Ab dem 101. Folgenglied ist also die Differenz kleiner als 0,01.
Ebenso können wir zu jedem anderen einen Index n finden, ab dem gilt:
Definition 124:
|a n - 0| < .
192-348
Beispiel 155:
Wir untersuchen die Folge auf Monotonie, Schranken und Grenzwerte.
Monotonie:
Vermutung: Die Folge ist monoton wachsend. Wir müssen also zeigen:
a n a n+1 für alle n N
Um a n+1 zu erhalten, ersetzen wir im Bildungsgesetz n durch n+1:
Diese Aussage ist immer wahr, die Vermutung ist daher bewiesen.
(Wir durften die Ungleichung mit n(n+1) multiplizieren, weil dieser Ausdruck für alle
natürlichen Zahlen n positiv ist.)
Schranken:
Vermutung: 3 ist obere Schranke.
Diese Aussage stimmt für alle natürliche Zahlen n.
Vermutung: 0 ist untere Schranke.
Auch diese Aussage stimmt für alle natürliche Zahlen n.
Grenzwert:
Um den Grenzwert der Folge zu berechnen, dividieren wir Zähler und Nenner durch n
und wenden die Grenzwertsätze an:
193-348
Definition 125:
Wenn in der Termdarstellung auch höhere Potenzen von n vorkommen, dividiert man
Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz.
Ab wann ist |a n - 2| < 0,01?
Ab dem 101. Folgenglied ist die Differenz |a n - 2| < 0,01.
Arithmetische Folgen
Bei der Beispielfolge 2, 4, 6, 8, 10, ... erhält man das jeweils nächste Glied, indem
man zum vorigen eine positive Konstante k addiert. Eine solche Folge heißt arithmetische Folge. Ihr Bildungsgesetz lautet:
𝐚𝐧 = 𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏) ∙ 𝐤
Eine arithmetische Folge wird durch eine lineare Funktion dargestellt.
Sie ist für k > 0 monoton wachsend, für k < 0 monoton fallend, in jedem Fall unbeschränkt.
Jedes Folgenglied ist das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarn.
Geometrische Folgen
Bei der Beispielfolge <10, 20, 40, 80, 160, ... > erhält man das jeweils nächste Glied,
indem man das vorige mit einer Konstante q multipliziert.
Eine solche Folge heißt geometrische Folge. Ihr Bildungsgesetz lautet:
𝐚𝐧 = 𝐚𝟏 ∙ 𝐪𝐧−𝟏
Eine geometrische Folge wird durch eine Exponentialfunktion dargestellt.
Sie ist für q > 1 monoton wachsend, für 0 < q < 1 monoton fallend. Ist q < 0, so sind die
Folgenglieder abwechselnd positiv und negativ.
Für |q| < 1 ist die Folge beschränkt und konvergiert gegen 0.
Jedes Folgenglied ist das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarn.
194-348
Alternierende Folge
Definition 126:
Eine Folge deren Glieder abwechselnd unterschiedliche Vorzeichen tragen, heißt eine
alternierende Folge.
Beispiel 156:
Diese sogenannten „Vorzeichenfolgen“ sollte man sich gut merken:
195-348
Rekursive Folge
Definition 127:
Eine Folgendefinition heißt rekursiv, wenn man jedes Glied aus seinem Vorgänger berechnen muss. Natürlich muss ein „Anfangsglied“ gegeben sein, damit man weiß, wo
man mit der Berechnung beginnen kann. Dies muss aber nicht unbedingt a 1 sein.
Man kann beispielsweise auch a 5 vorgeben und von dort aus nicht nur die nachfolgenden Glieder, sondern auch die Vorgänger berechnen.
Beispiel 157:
196-348
Wachstum
Beispiel 158:
Lösung:
197-348
Beispiel 159:
Lösung:
198-348
Exponentielle Abnahme
Beispiel 160:
Lösung:
199-348
Reihen
Addiert man die Glieder einer Folge, so erhält man eine Reihe.
Die Summe a 1 + a 2 + ... + a n bezeichnet man als n-te Teilsumme s n .
Mit dem Summenzeichen kann man das kürzer schreiben:
Definition 128:
𝑛
𝑠𝑛 = ∑ 𝑎𝑖
𝑖=1
Eine unendliche Reihe ist konvergent, wenn die Folge der Teilsummen konvergiert. Den
Grenzwert s bezeichnet man dann als "Summe der unendliche Reihe":
𝑠 = lim 𝑠𝑛
𝑛→∞
Definition 129:
Unter einer Reihe versteht man die Folge der Teilsummen einer Folge.
Diese Teilsummen beginnen stets beim Anfangslied a 1 oder a 0 :
Statt Teilsummen sagt man auch Partialsummen.
200-348
Arithmetische Reihe
Definition 130:
Die zu einer arithmetischen Folge gehörende Folge der
Teilsummen heißt eine arithmetische Reihe.
Die Formel lautet:
(𝑎1 + 𝑎𝑛 ) ∙ 𝑛
2
𝑛
𝑠𝑛 = (2𝑎 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑑)
2
𝑠𝑛 =
Beispiel 161:
Beispiel 162:
201-348
Beispiel 163:
Beispiel 164:
202-348
Beispiel 165:
Beispiel 166:
203-348
Geometrische Reihe
Definition 131:
Die Formel lautet:
qn − 1
1 − qn
sn = a 1 ∙
oder sn = a1 ∙
q−1
1−q
Die erste Formel verwendet man für |q| > 1, die zweite für |q| < 1. In diesem Fall
konvergiert die Reihe, und wir erhalten die Formel für die Summe der unendlichen geometrischen Reihe:
𝑎1
𝑠=
𝑓ü𝑟 |𝑞| < 1
1−𝑞
Beispiel 167:
Beispiel 168:
204-348
Grenzwerte, Stetigkeit, Differentiation
Grenzwerte von Funktionen
Definition 132:
Eine Zahl g heißt Grenzwert der Funktion für x bzw. x ,
wenn für jede Urbildfolge (x n ) mit x bzw. x und x n D f die Bildfolge
f(x n)) denselben Grenzwert g hat. Man schreibt dann
lim f ( x ) g
x
bzw. lim f ( x ) g
x
Beispiel 169:
Schreibt man den Funktionsterm anders auf, so lassen sich die Grenzwerte leichter bestimmen.
f ( x)
x
x 1
1
(Beachte aber den anderen Definitionsbereich.)
2x 1 x 2 1 2 1
x
x
x
1
1
lim
x 2 x 1
x
1 2
2
x
Somit erhält man lim f ( x) lim
x
1
0 .
x x
wegen lim
Die Gerade a(x) = 0,5 ist somit eine Asymptote des Graphen von f(x).
Eine Untersuchung auch an der Stelle x 0 = 0,5 ist von beiden Seiten her (also von links
und von rechts) nötig.
Definition 133:
Eine Zahl heißt Grenzwert der Funktion f(x) für x → x0 ,
wenn bei jeder Folge (x n ) mit x n D f , x x0 und x n → xo die Bildfolge (f(x 0 )) denselben
Grenzwert g hat.
Man schreibt dann
lim f ( x ) g
xx0
Bemerkung 23:
Verwendet man statt einer beliebigen Folge (x n ) die Nullfolge (h n ), so schreibt man für
den Grenzwert
lim f ( x ) g : lim f ( x 0 h) g mit h > 0.
xx0
h0
Beispiel 170:
205-348
Für die Funktion f ( x)
x
betrachtet man somit das Verhalten
2x 1
von links x0 - h und von rechts x 0 + h, also -0,5 - h bzw. -0,5 +h .
Verhalten für eine Annäherung von links an der Stelle x 0 = -0,5:
0,5 h
0,5 h
0,5 h
lim f ( x0 h) lim
lim
lim
lim
h 0
h0 2( 0,5 h) 1
h0 1 2h 1
h 0
h0
2h
0,5
1
h
2
Verhalten für eine Annäherung von rechts an der Stelle x 0 = -0,5:
0,5
1
0,5 h
0,5 h
0,5 h
h
lim f ( x0 h) lim
lim
lim
lim
h 0
h 0 2( 0,5 h) 1
h 0 1 2h 1
h 0
h 0
2h
2
Es existieren also keine Grenzwerte; die Funktion hat an der Stelle x = - 0,5
(man nennt dies eine Polstelle) eine senkrechte Asymptote.
206-348
Stetige Funktionen
Der Graph einer stetigen Funktion lässt sich – umgangssprachlich formuliert – in einem
Zuge zeichnen und kann daher keine „Sprünge“ aufweisen.
Betrachten wir zunächst einmal eine Funktion, die sich eben nicht in einem Zuge zeichnen lässt, um so vielleicht zum Kern der Stetigkeit vorstoßen zu können. Wir wählen
dazu die Funktion
x für x 1
f : ℝ ℝ mit x
x 1 für x 1
Offenbar macht die Funktion an der Stelle x = 1 einen Sprung – lässt sich also nicht in
einem Zuge zeichnen; denn es ist
lim f ( x) 1
x 1
𝑓(1) = 2
lim f ( x) 2
x 1
An der Sprungstelle sind der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert voneinander
verschieden, was somit die Unstetigkeit der Funktion an der Stelle x = 1 begründet.
Die Unstetigkeitsstelle x = 1 lässt sich auch mit dem --Kriterium charakterisieren. Wir
können nämlich wegen des Sprunges sagen, dass wir nicht zu jedem > 0 ein ()> 0
finden, so dass gilt:
x 1
f (x) 2 ,
Stetigkeit würde also nur dann vorliegen, wenn zu jedem beliebig vorgegebenen „Toleranzbereich“
U f (1) U 2 2 ,2
sich stets eine Umgebung U 1 angeben ließe, so dass die Funktionswerte aller x
U 1 sich im Toleranzbereich befinden.
Mit den vorangehenden Betrachtungen können wir nun präzise formulieren, was unter
Stetigkeit zu verstehen ist.
Definition 134:
Gegeben sei eine Funktion f : ID IW. Die Funktion f heißt im Punkte a ID stetig,
wenn
lim f (x) f (a ) lim f (x)
x a
x a
ist. Gleichbedeutend mit dieser Aussage ist, daß
lim f (x) f (a )
x a
gilt.
207-348
Mit Hilfe des --Kriteriums definiert man: Die Funktion f ist stetig im Punkte a ID,
wenn es zu jedem > 0 ein (,a) > 0 gibt mit
x a , a
f ( x ) f (a ) .
Die Funktion f heißt stetig auf ID, wenn sie in jedem Punkt von ID stetig ist.
208-348
Differentialrechnung
Differentiation von Funktionen mit einer unabhängigen Variablen
Bei den eindeutigen Zuordnungen zwischen unabhängigen und abhängigen Variablen,
den Funktionen, ist es meistens nicht nur interessant zu wissen, welcher Wert die abhängige Variable (Funktionswert y) zu einem bestimmten Wert der unabhängigen Variablen (Argument x) gehört y = f(x), sondern auch, wie sich y mit x ändert. Diese Änderung beschreibt, wie rasch diese Funktionswerte bei Argumentänderungen ab- oder
zunehmen, das heiß, wie stark die Funktion steigt oder fällt oder wie groß die Steigung
ist, wenn sich die unabhängige Variable x ändert. In vielen Fällen ist diese unabhängige
Variable die Zeit t. Dann spricht man von einer Änderungsgeschwindigkeit oder kurz
Geschwindigkeit.
Den Aktieninhaber interessiert nicht nur der aktuelle Wert seines Papiers, sondern
auch die Änderung, also dessen Wertzuwachs oder Wertverlust. Zur Realisierung von
Gewinne hoffen alle Aktieninhaber auf eine große positive Änderungsgeschwindigkeit
bzw. Steigung. Starke Verluste treten auf, wenn die Änderungsgeschwindigkeit einen
großen Betrag und ein negatives Vorzeichen hat. Dann ist der Wert des Papiers eventuell gesunken, bevor der Inhaber Gegenmaßnahmen ergreifen kann.
Die Funktion der Aktienentwickung (= Aktienwertverlauf) ist sowohl eine Reaktion auf
den Verlauf gesamtwirtschaftlicher Kenndaten, als auch auf den Verlauf unternehmensspezifischer Kenndaten. Dabei sind die Angaben über den vergangenen und den
zukünftigen Verlauf interessant. Diese Daten werden zusätzlich zu den absoluten Werten meist in relativen Werten, d.h. in Prozent bezogen auf den Wert zu einem bestimmten Ausgangszeitpunkt angegeben, um die Änderungsgeschwindigkeit deutlich zu machen. (Der zukünftige Verlauf der Funktionen ist zwar noch nicht bekannt, aber aufgrund des vergangenen Verlaufs werden Extrapolationen oder Prognosen gewagt.)
Ein weiteres Beispiel ist die Kostenfunktion. Ein Unternehmer interessiert sich nicht
nur für die Höhe der Kosten bei einer bestimmten Produktionsmenge, sondern auch
dafür, wie stark sich die Kosten ändern, wenn die Produktionsmenge variiert.
Diese Beispiele zeigen, dass es oft darauf ankommt, Aussagen über die Änderungsgeschwindigkeit oder die Steigung von Funktionen zu machen. Die Differentialrechnung
beschäftigt sich mit der Steigung von Funktionen. Sie stellt einfache Methoden zur Berechnung der Steigung zur Verfügung, das Differenzieren.
