Kapitel 15 – Matrizen und Vektoralgebra

Albert Ludwigs Universität Freiburg Abteilung Empirische Forschung und Ökonometrie Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Dr. Sevtap Kestel Winter 2008 8.Januar 2009 Kapitel 15 – Matrizen und Vektoralgebra Allgemeines lineares System mit Gleichungen und Unbekannten ,
..
..
,..,
: …….. ,.. ,
,..,
..
sind Konstanten, ,..
sind reelle Zahlen. Eine Lösung des Gleichungssystems ist eine geordnete Menge gleichzeitig erfüllt, wenn wir ,.. setzen. ,..
, die alle Gleichungen Wenn das System mindestens eine Lösung hat, heißt es konsistent, andernfalls inkonsistent. Beispiel 1: (S/H, Kap. 15.1. Aufgabe 5, Seite 631) Bestimmen Sie die Lösung des Systems: 100 2
80 0 Lösung: 100 (1) 2
80 (2) 0 (3) Von (3): 3. Gleichung in 2.einsetzen, um eliminieren: 2
80
80 Einsetzen in 1. Gleichung: 100
80
100
160,
120
240,
160 80 1 Leontief Modell (Input‐Output Modell): Output jedes Produktionszweiges kann im eigenen sowie in allen anderen Zweigen als Produktionsfaktor eingesetzt und verbraucht werden. (1) (2) (3) 1
;
;
1
,
1
1. Beispiel 2: (S/H, Kap. 15.1. Aufgabe 6, Seite 631) Betrachten Sie eine Menge von Individuen, von denen jede eine endliche Anzahl von verschiedenen Gütern besitzt. sei die Anzahl der Einheiten des Gutes , die das Individuum besitzt, wobei 1, . . , ,
1, . . , . a. Was stellt die Liste ,
,..,
dar? ..
und b. Erklären Sie in Worten, was c. Es bezeichne den Preis pro Einheit des Gutes ,
Gesamtwert der Güter, die Individuum besitzt? Lösung: 1, . . ,
..
bedeuten. . Wie hoch ist der Individuum Preis Individuum Güter 1 2 ….. n Güter 1 2 ….. n … 1 1 …. …..
2 2 …. . . . . …. m …..
m a. Die Liste von Gut gibt die Mengen von Gut an, welche die Individuum besitzen. b. Gesamtmenge an Gut über alle Individuen. c. Der Gesamtwert der Güter, die Individuum besitzt ist: ∑
15.2 Matrizen und Matrizenoperationen ist eine x ‐Matrix heißt eine rechteckige Anordnung von Zahlen in Zeilen und Spalten. hat die Ordnung x und Elemente, ,.. ,
. ,..,
Matrix mit einer Zeile (1x ) ist eine Zeilenvektor, Matrix mit einer Spalte ( x1) ist eine Spaltenvektor. Beispiel 3: Materialverflechtung bei Stufenproduktion Für eine Materialverflechtung bei Stufenproduktion mit zwei Rohstoffen ( ,
, drei , und 2 Endprodukten ( ,
sind die Materialverbrauchsnormen Zwischenprodukten ( , ,
, ;
, ,
Einheiten: 5,
7,
8,
3,
4,
9, sowie 2 , , ;
,
2,
Einheiten:
4,
3,
0,
1,
6 gegeben. Schreiben Sie das System in der Matrizen Form. Lösung: 5 3 7 4 2 4 8 9 3 1 1 6 In Matrix Form: 5
3
,
7
4
8
9
, ,
2
3
1
4
0
6
. Quadratische Matrizen: Wenn bilden die Hauptdiagonale. , heißt sie Quadratisch von der Ordnung . Die Elemente Anmerkungen: i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Nur eine quadratische Matrix kann eine hauptdiagonale haben. Eine quadratische Matrix wird zu einer oberen Dreiecksmatrix , wenn alle Elemente unterhalb ihrer Hauptdiagonalen Null sind. Eine quadratische Matrix wird zu einer unteren Dreiecksmatrix , wenn alle Elemente unterhalb ihrer Hauptdiagonalen Null sind. Eine quadratische Matrix heißt Diagonalmatrix, wenn alle Elemente außerhalb ihrer hauptdiagonalen gleich Null sind. Eine Diagonalmatrix, deren Elemente in der Hauptdiagonalen alle gleich eins sind, heißt Einheitsmatrix. Eine Matrix, die nur aus Nullen besteht heißt die Nullmatrix. Beispiel 4: 4
1 ist eine oberen Dreiecksmatrix; iii)
3
1 0 0
Dreiecksmatrix; iv) 0 0 0 ist diagonal Matrix v)
0 0 3
0 0 0
vi)
0 0 0 Nullmatrix 0 0 0
ii) 1 2
0 0
0 0
1
2
4
0
0
1
1
0
0
0
0
3
0
1
0
ist eine unteren 0
0 Einheitsmatrix 1
Koeffizienten‐Matrix: Betrachte allgemeines lineares Gleichungssystem: ..
