7.7 Warum Ökonomen Elastizitäten benutzen?

1
Albert Ludwigs Universität Freiburg
Abteilung Empirische Forschung und Ökonometrie
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Dr. Sevtap Kestel
Winter 2008
27.Oktober 2008
7.7 Warum Ökonomen Elastizitäten benutzen?
•
Wie reagiert Nachfrage nach dem Gut auf Preisänderungen?
- Um wie viele Einheiten ändert sich die nachfragte Menge, wenn der Preis um 1 Euro steigt?
Antwort: eine Zahl, eine Anzahl von Einheiten.
_ Nachteile, Unzulänglichkeiten bei dieser Antwort.
* Preisänderung um 1 Euro bei einem Pfund Kaffee beträchtlich, bei einem Auto unerheblich!!
Grund: Wahl der Einheiten
•
Ausweg: betrachte relative Änderungen
- Um welche Prozentsatz ändert sich die nachfrage, wenn der Preis sich 1% ändert?
- Antwort unabhängig von den gewählten Einheiten (von Preis und Menge)
PREISELASTIZITÄT der Nachfrage.
z.B. Preiselastizität für Kartoffeln: -0.2
Interpretation: Eine Preiserhöhung um 1% bewirkt eine Verringerung der Nachfrage um 0.2%.
Preiselastizität der Nachfrage
Nachfrage nach einem Gut ist der Funktion des Preises: x=D(p)
Preisänderung von p auf (p+∆p) → ∆x = D ( p + ∆p ) − D ( p )
Relative Änderungen in:
i. Nachfrage
∆ ∆ ∆ ∆ ii. Preis
Quotient =
∆p
.
p
∆x x
∆p p
1% Preiserhöhung →
→
das Verhältnis zwischen zwei relativen Äderungen.
∆p
1
p
∆x x ∆x x ∆x
=
=
.100
=
⇒ ∆p =
, wirkt im Quotient =
p 100
100
∆p p 1 100 x
→ Prozentuale Änderung der nachgefragten Menge ist durchschnittliche Elastizität von x im
Intervall [p, p+∆p].
Quotient =
∆x x ( D( p + ∆p) − D( p) ) D( p)
p D( p + ∆p) − D( p)
=
=
.
∆p p
∆p p
D( p)
∆p
2
Wünschenswert: Elastizität von D an der Stelle p unabhängig von ∆p.
Wenn D differenzierbare Funktion von p, dann Grenzwert von Quotient, wenn ∆p→0
 p D( p + ∆p) − D( p)   p
D( p + ∆p) − D( p) 
p
=
=
lim 
.
. lim
D '( p) .