Ein wichtiges Anwendungsgebiet der Differentialrechnung ist die Kurvendiskussion. Da
Minima, Maxima und Wendepunkt einer Funktion sich durch ein spezifisches Steigungsverhalten auszeichnen, kann ihre Lage mit Hilfe der Differentialrechnung bestimmt
werden.
Eine weitere Anwendung ist die näherungsweise Beschreibung von komplizierten Funktionen durch einfachere. Mit Hilfe einer Taylorreihe wird eine Funktion durch ein Polynom angenähert (approximiert). Weiterhin ermöglicht es die Differentialrechnung näherungsweise die Nullstellen von Funktionen zu finden, nämlich nach dem Verfahren
von Newton.
209-348
Der Differenzenquotient und der Differentialquotient
Lineare Funktionen
Eine lineare Funktionen wird in der graphischen Darstellung durch eine Gerade beschrieben:
y
10
9
P2
8
7
f(x2)-f(x1)
P1
6
x2-x1
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
Definition 135:
Die Steigung m einer Geraden ist durch den Differenzenquotienten bestimmt. Dabei
werden zwei Punkte P 1 und P 2 auf der Geraden markiert und der Quotient der Differenzen ihrer Koordinaten y 2 -y1 = f(x 2 )-f(x 1 ) durch x 2 -x1 berechnet:
m tan
f ( x2 ) f ( x1 )
.
x2 x1
Die Steigung m hängt zusammen mit dem Steigungswinkel a. Wird die Steigerung prozentual ausgedrückt, dann ist der Quotient zu erweitern auf
f ( x2 ) f ( x1 )
m
f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x1 ) .
Diese Steigung ist für jede Stelle der Geraden die gleiche, es ist also unerheblich, wie
die beiden Punkte P 1 und P 2 gewählt wurden. Dies liegt daran, dass die Verbindungslinie zwischen P 1 und P 2 immer deckungsgleich mit der Geraden selbst ist. Das ist anders
bei den
Nichtlinearen Funktionen
Dort macht es durchaus einen Unterschied, wie die Punkte gewählt werden:
9
y
8
P2
7
P 2
6
P 2
5
4
P1
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
x
210-348
Betrachtet man die verschiedenen Geraden durch P 1 und P 2 , P 2 ’ oder P 2 “, so erhält man
jeweils einen anderen Differenzenquotienten, der als durchschnittliche Steigung der
Kurve innerhalb des Intervalls P 1 bis P 2 , P 2 ’ oder P 2 “ aufgefasst werden kann. Die Verbindungslinien, die Sekanten heißen, liegen hier nicht mehr auf der Kurve der Funktion
f(x).
Wenn man P 2 über P 2 ’ und P 2 “ immer näher an P 1 rücken lässt, passt sich die durchschnittliche Steigerung zwischen P 1 und P 2 immer mehr der Steigung der Kurve im Punkt
P 1 an. Die Steigungen der Sekanten nähern sich der Steigung der Tangente im Punkt P 1 .
Diese Tangentensteigung im Punkt P1 der Kurve entspricht der Steigung der Kurve in
diesem Punkt, beide haben die gleiche Richtung.
Mathematisch ausgedrückt bedeutet das für die Sekantensteigung, dass sie gleich dem
Differenzenquotienten ist:
Definition 136:
mSekante
f ( x 2 ) f ( x1 )
x 2 x1
Lässt man nun x 2 x1 gehen (P 2 geht gegen P 1 ), so werden beide Differenzen gegen 0
gehen. Aus der graphischen Bedeutung ist allerdings klar, dass es auch für x2 x1 eine
Steigung gibt. Man erhält die Steigung der Tangente im Punkt P 1 als Grenzwert für diesen Übergang:
mTangente lim
x 2 x1
f ( x2 ) f ( x1 )
x2 x1
Diesen bezeichnet man als Differentialquotienten und schreibt
f ( x1 ) lim
x2 x1
f ( x2 ) f ( x1 )
,
x2 x1
wobei f(x1 ) die Steigung der Funktion f an der Stelle x 1 ist.
Definition 137:
Sei I IR ein Intervall und f : I IR eine Funktion. Dann heißt f an der Stelle x 0 I
differenzierbar, wenn der Grenzwert
f ( x0 ) lim
x x0
f ( x ) f ( x0 ) df
( x0 )
dx
x x0
existiert. (Man spricht: f Strich von x 0 gleich df nach dx an der Stelle x 0 )
f (x0 ) nennt man die Ableitung von f an der Stelle x 0 und f heißt differenzierbar in I,
falls f für alle x I differenzierbar ist.
211-348
Definition 138:
Ist die Funktion f im Punkt x 0 differenzierbar, so ist sie in x 0 auch stetig.
Da ein existierender Grenzwert eindeutig sein muss, müssen auch hier die beiden für x
> x0 und x < x 0 unterschiedlich gebildeten Grenzwerte übereinstimmen. Man definiert
dazu die rechts- und linksseitige Ableitung:
Sei I IR ein Intervall und f : I IR eine Funktion sowie x 0 I. Dann heißt der Grenzwert
(a)
f r( x0 ) lim
f ( x ) f ( x0 )
x x0
rechtsseitige Ableitung von f in x 0 ;
(b)
f l( x0 ) lim
f ( x) f ( x 0 )
x x0
linksseitige Ableitung von f in x 0 .
x x0
x x0
x x0
x x0
Die Bestimmung der ersten Ableitung einer Funktion nennt man auch Differenzieren.
Wann ist eine Funktion differenzierbar bzw. wann stimmen links- und rechtsseitige Ableitung überein? Aus der graphischen Darstellung ergibt sich die
Bemerkung 24:
Eine stetige Funktion ohne Ecken und Spitzen o.ä. ist differenzierbar.
Wie werden solche Differentialquotienten berechnet? Man kann für einige einfache
Funktionen die Differentialquotienten direkt berechnen. Für umfangreichere Funktionen gibt es dann eine Reihe von Differentiationsregeln.
212-348
Beispiel 171:
Zuerst ein Beispiel für die Berechnung des Differentialquotienten für die Funktion
f : f (x) = x2 . Die Untersuchung der Funktion soll in 2 Schritten erfolgen:
a) Ist f differenzierbar an der Stelle x 1 = 1 ?
f ( x2 ) f (1)
x 1
( x 1)( x2 1)
lim 2
lim 2
lim ( x2 1) 2
x2 1
x2 1
x2 1 x 2 1
x2 1
x2 1
2
lim
x2 1
Der Differentialquotient existiert, das bedeutet f ist im Punkt (1;1) differenzierbar mit
der Steigung f (1) = 2.
b) Ist f im gesamten Definitionsbereich differenzierbar?
f ( x) f ( x0 )
x 2 x0
( x x0 )( x x0 )
lim
lim
lim ( x x0 ) 2 x0
x x0
x x0
x x0
x x0
x x
x x0
2
lim
x x0
gilt für jede Stelle x 0 . Damit ist f differenzierbar im gesamten Definitionsbereich und
f ( x 0 ) 2 x 0 .
Weiter Funktionen, deren Differentialquotienten auf diese Weise bestimmt werden,
sind
f : f ( x) x n
f ( x0 ) n x0n1
f : f ( x) e x
f ( x0 ) e x0 (die Ableitung der Exponentialfunktion ist sie selbst!).
für alle n IN 0 ,
Die Differentialquotienten sind wiederum Funktionen von x 0 . Diese Funktion heißt Ableitungsfunktion oder Ableitung. Zur Darstellung als Funktion wird x 0 durch x ersetzt:
Funktion
Ableitung
Allgemein
f : f ( x) x n
f : f ( x) n x n1
Beispiele
f : f ( x) x 2
f : f ( x) 2 x1 2 x
f : f ( x) x155
f : f ( x) 155 x154
(lineare Funktion)
f : f ( x) x1 x
f : f ( x) 1 x 0 1
(konstante Funktion)
f : f ( x) x 0 1
f : f ( x) 0 x 1 0
Allgemein
f : f ( x) e x
f : f ( x) e x
213-348
Differentiationsregeln
Die Differentiationsregeln erlauben es, die Ableitungen weiterer Funktionen zu berechnen.
Definition 139:
Die Ableitung der allgemeinen Potenzfunktion f : f ( x) x a mit a IR lautet:
f : f ( x) a x a1
Funktion
Ableitung
allgemein
f : f ( x) x a
Beispiele
f : f ( x) x 1 1
f : f ( x) a x a1
f : f ( x) 1 x 2 1
x
x2
f : f ( x) x 1 / 2 x
1
f : f ( x) 1 x 1 / 2
2
2 x
f : f ( x) x 6 / 5 5 x 6
f : f ( x) 6 x1 / 5 6 5 x
5
5
Funktionen h(x), die aus elementaren Funktionen beispielsweise durch Multiplikation
mit Konstanten, Addition, Multiplikation oder Division von mehreren Funktionen zusammengesetzt sind, lassen sich nach den folgende Regeln differenzieren. Dabei wird
vorausgesetzt, dass beide Funktionen f(x) und g(x) auf der rechten Seite von Gleichungen differenzierbar sind.
Definition 140:
Konstantenregel: Die Ableitung der Funktion h : h( x) f ( x) mit IR lautet:
h : h( x) f ( x)
Funktion
Ableitung
allgemein
h : h( x) f ( x)
h : h( x) f ( x)
Beispiele
h : h( x) 3 x 2
h : h( x) 3 2 x1 6 x
h : h( x )
1 6
1
x
3
3 x6
h : h( x) 8 x
h : h ( x)
1
( 6 ) x 7 2 x 7
3
h : h( x) 8
(Konstante) h : h( x) 127 127 x 0
Die Ableitung einer Konstanten ergibt stets 0.
214-348
1
2 x
h : h( x) 127 0 0
4
x
Definition 141:
Summenregel: Die Ableitung einer Summe h : h( x) f ( x) g ( x) lautet:
h : h( x) f ( x) g ( x)
Wegen der Gültigkeit der Konstantenregel und der Summenregel wird die Differentiation auch als linear bezeichnet:
Die Ableitung einer Linearkombination h( x) f ( x) g ( x) kann über die gleiche
Linearkombination der Ableitungen h( x) f ( x) g ( x) berechnet werden.
Definition 142:
Produktregel: Die Ableitung des Produkts h : h( x) f ( x) g ( x) lautet:
h : h( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) .
Die beiden Funktionen f(x) und g(x) sind vertauschbar.
Funktion
Ableitung
allgemein
h : h( x) f ( x) g ( x)
h : h( x) f ( x) g ( x)
Beispiele
h( x ) x 6 e x
h( x) 6x 5 e x
(Linearkombination)
h( x ) 15 x 2 7 x
h( x) 15 2 x 7 1 30x 7
allgemein
h : h( x) f ( x) g ( x)
h : h( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
Beispiele
h( x) x 6 e x
h( x) 6x 5 e x x 6 e x e x (6x 5 x 6 )
h( x) (4 2x 2 ) ( x 1) h( x) 4x ( x 1) (4 2x 2 ) 6x 2 4x 4
Definition 143:
Quotientenregel: Die Ableitung des Quotienten h( x )
für alle x mit g(x) 0: h ( x )
f ( x)
lautet
g( x)
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
g 2 ( x)
Im Gegensatz zur Produktregel dürfen hier f(x) und g(x) nicht vertauscht werden.
Die bisher genannten Differenzierungsregeln erlauben bereits die Ableitung sehr vieler
Funktionen. Allerdings gibt es noch verhältnismäßig einfache Funktionen, die sich mit
den bisherigen Kenntnissen nicht ableiten lassen, wie folgende Beispiele zeigen:
215-348
Beispiel 172:
h( x) x 1
h( x) ln 3x
h( x) ( x 2 3x)100
Diesen drei Funktionen ist gemeinsam, dass man sie sich nämlich als Einsetzen, einer
Funktion f(x) (inneren Funktion) in eine anderen g(x) (äußere Funktion) vorstellen
kann. Die Funktionen werden nacheinander ausgeführt und zwar in der Reihenfolge der
Klammerung zuerst innen, dann außen.
h g f : h( x) g ( f ( x)) heißt dann die Verkettung oder die verkettete Funktion.
verkettete Funktion h(x)
innere Funktion f(x)
äußere Funktion g(x)
h( x) x 1
z f ( x) x 1
g ( z) z
h( x) ( x 2 3x)100
z f ( x) x 2 3x
g( z) z 100
z f ( x) x 2 4
g ( z) e z
h( x ) e x
2
4
Zur Ableitung solcher verketteter Funktionen gibt es die Kettenregel.
Definition 144:
Kettenregel: Es seien die Funktionen f : I IR in x0 I und g : IR IR in y0 = f(x 0 )
differenzierbar.