..
…….. ..
3 und Spaltenvektor A
. Beispiel 5: Gegeben lineare Gleichungssystem 100 2
80 0 , schreiben Sie das Gleichungssystem in Matrix Form. 1
0
0
1
0
100
80 . 0
2 ; 1
, Matrizenoperationen: Gegeben , reelle Zahlen ,
i)
Zwei Matrizen und sind demnach gleich, wenn sie dieselbe Ordnung haben und alle , für alle 1, . . ,
1, . . , . Elemente gleich sind, d.h. ii)
Summe zweier Matrizen iii)
1, . . , . Multiplizieren mit einem Skalar: 1, . .
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
ix)
,
, für alle ,
1, . .
,
, für alle 1, . . , . (Assoziativgesetz der Addition)
(Matrizenaddition ist kommunikativ)
0
(Distributivgesetz)
1
0
0
Beispiel 6: Sei 2 4
0 1 und 0 3
i)
1 2
2 0
4 1
ii)
iii)
,
3
3
4
1 3
6
3
6
12
1
2
4
0 0
0 0 . Beweisen Sie die Regeln (i)‐(iii). 1 3
6
0
3
12
3 9
15.3. Matrizenmultiplikation Sei , , reelle Zahlen. Dann ist das Produkt ,
x ‐Matrix sie , deren Element in der ‐ten Zeile und ‐ten Spalte das innere Produkt ..
der ‐ten Zeile von und ‐ten Spalte von ist. 4 1
0
0
Beispiel 7: Sei 21
4
12
Beispiel 8: Sei Lösung: ,
2 4
0 1 und 0 3
1
2
4
1 2
2 4
4 8
4 12
1 3 , 9 9
5
3
,
,
,
7
4
0 0
0 0 . Finden Sie 1 3
8
9
39
27
, ,
2
3
1
4
8
26
4
0
6
und . . Berechnen Sie die Produkt ,
.
,
. 68
. 66
Die Produktmatrix gibt direkten Materialverbrauchsnormen von Rohstoffen für die Endprodukte an. Beispielweise werden hiernach zur Herstellung einer Mengeneinheiten von u.a. 39 Mengeneinheiten von benötigt. Anmerkung: wird als Multiplikation der Matrix von links mit aufgefaßt. wird als Multiplikation der Matrix von rechts mit (Assoziativgesetz) (linksseitiges Distributivgesetz) (rechtsseitiges Distributivgesetz) i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Potenzen von Matrizen: An = A. A....... A ( wird ‐mal mit sich selbst multipliziert) vii)
Eine quadratische Matrix A heißt idempotent, falls A2 = A gilt. Gleichungssysteme in Matrix‐Form: Beispiel 9: Schreiben Sie die folgenden Gleichungssysteme als Matrizengleichungen: a) 2 x1 + 3x2 − x3 = 15 x2 + 10 x3 = 21 x1 − 2 x2
= 10 ⎛ x1 ⎞
⎛ 2 3 −1 ⎞
⎛ 15 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
A = ⎜ 0 1 10 ⎟ ; x = ⎜ x2 ⎟ ; b= ⎜ 21⎟⎟ ⎜ 1 −2 0 ⎟
⎜ 10 ⎟
⎜x ⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎝ 3⎠
b) 2 y = 3 x − 4 z + 150 z = − x + 5 y − 100 x + 5 z = 110 ⎛ −3 2 4 ⎞
⎛ x⎞