∆p →0 D ( p )
∆p
∆p

  D( p) ∆p →0
 D( p)
Definition: Elastizität einer beliebigen differenzierbaren Funktion f mit f ( x) ≠ 0 bezüglich x
El x f ( x) =
x
f '( x)
f ( x)
Beispiel 7.1: Sydsaeter/Hammond, 7.7 , Aufgabe 2
Eine Untersuchung der Verkehrswirtschaft verwendet die Beziehung T = 0.4 K 1.06 , wobei K die
Ausgaben für den Straßenbau und T ein maß für das Verkehrsaufkommen sind. Bestimmen Sie
die Elastizität von T bezüglich K.
Antwort: T = 0.4 K 1.06
Elk T ( K ) =
K
T '( K )
T (K )
d
T ( K ) = T '( K ) = (0.4).(1.06) K 0.06
dK
K
El K T ( K ) =
(0.4)(1.06).K 0.06 = 1.06 Elastizität ist Konstant.
1.06
0.4 K
Interpretation: Ein Anstieg der Ausgaben für Straßenbau um 1% eine verursacht Zunahme das
Verkehrsaufkommen um ungefähr 1.06.
Definition: Elastizität von f ( x ) = AK b (Potenz Funktion), A und b Konstante mit A ≠ 0 .
El x f ( x) =
x
x
f '( x) = b Abxb −1 = b
f ( x)
Ax
Die Elastizität der Potenzfunktion ist der Exponent (Konstant).
Beispiel 7.2: Gegeben der Nachfrage nach einem Gut ist der Funktion des Preises
D ( p ) = 8000 p −1.5
El p D ( p ) = −1.5
Interpretation: Erhöhung des Preises um 1% bewirkt einen Rückgang der Nachfrage um
≈ −1.5% .
Exakte Berechnung des Rückgangs der Nachfrage bei Preiserhöhung um 1% und p=5
∆p
1
5
=
⇒ NeuePreis=p+∆p = 5 +
= 5.05
p 100
100
3
Änderung der Nachfrage ist D(5.05)-D(5).
∆ 5.05 5 80005.05. 80005. 10.60
Prozentuale Änderung:
∆ 5.05 5 80005.05. 80005.
0.01481 1.481%
5
Anmerkung: Ökonomen verwenden oft die folgende Terminologie:
i.
Wenn El x f ( x ) > 1 , dann ist f elastisch an der Stelle x.
ii.
Wenn El x f ( x ) = 1 , dann ist f 1-elastisch an der Stelle x.
iii.
Wenn El x f ( x) < 1 , dann ist f unelastisch an der Stelle x.
iv.
Wenn El x f ( x ) = 0 , dann ist f vollkommen unelastisch an der Stelle x.
4
Kapitel 11
Funktionen mehrerer Variablen
11.1 Funktionen von zwei Variablen
Definition: Eine Funktion f von zwei Variablen x und z mit Definitionsbereich D ist eine Regel, die
jedem Punkt (x,y) in D eine Zahl f(x,y) zuordnet.
z = f ( x, y )
x und y → die Unabhängigen Variable (Exogene Variablen)
z
→ die Abhängige Variable (Endogene Variablen)
Beispiel 11.1: Eine Untersuchung der Nachfrage nach Milch (R. Frisch und T. Haavelmo) ergab den
Zusammenhang
F=A
m2.08
= Am2.08 p −1.5 , A ∈ R +
1.5
p
wobei F der Milchkonsum, p der relative Preis von Milch und m das Einkommen pro Familie ist.
DF := {(m, p ) : m ∈ R + , p ∈ (0, ∞)} = R + x(0,∞) ⇒ WF := { x : x ∈ R + } = R +
Definition: Cobb-Douglas-Funktion
F ( x, y ) = Ax a y b , A,a,b sind Konstanten. x ∈ R + , y ∈ R +
Beschreibung von Produktionsprozessen → x und y die Inputfaktoren
→ F(x,y) die Anzahl der produzierten Einheiten
Nachfrage nach Milch Beispiel definierte eine Cobb-Douglas-Funktion mit a=2.08, b=-1.5.
Die Änderung der Anzahl der produzierten Einheiten wenn der erste Inputfaktor um h Einheiten
geändert wird, während der andere Inputfaktor unverändert bleibt:
Beispiel 11.2: Der Nachfrage nach Milch mit Inputfaktoren m (Einkommen pro Familie) und p (Preis).
Sei ∆m = h , Änderung in Einkommen pro Familie → m+h; Preis bleibt unverändert.
Die Änderung der Milchkonsum ist
[ f (m + ∆m, p) − f (m, p)] = [ f (m + h, p) − f (m, p )]
[ f (m + h, p) − f (m, p)] = ( A(m + h)2.08 p −1.5 ) − ( Am 2.08 p −1.5 )
= Ap −1.5 ( (m + h)2.08 − m 2.08 )
h=1 Einheiten Veränderung in Einkommen pro Familie →
( (m + 1)
2.08
Milchkonsum.
Sei ∆p = h , Änderung in Preis → p+h; Einkommen bleibt unverändert.
Die Änderung der Milchkonsum ist
− m 2.08 ) mal Steigung in
5
[ f (m, p + ∆p) − f (m, p)] = [ f (m, p + h) − f (m, p)]
[ f (m, p + h) − f (m, p)] = ( Am2.08 ( p + h)−1.5 ) − ( Am2.08 p −1.5 )

1
1 
= Am 2.08 ( ( p + h) −1.5 − p −1.5 ) = Am 2.08 
− 1.5 
1.5
( p + h)
p 
144
42444
3
<0

