Analysis II - Analysis - Prof. Dr. Daniel Lenz

Analysis II
Wintersemester 2014/15
Dr. M. Keller
Weihnachtszettel
Abgabe Mittwoch 7.1.2015
C([a, b]) der stetigen, reellwertigen
[a, b]. Für f, g ∈ C([a, b]) deniere
(1) Betrachte den Raum
über einem Intervall
Z
Funktionen
b
< f, g >=
f (x)g(x)dx
a
sowie
Z
b
2
21
|f (x) − g(x)| dx
d2 (f, g) =
.
a
(a) Zeigen Sie:
< ·, · >
(b) Zeigen Sie:
d2 (·, ·)
ist ein Skalarprodukt auf
ist eine Metrik auf
C([a, b]).
C([a, b]). (4+2 Punkte)
< ·, · > (deniert wie oben) auch ein Skalarprodukt auf R([a, b]), der
Menge der reellwertigen, Riemann-integrierbaren Funktionen auf [a, b]?
Falls nein: Was schlagen Sie vor, um aus < ·, · > ein Skalarprodukt zu
(2*) Ist
machen?
(3 Punkte)
C([a, b]) der stetigen, reellwertigen
[a, b]. Für f, g ∈ C([a, b]) deniere
(3) Betrachte den Raum
über einem Intervall
Z
Funktionen
b
|f (x) − g(x)|dx.
d1 (f, g) =
a
d1 (·, ·) ist eine Metrik auf C([a, b])
(C([a, b]), d1 ) ist nicht vollständig.
(a) Zeigen Sie:
Raum
(b) Zeigen Sie:
Für
(C([a, b]), d2 )
d2 (·, ·)
und der metrische
aus Aufgabe 1 ist der metrische Raum
nicht vollständig.
(c*) Was schlagen Sie vor, um diese Räume zu vollständigen metrischen
Räumen zu machen?
(d*) Vervollständigen Sie
(C([a, b]), d2 )!
d∞ (f, g) := sup |f (x) − g(x)|
(e) Zeigen Sie:
ist eine Metrik auf
x∈[a,b]
C([a, b])
und der metrische Raum
(C([a, b]), d∞ )
ist vollständig.
(4+2+3+6+4 Punkte)
(4) Skizzieren Sie die folgende Menge komplexer Zahlen in der Gauÿ'schen
Zahlenebene
√
√
{z ∈ C | |z| ≤ 4, |z + 2i| ≥ 2, |z + 2 − 2i| ≥ 4 − 2 2, |z − 2 − 2i| ≥ 4 − 2 2}
∪ {z ∈ C | |z| ≥ 4, Im z ≥ −2Re z − 8, Im z ≤ − 12 Re z + 4, Re z ≤ 0, Im z ≥ 0}
∪ {z ∈ C | |z + 8 − 8i| ≤ 1} ∪ {−2 + 2i, 2 + 2i}
(4 Punkte)
(5) Berechnen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades der Funktion
f : R3 → R, f (x, y, z) = cos x · sin y · ez
an der Stelle
(6) Sei
x0 = (0, 0, 0). (4 Punkte)
f : [a, b] → R
d
dx
I ⊂ R ein Intervall und ψ, φ : I → R
φ(I), ψ(I) ⊂ [a, b]. Zeigen Sie, dass dann
stetig,
dierenzierbar mit
stetig
ψ(x)
Z
f (t) dt = f (ψ(x))ψ 0 (x) − f (φ(x))φ0 (x)
φ(x)
für alle x ∈ I gilt. Hinweis: Betrachten Sie die Funktion
Rv
f (t) dt. (4 Punkte)
u
F (u, v) :=
n ≥ 3 gegeben. Zeigen Sie, dass die Funktion u : Rn \ {0} →
1
n
R, u(x) = |x|n−2
, harmonisch ist, d.h. dass für alle x ∈ R \ {0} gilt
(7) Sei
∆u(x) =
n
X
∂2
u(x) = 0.
2
∂x
i
i=1
(4 Punkte)
(8) Sei
f : R2 → R
gegeben durch
(
f (x, y) :=
x2
,
x+y
0,
Zeigen Sie,
2
x+y =
6 0
.
x+y =0
(a) Für jede Gerade
G ⊂ R2
durch Null gilt
lim
f (x, y) = 0.
(x,y)→0,(x,y)∈G
(b)
f
ist in allen Punkten
(x, y) ∈ R2
mit
x+y =0
nicht stetig.
(4+4 Punkte)
(9) Malen nach Zahlen:
(a) Ignorieren Sie die Zahlen auf der Zeichnung und färben Sie die
Flächen mit vier Farben, so dass zwei aneinandergrenzende Flächen
nie die selbe Farbe besitzen.
(b*) Beweisen Sie (ohne Zuhilfenahme computeralgebraischer Mittel!),
dass eine solche Färbung für ein beliebiges Malen nach Zahlen
Bild möglich ist.
(4+6 Punkte)
Viel Erfolg!
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