Aufgabenblatt 3: Grundbegriffe der Mathematik @a4fa103

Grundbegriffe der Mathematik
MA S400
Aufgabenblatt 3
Frühlingssemester 2016
Aufgabenblatt 3
40 Punkte
Aufgabe 1 (Negation)
Seien e ∈ R, n, m, k ∈ N und
φ∶
∀e [e > 0 → ∃k ∀n, m (((n ≥ k) ∧ (m ≥ k)) → ∣1/n − 1/m∣ < e)]
Negieren Sie φ.
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Aufgabe 2 (Mengenalgebra I)
Die Mengen A, B, C seinen Teilmenge der Grundmenge G. Geben Sie bei jeder Umformung das Gesetz an, das
Sie verwendet haben.
a) Zeigen Sie, dass gilt
[((B ∪ C) ∖ A) ∪ A] ∩ [((B ∪ C) ∖ A) ∪ (C ∖ B)] = A∆(B ∪ C)
mit den Gesetzen der Mengenalgebra.
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b) Zeigen Sie mit den Gesetzen der Mengenalgebra dass gilt
[(A ∪ C) ∩ (B ∪ A)] ∪ [A ∪ B ∪ C] = G
3
c) Dualisieren Sie die Aussage von 2 b).
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Aufgabe 3 (Mengenalgebra II)
Die Mengen A, B, C seien Teilmengen der Grundmenge G. Beweisen Sie formal (also mit Hilfe der Definitionen
der Operationen, analog zum Beweis von 2a auf S. 40), dass gilt
a) Beweisen Sie das Distributivgesetz A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) formal.
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b) (A ∪ B) ∖ (A ∩ C) = A ∪ (B ∪ C)
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Aufgabe 4 (Aussageform)
Wir betrachten die Aussageform
φ(n) ∶
∀m [(m2 − n2 ) > 0 → (m > n) ∨ (m > −n)]
bezüglich der Grundmenge Z. Bestimmen Sie die
a) Konversion
b) Inversion
c) Kontraposition
d) Negation
der Formel φ(n) und vereinfachen Sie sie logisch und arithmetisch. Dabei soll das Zeichen ¬ nicht vokommen.
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Aufgabe 5
Wir betrachten eine Funktion f (x) ∶ R → R. Formalisieren Sie die nachstehenden Aussagen. Als Quantoren sind
nur “∀” und “∃” zugelassen (das heisst “es gibt genau eines” dürfen Sie z.B. nicht mit “∃!” abkürzen).
a) Die Gleichung f (x) = 0 hat keine Lösung.
1
b) Die Gleichung f (x) = 0 hat genau eine Lösung.
1
c) Die Gleichung f (x) = 0 hat höchstens eine Lösung.
2
d) Die Gleichung f (x) = 0 hat mehr als eine Lösung.
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UZH Institut für Mathematik, Dr. C. Albertini
Abgabe 22.04.2016 , 8:00 Uhr
Grundbegriffe der Mathematik
MA S400
Aufgabenblatt 3
Frühlingssemester 2016
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Aufgabe 6
Sei n ∈ N. Mit T(n) bezeichnen wir die Teilmenge von N, welche aus allen Teilern von n besteht. Mit V(n) jene,
die aus allen Vielfachen von n besteht. Zum Beispiel ist
T(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
und
V(12) = {12, 24, 36, 48, . . . }.
Drücken Sie folgende Mengen durch Terme mit Teiler- und Vielfachenmengen aus:
a) Die Menge der natürlichen Zahlen, die nicht gleichzeitig durch 16 und 12 teilbar sind.
2
b) Die Menge der natürlichen Zahlen, welche mit 30 ausser 1 keinen gemeinsamen Teiler haben.
2
c) Die Menge der natürlichen Zahlen, die nicht gleichzeitig durch 9, 10 und 12 teilbar sind.
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Aufgabe 7
Die symmetrische Differenz A∆B der Mengen A und B ist definiert durch
x ∈ A∆B
gdw
(x ∈ A) >−< (x ∈ B).
Vereinfachen Sie schrittweise (vgl. Eigenschaften der symmetrischen Differenz, s.43) oder mit einem VennDiagram
(B∆C)∆(A∆C)∆((A ∩ C)∆B).
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Aufgabe 8
Wir betrachten die Aussageform
φ(y) ∶ ∃x [(x2 + y 2 > 9) → (y < −x2 ∧ x > 2)]
mit der Grundmenge Z.
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge von φ in aufzählender Form.
2
b) Bestimmen Sie eine zu ¬φ äquivalente Formel, in der das Zeichen ¬ nicht vorkommt.
1
c) Bestimmen Sie die Lösungsmenge von ¬φ in aufzählender Form.
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UZH Institut für Mathematik, Dr. C. Albertini
Abgabe 22.04.2016 , 8:00 Uhr