Dann ist die verkettete Funktion h( x) g ( f ( x)) in x0 differenzierbar und es gilt für die
Ableitung von h g f : h( x0 ) ( g f )( x0 ) ( g ( f ( x0 ))) g ( f ( x0 )) f ( x0 )
Funktion
Ableitung
f ( x)
g( x)
allgemein
h( x )
Beispiele
ex
h( x ) 2
x
h( x )
x4 5
x3
h ( x )
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
g 2 ( x)
h( x)
e x x 2 e x 2 x e x ( x 2)
x4
x3
h ( x)
4 x 3 ( x 3) ( x 4 5) 1
( x 3) 2
4 x 4 12 x 3 x 4 5 3 x 4 12 x 3 5
( x 3) 2
( x 3) 2
allgemein h g f : h( x) g ( f ( x)) h( x) ( g f )( x) ( g ( f ( x))) g ( f ( x)) f ( x)
Beispiele
h( x) x 1
h( x) ( x 2 3x)100
h( x ) e x
2
4
h( x)
1
2 z
1
1
2 x 1
h( x) 100 ( x 2 3x) 99 (2x 3)
h( x) e z 2 x e x
216-348
2
4
2x
Höhere Ableitungen
Durch Differentiation einer Funktion f in ihrem gesamten Definitionsintervall I erhält
man Ableitung von f. Diese Ableitung ist wiederum eine Funktion von x, die auf ihre
Differenzierbarkeit hin untersucht werden kann.
Existiert der Differentialquotient
lim
x x0
f ( x) f ( x0 )
,
x x0
so heißt dieser die Ableitung der Funktion f (x) oder die zweite Ableitung f (x0 ) der
Funktion f (x). Damit gibt es eine ganze Reihe von Ableitungen beginnend bei der Funktion selbst über die erste f (x), zweite f (x), dritte f (x) bis zur n-ten f (n) (x).
Beispiel 173:
f ( x)
1 7 1 4
x x 2 x 13
7
4
Funktion
f (x) = x6 x3 + 2
1. Ableitung
f (x) = 6x5 3x2
2. Ableitung
f (x) = 30x4 6x
3. Ableitung
f (4) (x) = 120x3 6
4. Ableitung
f (5) (x) = 360x2
5. Ableitung
f (6) (x) = 720x
6. Ableitung
f (7) (x) = 720
7. Ableitung
f (8) (x) = 0
8. Ableitung
Alle weiteren höheren Ableitungen sind Null, weil 0 als Konstante abgeleitet jeweils
wieder 0 ergibt.
Die erste Ableitung hat wegen der Erklärung über das Steigungsdreieck die Bedeutung
der Steigung der Funktion f. Damit kann die erste Ableitung zur Bestimmung des Monotonieverhaltens herangezogen werden:
Definition 145:
Sei I IR ein Intervall und die Funktion f : I IR differenzierbar in I. Dann gilt:
(a)
f ist genau dann monoton bzw. streng monoton wachsend, falls gilt:
f (x) 0
(b)
bzw. f (x) > 0;
f ist genau dann monoton bzw. streng monoton fallend, falls gilt:
f (x) 0
bzw. f (x) < 0.
Gilt f (x) = 0 für ein Intervall der Funktion, verläuft sie in diesem Intervall parallel zur
x-Achse. Gilt f (x) = 0 für einzelne Punkte der Funktion, liegen kritische Punkte an diesen Stellen vor, welche im folgenden Abschnitt eingeführt werden.
217-348
Für die Untersuchung der Monotonie bzw. der Steigung einer Funktion wird zuerst die
1. Ableitung dieser Funktion gebildet und dann geprüft, für welche Definitionsintervalle
f (x) > 0, f (x) < 0 bzw. f (x) = 0 ist.
Beispiel 174:
f(x) = 2x 7 + 3x 5 +2
f (x) = 14x 6 + 15x 4
für x = 0 ist f (x) = 0
Für x 0 gilt aufgrund der geraden Potenzen stets f (x) > 0, d.h. die Funktion ist streng
monoton steigend.
Wenn die Steigung einer Kurve f(x) zunimmt, dann hat diese eine monoton steigende
Ableitungsfunktion f’(x). Eine steigende Ableitung bedeutet aber, dass die zweite Ableitung positiv f“(x) > 0 sein muss. Gleichzeitig verläuft diese Kurve nach links gekrümmt, solch eine Kurve heißt konvex.
Umgekehrt verhält es sich, wenn die Steigung einer Kurve f(x) abnimmt, dann hat diese
eine monoton fallende Ableitungsfunktion f’(x). Eine fallende Ableitung bedeutet wiederum, dass die zweite Ableitung negativ f“(x) < 0 sein muss. Gleichzeitig verläuft diese
Kurve nach rechts gekrümmt, solch eine Kurve heißt konkav.
Daher gibt die zweite Ableitung die Krümmung der Funktion an.
Definition 146:
Sei I IR ein Intervall und die Funktion f : I IR zweimal differenzierbar in I. Damit ist
(a)
f konvex, falls für alle x I gilt: f(x) 0;
(b)
f konkav, falls für alle x I gilt: f(x) 0.
Beispiel 175:
f(x) = x 4
f (x) = 4 x 3
f (x) = 12 x 2
für x 0 gilt f (x) > 0
konvex
für x = 0 gilt f (x) = 0
Die Kurve ist überall linksgekrümmt.
218-348
Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung
Bei der Untersuchung von Funktionen, die ökonomische Zusammenhänge beschreiben,
ist die Frage nach den kritischen Punkten, an denen die Funktion f(x) selbst, die erste
Ableitung f’(x) oder die zweite Ableitung f“(x) zu 0 werden interessant. Besonders die
Extremwerte (Minima und Maxima) sind von großer Bedeutung. Mit Hilf e der Differentialrechnung lassen sich alle Minima, Maxima und Wendepunkte einer Funktion innerhalb des Definitionsintervalles leicht berechnen.
Zahlenmengen
Definitionsmenge:
Unter der Definitionsmenge D versteht man allgemein alle Zahlen, die für x eing esetzt
werden dürfen.
Wertemenge:
Unter der Wertemenge oder unter dem Wertebereich W versteht man allgemein alle
Zahlen, die bei der Einsetzung von Zahlen in x heraus kommen.
Symmetrieeigenschaften
Es gibt verschiedene Arten von Symmetrien.
Achsensymmetrie zur Ordinate
f x f x
Achsensymmetrie zu einer Vertikalen
f x a f x a
Punktsymmetrie zum Ursprung
f x f x
Punktsymmetrie zum Punkt a, b 2
b f x a f a x b
219-348
Extrema
Ein Extremum einer Funktion liegt dann vor, wenn in einer Umgebung um diesen Punkt
alle anderen Funktionswerte kleiner oder größer sind. Im ersten Fall P1 liegt ein lokales
Maximum, im zweiten Fall P2 ein lokales Minimum vor. Aus der Grafik geht hervor, da ss
ein lokales Maximum in einer Rechtskrümmung (konkav) liegt und ein lokales Minimum
P2 in einer Linkskrümmung (konvex) und dass an beiden Stellen die Tangenten waagrecht verlaufen:
9
y
8
7
6
P1
5
P2
4
3
2
1
0
0
x1
1
x2
2
3
4
x
Man definiert daher:
Definition 147:
Sei I IR ein Intervall und f : I IR eine Funktion.
f besitzt in x 1 I ein lokales Maximum bzw. in x 2 I ein lokales Minimum, falls es eine
hinreichend kleine Umgebung U (x1 ) I gibt, so dass für alle x U (x1 ) gilt:
f(x) f(x1 ) ,
bzw. falls es eine hinreichend kleine Umgebung U (x2 ) I gibt, so dass für alle x
U (x2 ) gilt:
f(x) f(x2 ) .
Mit Hilfe der Ableitungen kann man eine notwendige Bedingung für das Vorhandensein
eines Extremums formulieren:
Definition 148:
notwendige Bedingung
Die Funktion f : I IR sei differenzierbar in einer Umgebung von x 0 I. Besitzt dann f
in x0 ein lokales Extremum, so gilt:
f (x) = 0 .
Am Extremum wechselt die Steigung das Vorzeichen. Durch Berechnung der Nullstellen
der Ableitung f (x) ermittelt man also die Punkte, bei denen die Funktion f(x) lokale
Extrema besitzen kann. Man bezeichnet diese Stellen auch als stationäre Punkte.
220-348
Es handelt sich hier deshalb nur um eine notwendige Bedingung, weil eine Funktion
nicht an jeder Nullstelle ihrer Ableitung ein Extremum besitzen muss (wenn ein Extremum bei x 0 vorhanden ist, dann ist die Ableitung dort 0, nicht umgekehrt!). So ist z.B.
bei der Funktion f(x) = (x 1)3 die Ableitung f (x) = 3(x 1)2 = 0 für x = 1, es existiert
dort aber kein Extremum. Die Bedingung ist deshalb nicht hinreichend.
Es gibt die Möglichkeit, dass eine Tangente waagrecht f’(x) = 0 verläuft, ohne dass ein
Extremum vorliegt:
10
y
9
8
7
6
P0
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
-1
x0
-2
7
8
9
x
-3
-4
-5
Solche Punkte werden Sattelpunkte genannt. Ein Sattelpunkt liegt nicht in einer konkaven oder konvexen Krümmung, sondern dort wechselt gerade die Krümmung. Das
bedeutet, dass an dieser Stelle nicht nur f’(x)=0, sondern auch f“(x)=0 ist. Andererseits
wechselt die Steigung am Sattelpunkt nicht ihr Vorzeichen. Durch Betrachtung der höheren Ableitungen ergibt sich die hinreichende Bedingung:
Definition 149:
Sei f : I IR zweimal differenzierbar in einer Umgebung von x 0 I. Dann besitzt f in x 0
ein
lokales Maximum, falls gilt:
f (x0 ) = 0
und
f (x0 ) < 0 ,
lokales Minimum, falls gilt:
f (x0 ) = 0
und
f (x0 ) > 0 .
Für den Fall, dass alle bis zur (n-1)-ten Ableitung gleich Null sind, gilt die Erweiterung:
Sei f : I IR n mal differenzierbar in einer Umgebung von x 0 I. Dann gilt, für n gerade:
Die Funktion hat an der Stelle einen Extremwert und
f (n) (x0 ) < 0
bei x 0 ist ein Maximum,
f (n) (x0 ) > 0
bei x 0 ist ein Minimum,
n ungerade: Die Funktion hat einen Sattelpunkt.
221-348
Beispiel 176:
Bei den Funktionen f(x) = x2 , g(x) = x 3 und g(x) = x 4 sind erstmals die 2. Ableitung, die
3. Ableitung und die 4. Ableitung an der Stelle x0 = 0 ungleich 0. f hat an der Stelle 0
einen Extremwert, g hat dort einen Sattelpunkt und h hat an der Stelle 0 einen Extremwert.
f(0) = x 2 = 0
f(0) = x 3 = 0
g(0) = x 4 = 0
Funktionswert
f(0) = 2x 1 = 0
f(0) = 3x 2 = 0
g(0) = 4x 3 = 0
1. Ableitung
f(0) = 2 0
f(0) = 6x 1 = 0
g(0)=12x 2 = 0
2. Ableitung
f(0) = 6 0
g(0)=24x 1 = 0
3. Ableitung
g(4)(0) = 24 0
4. Ableitung
Zur Bestimmung der lokalen Extrema befolge man folgendes Schema:
1
Bildung von f
2
Bestimmung der Nullstellen von f: f (x) = 0
3
Bestimmung der 2. Ableitung f
4
Überprüfung aller Nullstellen von f durch Einsetzen in f
5
f (x0 ) > 0
an der Stelle x 0 liegt ein Minimum vor
f (x0 ) < 0
an der Stelle x 0 liegt ein Maximum vor
f (x0 ) = 0
weiter bei 5.
Untersuchung der höheren Ableitungen bis erstmals eine Ableitung ungleich Null wird
f (n) (x0 ) > 0 und n gerade:
an der Stelle x 0 liegt ein Minimum vor
f (n) (x0 ) < 0 und n gerade:
an der Stelle x 0 liegt ein Maximum vor
f (n) (x0 ) 0 und n ungerade: an der Stelle x 0 liegt ein Sattelpunkt vor
Viele ökonomische Funktionen haben einen eingeschränkten Definitionsbereich. In diesen Fällen müssen zur Bestimmung der absoluten Extremwerte sowohl diese lokalen
Extremwerte innerhalb des Intervalls als auch die Randextrema berücksichtigt werden.
222-348
Wendepunkte
Bei einem Sattelpunkt änderte sich die Krümmung und damit das Vorzeichen der zweiten Ableitung. Wenn nicht gleichzeitig die Tangente waagrecht erläuft, heißen diese
Stellen Wendepunkte. Dort geht also entweder eine Linkskrümmung in einer Rechtskrümmung oder eine Rechtskrümmung in einer Linkskrümmung über.
Das bedeutet, dass eine notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Wendepunktes
an der Stelle x 0 f (x0 ) = 0 ist.
Definition 150:
Die Funktion f : I IR sei in einer Umgebung von x 0 I dreimal differenzierbar. Ist
dann f(x0 ) = 0 und f(x0 ) 0, so besitzt die Funktion in x 0 einen Wendepunkt.
