Formelsammlung Angewandte Mathematik

Formelsammlung
für
Angewandte Mathematik
 n  n−k k
(a + b) = ∑   a b
k =0  k 
n
n
Autor: Wolfgang Kugler
Formelsammlung
1
INHALTSVERZEICHNIS
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Potenzen 3
1.1
Definitionen 3
1.2
Rechenregeln 3
1.3
Wurzeln 4
1.4
Binomischer Lehrsatz 4
Kreisfunktionen 6
2.1
Definitionen im rechtwinkeligen Dreieck 6
2.2
Sinus – und Kosinussatz 6
2.3
Die Kreisfunktionen am Einheitskreis 7
2.4
Summensätze 7
2.5
Produktformeln 7
2.6
Potenzen von Kreisfunktionswerten 7
Die quadratische Gleichung 8
3.1
Der allgemeine Fall 8
3.2
Der normierte Fall 8
Exponential – und Logarithmusfunktionen 9
4.1
Definition 9
4.2
Umrechnung auf die natürliche Basis e: 9
4.3
Rechengesetze für Logarithmen 9
4.4
Zusammenhang verschiedener Logarithmensysteme 9
Komplexe Zahlen 10
5.1
Definition der imaginäre Einheit 10
5.2
Beschreibungsarten komplexer Zahlen 10
5.3
Komplexe Darstellung von Sinus und Kosinus 12
5.4
Formel von Moivre 12
5.5
Komplexe Wurzeln 12
5.6
Komplexe Widerstände in der Wechselstromtechnik 13
Differentialrechnung 14
6.1
Definition des Differentialqoutienten 14
6.2
Ableitungsregeln 14
Angewandte Mathematik
TGM
Wolfgang Kugler
Formelsammlung
7.
8.
9.
2
Integralrechnung 16
7.1
Stammfunktionen 16
7.2
Faktorenregel 16
7.3
Summenregel 16
7.4
Lineare Substitution 16
7.5
Produktintegration 16
7.6
Weitere Substitutionsmethoden 16
7.7
Grundintegrale 17
7.8
Rechenregeln für das bestimmte Integral 18
Fourierreihen 19
8.1
Sinus-Kosinusform 19
8.2
Amplituden– Phasen Form 19
8.3
Exponentialform 19
8.4
Parsevalsche Gleichung 19
Fouriertransformation 20
9.1
Definition 20
9.2
Linearität 20
9.3
Vereinfachungen 20
9.4
Symmetrietheorem 20
9.5
Variablenverschiebung im Zeitbereich 20
9.6
Variablenverschiebung im Frequenzbereich 21
9.7
Ähnlichkeitssatz 21
9.8
Differentiation im Zeitbereich 21
9.9
Integration im Zeitbereich 21
9.10
Faltung 21
9.11
Tabelle 22
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3
1. Potenzen
1.1 Definitionen
Für das n-fache Produkt einer Zahl a schreibt man kurz
a ⋅ a ⋅…⋅ a = a n
n∈N,a∈R
n − Faktoren
Man nennt :
an eine Potenz
a...Basis oder Grundzahl
n...Exponent oder Hochzahl
a o = 1 a1 = a
a −n =
1
an
1.2 Rechenregeln
•
Multiplikation von Potenzen gleicher Basis:
an ⋅ am = an+m
Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten
potenziert.
•
an
= an−m
m
a
Division von Potenzen gleicher Basis:
Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man die gemeinsame Basis mit der Differenz der Exponenten potenziert.
•
(a )
n m
Potenzieren von Potenzen:
= a n⋅m
Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert.
•
(a ⋅ b)
Potenzieren eines Produkts
n
= a n ⋅ bn
Ein Produkt wird potenziert, indem jeder Faktor potenziert wird.
Oder alternativ:
Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man das Produkt der beiden Basen mit dem
gemeinsamen Exponenten potenziert.
•
an  a 
= 
bn  b 
Potenzieren eines Quotienten:
n
Ein Bruch wird potenziert, indem Zähler und Nenner potenziert werden.
Oder alternativ:
Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man den Quotienten der Basen mit dem gemeinsamnen
Exponenten potenziert.
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4
1.3 Wurzeln
Wir definieren
1
a n = n a n∈N
m
n,m ∈N ; a ∈ R+
a n = n am
und weiters
Wurzeln sind Potenzen mit gebrochenen Exponenten. Für Potenzen mit gebrochenen
(rationalen) Exponenten gelten dieselben Rechenregeln wie für Potenzen mit ganzen
Exponenten. Die obigen Rechenregeln lassen sich sogar auf Potenzen mit reellen
Exponenten erweitern. Sie gelten also für beliebige Potenzen an , d.h. n ∈ R , a ∈ R+.
1.4 Binomischer Lehrsatz
1.4.1 Die Potenzen des Binoms (a + b)
(a + b) 0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2
(a + b)3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
(a + b) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4
(a + b)5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a b 4 + b 5
(a + b) 6 = a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 a b 5 + b 6
1.4.2 Binomialkoeffizienten ( Pascalsches Dreieck )
n=0
1
n =1
1 1
n=2
1 2 1
n=3
1 3 3 1
n=4
1 4 6 4 1
n=5
1 5 10 10 5 1
n=6
1 6 15 20 15 6 1
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 0
 0
 1
 0
 2
 0
 3
 0
 4
 0
 5
 0
 6
 0
TGM
 5
 1
 6
 1
 2
 1
 3
 1
 4
 1
 2
 2
 3
 2
 4
 2
 5
 2
 6
 2
1
1
 4
 3
 5
 3
 6
 3
 3
 3
 4
 4
 5
 4
 6
 4
 5
 5
 6
 5
 6
 6
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5
n
Man nennt   das Eulersymbol. Aus dem Pascalschen Dreieck lässt sich Folgendes ablesen:
k
•
Symmetrie:
n  n 
k = n − k
  

