Mathematik für Ingenieure und Informatiker I

Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Institut für Mathematik
Abteilung für Reine Mathematik
Prof. Dr. D. Wolke
Dipl.-Math. S. Feiler
1: Mo 16-18, SR 318
Christian Marquardt
2: Di 11-13, SR 119
Jonas Unger
3: Di 11-13, SR 125
Michael Gutmann
4: Di 11-13, SR 112
Stefan Fischer
5: Di 16-18, SR 119
Kai Siebold
6: Di 16-18, SR 125
Arno Pauly
7: Do 11-13, SR 127
Sarah Marzi
8: Do 16-18, SR 414
Bianca Straub
9: Fr 11-13, HS II
Elisabeth Wursthorn
10: Fr 11-13, SR 414
Nicolas Ketterer
11: Fr 12-14, SR 218
Christian Marquardt
Fragestunde: Do 09-11
Simon Feiler, SR 414
Übungen zur Vorlesung
Mathematik für Ingenieure und Informatiker I
Wintersemester 2007 / 2008
Übungsblatt Nummer 4
12. November 2007
Abgabe am Montag, den 19.11.2007 vor der Vorlesung
Bitte die Lösungen mit Name, Matrikelnummer, Übungsnummer und Name des Tutors versehen.
Aufgabe 10
Seien O (0 | 0 | 0), A (−1 | 2 | 2), B (2 | − 1 | 2) und C (1 | 1 | 4).
Die Punkte O, A, B und C spannen ein Quadrat Q auf.
Sei nun d ∈ R derart, dass der Punkt D (d | d | d) sich genau über (bzw. unter) der Mitte des
Quadrates Q befindet.
Dann bilden O, A, B, C und D eine gleichschenklige Pyramide P .
a) Zeigen Sie, dass Q tatsächlich ein Quadrat ist.
b) Bestimmen Sie d!
c) Berechnen Sie den Oberflächeninhalt von P , ohne die Höhe eines Dreiecks zu bestimmen!
Bemerkung: Rufen Sie sich die Eigenschaften der Produkte von Vektoren in Erinnerung!
Aufgabe 11
Eine komplexe Zahl z ∈ C ist eindeutig bestimmt, wenn ihr Realteil (<(z) bzw. Re (z)) und
ihr Imaginärteil (=(z) bzw. Im (z)) bekannt sind.
Ist zum Beispiel z = x + i · y ∈ C mit x, y ∈ R, so ist Re (z) = x und Im (z) = y.
Bemerkung: ACHTUNG!!! Es ist für x, y ∈ R nicht Im (x + i · y) = i · y!!!
Kennt man Real- und Imaginärteil
einer komplexen Zahl z ∈ C, so kann man ihren Betrag
q
berechenen durch
|z| = (Re (z))2 + (Im (z))2 .
Berechnen Sie nunReal- und Imanginärteil der folgenden komplexen Zahlen!
2
√
(6 − 8 · i) · (4 + i · 3) √
1+i
a) a :=
c) c :=
5 + 5 · i · 1−i
(24 + i · 7) · (1 − 2 · i) √ !4
(3 − i · 4) · (3 + i · 4)
3
3
d)
d
:=
b) b :=
+i·
(1 + 2 · i)2
2
2
bitte wenden
Aufgabe 12
Sei e := 2, 718281828459 . . . die Euler’sche Zahl.
Im Reellen wird die Exponentialfunktion exp definiert durch exp :
R → R
x 7→ exp (x) := ex
.
Diese Funktion kann auf ganz C fortgesetzt werden durch
C → C
exp :
.
z 7→ exp (z) := eRe(z) · (cos (Im (z)) + i · sin (Im (z)))
Für z ∈ C definiert man selbstverständlich ez := exp (z).
Sind x, y ∈ R, so ergibt sich:
ex+i·y = ex · (cos (y) + i · sin (y)) .
Die Funktionalgleichung“
ew+z = ew · ez
bleibt auch für alle w, z ∈ C erhalten.
”
i·(α+β)
i·α
Insbesondere folgt e
= e · ei·β für alle α, β ∈ R.
Beachtet man nun, dass Real- und Imanginärteil einer komplexen Zahl eindeutig bestimmt sind,
so kann man hieraus die Additionstheoreme für die Sinus- und die Cosinusfunktion ableiten.
Dies sollen Sie nun tun. Zeigen Sie
a) sin (x + y) = sin (x) · cos (y) + cos (x) · sin (y),
cos (x + y) = cos (x) · cos (y) − sin (x) · sin (y),
sin (x − y) = sin (x) · cos (y) − cos (x) · sin (y) und
cos (x − y) = cos (x) · cos (y) + sin (x) · sin (y) für alle x, y ∈ R!
Bemerkung: Aus diesen Formeln kann man für alle x ∈ R auch Terme in sin (x) und
cos (x) für die Berechnung von sin (2 · x), sin (3 · x), . . . bzw. cos (2 · x),
cos (3 · x), . . . gewinnen.
r
x r 1 + cos (x)
x 1
−
cos
(x)
und cos
für alle x ∈ R!
b) sin
=
=
2
2
2
2