Ubungsblatt 1 - Universität Basel

Universität Basel
Prof. Dr. Enno Lenzmann
Infinitesimalrechnung I
21.09.2012
Übungsblatt 1
Abgabe: Am Freitag den 28.09. in der Vorlesung oder bis 12:00 Uhr im Mathematischen Institut (in das jeweilige Assistentenfach beim Eingang).
Hinweis: Die Aufgaben mit * sind für das Ergänzungsprogramm bestimmt.
Aufgabe 1. Von den folgenden Aussagen sei genau eine richtig:
a) Erika hat mehr als hundert Bücher.
b) Erika hat weniger als hundert Bücher.
c) Erika hat mindestens ein Buch.
d) Erika hat kein Buch.
Wieviele Bücher hat Erika? (D. h. finde die Anzahl n ∈ N von Büchern, die Erika
besitzen muss, so dass genau eine der Aussagen a)–d) zutrifft.)
Aufgabe 2. Beweise mittels vollständiger Induktion die folgenden Formeln:
n
n
X
X
n(n + 1)(2n + 1)
n2 (n + 1)2
,
b)
k3 =
,
k2 =
a)
6
4
k=1
k=1
c)
n
X
k=1
1
1
=1−
.
k(k + 1)
n+1
Aufgabe 3. Sei n ∈ N eine natürliche Zahl. Beweise:
2
a) n ist ungerade =⇒
√
√ n ist ungerade.
b) n ist gerade und n ∈ N =⇒ n ist gerade.
Hinweis: Zeige a)
√ mit direktem Beweis. Zeige b) durch einen Widerspruchsbeweis
(d. h. nehme an n sei ungerade) und verwende a).
Aufgabe 4. Es seien A und B Aussagen. Zeige (z. B. mit einer Wahrheitstafel)
die folgenden logischen Äquivalenzen:
a) A ∨ (A ∧ ¬B) ⇐⇒ A
b) ¬(A ∧ B) ⇐⇒ ¬A ∨ ¬B
c) ¬(A ∨ B) ⇐⇒ ¬A ∧ ¬B
*Aufgabe 5. Beweise, dass eine Menge mit n Elementen genau 2n Teilmengen
hat. (Frage: Wieso gilt diese Aussage insbesondere für n = 0?)
*Aufgabe 6. Für n ∈ N bezeichne Nn = {1, . . . , n} die Menge der ersten n
natürlichen Zahlen. Zeige das sog. Schubfachprinzip (engl. pigeonhole principle),
welches folgendes besagt: Für jede Abbildung f : Nn → Nm mit n > m gibt es zwei
verschiedene Zahlen n1 , n2 ∈ Nn , so dass f (n1 ) = f (n2 ) gilt.
Anmerkung: Anschaulich besagt das Schubfachprinzip, dass falls man n Objekte
auf m Fächer verteilt und n > m ist, dann gibt es ein Fach, in dem mehr als ein
Objekt landet.
Zusatzfrage: Weshalb wohnen in Zürich mindestens zwei Personen, welche exakt
dieselbe Anzahl an Kopfhaaren haben? (Bemerkung: Ein Mensch hat maximal
200’000 Haare auf dem Kopf.)
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