Übungsblatt 1

Winter/Manger
Wintersemester 2010/11
Markovsche Ketten in diskreter Zeit
Übungsblatt 1
Aufgabe 1 (stationäre Verteilungen):
Bestimme die stationären Verteilungen zu folgenden Übergangsmatrizen:
(a)
0, 7 0, 3
P1 =
0, 2 0, 8
(b)


0, 3 0, 2 0, 5
P2 = 0, 2 0, 4 0, 4
0, 5 0, 4 0, 1
(c)


0, 3 0, 2 0, 5
P3 = 0, 4 0, 4 0, 2
0, 5 0, 4 0, 1
Aufgabe 2 (Irreduzibilität und stationäre Verteilung):
(a) Eine Übergangsmatrix
Zeige, dass wenn
P
P
P
heiÿt symmetrisch, wenn
P (x, y) = P (y, x) für alle x, y ∈ S gilt.
S eine stationäre Verteilung
symmmetrisch ist, die Gleichverteilung auf
für
ist
(b) Sei
π
die stationäre Verteilung für eine irreduzible Übergangsmatrix
Zeige, dass
π(x) > 0
für alle
x∈S
P.
gilt.
Aufgabe 3 (Passend zur Jahreszeit):
Ein Student besitzt
r
Regenschirme, die er für den Weg von zu Hause zur Uni und zurück benutzt.
Wenn er zur Uni gehen will und es regnet, nimmt er einen Schirm mit (solange noch ein Schirm zu
Hause ist). Regnet es abends auf dem Rückweg, dann nimmt er wieder einen Schirm aus der Uni mit
(natürlich wieder nur dann, wenn noch ein Schirm in der Uni ist). Regnet es nicht, lässt er seine Schirme liegen.
Wir nehmen an, dass es morgens bzw. abends unabhängig von der Vergangenheit jeweils mit Wahrscheinlichkeit
Schirme beim
0 < p < 1 regnet. Die Zufallsvariable Xn (n ∈ N)
n-ten Gang (X1 = r).
(a) Zeige, dass
(Xn )n∈N
beschreibe die Anzahl der verfügbaren
eine Markovsche Kette ist und bestimme die stationäre Verteilung.
(b) An wie vielen Tagen im Monat mit 30 Tagen wird der Student im Durchschnitt nass?
(c) Wie viele Regenschirme sollte der Student sich mindesten zulegen, damit er an höchstens
der Tage nass wird, obwohl er die Regenwahrscheinlichkeit
p
nicht kennt?
10%