4. ¨Ubung Mathematik 2 für MB/VT/WI – 13.4.2010

4. Übung Mathematik 2 für MB/VT/WI – 13.4.2010
31. (a) Lösen Sie das Ausgleichsproblem für das folgende System von Geraden im R2 :
x+y
y
y
x+y
x
=
=
=
=
=
1
0
1
2
0
(b) Dasselbe für das System (A|b), das man erhält, wenn man die obigen Geraden auf Hessesche Normalform
bringt. Was zeigt dieses Beispiel?
(c) Überzeugen Sie sich, dass das System (A|b) unlösbar ist, indem Sie Rang (A) mit Rang (A|b) vergleichen.
32. Sei A eine n × n Matrix.
(a) Was ist ein Eigenwert und ein Eigenvektor von A (Definition und geometrische Deutung!)? Begründen
Sie ausführlich anhand der Definition, warum die reellen Zahlen λ mit Det(A − λI) = 0 die Eigenwerte
von A sind und warum sich für diese Zahlen λ tatsächlich Eigenvektoren finden lassen.
(b) Sei λ ein fixer Eigenwert von A. Überlegen Sie sich anhand der Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren (d.h. mittels Ax = λx), jeweils einen Eigenwert von A5 und A−3 := (A−1 )3 . Begründen Sie,
warum dies bei A3 + A2 nicht so leicht funktioniert, und versuchen Sie allgemein zu erklären, für welche
Matrizen dieser Gestalt es möglich ist auf einfache Weise Eigenwerte anzugeben.
33. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren folgender Matrizen:

1 1 1
 1 1 1 ,
1 1 1


−10 0
0
 0
4
0 ,
0
0 2010



1 0 3
1
0 3 0 .
3
3 0 1

0 1 0
34. Wann ist eine Matrix S orthogonal? Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix S, sodass S −1  1 0 0  S
0 0 −1
eine Diagonalmatrix ist. Berechnen Sie A17 , indem Sie die Darstellung A = SDS −1 benutzen.
0 1
35. Gegeben ist die Matrix A =
.
1 1

(a) Berechnen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren von A.
(b) Machen Sie die Probe für Ihr Ergebnis direkt anhand der Eigenwert–Eigenvektor Definition.
(c) Skizzieren Sie (annäherungsweise) Ax falls x einer der oben berechneten Eigenvektoren ist. Berechnen
und skizzieren Sie Ay, wobei y ein beliebiger Nicht–Eigenvektor ist.
2 3
−1
36. Erklären Sie die Zerlegung A = SDS anhand eines konkreten Beispiels. Sei A =
. Sei weiters
0 4
1
x=
ein Vekor.
2
(a) Geben Sie für diese konkrete Matrix A die Matrizen S, S −1 und D (wie im vorletzten Beispiel) an,
sodass A = SDS −1 .
(b) Erklären Sie anhand dieses Beispiels , welche Rolle die Matrizen S −1 , D und S in der Zerlegung spielen,
d.h.:
i. Berechnen Sie z = Ax direkt sowie mittels a = S −1 x, b = Da und z = Sb.
ii. Geben Sie eine Interpretation für die auftretenden Vektoren, d.h. erklären Sie:
Was passiert mit x unter S −1 (Hinweis: Koordinatentransformation–auf welche Basis?)? Was passiert mit a unter D (Warum? Was hat das mit den Eigenwerten/ Eigenvektoren von A zu tun?)?
Was passiert mit b unter S? (Hinweis: abermals Koordinatentransformation)? Warum erhält man
folglich insgesamt z, also Ax?


 
3
2



4
37. Gegeben sei die Ebene E: x = λ
+ µ 5 . Bestimmen Sie die Matrix S der Spiegelung an E,
−1
3
indem Sie von den Eigenvektoren und Eigenwerten von S ausgehen.
(Hinweis: Die Eigenwerte sind −1, 1, 1.)
38. (a) Sei A eine Matrix und x und y Eigenvektoren von A. Überlegen Sie sich direkt aus der Definition von
Eigenwert und Eigenvektor, dass aus y = cx, c 6= 0 reell (d.h. y und x sind linear abhängig) folgt, dass
x und y Eigenvektoren zum selben Eigenwert sind.
Folglich sind zwei Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stets linear unabhängig.
(b) Angenommen x, y und z wären drei Eigenvektoren von A zu verschiedenen Eigenwerten λ, µ und
ν ungleich Null (laut (a) sind die drei Vektoren also jeweils paarweise linear unabhängig). Überlegen
Sie sich abermals direkt mittels Eigenwert–Eigenvektor–Definition, dass z nicht von x und y linear
abhängig sein kann.
Anleitung: Nehmen Sie an, z wäre von x und y linear abhängig, d.h., nehmen Sie an, dass z = ax + by,
a, b 6= 0 reell, setzen Sie diese Gleichung in die Eigenwert–Eigenvektor Definition ein und leiten Sie
einen Widerspruch ab.
Bemerkung: So folgt (mittles Induktion) allgemein, dass Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten
stets linear unabhängig sind.
39. Gegeben sei die Matrix
A=
1
2
0 −1
(a) Bestätigen Sie, dass A = A−1 .
(b) Was ist folglich An für n gerade bzw. für n ungerade?
(c) Die Exponentialfunktion für quadratische Matrizen ist (analog zur klassischen Definition der Exponentialfunktion) definiert durch
∞
eM = I + M +
X Mn
M2 M3
+
+ ... =
,
2!
3!
n!
i=0
d.h. für eine Matrix M ist eM ebenfalls eine Matrix. (Die Konvergenz der vorkommenden Reihe lässt
sich leicht verifizieren, dies ist nicht durchzuführen!)
Bestätigen Sie für obige Matrix A (unter Verwendung der unter (b) berechneten Formeln für An für n
gerade bzw. für n ungerade), dass
e e − e1
A
.
e =
1
0
e
(Hinweis: Berechnen Sie durch direktes Einsetzen in obige Definition der Matrix–Exponentialfunktion
die einzelnen Einträge der Matrix eA und vergleichen Sie diese mit der Potenzreihendarstellung der
reellen Exponentialfunktion.)
40. Beweisen Sie:
(a) Sei A eine Orthogonalprojektion vom Rn auf einen Unterraum des Rn . Dann hat A eine Basis aus
Eigenvektoren, und jeder Eigenvektor hat zugehörigen Eigenwert 0 oder 1.
(b) Sei A eine nilpotente quadratische Matrix, dh für ein n > 0 gilt An = 0 (Nullmatrix). Begründen Sie
zunächst warum daraus nicht schon folgt dass A die Nullmatrix sein muss und geben Sie ein konkretes
Gegenbeispiel an. Zeigen Sie weiters: A hat nur 0 als Eigenwert. Wieso stehen diese beiden Dinge nicht
im Widerspruch (was bei der Existenz von n linear unabhängigen Eigenvektoren zum Eigenwert 0 der
Fall wäre)?
(c) (FREIWILLIGE MEHRLEISTUNG)
Sei A eine beliebige quadratische m × m Matrix. Verwenden Sie Beispiel 32 (b) und den vorigen Punkt
(k)
(k)
(k)
(k)
(k)
40 (b) um zu zeigen: Bezeichnen λ1 , . . . , λm die Eigenwerte von Ak , und gilt λ1 +λ2 +. . .+λm = 0
für alle k, dann ist A nilpotent.