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Research Collection
Doctoral Thesis
An Oscillation theorem for algebraic eigenvalue problems and its
applications
Author(s):
Sinden, Frank William
Publication Date:
1954
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-000170997
Rights / License:
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Prom. No. 2322
An oscillation theorem Tor
algebraic
eigenvalue problems and its applications
THESIS
PRESENTED TO
THE SWISS FEDERAL INSTITUTE
OF TECHNOLOGY
ZURICH
FOR THE
DEGREE OF
DOCTOR OF MATHEMATICS
BY
Frank W. Sinden
Citizen of the United States of America
Accepted
on
the recommendation of
Prof. Dr. E. Stiefel and Prof. Dr. M. Plancherel
Zttrich 1954
L. Speieh, Reproduktlonsanstalt, Brandschenkestr. 47/49
Z USAMMENFASSUNG
Man betrachte die lineare Transformation
allxl
+
a12x2
+
a21xl
+
anlxl
+
•
•
•
a22x2
+
•
•
•
an2x2
+
•
•
•
+
aln*n
=
vl
+
a2n*n
=
v2
+
annxn
=
vn
dargestellt werden kann durch die Symbole
die bequem
A/to
Ay.
=
Es sei die Anzahl der Zeichenwechsel in der
V(/Jo)
durch
/v>
=
/to
wenn
fiir
=
xj
,
...,
x^
bezeichnet.
Die Matrix A heisst variationsvermindernd
Zahlen
Folge
Xj,
....
die
x
,
jedes n-tupel
von
Beziehung
v(/*y)
< v(/te)
gilt. *)
Die
vorliegende Arbeit befasst sich
(1)
wo
A/^
A
symmetrisch
matrix ist.
*)
**)
Gilt
und
mit dem
=
Eigenwertproblem
AD/£,
positiv definit ist,
und
wo
D
eine
positive Diagonal-
**)
V(/tf>) ^ V(/to)
d.h.
dij
[
=
fiir
0.
[>0.
jedes
/to,
so
heisst A variationsvermehrend.
i*j
i
=
j
51
1st
ai
A auch noch
variationsvermindernd,
ai i+1 verscnieden
i-1*
Eigenwerte
Null, dann
von
(1)
des Problems
und sind alle
codiagonale Elemente
Eigenvektoren
besitzen die
eine Reihe inte'ressanter und niitzlicher
und
Eigen-
schaften:
(a)
Samtliche
^1
(b) *)
1st
/&,
^2
>
der dem
positiv und einfach:
sind
Eigenwerte
>
•
•
•>
*n>
A.
Eigenwert
°
entsprechende Eigenvektor,
gilt
so
V(/fck)
(c) **)
fa
1st
(uj,
=
k- 1.
=
un)
....
ein
Eigenvektor,
so
fur die
gilt
Komponenten
»1 * 0
Uj
=
0
un*
Die
Behauptungen (a)
und
dann,
nur
u.
wenn
j
u.
< 0
.,
0
(b)
denjenigen
sind
des klassischen Sturm-Liou-
villeschen Oszillationstheorems in ganz anschaulicher Weise
Prinzip
des Beweises.
der Beweis
von
tiv wegen der
konnte
man
(a)
und
(b)
im
Prinzip einfach.
positiven Definitheit, und keiner
durch lineare {Combination einen
verschwindender erster
(c) widersprechen
*)
Behauptung (c)
Wenn die
analog.
einmal feststeht,
Die
ist
Eigenwerte
sind
mehrfach, derm
ist
so
posi¬
sonst
zugehBrigen Eigenvektor
(oder letzter) Komponente bilden,
was
mit
Behauptung
wiirde.
Ist /t/to
Allgemeiner gilt folgendes.
irgendeine Kombination
von
Eigen¬
vektoren:
/MO
dann ist
**)
r
-
1
=
(cr &.T
^ V(/HO) ^
Einen Vektor mit der
tor
aus
folgendem
dann und
nur
52
hat. Nach
dann eine
(c)
s
.
..
-
4-
cg
1
<
r
^
s
^
n
nennen
wir einen "inneren" Vek-
Es existiert im n-dimensionalen Raum
Umgebung des
ist also
/l*.s)
1.
Eigenschaft (c)
Grunde.
dieselbe Wechselzahl wie
(c)
+
/r\
Vektors
selbst besitzen,
jeder Eigenvektor
/&,
wenn
in der alle Vektoren
/&
die
Eigenschaft
ein innerer Vektor,
Um
(b)
zu
beweisen, iteriert
einem Vektor
dessen
/u0o>
man
nach beiden
Entwicklung
Ausgehend
Richtungen.
durch
Eigenvektoren
nach
von
s
/M00
=
^_
Cj
1
A^i
<
^
r
^
s
n
i«r
gegeben ist, erhalt
Folgen
von
man
Vektoren, die gegen
yHOp
=
B
miissen die
A40v
jedem Schritt
V(/MOtf)
V(^r)
Indem noch
=
/ft-r
=
/pvs
normiert
werden.)
variationsvermehrend ist,
B"
zwei
Da aber
gilt
V(A*>_V).
