Über die Summe beliebiger und die Differenz - E

Über die Summe beliebiger und die Differenz
aufeinanderfolgender Primzahlen
Autor(en):
Rieger, G.J.
Objekttyp:
Article
Zeitschrift:
Elemente der Mathematik
Band (Jahr): 18 (1963)
Heft 5
PDF erstellt am:
27.10.2017
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-22645
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104
G. J.
Rieger: Über die Summe beliebiger und die Differenz aufeinanderfolgender Primzahlen
bisherigen Ergebnisse können wir auch die Lösung dieser abgeänderten Aufgabe an¬
geben. Haben nämlich die 3 rationalen Nullstellen von f(x) und die 2 rationalen Null¬
stellen von f(x) den Hauptnenner n, so setzen wir x xjn und erhalten f(x)
f(xjn)
f(x). Die Funktionen f(x) und f'(x) besitzen dann lauter ganzzahlige Nullstellen. Für
die Nullstellen von f(x) gelten damit die in (5) gegebenen Darstellungen. Wegen
x
x\n erhält man die Nullstellen von f(x) aus denen von f(x) durch Division mit der
natürlichen Zahl n.
Karl Zuser, Ingolstadt
Über die Summe beliebiger und die Differenz
aufeinanderfolgender Primzahlen
Wir bezeichnen mit kleinen lateinischen Buchstaben natürliche Zahlen, mit p eine
Gleichheit nach Definition, mit A das «und» der Logik, mit
Primzahl, mit
und mit C eine absolute positive
A {*:... } die Anzahl der * mit den Eigenschaften
:
Konstante.
Wir gehen
aus von zwei geläufigen Ergebnissen der elementaren additiven Prim¬
zahltheorie. Schnirelmann1) hat bewiesen, dass die Folge der Zahlen der Gestalt
px 4- p2 (pX2 prim) positive asymptotische Dichte hat; Prachar2) hat gezeigt, dass
die Folge der Zahlen der Gestalt p+ — p, wenn p+ die der Primzahl p folgende Prim¬
zahl bezeichnet, positive asymptotische Dichte hat. Wir nehmen beide Fragestellun¬
gen zusammen und beweisen einen verwandten Satz für Zahlenpaare in der Ebene:
Satz 1. Es gibt positive Konstanten Cx, C2, C3 derart, dass aus x > Cx folgt
A {m,n:
m<xAn< C2logx/\m
Beweis.
px-}-p2
f\n p+ — p2 A^1>2prim}> Csxlogx.
(1)
Mit
f(m, n):
A {px, p2: px -f p2
m A p+
- p2
n)
kann man für (1) auch
B(x):
A {m, n: m
<xA
n
<C
C2
log x A f(m, n)
>
0}
>
C3
x log x
(2)
schreiben. Nach der Schwarzsehen Ungleichung ist
Es ist
E
(E
\m<#
/(w' n)Y
«<Calog*
f(m, n)
<
C*
/
< A {p: p < m
lir
ö
^ fi(*) m<x
E
A
nach der Brunschen Siebmethode3). Mit
*) Vgl. etwa [1], 150-153.
2)
Vgl. etwa [1], 154-155.
[1], II. Satz 4.2 und I. (5.23).
3) Vgl.
f2(m>n)
¦
(p/\m — pf\n + p prim)}
|)2
II^(l+
/
\
Al
p\tnn{tn + n)
E
M<C2log#
P
(tn<x,x>2)
(3)
G. J.
Rieger: Über die Summe beliebiger und die Differenz aufeinanderfolgender Primzahlen
folgt
E< E
x n <C2logx
tn
/2K «X
ki E
Cl
"
m
E
PmPnPm+n-
105
(5)
< x »<C2log^
Nach der Schwarzsehen Ungleichung ist
E E PmPnPm
m<u n<v
+
n<
Pn( E PZY'2 E PZ
E
\m<u
\m<u
n<v
J
<EPn
n
<v
wegen (4) und
+ nY12
/
E
j<u + v
P*<Cbv(H+v)
(6)
e _7(i+^r<c(s)^
mit einer nur von
abhängigen positiven Konstanten C(s)4). Aus (5) und (6) folgt
s
E<
m
x n<
E
C2
x3
log x
/2K«)<c61o_^
log5 x
w
<*>2)-
Ferner ist
JJ
JT
m
<x n
<
C2
f(m, n)
A {px, p2: px + p2
log*
<
xA
pt ~p2<C2 log x}
>A[p1:fi1< ^}A{fi2:p2<-x- A^1 -£2<C2log*}
X
(8)
\2
wegen der Cebyshevschen Formel
A{p:p<y}>C,^y
und wegen
A
{p:p
<y A
p+
- p <C2\ogy}>
(y>2)
Cxx
-^
(y
>
Cxo)
bei geeignetem C2 > 05). Aus (3), (7) und (8) folgt (2) und damit die Behauptung.
Man gelangt zu einigen interessanten Verallgemeinerungen von Satz 1, wenn man
zum obigen Beweis frühere Überlegungen6) hinzunimmt. G. J. Rieger, München7)
LITERATURVERZEICHNIS
[1]
Karl Prachar,
Primzahlverteilung (Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg
1957).
[2] G. J. Rieger, Über ein lineares Gleichungssystem von Prachar mit Primzahlen (Erscheint
im Journal für die reine und angewandte Mathematik).
[3] G. J. Rieger, Über die Differenzen von drei aufeinanderfolgenden Primzahlen (Erscheint
in der Math. Zeitschrift).
4)
6)
6)
7)
Vgl. [1], 151 für s
2; der Beweis fur beliebiges s verlauft genau so.
Vgl. [1], V. (4. 4).
Vgl. [2] und [3].
Mein Dank gilt der National Science Foundation fur finanzielle Unterstützung (Grant G-16305).