Hinreichend ist die Bedingung, dass f (x0 ) = 0 ist und dass in x0 ein Vorzeichenwechsel
der 2. Ableitung stattfindet und damit f (x0 ) 0 ist. Gilt f (x0 ) = 0, ist eine Aussage
über die Existenz eines Wendepunktes nicht ohne die Untersuchung höherer Ableitung
möglich. Tritt bei der Untersuchung der n-ten Ableitungen zum ersten Mal f (n)(x0 ) 0
mit ungeradem n auf, so liegt an der Stelle x 0 ein Wendepunkt vor.
Das Schema zur Bestimmung von Wendepunkten verläuft analog zu dem für Extremwerte:
1
Bildung von f
2
Bestimmung der Nullstellen von f : f (x) = 0
3
Bestimmung der 3. Ableitung f
4
Überprüfung aller Nullstellen von f durch Einsetzen in f
5
f (x0 ) 0
an der Stelle x 0 liegt ein Wendepunkt vor
f (x0 ) = 0
weiter bei 5.
Untersuchung der höheren Ableitungen bis erstmals eine Ableitung ungleich Null wird
f (n) (x0 ) 0 und n ungerade:
vor
an der Stelle x 0 liegt ein Wendepunkt
223-348
Kurvendiskussion
Die Kurvendiskussion dient zum Verständnis der Eigenschaften einer Funktion, welche
in analytischer Darstellung gegeben ist. In einer Kurvendiskussion sollen die markante
Punkte und Verhaltensweisen einer Funktion analysiert werden. Die Ergebnisse der
Analyse werden dann in einer Skizze veranschaulicht.
Schema der Kurvendiskussion
1) Bestimmung des Definitionsbereichs: Besonders bei wirtschaftswissenschaftlichen
Funktionen ist es wichtig zu berücksichtigen, für welche x-Werte die Funktion definiert
ist; zum Beispiel nur für ganzzahlige Stückzahlen oder nur für den positiven Bereich.
2) Untersuchung der Definitionslücken: Untersuchung auf behebbare Lücken, Polstellen, Sprungstellen.
3) Untersuchung der Funktion für unendlich große bzw. kleine x-Werte: Diese Untersuchung ist nur sinnvoll bei solchen Funktionen, die nicht ausschließlich in einem Intervall
definiert sind.
4) Bestimmung der Nullstellen
5) Bestimmung der Extremwerte und Sattelpunkte: In diesem Untersuchungsschritt sollen sowohl die relativen als auch die absoluten Extremwerte bestimmt werden.
6) Bestimmung der Wendepunkte
7) Untersuchung der Steigung und Krümmung: Anhand der Ergebnisse aus den Punkten
3., 5. und 6. können die Steigung und Krümmung einer Funktion im Allgemeinen ohne
rechnerische Untersuchung gefolgert werden. Ansonsten sollten sie analytisch ermittelt werden.
8) Skizze: In der Skizze sollen die für die untersuchte Funktion in der Analyse festgestellten markanten Verhaltensweisen und Punkte dargestellt werden. In den Einzelfällen ist es sinnvoll, zusätzlich für einige Punkte eine Wertetabelle aufzustellen, um exakter zeichnen zu können.
224-348
Beispiel 177:
Funktion:
f ( x) 3x 4 8x3 6x 2
Definitionsbereich:
unbegrenzt
Definitionslücken:
keine
x
f(x)
da höchste Potenz positive Vorzahl besitzt
da höchste Potenz gerade und positive
x
f(x)
Vorzahl
Nullstellen:
f ( x) 3x 4 8x 3 6x 2 0
x 2 (3x 2 8x 6) 0 doppelte Nullstelle bei x 1 = 0
8
4
16
3x 2 8x 6 0 x 2 x 2 0 x 2 ,3
2
3
9
3
nicht lösbar, also keine weiteren Nullstellen
Extremwerte:
12 x 3 24 x 2 12 x 0 12 x( x 2 2 x 1) 0 x1 = 0 olokale Extrema: f ( x ) 0 der
x3a ,b 1 1 1 1 x3
x 2 2x 1 0
3
2
f ( x) 12x 24x 12x 0
f ( x) 36x 2 48x 12
f ( x1 ) f (0) 12
x1 0
bei
Minimum
f ( x3 ) f (1) 36 48 12 0 weitere Untersuchung
f ( x) 72 x 48
f ( x3 ) f (1) 72 48 0 bei x3 1 Sattelpunkt
absolute Extrema:
Maximum existiert nicht, weil f(x) (Punkt 3.) Minimum bei x 1 : (0;0)
4
1
f ( x ) 0
Wendepunkte:
x2 x 0
36x 2 48x 12 0
2
3
3
f ( x) 36x 48x 12 0
2
4 1 2 1
x2 a ,b
3
9 3 3 3
x2b 1 :
Sattelpunkt (= x3 1 aus Punkt
1
x2a 3 x2 : f ( x ) 72 x 48
f ( x2 ) f ( 13 ) 24 48 0 x 2
Krümmung und Steigung:
1
3
5.)
Wendepunkt
x [ ; x1 = 0[ : f(x) streng monoton fallend, konvex
x ]x1 ; x 2 13 ] : f(x) streng monoton steigend, konvex
x [x2 ; x3 = 1[ : f(x) streng monoton steigend, konkav
x ]x3 ; [ : f(x) streng monoton steigend, konvex
225-348
Skizze:
f(x) = x² (3x² - 8x + 6)
10
8
6
y
4
2
0
-1
-0,5
x1
x2
/
|
0
x3
|
0,5
1
1,5
2
-2
x
Die Differentialrechnung hilft also, das Verhalten von Funktionen zu beschreiben und
zu verstehen. Voraussetzung dafür ist, dass die Funktion in analytischer Form vorliegt,
also, dass der Verlauf durch eine Formel gegeben ist. Bei nicht vorausberechenbaren
Funktionen wie den Aktienkursen trifft das allenfalls für die Vergangenheit zu.
Beispiel 178:
Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion
1. Definitionsbereich
von y=ƒ(x)
D ƒ=R
2. Symmetrie
oder
x R
Achssymmetrie zur y-Achse
- ƒ( x ) = ƒ(- x )
im Funktionsterm tritt x nur mit geraden Exponenten auf
Punktsymmetrie zum Ursprung (0;0)
- ƒ( x ) = -ƒ(- x )
im Funktionsterm tritt x nur mit ungeraden Exponenten auf
3. Schnittpunkte mit x-Achse ƒ( x ) = 0 liefert die Nullstelle(n)
der
y-Achse ƒ(0) liefert die Ordinate des Schnittpunktes mit y-Achse
x- und
x=0
y-Achse
4. Verhalten im
Unendlichen
Die höchste Potenz von x und x → +
ƒ( x ) →
Vorzeichen des Koeffizienten entscheiden über das Verhalten
x → - ƒ( x ) → im Unendlichen.
Die vier Möglichkeiten:
ƒ( x )= a x gerade ƒ( x )= a x ungerade
226-348
ƒ( x )= - a x gerade ƒ( x )=- a x ungerade
a positiv
a positiv
a negativ
a negativ
5. Bilden der
Ableitungen
6. Extrempunkte
ƒ( x )= a x n +… →
ƒ′( x )= a n x n-1 +…
( ) notwendige Bedingung
ƒ′( x ) = 0
( ) hinreichende Bedingung
ƒ′( x ) = 0
und
ƒ′′( x e) 0
Ablauf:
- Berechnen der Nullstellen von ƒ′(x)
- Einsetzen der Nullstellen von
ƒ′( x ) in ƒ′′( x )
ist ƒ′′( x e) > 0 = TP
ist ƒ′′( x e) < 0 = HP
ist ƒ′′( x e) = 0 = weitere Untersuchung unter Punkt 7. und 8.
- Berechnen der y-Werte durch Einsetzten der x-Werte in ƒ( x )
7. Wendepunkte
( ) notwendige Bedingung ƒ′′( x ) = 0
( ) hinreichende Bedingung ƒ′′( x ) = 0
und ƒ′′′( x w ) 0
Ablauf:
-Berechnen der Nullstellen von ƒ′′( x )
- Einsetzen der Nullstellen von ƒ′′( x ) in ƒ′′′( x )
- wenn ƒ′′′( x w ) 0, so liegt ein Wendepunkt vor
- Berechnen der y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in ƒ( x )
8. Sonderfall zu 7.
Sattelpunkt
Bedingung für einen Sattelpunkt (S):
ƒ′( x )
= 0
ƒ′′( x s) = 0
ƒ′′′( x s) 0
- es liegt ein Sattelpunkt (Terassenpunkt) vor, wenn der x-Wert
des Wendepunktes eine Nullstelle von ƒ′( x ) ist.
9. Graph zeichnen
- die ermittelten Kurvenpunkte eintragen
- evtl. eine ergänzende Wertetabelle anlegen
227-348
Differentiation parameterabhängiger Funktionen
Es gelten die gleichen Bedingungen wie im vorherigen Kapitel. Die Funktion ist in diesem Fall noch zusätzlich von einem Parameter abhängig. Dieser Parameter ist wie eine
Konstante oder ein konstanter Faktor zu sehen.
Die Funktion ist in diesem Fall nicht mehr eindeutig, je nach eingesetztem Wert für den
Parameter erhält man eine neue Funktion. Man spricht auch von einer Funktionsschar.
228-348
Funktionen
Relationen und Funktionen
Definition 151:
Eine Relation liegt vor, wenn es zu jedem Element x der Menge M 1 genau einen Partner
y in der Menge M 2 gibt.
Definition 152:
Hat jedes 𝑥 ∈ 𝑀1 ein zugeordnetes 𝑦 ∈ 𝑀2 . Handelt es sich um Zahlen die in einem Koordinatensystem aufgetragen werden können
Eine überall auf M 1 definierte eindeutige Relation heißt Funktion oder auch Abbildung
von M 1 in M 2 .
𝑓: 𝑀1 → 𝑀2 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Grundlegende Funktionen und deren Eigenschaften
Ganzrationale Funktionen n - ten Grades
Definition 153:
Eine Funktion der Form
y = f(x) = a n xn + a n-1 x n-1 + ....a 1 x 1 + a 0 x0 mit nN und a 0 , a 1 , ....a n R
heißt ganzrationale Funktion.
n heißt Grad der Funktion
a i heißt Koeffizient der Funktion
f(x) = x³ - 3x² - 5x + 15 ist eine ganzrationale Funktion 3.Grades
g(x) = -3x5 + 2x 4 – x² +8 ist eine ganzrationale Funktion 5. Grades
f(x) = x³ - x ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit den Koeffizienten
a 3 = 1; a 2 = 0; a 1 = -1; a 0 = 0
Ganzrationale Funktionen entstehen durch zusammensetzen von Potenzfunktionen.
229-348
Verlauf des Graphen
Definition 154:
Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden
mit der höchsten Potenz bestimmt.
n gerade
n ungerade
𝑎𝑛 > 0
Verlauf von II nach I
Verlauf von III nach I
𝑎𝑛 < 0
Verlauf von III nach IV
Verlauf von II nach IV
230-348
Symmetrie
Die Vermutung liegt nahe, dass Funktionen, die nur aus Potenzfunktionen mit geraden
Exponenten zusammengesetzt sind, achsensymmetrisch sind und Funktionen, die nur
aus Potenzen mit ungeraden Exponenten zusammengesetzt sind, punktsymmetrisch
sind.
Definition 155:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn deren Funktionsgleichung nur gerade Exponenten enthält.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn deren Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten enthält.
Definition 156:
Zerlegungssatz:
f (x) hat genau dann eine Nullstelle x o , wenn f(x) durch (x-x o) teilbar ist:
f(x0 ) = 0 für alle x gilt: f(x) = (x-x0 ) g(x)
g(x) ist eine ganzrationale Funktion, deren Grad um 1 niedriger ist als der Grad von f.
231-348
Beispiel 179:
a) Bestimmen Sie eine Zerlegung von f(x) = x³ - 3x² - 5x + 15 wenn die Nullstelle x 0 = 3
gegeben ist.
Dazu wird die Polynomdivision verwendet
(x³ - 3x² - 5x + 15) : (x-3) = x 2 –5
- (x³ - 3x²)
- 5x + 15
- (-5x + 15)
0
Ergebnis: f(x) = x³ - 3x² - 5x + 15 = (x – 3) ( x² - 5 ).
b) Bestimmen Sie alle Nullstellen von f und zerlegen Sie f vollständig in Faktoren.
Ergebnis: f(x) = x³ - 3x² - 5x + 15 = (x – 3) (x -√5) ( x +√5)
Nullstellensatz
Definition 157:
Nullstellensatz für ganzrationale Funktionen:
Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen, wobei mehrfache
Nullstellen mehrfach gezählt werden.
Machen Sie eine Aussage über die Symmetrieeigenschaften, den Verlauf und die Anzahl
der Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen.
Lösung:
232-348
Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen
Definition 158:
Eine gebrochen rationale Funktion hat folgende Form
f ( x)
an x n an 1 x n 1 ......... a1 x a0
bm x m bm 1 x m 1 ......... b1 x b0
Es befindet jeweils im Zähler und Nenner eine ganzrationale Funktion.
y
3( x 1)²( x 4)( x 1)( x 2)
( x 1)( x 4)²( x 1)( x 2)
Definition 159:
Man nennt den größten Exponenten m im Zähler den Grad des Zählers und den höchsten vorkommenden Exponenten n im Nenner den Grad des Nenners. Das Zählerpolynom u(x) hat also den Grad m, das Nennerpolynom den Grad n. Die Differenz m - n ist
der sogenannte Asymptotengrad.