«$
dass dies auch im Grenzfall
zeigen,
sowie mit
konvergieren:
lim/vio_v
_v+1
nach
/C*s
Hm/VtOv
variationsvermindernd und B-
Man kann
bzw.
/ft-r
B/nOtf_j
/HO_v= B_1/nO
(Dabei
B.= AD"
durch Iteration mit
gilt:
V(/fl.s).
<
gezeigt wird, dass V(/&. ) jk V(/CV_) fttr
^t
r
s,
ist der Be-
weis erbracht.
Ist A variationsvermehrend und
dann
gilt
statt
(b)
die
gelten
Behauptung
(b*)
V(/ft.k)
Dies lasst sich
aus
auch die ubrigen Voraussetzungen,
dem
=
n
-
k.
Hauptsatz mit Hilfe
der
sogenannten "Schachbrett-
Transformation" herleiten.
Es stelit sich
die Matrix A
nun
Frage,
ob*die kritische
variationsvermindernd, bzw.
brauchbar ist.
Matrizen
die
-vermehrend
Am anschaulichsten
fur die Praxis
(wenn
dass
sei) praktisch
Im zweiten Teil der Arbeit wird eine Klasse
definiert, welche mehrere
trizen umfasst.
Voraussetzung, (i.e.
derartiger
wichtige Spezialma-
auch etwas
ungenau)
kann
53
diese Klasse vielleicht
folgendermassen
Man betrachte
Differentialoperator
den
-M-itv.it... wt'.a]...]]
«
wo
u.
eine
gerade Zahl ist,
und
Pj(x),
wo
PiW
ist
die
(2) selbstadjungiert.
Pj(x)
=
..
j'(x)
p"
,
positive, genugend
P^-iW
Abgesehen
werden.
beliebig gewahlt
.
Ist ferner
differenzierbare Funktionen sind.
so
erklart werden.
von
i
diesen
=
1>2.
•••
Einschrankungen durfen
Man denke sich den
Operator (2)
in
fx-
Etappen zerlegt:
An den
Randpunkten
yu Funktionen
nun aus
y,
sj,
x
=
=
z2
=
*
-
und
a
....
l
V^i
PiV'
P2Z1
^-1
x
dingung),
so
Konstruiert
ist der resultierende
vermehrend.
die von den
Diese Matrix
dass
(a,b)
man
hangt
den
den
folgt
z(x)
nie
ist also in diesern
Differenzenoperator,
der oben erwahnte'n Randbe-
Matrixoperator tatsachlich
von
Es
die Funktion
Operator (2)
von
einer Anzahl
beliebiger
variations¬
Grossen ab,
beliebigen Funktionen p-(x) herstammen.
Eigenwertproblem
stellt wohl das
wichtigste Anwendungsgebiet
der mehrfach
Stab behandelt.
schwingenden, inhomogenen
des transversal
blem wird daher im Detail
54
Der
(2) entspricht (unter Berucksichtigung
Anhang
vorgeschrieben,
dem Rolleschen Satz, dass im Inter vail
Sinne variationsvermehrend.
Das
sei
gen*11 die Halfte verschwinden.
weniger Nullstellen besitzt als y(x).
dem
b
=
besprochen,
gestutzte, sowie
dieser Ideen dar.
Stabes
Dieses Pro¬
und insbesondere wird in einem
der mehrfach
gelenkig gegliederte
Der Satz ist besonders niitzlich bei der
Schranken fur die Eigenwerte.
problem (1).
Berechnung
oberen und unteren
von
Man betrachte wiederum das
Von einetn Versuchsvektor
Sq ausgehend,
Eigenwert-
bilde
man
die
Vektoren
(up
....
(vj
un)
=
vn)
=
A*,
=
/to
=
A/£
D/£
und die Quotienten
u.
1
Nach dem
Einschliessungssatz
vi
von
Eigenwert zwischen den Schranken
des
L. COLLATZ
Max(qj)
eingeschrankten Eigenwerts, d.h.
ist noch unbekannt.
rend)
und
gelten
auch die
liegt
Schranken.
*)
Dies
gilt
(k
*)
+
seine relative
iibrigen Voraussetzungen,
Zeichenwechsel des Versuchsvektors
der
Min(qj).
l)-te (bzw.
der
(n
Spektrum,
im
(bzw.
-vermeh-
kann diese Aus-
Man hat in diesem Falle
So
-
so
zu
zahlen.
Ist
k)-te) Eigenwert
ein
Die Hummer
Lage
Ist aber A variationsvermindernd
kunft ohne weiteres ermittelt werden.
so
und
liegt (mindestens)
V(/to)
nur
=
die
k,
zwischen den
.
mit Sicherheit
nur
dann,
wenn
Min(q-)
bei brauchbaren Schranken fast immer der
> 0, was allerdings
Fall sein wird.
55