Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD
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Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD Tag 6 Folgen Konvergenzkriterien Reihen Potenzreihen 23.2.2004 Gerd Rapin [email protected] Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.1/37 Übersicht Folgen, Konvergenz von Folgen Realisierung in MuPAD Reihen, Konvergenzkriterien Potenzreihen Exponentialfunktion, Logarithmus, Sinus, Cosinus, Tangens Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.2/37 Folgen Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.3/37 Folgen Eine reelle Zahlenfolge kurz Folge genannt, ist eine Abbildung von in . Statt schreibt man in Anlehnung an die Vektornotation . heißen Glieder der Folge. Die Zahlen Natürlich kann man auch Folgen auf beliebigen Mengen betrachten. Aber wir beschränken uns auf den Fall . Eine Teilfolge ist eine Abb. , eine Menge mit unendlich vielen wobei Elementen ist. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.4/37 Konvergenz von Folgen Eine Zahlenfolge ist konvergent gegen den Grenzwert oder Limes , wenn es zu jedem ein gibt, so dass für alle die Abschätzung gilt. Man schreibt Eine nicht konvergente Folge nennt man divergent. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.5/37 Bemerkungen Konvergiert eine Folge gegen , so nennt man sie eine Nullfolge. einer konvergenten Teilfolge heißt Häufungspunkt. Der Grenzwert mit Gerd Rapin ist definiert durch . ! von Eine -Umgebung Eine Cauchy-Folge ist eine Folge bei der für alle ein existiert, so dass für alle gilt: . In ist eine Folge konvergent, genau dann wenn sie eine Cauchy-Folge ist (Vollständigkeit). Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.6/37 , * und Gerd Rapin / konvergieren und . Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD , 8 9 $ $ 47 15 $ "3 #" & . 13 $ & 45 ) 67 0 $ #" #1 2 / $ 8 %) '-% $ $ '&% $ $ ,+& * #" $ %) '(% $ '&% $ $ " Beispiele divergieren. – p.7/37 MuPAD Grenzwerte von Folgen können mit Hilfe von limit(a(n),n=infinity) berechnet werden. ist dabei ein Ausdruck. >> limit(1/(n+1),n=infinity) 0 >> limit(((n+2)/(n+1))ˆ(n+1),n=infinity) exp(1) >> limit((-1)ˆn,n=infinity) n limit((-1) , n = infinity) >> limit(2ˆn,n=infinity) infinity >> limit(sin(n),n=infinity) [-1, 1] Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.8/37 Konvergenzkriterien * * ; : * * konvergente Folgen, so ist konvergent mit * ; : * ; Sind und auch die Folge Grenzwert konvergente Folgen, so ist konvergent mit * : : Sind und auch die Folge Grenzwert * Jede monotone, beschränkte Folge konvergiert. . Weglassen oder Hinzufügen endlich vieler Glieder verändert das Konvergenzverhalten nicht. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.9/37 Wichtige Sätze (Bolzano-Weierstrass) Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge. Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert gegen den Grenzwert der ursprünglichen Folge. Gerd Rapin * . * . . mit konvergiert mit konvergente Folgen mit . Dann gilt für eine Folge , , dass sie . * * und Seien < Jede konvergente Folge ist beschränkt, d.h. es gibt ein , so dass gilt für alle . Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.10/37 Reihen Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.11/37 Reihen 4 1 der Partialsummen . wird als Wert oder Der Grenzwert der Folge Summe der Reihe bezeichnet. Man schreibt ; ; = " > " > > =? 1 " ? ; > ist definiert durch die Folge > = " " Sei eine Folge reeller Zahlen. Eine (unendliche) Reihe mit den Gliedern , in Zeichen . Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.12/37 Bemerkungen = $ Beginnt die Indizierung statt bei mit einer anderen ganzen Zahl , so wird entsprechend eingeführt. Bei Abänderung, Weglassen oder Hinzufügen endlich vieler Glieder bleiben Konvergenz und Divergenz unberührt. I.A. wird sich aber der Grenzwert ändern. Reihen sind eine spezielle Art von Folgen. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.13/37 " A @ + @ " + $ $ falls falls B3 $ 1 $ > . Die = Die geometrische Reihe Partialsummen lauten Beispiele $ $ Gerd Rapin " = 'D% konvergiert gegen C Die Reihe 5 1 " + " " @ = Also divergiert die Reihe für und konvergiert für mit dem Wert . Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD . – p.14/37 " " Die harmonische Reihe = Beispiele divergiert. "F $ . $ GF > konvergiert für . $ > 1 JIKH E = Die Reihe und divergiert für Gerd Rapin > konvergiert für " " G = Die Reihe " = " + E A B3 Die alternierende harmonische Reihe konvergiert. Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.15/37 Reihen mit MuPAD O * = N M PO L Der Befehl sum(f,i=a..b) sucht eine geschlossene Darstellung der Summe . Dabei sind , ganze Zahlen, wobei auch unendlich (also infinity) erlaubt ist. f ist ein Ausdruck in . >> sum(1/iˆ2,i=1..infinity) 2 PI --6 >> sum((-1)ˆ(i+1)/i,i=1..infinity) ln(2) >> sum(1/i,i=1..infinity) infinity Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.16/37 Reihen mit MuPAD Oft ist die Konvergenz einer Reihe abhängig von bestimmten Parametern, wie z.B. bei der geometrischen Reihe. Und je nach Parameterwert zeigt die Reihe unterschiedliches Konvergenzverhalten >> sum(xˆi,i=0..infinity) infinty x x - 1 -------------x - 1 $ '&% Entsprechend gibt es keine geschlossene Form. Für gilt jedoch >> x:=1/2: sum(xˆi,i=0..infinity) 2 Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.17/37 Etwas mehr MuPAD Definieren der Partialsumme >> delete x >> s:=sum(xˆi,i=0..n) Die ersten Q n x x - 1 -------x - 1 Glieder der Partialsumme >> s $ n=1..5 2 3 4 5 6 x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 ------, ------, ------, ------, -----x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.18/37 Etwas mehr MuPAD II Bestimmen des Grenzwertes der Folge der Partialsummen > limit(s,n=infinity) infinity x x - 1 --------------x - 1 Einschränken des Bereichs für >> assume(x<1), assume(x>-1,_and) < 1, ]-1, 1[ >> limit(s,n=infinity) 1 - ----x - 1 Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.19/37 assume Mit der Funktion assume kann man Funktionen wie expand, simplify oder solve mitteilen, dass für gewisse Bezeichner Annahmen über ihre Bedeutung gemacht wurden. Beispiele: eingeschränkt! R U XY UT V SW wird auf assume(x>a) Z S wird auf R assume(x,Type::Real) eingeschränkt! Möchte man für einen Bezeichner mehrere Annahmen machen, so hilft die Option _and (siehe oben). Ruft man assume für einen Bezeichner auf, wird ansonsten die erste Annahme überschrieben. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.20/37 Beispiele zu assume >> sqrt(xˆ2) 2 1/2 (x ) >> assume(x>0) > 0 >> sqrt(xˆ2) >> >> >> >> >> x simplify(ln(exp(x))) ln(exp(x)) assume(x>0): simplify(ln(exp(x))) x assume(x,Type::Integer): solve((x-1)*(x+1.5),x) 1 Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.21/37 Konvergenzkriterien =? ? = " (Cauchykriterium) Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ein gibt, so dass für alle gilt . Konvergiert eine Reihe, so bilden ihre Glieder eine Nullfolge. 1 A = " & = " (Verdichtungskriterium) Eine Reihe mit einer Folge nichtnegativer, monoton fallender Glieder konvergiert genau dann, wenn die Reihe konvergiert. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.22/37 " * , so nennt eine = " = " . . Gilt für alle eine Minorante und man Majorante von . = * Majorantenkriterium Besitzt eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern eine konvergente Majorante, so konvergiert sie. Besitzt eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern dagegen eine divergente Minorante, so divergiert sie. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.23/37 Konvergenzkriterien = " Die Reihe konvergiert, wenn... A N [ A B3 N [ $ (Quotientenkriterium) die Glieder positiv sind und ein existiert, so dass für gilt . [ [ A $ (Wurzelkriterium) die Glieder positiv sind und ein existiert, so dass für gilt . = " $ (Leibnizsches Kriterium) Die Reihe konvergiert, wenn die Folge eine monoton fallende Nullfolge ist. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.24/37 8 + = Betrachte 6 5 Beispiele >> >> >> >> > , F5 1 JIKH E = Betrache $ " >> f:= n -> nˆ4*exp(-n*n): >> g:=f(n+1)/f(n): >> limit(g,n=infinity) 0 f:= n -> 1/(n*(ln(n)ˆ2)): g:=n-> 2ˆn*f(2ˆn): h:=n-> 2ˆn*g(2ˆn): limit(h(n+1)/h(n),n=infinity) 1/2 Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.25/37 Absolute und bedingte Konvergenz = = Eine Reihe heißt absolut konvergent genau dann wenn konvergiert. Eine konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe heißt bedingt konvergent. Absolut konvergente Reihen können beliebig umgeordnet werden. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.26/37 Potenzreihen Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.27/37 Potenzreihen = Eine Potenzreihe ist eine Reihe der Form konvergiert die Potenzrei\ he absolut und für Gerd Rapin \ bestimmt. Für ^_ > A O] \ $ mit . Das Konvergenzverhalten für verschiedene wird durch den Konvergenzradius divergiert sie. Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.28/37 Bemerkungen A ` ^_ > ` A B3 N ` \ O] N ` Für den Konvergenzradius gilt auch . Potenzreihen konvergieren innerhalb ihres Konvergenzradius absolut. \ \ Die Konvergenz an den Stellen und muss bei jeder Reihe individuell geprüft werden. Potenzreihen sind ein mächtiges Werkzeug innerhalb der Mathematik. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.29/37 = " a @A Beispiele . = b Die Potenzreihe konvergiert für alle >> f:=n ->xˆn/(n!) >> rho:=limit(expand(f(n+1)/f(n)), n=infinity) 0 >> f:= n -> nˆs: >> limit(expand(f(n)ˆ(1/n)),n=infinity) 1 $ Der Konvergenzradius ist . Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.30/37 Exponentialfunktion 4 c ( c & $c = M c $ _ 8 1 Wir erklären die Exponentialfunktion durch Die Funktion ist auf ganz definiert. Plot: >> plotfunc2d(exp(x),-5..5) Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.31/37 g f ed . . f ed $ % f $ @ ; f ed g f f Es gilt ed Es gilt ed Es gilt ed Eigenschaften der Exponentialfunktion . f ed hj f ihj ihj ed # Die Umkehrfunktion auf der Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion . Es gilt hj f ed # @ Die allgemeine Potenz ist durch , definiert. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.32/37 MuPAD >> sum(xˆn/n!,n=0..infinity) exp(x) >> exp(ln(x)) x >> simplify(ln(exp(x))) ln(exp(x)) >> assume(x,Type::Real): >> simplify(ln(exp(x))) x Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.33/37 Trigonometrische Funktionen " c $ c = '& oh n1 = $ '& $ lmk k n1 # Die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion sind definiert durch Die Potenzreihen konvergieren für alle . Plotten: >> plotfunc2d(sin(x),cos(x),x=0..4*PI) Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.34/37 Eigenschaften g lmk g lmk k oh g k oh lmk g k oh k oh . $ k 1 oh lmk Es gilt 1 oh g g lk lk k Es gelten die Additionstheoreme: %& '&% Gerd Rapin k , lmk C oh '&% C k oh Es gilt: lmk C k oh C Wir definieren , indem wir die kleinste positive als definieren. Nullstelle von . Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.35/37 MuPAD >> { >> >> solve(cos(x)=0,x) 1/2*PI + X2*PI | X2 in Z_ } assume(0<x<2): solve(cos(x)=0,x) { PI } { -- } { 2 } Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.36/37 Weitere Eigenschaften Man kann die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion auch geometrisch deuten. > .q . p .> p O Die Umkehrfunktionen von Sinus und Cosinus werden mit und bezeichnet. In MuPAD: arcsin und arccos. Plotten: E wxu v Iy uE ltsr Der Tangens ist definiert durch @F @F >> plotfunc2d(arcsin(x), arccos(x),x=-1..1) . >> plotfunc2d(tan(x),x=-4..4) Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.37/37