Form gebrochen rationaler Funktionen
Von den oben angeschriebenen Funktionen hat
f 1 den Zählergrad 2, den Nennergrad 2 und den Asymptotengrad 0.
f 2 den Zählergrad 3, den Nennergrad 1 und den Asymptotengrad 2
f 3 den Zählergrad 1, den Nennergrad 2 und den Asymptotengrad -1
233-348
Eigenschaften von Wurzelfunktionen
Definition 160:
𝑛
Die Wurzelfunktion 𝑓(𝑥) = √𝑥 ist die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion y = x n .
Ist n gerade so ist die Potenzfunktion nicht injektiv (umkehrbar eindeutig) und daher
nicht eindeutig umkehrbar.
Es gibt es zwei Möglichkeiten die Wurzelfunktion zu definieren:
𝑛
𝑛
𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑢𝑛𝑑 𝑓(𝑥) = − √𝑥 .
Dabei wird im Allgemeinen die positive Variante als die Umkehrfunktion angesehen.
Falls n ungerade ist, so ist die Wurzelfunktion auf ganz R umkehrbar.
Exponent kleiner als 1
Alle haben den Definitionsbereich R +
Der Graph ist monoton steigend
Gemeinsame Punkte (0|0) und (1|1)
Für x<1: Die Graphen liegen über der Geraden y=x.
Für x>1: Die Graphen liegen unter der Geraden y=x.
Je mehr sich der Exponent
Geraden y=x.
𝑚
𝑛
der Zahl 1 nähert, umso enger liegt der Graph an der
Exponent größer als 1
Alle haben den Definitionsbereich R +.
Der Graph ist streng monoton steigend
Gemeinsame Punkte (0|0) und (1|1)
Für x<1: Die Graphen liegen unter der Geraden y=x.
Für x>1: Die Graphen liegen über der Geraden y=x.
Je mehr sich der Exponent
Geraden y=x.
𝑚
𝑛
der Zahl 1 nähert, umso enger liegt der Graph an der
234-348
Eigenschaften von Exponentialfunktionen
Grundeigenschaften der Funktion f(x) = e x
Es gibt weitere Exponentialfunktionen, deren Schaubilder aus der Kurve y = e x durch
Spiegelung, Verschiebung oder Streckung entstehen. Das Erkennen dieser Eigenschaften hilft bei Aufgaben oft weiter. Daher werden auf den nächsten Seiten diese Abbildungen besprochen.
235-348
Spiegelung von K: y = e x ergibt K’: y = e -x .
236-348
Verschiebung der Kurve K: y = e x .
Definition 161:
Die Kurve y=e x+2 entsteht aus y=e x durch Verschiebung um 2 nach links.
Die Kurve y=e x−3 entsteht aus y=e x durch Verschiebung um 3 nach rechts.
237-348
238-348
239-348
240-348
241-348
Eigenschaften von Logarithmusfunktionen
Bei der Logarithmusfunktion handelt es sich um die Umkehrfunktion zur e -Funktion.
Eigenschaften für die Kurvendiskussion
242-348
Logarithmusfunktionen
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion. Im Falle von e x
heißt die Umkehrung natürlicher Logarithmus und wird mit ln(x) bezeichnet.
Die Logarithmusfunktionen sind streng monoton wachsend und haben eine Nullstelle
bei x0= 1.
Trigonometrische Funktionen
Die trigonometrischen Funktionen (oder auch Winkelfunktionen) werden am Einheitskreis definiert. Betrachtet man nebenstehende Skizze, dann definieren wir:
𝜂
𝜉
sin(𝑥) = 𝑟 𝑢𝑛𝑑 cos(𝑥) = 𝑟
Diese beiden Funktionen heißen Sinus und Kosinus
(Cosinus).
Die Bezeichnung Winkelfunktion rührt von der Tatsache her, dass das Argument ein Winkel ist.
Der Winkel wir im Allgemeinen im Bogenmaß gemessen.
Dabei entspricht 𝜋 = 180°.
243-348
Integration
Geometrische Definition des Integrals
Orientierter Flächeninhalt
- Flächeninhalte oberhalb der x-Achse haben ein positives Vorzeichen.
- Flächeninhalte unterhalb der x-Achse haben ein negatives Vorzeichen.
Definition 162:
Gegeben sei eine Funktion f, die über einem Intervall [a; b] definiert ist, dann versteht
man unter dem Integral der Funktion von a bis b die Summe der orientierten Flächeninhalte zwischen dem Graphen von f, der x-Achse und der Geraden x=a und x=b.
Schreibweise:
b
f (x)dx
a
a: untere Grenze
b: obere Grenze
Stammfunktionen (unbestimmtes Integral)
Definition 163:
Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion von f(x), wenn F'(x) = f(x).
Beispiel 180:
Welche Funktion hat die Ableitung f(x) = x?
Eine mögliche Antwort ist F( x )
x2
.
2
x2
C
Eine beliebige Stammfunktion ist von der Form F( x )
2
(C ist eine beliebige Konstante), weil konstante Summanden beim Differenzieren wegfallen.
Wenn von der Funktion sonst nichts bekannt ist, müssen wir also immer die Integrationskonstante C dazuschreiben.
Die Stammfunktion bezeichnet man auch als unbestimmtes Integral:
F(x) f ( x)dx
Stammfunktionen der wichtigsten Funktionen lauten:
244-348
f(x) = k
F(x) = kx + C
x n+1
F(X) =
+C
n+1
f(x) = x n (n 1)
𝑓(𝑥) =
1
𝑥
F(x) = ln |x| + C
f(x) = sin x
F(x) = -cos x + C
f(x) = cos x
F(x) = sinx + C
f(x) = e x
F(x) = e x
Grundintegrale
n
x dx
x n 1
c
n 1
1
x dx ln x c
x
a dx
ax
c
ln a
sin xdx cos x c
cos xdx sin x c
1
cos
2
x
1
sin
2
x
dx tan x c
dx cot x c
1
1 x2
1
1 x
2
dx arcsin x c
dx arctan x c
sinh xdx cosh x c
cosh xdx sinh x c
Analytische Definition des Integrals
Definition 164:
245-348
Die Funktion f sei über dem Intervall [a; b] definiert und dort beschränkt. Dann versteht
man unter dem Integral von a bis b der Funktion f eine Zahl, die man folgendermaßen
erhält:
(1) Man bildet die Zerlegung Z n des Intervalls [a; b] in n gleich lange Teilintervalle.
(2) Man bildet die zu Z n gehörende Obersumme S n und die Untersumme S n. Insgesamt
erhält man eine Folge von Obersumme S n und Untersumme S n ,
(3) Wir bilden lim S n und lim Sn .
n
n
Stimmen beide Grenzwerte überein, das heißt ist: lim S n lim S n , so heißt dieser gen
n
meinsame Grenzwert das Integral von a bis b der Funktion f.
b
Man schreibt: f (x)dx
a
Rechenregeln für Integrale
Faktorregel
Nun wird folgendes Integral berechnet ∫ 2𝑥 3 𝑑𝑥.
Das neue besteht jetzt darin, dass die Funktion nicht mehr heißt f(x)=x³, sondern jetzt
f(x)=2x³.
Definition 165:
Besitzt eine Funktion f : a , b IR eine Stammfunktion auf a , b , so besitzt für jede
reelle Zahl c 0 auch die Funktion cf eine Stammfunktion und es gilt:
c f x dx c f x dx
Beispiel 181:
1
1
∫ 2𝑥 3 𝑑𝑥 = 2 ∙ ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 = 2 ∙ ( x 4 ) + c = x 4 + c
4
2
Summenregel
Definition 166:
Besitzen zwei Funktionen f , g : a , b IR eine Stammfunktion auf a , b , so besitzt auch
ihre Summe f g eine Stammfunktion und es gilt:
f x gx dx f x dx gx dx
Man spricht dann auch davon, dass eine Summe gliedweise integriert wird.
Beispiel 182:
Ermitteln Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen!
246-348
a) f(x) = 3x
b) f(x) = 8x³
c) f(x) = x² + x
d) f(x) = 3x² + 4x + 1
e) f(x) = x 6 - 3x5 + 7x³
1
1
f) f(x) = 3 𝑥 2 + 4 𝑥
g) f(x) =
h) f(x) =
i) f(x) =
1
2
𝑥 4 − 3𝑥 2 + 3
10
1
𝑥2
1
𝑥3
j) f(x) = √𝑥
Lösung:
a) F(x) = 3x²/2 + C
b) F(x) = 2x 4 + C
c) F(x) = x³/3 + x²/2 + C
d) F(x) = x³ + 2x² + x + C
e) F(x) = x 7 /7 - x6 /2 + 7x 4 /4 + C
f) F(x) = x³/9 + x²/8 + C
g) F(x) = x 5 /50 - x³ + 2x/3 + C
h) F(x) = -1/x + C
i) F(x) = -1/(2x²) + C
j) F(x) = 2/3·x³ + C
247-348
Beispiel 183:
Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion, wenn die Ableitung und ein Punkt des Funktionsgraphen gegeben ist.
a) f'(x) = 4x; P(2/5)
b) f'(x) = 2x - 3; P(1/0)
c) f'(x) = -6x + 5; P(2/3)
d) f'(x) = -x + 1; P(-1/1)
e) f'(x) = 3x² - 4x; P(0/-4)
f) f'(x) = 6x² - 5; P(-2/-5)
g) f'(x) = -x² + x + 4; P(3/4)
h) f'(x) = 2x³ - 6x; P(-2/1)
Lösung:
a) f(x) = 2x² - 3
b) f(x) = x² - 3x + 2
c) f(x) = -3x² + 5x + 5
d) f(x) = -x²/2 + x + 5/2
e) f(x) = x³ - 2x² - 4
f) f(x) = 2x³ - 5x + 1
g) f(x) = -x³/3 + x²/2 + 4x - 7/2
h) f(x) = x4 /2 - 3x² + 5
248-348
Beispiel 184:
249-348
Integration durch einfache Substitution
Beispiel 185:
250-348
Integration durch erweiterte Substitution
Beispiel 186:
251-348
Die erweiterte Substitution quadratischer Terme
Beispiel 187:
252-348
Das bestimmte Integral
Die Funktion f(x) sei gegeben; wir wollen die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen
und der x-Achse im Intervall [a, b] berechnen.
Einen Näherungswert erhält man, wenn man [a, b] in Teilintervalle der Länge x teilt, in jedem Intervall eine Stelle
xi wählt und die Flächeninhalte der Rechtecke x·f(x i) addiert:
A (f(x1 ) + f(x 2 ) + ... + f(x n))·x,
in Summenschreibweise:
Die Fläche - das bestimmte Integral - definieren wir als Grenzwert dieser Summe, wenn
x gegen 0 geht; man schreibt:
sprich "Integral von a bis b von f(x)dx" (das Integralzeichen soll an S für "Summe" erinnern).
253-348
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Definition 167:
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
das heißt, die Fläche unter dem Graphen von f(x) ist eine Stammfunktion von f.
Wir suchen die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = x² zwischen den Grenzen
a = 1 und b = 2.
Folgende Vorgehensweise sollte immer angewandt werden:
Zuerst eine Zeichnung oder zumindest eine Skizze erstellen, um den Sachverhalt zu verdeutlichen.
Um eventuelle Besonderheiten zu erkennen, sollten
die Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) berechnet werden
Stammfunktion finden
Grenzen einsetzen, untere Grenze von oberer abziehen
254-348
Intervalladditivität
Wollen wir uns folgendes Integral anschauen:
3
1
3³ 1³
1
2
1³ 3³ 1
2
x
²
dx
9
8
und
9
8
1
3 3 3 3
3 3
3
3
3
b
b
b³ a ³
b³ a ³
a ³ b³
b³ a ³
x
²
dx
[
]
und
a
3 3
3 3
3 3
3 3
a
a
x ²dx
a
a³ a³
0
3 3
Aus den obigen Beispielen ergibt sich die nachfolgende Definition:
Definition 168:
(1) Ist a<b, so sei
a
b
f ( x)dx f ( x)dx
b
a
1
3
3
1
Bsp.: x ² dx x ² dx (
3³ 1³
26
2
) 8
3 3
3
3
(2)
a
x²dx 0
a
3
Bsp.: x ³dx 0
3
Außerdem gilt.
b
c
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a
b
a
9
3
4
9
Bsp.: x ² dx x ² dx
3
x ²dx
4
(a, b, c können beliebig sein.)
255-348
Beispiel 188:
1
4
2
1
(3x² 5x 4)dx (3x² 5x 4)dx
Lösung:
1
4
4
4
4
4
2
1
2
2
2
2
(3x² 5x 4)dx (3x² 5x 4)dx (3x² 5x 4)dx 3 x²dx 5 xdx 4 1dx
(Grund int egrale) 78
Flächenberechnungen
Achtung: Für f(x) < 0 ist auch das Integral negativ. Der Inhalt der Fläche zwischen Kurve
und x-Achse ist dann der Betrag des Integrals.
Definition 169:
Wenn die Funktion im angegebenen Intervall ein oder mehrere Nullstellen hat, müssen
wir daher die einzelnen Flächenstücke getrennt berechnen und ihre Beträge addieren.