⎛150 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 1 −5 1 ⎟ ; x = ⎜ y ⎟ ; b= ⎜⎜100 ⎟⎟ ⎜ 1 0 5⎟
⎜z⎟
⎜110 ⎟
⎠
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎝
5 Beispiel 10: (S/H Kapitel 15.4, Aufgabe 6 a.) Zeigen Sie, dass die folgende Matrix idempotent ist ⎛ 2 −2 −4 ⎞
A = ⎜⎜ −1 3 4 ⎟⎟ ⎜ 1 −2 −3 ⎟
⎝
⎠
Lösung: ⎛ 2 −2 −4 ⎞⎛ 2 −2 −4 ⎞ ⎛ 2 −2 −4 ⎞
⎟ ⎜
⎟
A = ⎜⎜ −1 3 4 ⎟⎜
⎟⎜ −1 3 4 ⎟ = ⎜ −1 3 4 ⎟ = A ⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ 1 −2 −3 ⎠⎝ 1 −2 −3 ⎠ ⎝ 1 −2 −3 ⎠
2
ist idempotent. 15.5 Die transponierte Matrix ( ) ergibt sich die transponierte Matrix durch = ( a ) Zeilen und spalten werden also vertauscht. Geschrieben wird auch A ' . Aus A = aij
T
A
mxn
ji nxm
Regeln: Gegeben Matrizen und , und reelle Zahlen ( )
i) AT
T
= A ii) ( A + B ) = AT + BT T
iii) ( β A ) = β AT T
iv) ( AB ) = BT AT T
3
3 1 1 Spaltenvektor. Bestimmen Sie 1
1
Lösung: 1 ist ein Zeilenvektor. 3 1
3
1
1
11 Norm von 9
3
3
3
1
1 3
1 1
Anmerkung: Beispiel 11: Gegeben ,
,
. Sei x=( x1 , x2 ,.., xn )T ein Spaltenvektor. Das Produkt ist n
2
xT x=∑ xi2 = x , das Quadrat der Norm von x . i =1
Definition: Die Matrix ist genau dann symmetrisch, wenn A = AT . Beispiel 12: Sei X=( xij )3 x 2 ,zeigen Sie dass, X T X und XX T beide symmetrisch sind. ⎛ 2 1⎞
⎛ 2 1 4⎞
X= ⎜⎜ 1 1⎟⎟ ; XT = ⎜
⎟ ⎝1 1 1⎠
⎜ 4 1⎟
⎝
⎠
6 ⎛ 2 1⎞
⎛2 1
XX = ⎜⎜ 1 1⎟⎟ ⎜
⎜ 4 1⎟ ⎝ 1 1
⎝
⎠
⎛2
⎛ 2 1 4 ⎞⎜
T
X X= ⎜
⎟⎜ 1
⎝ 1 1 1 ⎠⎜ 4
⎝
T
Definition: Eine ⎛5
4⎞ ⎜
= 3
1 ⎟⎠ ⎜⎜
⎝9
1⎞
⎛ 21
1⎟⎟ = ⎜
7
1⎟⎠ ⎝
9⎞
2 5 ⎟⎟ 5 17 ⎟⎠
3
7⎞
3 ⎟⎠
Matrix wird orthogonal genannt, wenn P T P =I n . Beispiel 13: (S/H Kapitel 15.5 Aufgabe 7.a) ⎛λ 0 λ ⎞
⎜
⎟
Zeigen Sie für λ = ±1/ 2 , dass P = λ 0 −λ orthogonal ist. ⎜
⎟
⎜0 1 0 ⎟
⎝
⎠
Lösung: ⎛ λ 0 λ ⎞⎛ λ
T
P P = ⎜⎜ λ 0 −λ ⎟⎜
⎟⎜ 0
⎜ 0 1 0 ⎟⎜ λ
⎝
⎠⎝
λ
0 ⎞ ⎛ 2λ 2
⎜
0 1 ⎟⎟ = ⎜ 0
−λ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0
0
2λ
0
2
0⎞
⎟
0⎟ 1 ⎟⎠
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
Wenn λ = ±1/ 2 ist: 2λ = 1 . Dann, P P = 0 1 0 = I n ⎜
⎟
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠
2
T
