Mathematik 1 - für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1
für Wirtschaftsinformatik
Wintersemester 2012/13
Stefan Etschberger
Hochschule Augsburg
Lineare Gleichungssysteme: Einführung
Beispiele linearer Gleichungssysteme
2x1 − 3x2 = −1
⇒ x1 = x2 = 1
a)
x1 + x2 =
2
x1 + x2 =
4
b)
⇒L=∅
x1 + x2 =
2
x1 − x2 =
1
c)
⇒ unendlich viele Lösungen
−2x1 + 2x2 = −2
Mathematik 1
Stefan Etschberger
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
Probleme:
System lösbar oder nicht?
Verfahren zum Auffinden von Lösungen
Darstellung von mehrdeutigen Lösungen
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
Dazu gibt es:
Den Gaußschen Algorithmus (erzeugt Dreiecksmatrix)
das Verfahren von Gauß-Jordan (modifizierte Gauß: erzeugt
Einheitsmatrix)
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Allgemeines lineares Gleichungssystem
Ein System von Gleichungen
a11 x1
a21 x1
+
+
am1 x1
+
a12 x2
a22 x2
+
+
am2 x2
+
···
···
..
.
+ a1n xn
+ a2n xn
=
=
···
+ amn xn
=
b1
b2
bm
heißt lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n
Unbekannten.
Die aij und bi heißen Koeffizienten des Gleichungssystems.
In Matrixform:
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
Ax = b
6. Lineare Programme
Lösungsmenge:
L = {x :
Ax = b}
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Lösungsdarstellung
Beispiel für Enddarstellung:
x1
+ x3
=4
x2 + 3x3 + 2x4 = 7
⇔
1
0
0
1
1
3
 
x1
x2 
0 
= 4
·
2 x3 
7
x4
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
Dabei bezeichnet:
4. Komplexe Zahlen
E
R
xB
xN
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
=b
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
kann nach Basisvariablen aufgelöst werden:
x1 = 4 − x3 , x2 = 7 − 3x3 − 2x4 (allgemeine Lösung)
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
In diesem Fall immer lösbar, zum Beispiel mit
xN =
x3
0
=
x4
0
⇒
xB =
x1
4
=
x2
7
Gesucht: Verfahren zur Überführung beliebiger Gleichungssysteme
in diese Form
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Lösung von LGS
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Elementare Umformungen
Das sind Umformungen der Koeffizientenmatrix, die die
Lösung nicht verändern. Erlaubt ist
Multiplikation einer Zeile mit beliebigen Zahlen c 6= 0
Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile
Vertauschen von Zeilen oder Spalten
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
Lösungsalgorithmus
Lösung mit Verfahren von Gauß-Jordan:
Systematische Umformungen nach obigem
Prinzip, bis Darstellung der Koeffizientenmatrix in Einheits- und Restmatrix ensteht
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
Algorithmus und Lösungsvarianten
siehe Vorlesung
86
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Invertierung von Matrizen
Definition
Gegeben: n × n-Matrix (quadratisch)
1. Grundlegende
Bausteine
Existiert eine n × n-Matrix X mit AX = XA = E, so heißt X
die zu A inverse Matrix.
Schreibweise: X = A−1
⇒ AA
−1
−1
=A
A=E
Falls A
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
Inverse Matrizen und Gleichungssysteme
−1
2. Grundlegende
Werkzeuge
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
existiert, gilt:
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
Ax = b
⇒
A−1 Ax = A−1 b
⇒
Ex = x = A−1 b
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
Damit existiert genau eine Lösung und zwar:
x = A−1 b
87
LGS und Orthogonalität
Mathematik 1
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Berechnung inverser Matrizen durch den Gaußalgorithmus:
Ansatz:
Ax +
Ey = 0
⇒ A−1 Ax + A−1 Ey = 0
⇒
Ex + A−1 y = 0
Also: Gaußtableau mittels elementarer Umformungen
folgendermaßen umformen:
(A|E) −→
E|A−1
Orthogonale Matrizen
Eine n × n-Matrix A heißt orthogonal, wenn gilt:
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
AAT = AT A = E
Bei orthogonalen Matrizen A gilt also: A−1 = AT .
Mit A ist damit auch AT orthogonal
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Determinanten: Vorüberlegung
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Permutationen und Inversionen
Sei M = {a1 , . . . , an } eine n-elementige Menge.
Dann: jede Anordnung
(ap1 , . . . , apn ) der Elemente a1 , . . . , an mit
{p1 , . . . , pn } = {1, . . . , n} heißt eine Permutation.
Wenn für ein Paar (ai , aj ) einerseits i < j , und andererseits
pi > pj , gilt: Inversion.
Also: Ausgehend von Permutation (a1 , . . . , an ): Jede
Vertauschung zweier Elemente ai und aj ist eine Inversion.
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
Beispiel
Gegeben: Menge {1,2,3}
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
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Mathematik 1
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Determinanten: Vorüberlegung
Permutationen und Inversionen
Sei M = {a1 , . . . , an } eine n-elementige Menge.
Dann: jede Anordnung
(ap1 , . . . , apn ) der Elemente a1 , . . . , an mit
{p1 , . . . , pn } = {1, . . . , n} heißt eine Permutation.
Wenn für ein Paar (ai , aj ) einerseits i < j , und andererseits
pi > pj , gilt: Inversion.
Also: Ausgehend von Permutation (a1 , . . . , an ): Jede
Vertauschung zweier Elemente ai und aj ist eine Inversion.
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
Beispiel
Gegeben: Menge {1,2,3}
Damit: Folgende 6 Permutationen:
(1,2,3)
(1,3,2), (2,1,3)
(2,3,1), (3,1,2)
(3,2,1)
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
ohne Inversion,
mit je einer Inversion,
mit je zwei Inversionen,
mit drei Inversionen.
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