1
1 
− 1.5  mal Verringerung in Milchkonsum.
1.5
p 
 ( p + 1)
h=1 Einheiten Veränderung in Preis → 
11.2 Partielle Ableitungen mit zwei Variablen
Frage: Wie schnell sich z=f(x,y) ändert, wenn die unabhängigen Variablen sich ändern?
z.B. gegeben z=f(x,y) der Gewinn einer Firma bei den Inputvariablen x und y ist, wie stark sich der
Gewinn ändert, wenn man die Inputvariablen ändert?
Definition: Partielle Ableitungen
Die Änderungsrate bezüglich x ist (wenn y fest ist)
Die Änderungsrate bezüglich y ist (wenn x fest ist)
∂z ∂f ( x, y )
=
= f x' ( x, y ) = f1' ( x, y )
∂x
∂x
∂z ∂f ( x, y )
=
= f y' ( x, y) = f 2' ( x, y)
∂y
∂y
Beispiel 11.3: Eine Untersuchung der Nachfrage nach Milch (R. Frisch und T. Haavelmo) ergab den
Zusammenhang
F=A
m2.08
= Am2.08 p −1.5 ⇒ F = f (m, p) , A ∈ R +
1.5
p
wobei F der Milchkonsum, p der relative Preis von Milch und m das Einkommen pro Familie ist.
Partielle Ableitungen von F bezüglich p und m sind:
Die Änderungsrate bezüglich m ist (wenn p fest ist):
∂F ∂F (m, p )
∂
=
= Fm' (m, p) = f1' (m, p) =
Am 2.08 p −1.5 ) = 2.08 Am1.08 p −1.5
(
∂m
∂m
∂m
∂F
> 0 , die Milchkonsum ist Monoton Steigend mit Einkommen pro Familie Änderungen!!
∂m
Die Änderungsrate bezüglich p ist (wenn m fest ist):
,
=
. ! . . ! 1.5.
6
∂F
< 0 , die Milchkonsum ist Monoton Fallend mit Preis Änderungen!!
∂p
Partielle Ableitungen Höherer Ordnung
Falls z=f(x,y) ist einer differenzierbarer Funktion in zweite Ordnung. Es gibt vier Funktionen heißen
die partiellen Ableitung zweiter Ordnung von f(x,y):
∂ 2 z ∂ 2 f ( x, y )
=
= f xx'' ( x, y) = f11'' ( x, y )
2
2
∂x
∂x
2
2
∂ z ∂ f ( x, y )
=
= f yy'' ( x, y ) = f 22'' ( x, y)
2
2
∂y
∂y
∂ 2 z ∂ 2 f ( x, y )
=
= f xy'' ( x, y) = f12'' ( x, y)
∂x∂y
∂x∂y
∂ 2 z ∂ 2 f ( x, y )
=
= f xy'' ( x, y) = f 21'' ( x, y )
∂y∂x
∂y∂x
∂2 z
∂2 z
=
∂x∂y ∂y∂x
Die 2x2 Hesse Matrix:
 ∂2 z
 2
∂x
H=  2
 ∂ z

 ∂y∂x
∂2 z 

∂x∂y 
∂2 z 

∂y 2 
Beispiel 11.4: Bestimmen Sie partielle Ableitungen erste und zweite Ordnung von
z = f ( x, y ) = x 3 y 2 + e 2 x
∂z ∂ 3 2 2 x
= ( x y + e ) = 3 x 2 y 2 + 2e 2 x
∂x ∂x
∂2 z ∂2 3 2 2x
∂z
= 2 ( x y + e ) = ( 3 x 2 y 2 + 2e2 x ) = 6 xy 2 + 4e2 x
2
∂x
∂x
∂x
∂z ∂ 3 2 2 x
= ( x y + e ) = 2 x3 y
∂y ∂y
∂2 z ∂2 3 2 2x
∂
= 2 ( x y + e ) = ( 2 x3 y ) = 2 x3
2
∂y
∂y
∂y
∂2 z
∂2
∂
=
x3 y 2 + e2 x ) = ( 3x 2 y 2 + 2e2 x ) = 6 x 2 y
(
∂x∂y ∂x∂y
∂y
7
∂2 z
∂2
∂
=
x 3 y 2 + e2 x ) = ( 2 x3 y ) = 6 x 2 y
(
∂y∂x ∂y∂x
∂x
Die 2x2 Hesse Matrix:
 ∂2 z
 2
∂x
H=  2
 ∂ z