(Werden wir später noch näher behandeln)
Wenn die Fläche zwischen einer Kurve und der x-Achse berechnet werden soll (ohne
dass ein Intervall angegeben ist), müssen wir zuerst die Nullstellen bestimmen - das
sind dann die Integrationsgrenzen.
Definition 170:
Die Fläche, die von zwei Kurven - den Graphen der Funktionen f(x) und g(x) - eingeschlossenen wird, berechnen wir nach der Formel
Die Integrationsgrenzen sind dabei die x-Koordinaten der Schnittpunkte. Wenn es mehr
als zwei Schnittpunkte gibt, muss man wieder die einzelnen Flächenstücke getrennt
verrechnen.
Beispiel 189:
Wie groß ist die Fläche, die vom Graphen der Funktion f(x) = x² - 1 und der x-Achse
zwischen den Grenzen a = 0 und b = 2 eingeschlossen wird?
Lösung:
Die Funktion hat bei x 1 = 1 eine Nullstelle, wir müssen daher von 0 bis 1 und von 1 bis
2 getrennt integrieren:
256-348
Beispiel 190:
Wie groß ist der Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f(x) = -x³ + 3x² und
der x-Achse begrenzt wird?
Lösung:
Nullstellen bestimmen: -x³ + 3x² = 0 x1 = 0, x 2 = 3
Beispiel 191:
Wie groß ist die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) = x² und g(x) = x³?
Lösung:
Schnittpunkte bestimmen: x² = x³ x1 = 0, x 2 = 1
1
x4 x3
1 1
3
4
1
A ( x x ) dx
3 0
4 3
12 12 12
4
0
1
2
3
Flächenberechnung zwischen zwei Graphen
Beispiel 192:
Berechne den Inhalt der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche.
f(x)=x²; g(x)=-x+2
Folgende Vorgehensweise hat sich bewährt
(1) Auch hier zeichnen wir wieder eine Skizze, um uns den Sachverhalt besser zu verdeutlichen.
(2) Um die Integralgrenzen zu erhalten, bestimmen wir die Schnittpunkte der Graphen.
257-348
x² x 2
x² x 2 0
p, q Formel
1
9
1
3
x1, 2
2
4
2
2
x1 1
x 2 2
(3) Man sieht hieraus:
x2
x2
x1
x1
g ( x)dx f ( x)dx
Also gilt:
2
2
1
1
A | ( x 2)dx x ² dx || 1 (
2² 1
(2)³ 1
)6(
)|
2 2
3
3
| 1,5 6 3 || 4,5 | 4,5
Definition 171:
Ist f(x)>g(x) für alle x mit a<x<b, das heißt verläuft der Graph von f zwischen a und b
oberhalb von g, so gilt für den Flächeninhalt A der von beiden Graphen über dem Intervall [a; b] eingeschlossenen Fläche
b
A ( f ( x ) g ( x ))dx
a
Wird f(x)>g(x) nicht beachtet, so erscheint das Ergebnis mit negativen Vorzeichen.
258-348
Beispiel 193:
Lösung:
259-348
Beispiel 194:
260-348
Beispiel 195:
261-348
Beispiel 196:
262-348
Beispiel 197:
263-348
Beispiel 198:
264-348
265-348
Uneigentliche Integrale
Gelegentlich gibt es Flächen, die „ins Unendliche“ reichen, also z. B. eine „offene rechte
oder linke Integrationsgrenze haben
Schauen wir uns am Anfang die Funktion f ( x )
1
. Und zwar nur den Teil im 1. Quadx²
ranten.
Wenn wir nun die Fläche über dem Intervall [0; 1] berechnen wollen, stellen wir fest,
dass die y-Achse eine Asymptote ist und es somit keinen Schnittpunkt mit der y-Achse
gibt.
1
Die Fläche „reicht ins Unendliche“. Zu ihrer Berechnung kann man das Integral
f ( x)dx
0
nicht verwenden. Denn dieses Integral ist nicht definiert, weil f nicht im ganzen Intervall [0; 1] definiert ist. Außerdem ist f unbeschränkt.
Zur Berechnung der Fläche verspricht folgender Gedanke Aussicht auf Erfolg.
1
Wir berechnen
f ( x)dx
1
(für 0<a<1) und bestimmen den Grenzwert lim f ( x)dx (a>0).
a 0
a
266-348
a
Wollen wir dies also mal tun. Zur Berechnung benötigen wir die Stammfunktion der
Funktion f.
f ( x)
1
1
1
x 2 ; F ( x)
x 21
x²
2 1
x
Somit erhalten wir:
1
1
1
1
lim dx lim[ ] lim(1 )
a 0
a
0
a
0
x²
a
a
1
x
a
1
existiert nicht. Gibt es also doch keinen Grenzwert? Ist unsere
a
Idee doch nicht so aussichtsreich, wie wir uns das gedacht haben?
Der Grenzwert lim
a0
Wir halten fest:
Für a 0 übersteigt der Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen der Funktion f
1
mit f ( x )
von a bis 1 jede Schranke.
x²
Nicht verzweifeln, nehmen wir einfach ein weiteres Beispiel.
Wir wollen von dieser Funktion f mit f ( x )
1
die Fläche über dem Intervall [1; ] bex²
rechnen.
Und gehen genauso wie oben vor. Wir erhalten:
b
1 lim( 1 1) lim( 1 ) lim1 0 1 1
1
1
dx
lim
dx
lim
[
] b b
1 x² b 1 x² b
b
b b
b
x
1
Die Fläche von f über diesem Intervall beträgt also 1.
Wir sehen, dass unsere Idee doch nicht so schlecht ist.
Halten wir erst einmal unser Ergebnis fest:
267-348
Die Fläche unter dem Graphen der Funktion f mit f ( x )
1
von 1 bis Unendlich hat
x²
den Flächeninhalt 1.
Weil es so gut geklappt hat, nehmen wir uns nun eine zweite Funktion. Und zwar g mit
1
g ( x)
.
x
Die Funktion sieht wie folgt aus:
Auch hier wollen wir die Fläche über dem Intervall [0; 1] berechnen. Auch hier stoßen
wir auf das gleiche Problem. Die Fläche „reicht ins Unendliche“. Zu ihrer Berechnung
1
kann man das Integral
g ( x)dx
nicht verwenden. Denn dieses Integral ist nicht defi-
0
niert, weil g nicht im ganzen Intervall [0; 1] definiert ist. Außerdem ist g unbeschränkt.
Zur Berechnung der Fläche gehen wir mit derselben Methode wie oben vor.
1
Wir berechnen
1
g ( x)dx (für 0<a<1) und bestimmen den Grenzwert lim g ( x)dx (a>0).
a 0
a
a
Wollen wir dies also mal tun. Zur Berechnung benötigen wir die Stammfunktion der
Funktion g.
1
1
1
1
1
2
g ( x)
x ; G ( x)
x 2 2 x
1
x
1
2
Wir berechnen den Flächeninhalt:
1
0
1
1
1
dx lim
dxdx lim[2
a 0
a 0
x
x
a
1
x]
a
lim(2 2 a ) lim 2 lim 2 a ) 2 0 2
a 0
268-348
a 0
a 0
Beispiel 199:
Der Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen der Funktion g ( x)
1
von 0 bis 1
x
beträgt 2.
Berechnet auch hier die Fläche über dem Intervall [1; ] :
1
b
1
1
dx lim
dx lim[2
b
b
x
x
1
b
x]
1
lim(2 b 2) lim 2 b lim 2
b
b
b
Der Grenzwert existiert nicht, da lim 2 b beliebig groß wird.
b
Für b übersteigt der Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen der Funktion g
1
mit g ( x)
von 1 bis b jede Schranke.
x
Beispiel 200:
269-348
Definition 172:
(1) Die Funktion f sei stetig für alle x>a bzw. für alle x<b. Dann sei
a
c
f ( x)dx lim f ( x)dx
c
a
b
b
f ( x)dx lim
c
f ( x)dx
c
(2) Die Funktionen f sei stetig für ]a; b] bzw. [a; b[. Dann sei:
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx , falls f definiert ist für ]a; b[;
a
b
a
ca
c
c
f ( x)dx lim f ( x)dx , falls f definiert ist für [a; b[.
c b
a
Die Integrale links vom Gleichheitszeichen nennt man uneigentliche Integrale. Existiert
der Grenzwert rechts vom Gleichheitszeichen nicht, existiert das uneigentliche Integral
nicht.
270-348
Bestimmte Integrale für ganzrationale Funktionen
Beispiel 201:
271-348
Bestimmte Integrale für gebrochen rationale Funktionen
Beispiel 202:
Nenner ohne Summe: Einzelbruchzerlegung
Beispiel 203:
272-348
Nenner mit Summe: Einfache Substitution
Beispiel 204:
HINWEIS: Beim unbestimmten Integral endete jede Substitution mit der Rücksubstitution, die wieder auf x zurückgeführt hat. Wenn man hier auch die Integrationsgrenzen
nach u umrechnet, kann man sich dies sparen!
Beispiel 205:
273-348
Nenner mit Summe: Erweiterte Substitution
Beispiel 206:
274-348
Erweiterte Substitution quadratischer Nenner
Beispiel 207:
275-348
Ergänzungen
276-348
Extremwertaufgaben
Extremwertaufgaben für eine Variable:
Definition 173:
Übersetzen Sie den Aufgabentext in eine mathematische Fragestellung!
Finden Sie eine Formel für die zu optimierende Größe (die sog. Zielfunktion)!
Falls die Zielfunktion von mehreren Variablen abhängt, so suchen Sie Gleichungen (die
sog. Nebenbedingungen), die die Anzahl der Variablen in der Zielfunktion reduzieren,
bis möglichst nur noch eine übrig bleibt!
Fertigen Sie ggfs. eine Skizze mit den entsprechenden Größen an.
Legen Sie für diese Variable den Gültigkeitsbereich (den sog. zulässigen Bereich) fest!
Formulieren Sie die mathematische Fragestellung für die veränderte Zielfunktion unter
Einbeziehung des Gültigkeitsbereichs!
Bestimmen Sie die relativen Extrema der Zielfunktion im zulässigen Bereich!
Bestimmen Sie das absolute Extremum der Zielfunktion für die verbliebene Variable
durch Vergleich der Zielfunktionswerte:
Die Kandidaten sind die relativen Extrema und die Randwerte des zulässigen Bereiches!
Berechnen Sie alle übrigen relevanten Größen!
277-348
Beispiel 208:
278-348
279-348
Beispiel 209:
280-348
281-348
Beispiel 210:
282-348
Beispiel 211:
283-348
284-348
Beispiel 212:
285-348
Trigonometrische Zusammenhänge
Trigonometrische Grundlagen
Die Trigonometrie (trigonon - griechisch für Dreieck) und die trigonometrischen Funktionen sind wichtige mathematische Werkzeuge für die Beschreibung der Natur.
In der Physik werden trigonometrische Funktionen zur Beschreibung von Schwingungsvorgängen (z.B. die Pendelschwingung, die elektrische Schwingung, Saitenschwingung
und Schwingungen bei Wellen) benötigt.
Definition des Sinus im Dreieck
Der Sinus eines Winkels kann mit Hilfe eines rechtwinkligen Dreiecks definiert werden
(siehe Abbildung).
Er ergibt sich aus dem Quotienten der Gegenkathete und der Hypotenuse. Der Wert,
der sich daraus ergibt, ist unabhängig von der Größe des Dreiecks:
Definition 174:
sin
a
c
Um die Funktion des Sinus zu gewinnen, wird das Dreieck in den Einheitskreis, der wiederum in ein xy-Koordinatensystem eingebettet ist, gesetzt (Abbildung).
Die Hypotenuse ist der Radius r des Kreises, der den Kreis im Punkt P schneidet. Die y Koordinate von P ist dann gleich dem Sinus des Winkels , denn der Radius r des Einheitskreises ist 1 und damit gilt:
sin
y
y0
r
Dies gilt für alle Punkte des Einheitskreises und damit für beliebige Winkel zwischen
0° und 360° (Gradeinteilung) und alle Werte zwischen 0 und (Radeinteilung).
286-348
Der Einheitskreis
Der Einheitskreis wird benutzt, um die grundlegenden Funktionen, z.B. in der Trigonometrie, zu definieren. Er ist in ein rechtwinkliges Koordinatensystem eingebettet. Der
Ursprung dieses Koordinatensystems fällt mit dem Mittelpunkt des Kreises zusammen.
Der Radius hat den Wert 1. Diese Tatsache erleichtert die Definition von Funktionen.
Genauso wie das Koordinatensystem nennt man die einzelnen Abschnitte des Kreises
Quadranten. Der 1. Quadrant liegt im vollständig positiven Teil des Koordinatensystems. Die weiteren Quadranten werden gegen den Uhrzeigersinn gezählt.
Winkel im Einheitskreis werden durch einen Zeiger dargestellt, der seinen Ursprung im
Mittelpunkt hat und am Kreisrand endet. Wenn der Zeiger auf der positiven x -Achse
liegt, hat man den Anfangswinkel α 0 . Wenn man mit dem Zeiger alle Quadranten abgefahren hat und wieder zum Ausgangspunkt zurückgekehrt ist, hat man einen vollen
Winkel.