ist eine orthogonale Matrix. 15.6 Gauß’sche Elimination: Die Methode verwendet die systematische Elimination der Unbekannten aus jeder Gleichung, eine nach anderen. Gauß’sches Eliminationsverfahren: a. Erzeuge die Zeilen Stuffenform mit 1 als Koeffizient für jeden „führenden Eintrag“ b. Erzeuge Nullen über jedem „führenden Eintrag“ c. Die allgemeine Lösung wird gefunden, indem man die Unbekannten, die als „führende Eintrage“ auftreten durch diejenigen ausdrückt, die nicht „führend“ sind. Letztere (wenn es welche gibt) können frei gewählt werden. Die Anzahl der frei wählbaren Unbekannten ist die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems. Beispiel 14: Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme durch Gauß’sche Elimination. a. x1 + 4 x2 = 1 b. x1 + 2 x2 + x3 = 4 2 x1 + 2 x2 = 8 x1 − x2 + x3 = 5 2 x1 + 3x2 − x3 = 1 Lösung ⎛ 1 4 1 ⎞ ( 2.)/ 2→( 2.) ⎛1 4 1 ⎞ (1.)−( 2.)→( 2.) ⎛ 1 4 1 ⎞
→⎜
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎟ ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜
⎝ 2 2 8⎠
⎝1 1 4 ⎠
⎝ 0 3 −3 ⎠
(a) ⎜
7 ⎛ 1 4 1 ⎞ ( 2.)/ 3→( 2.) ⎛ 1 4 1 ⎞ (1.)−( 2. x 4)→(1) ⎛ 1 0 5 ⎞
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜
⎝ 0 1 −1⎠
⎝ 0 1 −1⎠
⎝ 0 3 −3 ⎠
x1 = 5, x2 = −1 . Hier (i.) bedeutet Zeile i . ⎛1 2 1 4⎞
⎛ 1 −1 1 5 ⎞
⎛ 1 −1 1 5 ⎞
⎜
⎟ (1.)↔( 2.) ⎜
⎟ (1.) x 2−( 3.)→( 3.) ⎜
⎟
→ ⎜ 1 2 1 4 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 1 2 1 4 ⎟ (b) ⎜ 1 −1 1 5 ⎟ ⎯⎯⎯⎯
⎜ 2 3 −1 1 ⎟
⎜ 2 3 −1 1 ⎟
⎜ 0 −5 3 9 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 1 −1 1 5 ⎞
⎛ 1 −1 1 5 ⎞
⎛ 1 −1 1 5 ⎞
⎜
⎟ (1.)−( 2.)→( 2.) ⎜
⎟ ( 2.)/ −3→( 2.) ⎜
⎟
→ ⎜ 0 −3 0 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 0 −1/ 3 ⎟ ⎜ 1 2 1 4 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ 0 −5 3 9 ⎟
⎜ 0 −5 3 9 ⎟
⎜ 0 −5 3 9 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 1 −1 1 5 ⎞
⎛ 1 −1 1 5 ⎞
⎛ 1 −1 1 5 ⎞
⎜
⎟ ( 2.) x 5+( 3.)→( 3.) ⎜
⎟ ( 3.)/ 3→( 3.) ⎜
⎟
→ ⎜ 0 1 0 −1/ 3 ⎟ ⎜ 0 1 0 −1/ 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 0 −1/ 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯
⎜ 0 −5 3 9 ⎟
⎜ 0 0 3 22 / 3 ⎟
⎜ 0 0 1 22 / 9 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 1 −1 1 5 ⎞
⎛ 1 0 0 20 / 9 ⎞
⎜
⎟ (1.)−( 3.)→(1.)und (1.)+( 2.)→(1.) ⎜
⎟
→ ⎜ 0 1 0 −1/ 3 ⎟ ⎜ 0 1 0 −1/ 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ 0 0 1 22 / 9 ⎟
⎜ 0 0 1 22 / 9 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
20
3
22
x1 = , x2 = − , x3 =
9
9
9 Beispiel 15: (S/H Kapitel 15.4 Aufgabe 4.a) Beweisen Sie für quadratische Matrizen und der Ordnung , dass Lösung: , nur wenn . 8