 ∂y∂x
∂2 z 

∂x∂y   6 xy 2 + 4e 2 x
=
∂2 z   6 x2 y

∂y 2 
6 x2 y 

2 x3 
8
29.Oktober 2008
Kapitel 8
Univariate Optimierung
Sei D der Definitionsbereich der Funktion f(x).
i)
ii)
iii)
f hat Maximum in c ∈ D ⇔ f ( x) ≤ f (c) für alle x ∈ D ⇒ f (c) heißt Maximalwert, c
ein Maximum-Punkt
f hat Minimum in d ∈ D ⇔ f ( x) ≥ f (d ) für alle x ∈ D ⇒ f (d ) heißt Minimalwert, d
ein Minimum-Punkt .
Wenn wir uns nicht um die Unterscheidung zwischen Maximum- und Minimumpunkten
kümmern müssen ⇒ Extrempunkte
Strenge Maxima und Minima
i.
ii.
f hat Maximum in c ∈ D ⇔ f ( x) < f (c) für alle x ∈ D ⇒ f (c) heißt
Maximalwert, c ein striktes (strenges) Maximum-Punkt .
f hat Minimum in d ∈ D ⇔ f ( x) > f (d ) für alle x ∈ D ⇒ f (d ) heißt
Minimalwert, d ein striktes (strenges) Minimum-Punkt.
Wenn f ein Maximum in c hat, so hat (-f) ein Minimum in c ⇒
Jedes Maximierungsproblem kann ein Minimierungsproblem ungewandelt werden und
umgekehrt.
Beispiel 8.1: Bestimmen Sie mögliche Maximum- und Minimumpunkte für g ( x) =
1
( x + 1)2 − 3 .
3
Dg = R ⇒ Wg = [−3, ∞ )
(1 + x)2 = 0
⇒ x = −1 ⇒ g ( x) = −3 .
g ( x) = −3 wenn (1+x) 2 = 0 an der Stelle x=-1
Minimum wenn x=-1
Kein Maximum, da g(x) → ∞, wenn x → ±∞.
Stationäre Punkte
Definition: f differenzierbar in Intervall I und c ∈ I . Notwendige Bedingung für ein Maximum
oder Minimum in c ist, dass c ein stationär Punkt von f ist.
Für x=c f '(c) = 0 .
9
Beispiel 8.2: Bestimmen Sie ob x= -1 ein stationäre Punkte ist für g ( x) =
1
( x + 1)2 − 3 .
3
d
2
d
2
= g '(−1) = (−1 + 1) = 0 . JA!!
g ( x) = g '( x) = ( x + 1) ⇒ g ( x)
dx
3
dx
3
x =−1
8.2. Einfache Tests auf Extrempunkte
Untersuchung der ersten Ableitung
i.
ii.
Wenn f '( x) ≥ 0 für x ≤ c ⇒ und f '( x) ≤ 0 für x ≥ c, dann ist x=c ein Maximalpunkt
von f.
Wenn f '( x) ≤ 0 für x ≤ c ⇒ und f '(x) ≥ 0 für x ≥ c, dann ist x=c ein Minimalpunkt
von f.
Beispiel 8.3: Bestimmen Sie ob x= -1 ein Minimum Punkte ist für g ( x) =
1
( x + 1)2 − 3 .
3
d
2
2
g ( x) = g '( x) = ( x + 1) ⇒ g '( x) = 0 ⇒ ( x + 1) = 0 ⇒ x* = −1 .
dx
3
3
Wenn x= -1 ⇒ g '(−1) =
2
(−1 + 1) = 0
3
Wenn x= -1.1<-1 ⇒ g '(−1.1) =
2
(−1.1 + 1) < 0
3
Wenn x= -0.9>-1 ⇒ g '(−0.9) =
2
(−0.9 + 1) > 0
3
Ja! x=-1 ist ein Minimumpunkte.
Extrempunkte für konkave und konvexe Funktionen
f zweimal differenzierbar in I, dann gilt:
*
f ist konkav ⇔ f "( x) ≤ 0 für alle x ∈ I .
Wenn f '(c) = 0 für inneren Punkt c ∈ I , dann
f '( x) ≥ 0 links von c und f '( x) ≤ 0 rechts von c ⇒ f hat Maximum in c.