Es gilt weiterhin folgende Verabredung:
Wenn der Zeiger gegen den Uhrzeigersinn verläuft, dann werden die Winkel positiv
gezählt, wenn der Zeiger mit dem Uhrzeigersinn läuft, wird er negativ gezählt.
Berechnung von Bogen- und Gradmaß
Winkel im Einheitskreis können auf zwei Arten, dem Gradmaß und dem Bogenmaß, gemessen werden:
Mit dem Gradmaß wird in der Geometrie gemessen. In der Mathematik allerdings und
vor allem in der Physik wird meistens das Bogenmaß verwendet. Beide Berec hnungen
des Winkels stehen im Zusammenhang zueinander.
Im Gradmaß gehen die Winkel vom Anfangswinkel 0° bis zum vollem Winkel von 360°.
Im Bogenmaß von 0 rad bis 2 rad ( ist die Kreiszahl mit dem Wert =
3,141592654..).
Daraus ergeben sich zur Umrechnung von Gradmaß ins Bogenmaß oder umgekehrt folgende Gleichungen, mit als der Winkel in Grad und im Bogenmaß:
287-348
Definition 175:
Gradmaß ins Bogenmaß :
360
2
und
Bogenmaß ins Gradmaß:
2
360
Beispiel 213:
Die Sinusfunktion
Eine graphische Darstellung der Sinusfunktion
y sin( x)
gewinnt man, wenn man die Beziehung zwischen x und sin (x) in einem Koordinatensystem darstellt. Die y-Koordinate wird als Zeiger dargestellt. Dieser wandert in dem
neuen Koordinatensystem entlang der x-Achse und zeichnet so die Sinusfunktion.
Definition 176:
Die Sinusfunktion für beliebige Amplituden, Perioden und Phasen kann durch die Formel
y A sin( bx c)
beschrieben werden. Die y-Koordinate ist in dieser Formel nicht nur von der x-Koordinate bzw. vom Winkel abhängig, sondern auch von der AMPLITUDE A, der PERIODE b
und der PHASE c.
288-348
Die Amplitude der Sinusfunktion
Die Sinusfunktion nimmt mindestens den Wert -1 und höchstens den Wert +1 an. Multipliziert man die Sinusfunktion mit einem konstanten Faktor A, so erhält man eine
Funktion, die den gleichen periodischen Charakter hat. Die Nullstellen verändern sich
nicht, aber deren Maxima bzw. deren Minima nehmen den Wert A bzw. -A an.
Definition 177:
Die Amplitude ist der Faktor A in der Funktion y A sin( bx c)
Beispiel 214:
289-348
Periode der Sinusfunktion
Wenn das Argument x in der Gleichung
y A sin( bx c)
mit einem konstanten Faktor b multipliziert wird, dann spricht man von einer Änderung
der Periode der Sinusfunktion. Die Periode sagt etwas darüber aus, wie oft eine Schwingung in einem bestimmten Wertebereich (wie z.B. -4 bis +4 ) oszilliert.
Für die Physik ist auch interessant, wie oft eine Schwingung in einem bestimmten Zeitintervall vollzogen wird. Dort trifft man auch häufig auf die Notation:
y sin( t )
Statt der Konstanten b, steht hier das Symbol . Dies ist die Kreisfrequenz oder die
Anzahl der Schwingungen im Zeitintervall 2 sec . t hat in obigen Gleichung häufig die
Bedeutung der Zeit.
Es gilt:
2
Die Frequenz ist die Zahl der Schwingungen im Zeitintervall 1 sec.
Allgemein lässt sich für jede Notation sagen, dass, wenn die Periode b groß ist, mehr
Schwingungen durchgeführt werden und wenn b klein ist, dass weniger Schwingungen
vollzogen werden.
290-348
In einer Tabelle sind noch mal im Vergleich die Werte der Sinusfunktion für die Periode
b=1 und b=2 angegeben und in einer Abbildung die entsprechenden Graphen.
Die Phase der Sinusfunktion
Hier soll die Bedeutung der Konstanten c in der Gleichung
y A sin( bx c)
diskutiert werden. Dem Argument der Sinusfunktion ist eine additive Konstante zugefügt.
Das heißt, mit Hilfe der Phase wird der Nulldurchgang entweder nach links oder nach
rechts verschoben.
Wenn die Phase c einen positiven Wert hat, wird die Sinusfunktion nach links vom Koordinatenursprung aus gesehen verschoben und wenn c einen negativen Wert hat, wird
die Sinusfunktion nach rechts verschoben.
Definition 178:
Die Phase ist eine additive Konstante im Argument der Sinus-Funktion
y A sin( bx c)
Verschiedene Werte sind in den Abbildungen oder in einer Tabelle und Abbildung noch
mal dargestellt.
291-348
292-348
In der Physik ist mit c oft eine zeitliche Verschiebung gemeint. Ein Sinussignal wird
zeitlich nach links verschoben, wenn die Phase positiv ist. Der Startpunkt des betrachteten Abschnitts der Sinusfunktion wird also nach links verschoben. Umgekehrt wird
der Startpunkt nach rechts verschoben bei einer negativen Phase. Es wird oft z. B. die
Bezeichnung:
y sin( t D
verwendet.
Zwischen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion gibt es einen Zusammenhang, der
auf der Phase beruht. Die Kosinusfunktion ist um /2 gegenüber der Sinusfunktion verschoben. Mehr dazu im Abschnitt über Zusammenhang zwischen Sinus - und Kosinusfunktion.
293-348
Definition des Kosinus im Dreieck
Geometrisch ist der Kosinus definiert als Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse im
rechtwinkligen Dreieck (siehe Abbildung):
cos
b
c
Genauso wie bei der Sinusfunktion wird das Dreieck in den Einheitskreis gesetzt (Abbildung).
Die Hypotenuse wird zum Radius r des Kreises und schneidet den Kreis im Punkt P. Der
Kosinus des Winkels ist der x-Achsenabschnitt zum entsprechenden Punkt P.
Definition 179:
Der Kosinus eines Winkels ist gleich der x-Komponente des zu gehörenden Punktes P auf dem Einheitskreis.
Deswegen kann man schreiben:
x cos
da r = 1 ist.
Normalerweise wird x immer als die Variable benutzt, für die immer andere Werte gesetzt werden.
Sie wird auch als Laufvariable oder unabhängige Variable bezeichnet. In diesem Fall ist
sie allerdings die abhängige Variable, weil der Wert, den sie hat, von dem Wert den
hat abhängig ist.
294-348
Dies ist allerdings unüblich und deswegen wollen wir zu der Notation zurückkehren, in
der x die unabhängige und y die abhängige Variable ist. Im Folgenden wird also die
unabhängige Variable durch x ersetzt und die abhängige Variable x durch y ersetzt.
Definition der Kosinusfunktion
Genauso wie bei der Herleitung der Sinusfunktion geht man bei der Herleitung der Kosinusfunktion vor:
y cos x
Von dem Schnittpunkt des Zeigers mit dem Einheitskreis wird ein Lot gefällt und der
dazugehörige x-Achsenabschnitt bestimmt. Dieser Wert wird der Kosinusfunktion im
Graphen als y-Achsenabschnitt zugeordnet.
Die Kosinusfunktion für beliebige Amplituden, Perioden und Phasen kann durch die
Formel
y A cos(bx c)
dargestellt werden.
In einer Tabelle werden einige markante Punkte der Kosinusfunktion aufgelistet, die
Nullstellen, die Maxima und die Minima des Graphen.
Die Kosinusfunktion ist zudem, wie die Sinusfunktion auch, von der AMPLITUDE A, der
PERIODE b und der PHASE c abhängig.
295-348
In Bogenmaß:
In Grad:
Zusammenhang zwischen Sinus- und Kosinusfunktion
Aus der Graphik kann man entnehmen, dass die Strecke zwischen 0 und P zusammen
mit der x-Achse den Winkel bildet.
Der Punkt P 1 geht dadurch hervor, dass von ein rechter Winkel abgezogen wird.
296-348
Dann gilt:
1
2
Aus der Grafik ist weiterhin zu entnehmen, dass
sin cos 1 cos
2
Durch Umformung erhält man dann auch folgenden Zusammenhang:
cos sin
2
nach links verschobene Si2
nusfunktion ist. Umgekehrt kann man auch sagen, das die Sinusfunktion eine um
2
nach rechts verschobene Kosinusfunktion ist.
Man kann also sagen, dass die Kosinusfunktion eine um
297-348
Wendet man den Satz von Pythagoras auf das das rechtwinklige Dreieck in der Abbildung an,
so ergibt sich
sin 2 cos2 1
Durch Umformung und Wurzelziehen erhält man dann die folgenden Ausdrücke, die oft
benutzt werden:
sin 1 cos2
und
cos 1 sin 2
Definition des Tangens
Der Tangens eines Winkels kann geometrisch definiert werden als Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete
.
Aus den vorhergehenden Abschnitten ist bekannt, dass als Definition für die anderen
beiden trigonometrischen Funktionen gilt
298-348
und
.
Damit findet sich dann folgender Zusammenhang zwischen Sinus, Kosinus und Tangens:
.
Die Funktion des Tangens selber lässt sich ebenfalls wie beim Kosinus und beim Sinus
auch am Einheitskreis herleiten (Abbildung).
Dazu wird im Punkt (0;1) eine Tangente am Einheitskreis errichtet. Der Zeiger, der vom
Mittel- bzw. Nullpunkt des Kreises bzw. des Koordinatensystems bis zum Punkt P reicht,
wird über den Punkt P verlängert, bis er die Tangente im Punkt S schneidet. Der y Achsenabschnitt auf der Tangente (hier in dem Beispiel orange gekennzeichnet) ist
dann jeweils der Tangens.
Definition 180:
Der Tangens eines Winkels ist gleich der y-Komponente des Schnittpunktes S der
Tangente, die am Einheitskreis anliegt.
Weiteres im nächsten Abschnitt, indem noch etwas genauer auf die Tangensfunktion
eingegangen wird.
299-348
Definition der Tangensfunktion
Die Funktion des Tangens wird wieder am Einheitskreis definiert.
Im Bogenmaß:
In Grad:
300-348
Wie im Abschnitt Definition der Tangensfunktion im Dreieck angesprochen, wird im
Punkt (1;0) eine Tangente angelegt (Abbildung).
Der Zeiger, der vom Nullpunkt des Einheitskreises ausgeht, schneidet zuerst den Einheitskreis und dann die Tangente und bildet so mit ihr den y-Achsenabschnitt, der den
Wert für den Tangens liefert.
Nähert sich der Wert von zum Beispiel dem Wert /2, dann wächst der Wert für den
Tangens über alle Grenzen, ins Unendliche. Wenn nun der Zeiger in den 2.Quadra nten
(90°-180°) des Einheitskreises wandert, wird auch hier der Zeiger zur Tangente hin verlängert, so dass der Schnittpunkt S an der Tangente einen negativen y -Achsenabschnitt
liefert.
In einer Tabelle
sind noch mal die wichtigsten Werte für den Tangens angegeben. Der Kehrwert des
Tangens wird als Kotangens bezeichnet. Er ist gegeben durch:
Definition 181:
.
301-348
Der Sinussatz
Der Sinussatz und der Kosinussatz sind zwei Erweiterungen der trigonometrischen
Funktionen, die an sich ja nur in rechtwinkligen Dreiecken definiert sind, auf beliebige
Dreiecke.
Der "Trick" dabei ist in beiden Fällen, das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwink lige
Teildreiecke zu "teilen". (Die Höhe steht senkrecht auf der Seite.)
In beiden Teildreiecken lässt sich nun die Definition des Sinus anwenden:
sin
Gegenkathete
Hypothenuse
Übertragen auf die beiden Teildreiecke:
sin
hc
b
sin
hc
a
Jeweils nach h c aufgelöst:
hc b sin
hc a sin
Da bei beiden Gleichungen rechts dasselbe, nämlich h c , steht, sind auch beide linken
Seiten der Gleichungen gleich:
a sin b sin
Wenn man durch a und b teilt, entsteht eine Verhältnisgleichung mit einander entsprechenden Größen in jedem Bruch:
sin sin
a
b
Entsprechend funktioniert es bei Teilung des Dreiecks durch die anderen Höhen, wobei
sich stets ergibt, dass sich die Verhältnisse zwischen Sinuswerten der Winkel und den
gegenüberliegenden Seiten jeweils paarweise gleichen.
Insgesamt gilt daher,
302-348
Definition 182:
sin sin sin
a
b
c
der Sinussatz.
Natürlich sind auch die Kehrwerte der Quotienten einander gleich. Es ergibt sich hier
noch die bemerkenswerte Tatsache, dass die Quotienten in dieser Form gleich dem
Durchmesser des Umkreises bzw. dem doppelten Radius sind.
a
b
c
2 rUmkreis
sin sin sin
Stillschweigend wurde bis jetzt vorausgesetzt, dass die Höhen innerhalb des Dreiecks
liegen.
Was ist, wenn eine Höhe außerhalb liegt, wie bei diesem Dreieck?
Nun wird das Dreieck nicht mehr in zwei rechtwinklige Teildreiecke "geteilt".
