How to Eigenwertproblem Jakob Kirsten 13. Mai 2020 Nachdem das Eigenwert-Thema rückwirkend vielleicht doch neu(er) für viele von euch war als gedacht, will ich hier nochmal langsam durchgehen was ich im Tut mit euch dazu gemacht habe. In der Mechanik kommen wir, wenn wir Bewegungen beschreiben wollen nicht um DGL-Systeme drum rum. Diese treten sowohl bei Newton als auch bei Lagrange auf! Es bietet sich an zur weiteren Berechnung diese in eine Matrix umzuformulieren. Falls also in eurer Aufgabenstellung keine Matrix geben ist fangen wir damit an. 1 Schritt 1: Finde die Matrix des Problems Mal angenommen wir haben ein System aus verschiedenen DGLs, die die Bewegung von N (gekoppelten) Körpern beschreiben. Wir suchen also alle y(t)1 , ..., y(t)n . Ganz allgemein gehalten kann das DGL-System so aussehen: ẏ 1 = a11 y1 + a12 y2 + ... + a1n yn + g(t)1 (1) ẏ 2 = a21 y1 + a22 y2 + ... + a2n yn + g(t)2 (2) ..... (3) ẏ n = an1 y2 + an2 y2 + ... + ann yn + g(t)n (4) Dabei ist y(t) der Ort der Teilchen und g(t) beispielsweise eine treibende Kraft (siehe zum Beispiel getriebener HO). Wir schreiben nun dieses System folgendermaßen auf: ẏ 1 a11 a12 ẏ 2 a21 a22 = ... ... ... ẏ 3 an1 an2 ... a1n y1 g(t)1 ... a2n · y2 + g(t)2 ... ... ... ... ann yn g(t)2 (5) bzw. in Kurzscheibweise ~ẏ = A~y + ~g (6) Angemerkt sei hier, dass Matritzen meißt mit Großbuchstaben gekennzeichnet werden. Für ein bestimmtes System ist also die Matrix A charakteristisch und legt (abgesehen von g, bzw. im homogenen Fall) und damit die Lösung fest. 1 2 Schritt 2: Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwerte und Eigenvektoren finden ist äquivalent mit: finde die Lösung des Problems. Für die homogene DGL des Typs in Gleichung 6, haben wir in TheoA gelernt: Es eignet sich ein eFunktionen-Ansatz. Im Folgenden kümmere ich mich lediglich um das homogene System (setzte also o.B.d.A. ~g (t) = 0), zur Lösung des inhomogenen Systems kann wie gewohnt die Partikuläre und die homogenen Lösung addiert werden. Mit dem Ansatz ~y (t) = eλt~v (7) bei welchem es sich mit ~v um einen noch zu identifizierenden Vektor handelt. ~ẏ = A~y (8) zu λeλt~v = Aeλt~v → A~v = λ~v (9) Durch einfügen einer Einheitsmatrix kann ~v ausgeklammert und eliminiert werden. So ergibt sich die sogenannte Eigenwertgleichung: A~v = λ1~v → (A − λ1)~v = 0 (A − λ1) = 0 (10) (11) Dies ist sozusagen die Bestimmungsgleichung für alle λ die Eigenwerte genannt werden. Nimmt man die Determinante von Gleichung 11, so lassen sich für eine n×n Matrix n Eigenwerte bestimmen. 2.1 kleines Beispiel Die Matrix A ist gegeben. Wir ziehen von der Hauptdiagonalen jeweils ein Lambda ab und nehmen dann die Determinante. In diesem Fall kann nach der ersten Spalte entwickelt werden, wer nicht weiß wie man Determinanten bildet, sagt Bescheid!!! Im Moment gehe ich davon aus, dass ihr das könnt :) 1 2 4 A = 0 4 2 0 2 1 → 1−λ 2 4 4−λ 2 =0 (A − λ1) = 0 0 2 1−λ (12) 1−λ 2 4 0 4−λ 2 = (1 − λ) · [(4 − λ)(1 − λ) − 2 · 2] (13) det( A- λ1) = 0 2 1−λ det(A − λ1) = (1 − λ) · [λ(λ − 5)] = 0 (14) Nach dem Ausfaktorisieren und dem Anwender der p-q-Formel von Gleichung 13 zu Gleichung 14, erkennt man die drei Lösungen für unsere Eigenwerte, welche die Determinate verschwindenlassen. λ1 = 1 λ2 = 0 λ3 = 5 (15) 2 Sieht man nun zurück zu der Lösung des Problems in Formel 7, so sind wir schon fast fertig, fehlt nur noch der sogenannte Eigenvektor ~v zu jedem Lambda. Um diesen zu Berechnen, setzt man die entsprechenden Eigenwerte in die Matrix ein und bestimmt dann den Kern der Abbildung. Mit dem Kern meine ich hier alle Vektoren die angewandt auf die Matrix A Null ergeben. Für = 1 sieht die Matrix A nun so aus: 0 2 4 A = 0 3 2 0 2 0 (16) Da wir lediglich ein einfaches Lambda (also zum Beispiel KEINE doppelte Nullstelle) eingesetzt haben können wir auch nur einen Eigenvektor zu diesem Eigenwert finden. Wenn man A also scharf ansieht, fällt einem auf, dass die erste Komponente gänzlich unbestimmt ist. Somit ist der Vektor 1 v~1 = 0 0 (17) Wer das nicht sieht, so wie ich immer - vor allem in Prüfungssituationen - oder auch ganz allgemein, der muss mittels Zeilen und Spaltentransformationen eine untere Dreiecksform herstellen. Damit lässt sich dann wie gehabt die Gleichung A=0 lösen. Oder ihr stellt eine untere und obere Dreiecksform her und verwendet den -1-Trick... das ist Geschmackssache. Für alle anderen Eigenwerte geht man analog vor und man erhält: 6 v~2 = 1 2 2 v~3 = 2 1 (18) Jetzt haben wir alles, um unsere Lösung aufzuschreiben. Wir setzten nun unsere Ergebnisse in Gleichung 7 und erhalten 3 X ~y (t) = eλn t v~n (19) n=1 1 6 2 t ~y (t) = 0 e + 1 + 2 e5t 0 2 1 (20) t e + 2e5t + 6 ~ = 1 + 2e5t y(t) 2 + e5t (21) und somit 3