*
f ist konvex ⇔ f "( x) ≥ 0 für alle x ∈ I .
Wenn f '(c) = 0 für inneren Punkt c ∈ I , dann
f '( x) ≤ 0 links von c und f '( x) ≥ 0 rechts von c ⇒ f hat Minimum in c.
10
Beispiel 8.4: Zeigen Sie dass f konvex ist und bestimmen Sie das Minimum für
1
g ( x) = ( x + 1)2 − 3 .
3
d
2
g ( x) = g '( x) = ( x + 1)
dx
3
2
d
2
g ( x) = ≥ 0
2
dx
3
⇒ g(x) ist konvex
2
g '( x) = 0 ⇒ ( x + 1) = 0 ⇒ x* = −1
3
g(x) hat Minimum für x=-1.
Beispiel 8.5: Durch die Produktion und den Verkauf von Q Einheiten eines Produkts hat ein
Unternehmen die Erlöse
R(Q) = −0.0012Q2 + 40Q und die Kosten C (Q) = 0.0008Q2 + 4Q + 32000 .
Berechnen Sie die Maximalen Gewinn.
Gewinnfunktion:
π '(Q) =
π (Q) = R(Q) − C (Q) = −0.002Q2 + 36Q − 32000
d
(−0.002Q 2 + 36Q − 32000) = 0 ⇒ −0.004Q + 36 ⇒ Q* = 9000 > 0
dQ
Die zweite Ableitung:
π ''(Q) =
d2
d
(−0.002Q 2 + 36Q − 32000) =
( −0.004Q + 36 ) = −0.004 < 0
2
dQ
dQ
*
Es liegt ein Maximum vor an der Stelle Q = 9000 .
Der Maximale Gewinn ist
π (9000) = −0.002(9000)2 + 36(9000) − 32000 = 130000 .
11
8.4. Der Extremwertsatz
Sei f eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen beschränktem Intervall [a,b].
Dann existiert ein Punkt d Є[a,b], in dem f ein Minimum, und ein Punkt c Є[a,b], in dem f
ein Maximum hat, so dass
"# $ " $ "% "ü' ())* + ,(, -.
Problem: Finde Maximum und Minimum einer differenzierbaren Funktion auf einem
abgeschlossenen beschränkten Intervall [a,b].
Lösung:
i.
Bestimme alle stationären Punkte von f in (a,b), d.h. alle punkte
+ (, -/0 " 1 0
ii.
Berechne Funktionswerte von f in den Endpunkten a,b und in allen stationären
Punkten.
iii.
Der größte der in (ii) bestimmten Funktionswerte ist das Maximum, der Kleineste
ist das Minimum.
Beispiel 8.6:
Finden Sie Maximum- und Minimumwert von
" 2 12 "ü' ())* + ,
3,5.
Lösung:
f ist überall differenzierbar und
" 1 3 12
" 1 0 50(0/67ä'*7 9:7;0*
" 1 3 12 0 2, 2
x
-3
-2
2
5
f(x)
9
16
-16
65
Minimum
Maximum
Beispiel 8.7: Die Produktionsfunktion eines Unternehmens sei
Q( A) = 9 A2 −
1 3
A , A ∈ [0,100] wobei A die Anzahl der Arbeitskräfte bezeichne.
16
a. Welche Anzahl von Arbeitskräften maximiert den Output Q(A)?
b. Welche Anzahl maximiert den Output pro Arbeitskraft Q(A)/A?
d
3
3
Q( A) = 18 A − A2 = 0 ⇒ A(18 − A) = 0 ⇒ A = 0, A = 96
a.
dA
16
16
A=0 ist einer Randpunkt. A=96 ist ein innerer Punkt.
12
Kandidaten für ein Maximum sind
A=0 ⇒ Q(0) = 0
A=96 ⇒ Q(96) = 27648
Maximum
A=100 ⇒ Q(100) = 27500
b.
Q( A)
1
= 9 A − A2 ⇒
A
16
2
 Q( A) ′