Allerdings entstehen auch hier zwei rechtwinklige Dreiecke. Das linke hat — wie oben
— die Gegenkathete h c und die Hypotenuse b, der Winkel ist nach wie vor . Auch das
rechte hat wieder die Hypotenuse a und die Gegenkathete h c .
Der einzige Unterschied besteht darin, dass hier der relevante Winkel nicht ist, sondern dessen Nebenwinkel ', wobei gilt: ' = 180° - .
Glücklicherweise ist die Sinusfunktion symmetrisch, u.a. mit der Achse 90°.
Es gilt:
sin(180° – ) = sin()
und, weil 180° – = ':
sin ' = sin
Daraus folgt unmittelbar, dass der Sinussatz auch in Dreiecken gilt, bei denen eine Höhe
außerhalb liegt, bei denen mithin ein Winkel größer als 90° ist.
Bei rechtwinkligen Dreiecken (z.B. = 90°) ist der Sinussatz äquivalent zur Definition
des Sinus, denn bei = 90° ist sin = 1. Außerdem ist a identisch mit h c . Somit gilt:
303-348
Der Kosinussatz
Der Kosinussatz wird auch als trigonometrischer Pythagoras bezeichnet. Das rührt daher, dass mit ihm wie beim Satz des Pythagoras eine fehlende Dreieckseite berechnet
werden kann, allerdings im Gegensatz zum Pythagoras, der ja nur für rechtwinklige
Dreiecke gilt, in jedem beliebigen Dreieck.
Man kann ja ein Dreieck eindeutig konstruieren, wenn man zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel gegeben hat (Kongruenzsatz SWS). Also zum Beispiel die Seiten b
und c und den Winkel in diesem Dreieck:
Die Seite a ist durch b, c und eindeutig bestimmt!
Der Kosinussatz dient nun dazu, die Länge der Seite a rechnerisch zu bestimmen. Das
kommt in der "Wirklichkeit" sehr häufig vor, z.B. bei Höhen- und Entfernungsbestimmungen.
304-348
Vorüberlegungen
Bevor ich zeige, wie man das mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus
bewerkstelligen kann, sind einige Vorüberlegungen nötig.
Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus gelten ja bekannter weise nur im rechtwinkligen Dreieck:
Die beiden Funktionen sind dabei so definiert:
sin
Gegenkathete a
Hypothenuse b
und
sin
Gegenkathete c
Hypothenuse b
Bei den trigonometrischen Funktionen gelten verschiedene interessante Rechengesetze. Das wichtigste und vielleicht schönste davon ist folgende Regel:
sin2 cos2 1
Um das zu beweisen, muss man für sin und cos jeweils die Definitionen mit den Dreiecksseiten einsetzen und den Term auflösen. Dabei muss beachtet werden, dass das
zugrundeliegende Dreieck rechtwinklig ist mit b als Hypotenuse.
Daher gilt: b 2 a 2 c 2
Somit ergibt sich folgende Vereinfachung des Terms:
Der Kosinussatz
Damit man die trigonometrischen Funktionen in einem nichtrechtwinkligen Dreieck anwenden kann, benutzt man eine Hilfskonstruktion: Man konstruiert die Höhe vom
Punkt C auf die Seite c:
305-348
Dadurch wird die Seite c in die zwei Abschnitte p und q zerteilt, und es entstehen zwei
rechtwinklige Dreiecke, die die Seite h gemeinsam haben. (Das folgende gilt aufgrund
dieser Konstruktion vorerst auch nur für diesen Fall, dass nämlich die Höhe innerhalb
des Dreiecks liegt.)
Zur Erinnerung: Das Ziel ist, eine Formel zu finden, mit der a berechnet werden kann,
wenn b, c und gegeben sind.
und b liegen im linken Dreieck, a liegt im rechten, c ist die Summe jeweils einer Kathete beider Dreiecke.
Die Idee ist nun, die beiden Dreiecke durch ihre gemeinsame Größe h rechnerisch zu
"verbinden", um mit den gegebenen Größen zur Größe a zu gelangen.
Im rechten Dreieck gilt (Pythagoras):
h2 a2 q2
Im linken Dreieck bringt man den gegebenen Winkel ins Spiel und berechnet:
h b sin
Da uns h letztlich nicht interessiert, kann die zweite Gleichung dazu verwendet werden,
h 2 in der ersten Gleichung zu ersetzen. Nach der zweiten Gleichung gilt nämlich:
h2 (b sin)2 b2 sin2
So kann man die beiden Gleichungen gleichsetzen, wobei h 2 letztlich verschwinden
kann:
b sin a2 q2
In dieser Gleichung sind und b bekannt, a soll berechnet werden, nur das q stört
noch! Um das q rauszuschmeißen, überlegt man sich, dass p q c .
Also ist
q cp
306-348
Außerdem gilt:
p b cos
Somit gilt:
q c b cos
Hier ist q nur mit bekannten Größen umschrieben worden!
Nun muss nur noch dieser Term ( c – b · cos() ) für q in die Gleichung b 2 · (sin()) 2 = a 2 – q 2 eingesetzt werden, und schon haben wir eine Gleichung,
in der nur noch a unbekannt ist!
b 2 · (sin())2 = a 2 – ( c – b·cos() 2
Zuerst wird die Klammer mit dem Quadrat rechts aufgelöst (2. binomische Formel):
b 2 · (sin())2 = a 2 – ( c2 – 2·b·c·cos() + b 2 ·(cos())2 )
Dann wird die Minusklammer aufgelöst:
b 2 · (sin())2 = a 2 – c2 + 2·b·c·cos() – b 2 ·(cos()) 2
Nun wird die Gleichung nach a 2 umgeformt:
a 2 = c2 – 2·b·c·cos() + b 2 ·(cos()) 2 + b 2 · (sin()) 2
Das b 2 wird ausgeklammert:
a 2 = c2 – 2·b·c·cos() + b 2 · [ (cos()) 2 + sin()) 2 ]
Nach obiger Regel gilt:
(cos())2 + (sin())2 = 1
und somit ist:
a2 c2 2·b·c·cos b2
Man zieht das b 2 nach vorne und erhält damit den Kosinussatz
Definition 183:
a2 b2 c2 2 b c cos
307-348
Trigonometrische Gleichungen
Trigonometrische Gleichungen können sehr kompliziert sein und sind oft nicht einmal
analytisch lösbar. Es gibt aber einige grundlegende trigonometrische Gleichungen, wie
sin(x)=a, cos(x)=a und tan(x)=a , die relativ einfache Lösungen haben.
Solche Gleichungen haben im allgemeinen Fall entweder gar keine, oder unendlich
viele Lösungen.
Wenn man aber den Winkel x irgendwie begrenzt, gibt es endlich viele Lösungen, genauso, wenn man zum Beispiel einen spitzen Winkel sucht.
Beispiel 215:
308-348
Beispiel 216:
Beispiel 217:
309-348
Kompliziertere trigonometrische Gleichungen
Wir werden hier einige Beispiele von komplizierteren trigonometrischen Gleichungen
geben.
Manche trigonometrische Gleichungen können vereinfacht werden, indem man die trigonometrischen Identitäten benutzt.
Beispiel 218:
Beispiel 219:
310-348
Beispiel 220:
Beispiel 221:
311-348
Vektorrechnung
Die Vektorgleichung einer Geraden
Wir betrachten eine Gerade als eindimensionale Punktmenge im 3-dimensionalen affinen Raum. Dies bedeutet, dass wir alle Punkte einer Geraden über ihre Ortsvekto ren
erreichen können. Doch die Lage der Geraden muss fixiert werden. Im ersten Fall tun
wir dies durch einen Punkt A, der auf der Geraden liegen muss, und durch einen Vektor
𝑢
⃗ , dessen Richtung die Richtung der Geraden vorgibt.
In dieser Abbildung steckt das ganze Geheimnis der vektoriellen Geradengleichung.
Die Gerade ist festgelegt durch den Aufpunkt A, d.h. durch dessen Ortsvektor
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = 𝑎, den man auch Stützvektor der Geraden g nennt, und durch ihren Richtungsvektor 𝑢
⃗.
Da wir Vektorrechnung betreiben und nicht Punktrechnung können wir nie direkt
einen Punkt berechnen, sondern immer nur dessen Ortsvektor.
Die Abbildung enthält nun 5 Punkte von g, die wir der Reihe nach ansehen:
Nun erkennt man das Prinzip: Entlang des Pfeiles ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 kommen wir zunächst einmal auf
die Gerade. Dann verwenden wir als weiteres Transportmittel den Vektor 𝑢
⃗ , und zwar
so oft, wie wir wollen, so bleiben wir auf g und gelangen zu einem weiteren Punkt der
Geraden g. Addieren wir also ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 mit einem beliebigen Vielfachen des Richtungsvektors,
also mit 𝑟𝑢
⃗ , dann erhalten wir den Ortsvektor des neuen Geradenpunktes.
312-348
Definition 184:
Beispiel 222:
Bemerkung 25:
Was ändert sich, wenn man für dieselbe Gerade einen anderen Aufpunkt wählt?
Wir nehmen einfach einen neuen Aufpunkt P 2 (6|0|-3).
Dann sieht die Gleichung natürlich anders aus:
Vom neuen Aufpunkt aus erreicht man natürlich ebenfalls alle Punkte von g, nur eben
mit einem anderen Parameterwert.
313-348
Bemerkung 26:
Kann man auch einen anderen Richtungsvektor verwenden? Aber sicher !
Jeder Vielfache von 𝑢
⃗ hat dieselbe Richtung und legt damit auch die Richtung von g
fest. Also könnten wir
verwenden. Dessen Pfeile sind doppelt so lang. Dies wirkt sich dann wieder bei der
Wahl des Parameters r aus. Vergleichen wir also die erste Gleichung mit dem Richtungsvektor 𝑢
⃗ mit der neuen mit dem Richtungsvektor 2𝑢
⃗:
Beispiel 223:
314-348
315-348
Das vektorielle Zugmodell
Dieser Tatbestand, dass man völlig verschieden aussehende Gleichungen für dieselbe
Gerade aufstellen kann, ist für den Anfänger verwirrend, weil er es gewohnt ist, immer
irgendwie eindeutige Ergebnisse in der Mathematik zu bekommen.
Man muss aber daran denken, dass die Geradengleichung ja nur ein Hilfsmittel zur Berechnung der Ortsvektoren ist, und somit noch nicht das Ergebnis.
Beispiel 224:
Beispiel 225:
316-348
317-348
Beispiel 226:
Lösung:
318-348
Beispiel 227:
Gegeben sind zwei Geraden. Überprüfen Sie, ob sie parallel sind.
Lösung:
319-348
320-348
Beispiel 228:
Berechnen Sie den Schnittpunkt der folgenden Geraden.
Lösung:
321-348
Beispiel 229:
Berechne den Schnittpunkt dieser Geraden.
Lösung:
Definition 185:
322-348
Beispiel 230:
Überprüfen Sie die Lage der folgenden Geraden.
Lösung:
323-348
Beispiel 231:
Überprüfen Sie die Lage der folgenden Geraden.
Wenn sie sich schneiden, dann berechnen Sie auch noch den Schnittpunkt.
Lösung:
324-348
Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen
Charakterisierung der Punkte auf den Koordinatenachsen
Definition 186:
Charakterisierung der Punkte in den Koordinatenebenen
325-348
Definition 187:
Schnittpunkte von Geraden mit den Koordinatenebenen
Diese Punkte heißen auch Durchstoßpunkte oder Spurpunkte der Geraden.
Die folgenden drei Beispiele entsprechen nur ungefähr der Abbildung!
Beispiel 232:
326-348
Beispiel 233:
327-348
Beispiel 234:
Besondere Lagen von Geraden
328-348
329-348
330-348
Der Mittelpunkt einer Strecke.
Beispiel 235:
331-348
Beispiel 236:
Die Seitenhalbierende
332-348
Teilpunkte einer Strecke.
333-348
Beispiel 237:
Beispiel 238:
Lösung:
334-348
Beispiel 239:
Lösung:
Beispiel 240:
Lösung:
335-348
Berechnung der Koordinaten des Schwerpunkts
Beispiel 241:
336-348
Ebenen
Erreichbarkeit von Punkten auf einer Ebene
337-348
338-348
Grundaufgaben zur Ebenengleichung
Beispiel 242:
Gegeben sind 3 Punkte einer Ebene E. Stelle die Gleichung der Ebene auf.
Lösung:
339-348
340-348
Beispiel 243:
Gegeben ist eine Ebene E durch ihre Gleichung. Berechne einzelne Ebenenpunkte.
Lösung:
341-348
Beispiel 244:
Gegeben ist eine Ebene E durch ihre Gleichung. Berechne die Schnittpunkte mit den
Koordinatenachsen.
Lösung:
342-348
Beispiel 245:
Gegeben ist eine Ebene E durch ihre Gleichung. Liegt ein gegebener Punkt P in der
Ebene?
Lösung:
343-348
Beispiel 246:
Gegeben ist eine Ebene E durch ihre Gleichung. Liegt ein gegebener Punkt P in der
Ebene?
Lösung:
Geraden in einer Ebene
344-348
Beispiel 247:
345-348
346-348
347-348
348-348