 = 9 − A = 0 ⇒ A = 72
16
 A 
2
 Q( A) ′′

 =− <0
16
 A 
Die Funktion ist konkav und im punkt A=72 gibt Maximum.
Beispiel 8.8:
Finden Sie Maximum- und Minimumwert von
" 1/2 2 "ü' ())* + ,0,9.
Lösung:
>
" 1 2 1? 2@>/?
x
0
1
9
A 1 ist innere Punkt, in den " 1 nicht existiert.
f(x)
3
2
6
Minimum
Maximum
Beispiel 8.9:
Finden Sie Maximum- und Minimumwert von
" 2 "ü' ())* + B
Lösung:
" 1 3 Keine Maximum- und Minimumwert in Intervall R!!
13
Beispiel 8.10:
Finden Sie Maximum- und Minimumwert von
C
" * @ "ü' ())* + ,
2,1.
Lösung:
C
" 1 2* @ 0 0
x
f(x)
D
-2
* 0.0183
0
1
1
* 0.3678
Minimum
Maximum
8.6. Lokale Extremwerte
Bisher: Suche nach Optimum über alle Punkte aus dem Definitionsbereich.
Jetzt: Vergleich nur mit Punkten in der Nähe
Die Funktion f hat ein lokales Maximum an der Stelle c+ F, G, so dass f(x)≤f(c) für alle
x+ F, G, für die f definiert ist.
Die Funktion f hat ein lokales Minimum an der Stelle c+ F, G, so dass f(x)≥f(c) für alle
x+ F, G, für die f definiert ist.
ERSTE ABLEITUNG TEST:
Sei c ein stationärer Punkt für y=f(x).
a. Wenn " 1 H 0 in einem Intervall (a,c) und
" 1 $ 0 in einem Intervall (c,b),
dann ist x=c ein lokaler Maximumpunkt für f.
b. Wenn " 1 $ 0 in einem Intervall (a,c) und
" 1 H 0 in einem Intervall (c,b),
dann ist x=c ein lokaler Minimumpunkt für f.
c. Wenn " 1 I 0 in einem Intervall (a,c) und in einem Intervall (c,b),
dann ist x=c kein lokaler Extrempunkt für f.
ZWEITE ABLEITUNG TEST:
Die Funktion f sei in einem Intervall I zweimal differenzierbar und c sei innerer Punkt von I.
Dann gilt:
a. " 1 % 0 :7# " 11 % J 0 % ist x=c ein lokaler Maximumpunkt für f.
b. " 1 % 0 :7# " 11 % I 0 % ist x=c ein lokaler Minimumpunkt für f.
c. " 1 % 0 :7# " 11 % 0 ?? Minimum, Maximum, Wendepunkt??
14
Beispiel 8.11: Finden Sie Maximum- und Minimumwert von
" 2
"ü' ())* + B
Lösung:
" 1 2 1 0 "KK 2 >0 x
(
∞, 1/2
50(0/67ä' 9:7;0
ist lokaler Minimum Punkt. Keine Maximum!!
f(x)
" 1 <0
"KK
>0
-3/2
Minimum
0
>0
>0
>0
( , ∞
Beispiel 8.12:
Finden Sie Maximum- und Minimumwert von
" 2 12 "ü' ())* + B
Lösung:
F ist überall differenzierbar und
" 1 3 12
" 1 0 50(0/67ä'*7 9:7;0*
" 1 3 12 0 2, 2
"K1 6 0 M*77 J 0 /50, #(77 "K1 J 0, M*77 I 0 /50, #(77 "K1 I 0 ? x
(
∞, 2
-2
(
2,2
2
(2, ∞
f(x)
16 Maximum
-16 Minimum
" 1 >0
0
<0
0
>0
"KK
<0
-12<0
(?)
12>0
>0
8.7. Wendepunkte
Kap. 6.9.:
• f zweimal differenzierbar heißt KONKAV in Intervall I, wenn
" 11 $ 0 "ü' ())* ЄP.
• f zweimal differenzierbar heißt KONVEX in Intervall I, wenn
" 11 H 0 "ü' ())* ЄP.
Der Punkt c heißt ein Wendepunkt der Funktion f, wenn es ein Intervall (a,b) um c herum
gibt, so dass
a. "KK H 0 /7(, %:7# " 11 $ 0 /7 %, -, oder
b. "KK $ 0 /7(, %:7# " 11 H 0 /7 %, -.
15
Beispiel 8.13: Finden Sie die Wendepunkt von
" 2
"ü' ())* + B
Lösung:
" 1 2 1 0 50(0/67ä' 9:7;0
"KK 2 >0 immer!!! Funktion ist KONVEX in R. Keine Wendepunkt!!
x
(
∞, 1/2
f(x)
-------
" 1 <0
"KK
>0
-3/2
Minimum
------
0
>0
>0
>0
( , ∞
Beispiel 8.14:
Finden Sie Wendepunkten von
" 2 12 "ü' ())* + B
Lösung:
f ist überall differenzierbar und
" 1 3 12
" 1 0 50(0/67ä'*7 9:7;0*
" 1 3 12 0 2, 2
"K1 6 0 0
x
(
∞, 0
0
(0, ∞
"KK
<0 Konkav
0 Wendepunkt
>0 Konvex
f(x)
----0
------
Beispiel 8.15: Finden Sie Maximum- und Minimumwert von
" Q 2 R 2 1
Lösung:
" 1 2 2 2 0 "ü' ())* + B
2
1 2 0 x=-1 und x=2 stationäre Punkten
" 11 2 2 " 11 2 S T 0 x
(
∞, 1
-1
(-1,1/2 )
1/2
(1/2, 2)
2
(2, ∞
f(x)
------(75/54)= 1.3889
------86/72
------(-6/54)= -0.111
--------
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0
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0
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" 1 "KK
<0 Konkav
-1<0
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0 Wendepunkt
>0 Konvex
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