•
Bildungsgesetz:
 n   n   n + 1
 k  +  k + 1 =  k + 1
  
 

n
Man kann den Wert für   auch direkt aus der Zeilennummer n und der Platznummer k
k
berechnen:
Es gilt:
n!
 n = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1) =
 k
k ⋅ ( k − 1) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1
k ! ⋅ (n − k) !
1.4.3 Die Summenschreibweise
n
n
(a + b) n = ∑   a n − k b k
k =0  k 
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6
2. Kreisfunktionen
2.1 Definitionen im rechtwinkeligen Dreieck
γ = 90°
γ
b
a
β
α
c
Bezüglich α ist a die Gegenkathete GK , b die Ankathete AK und c die Hypotenuse H .
sin α =
GK
H
tan α =
GK sin α
=
AK cos α
cos α =
AK
H
ctgα =
AK cos α
=
GK sin α
Ein wichtiger Zusammenhang:
sin² α + cos² α = 1
2.2 Sinus – und Kosinussatz
Sie dienen zu Berechnungen im schiefwinkeligen Dreieck:
Sinussatz:
Kosinussatz:
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos γ
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos β
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7
2.3 Die Kreisfunktionen am Einheitskreis
y
1
(
P Px / Py
)
sin α
α
cos α
x
1
Am Einheitskreis ist die Maßzahl der x-Koordinate gleich dem Kosinus des Winkels α, die Maßzahl der yKoordinate ist gleich dem Sinus des Winkels.
2.4 Summensätze
1. Summensatz:
2. Summensatz:
α+β
α−β
⋅ cos
2
2
α+β
α −β
⋅ sin
sin α − sin β = 2 cos
2
2
α+β
α−β
cos α + cos β = 2 cos
⋅ cos
2
2
α+β
α −β
⋅ sin
cos α − cos β = −2 sin
2
2
sin α + sin β = 2 sin
sin ( α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β
sin ( α − β ) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β
cos ( α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β
cos ( α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β
2.5 Produktformeln
sin α ⋅ sin β = 12  cos ( α − β ) − cos ( α + β )
sin α ⋅ cos β = 12 sin ( α − β ) + sin ( α + β ) 
cos α ⋅ cos β = 12  cos ( α − β ) + cos ( α + β )
2.6 Potenzen von Kreisfunktionswerten
(1 − cos 2α )
sin 3 α = 14 ( 3sin α − sin 3α )
sin 4 α = 18 ( cos 4α − 4 cos 2α + 3)
sin 2 α =
(1 + cos 2α )
cos3 α = 14 ( cos 3α + 3cos α )
cos4 α = 18 ( cos 4α + 4 cos 2α + 3)
cos2 α =
1
2
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1
2
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8
3. Die quadratische Gleichung
3.1 Der allgemeine Fall
Ax² + B⋅x + C = 0
wird gelöst von:
x1,2 =
− B ± B2 − 4AC
2A
Man kann den allgemeinen Fall einer quadratischen Gleichung per Division durch A stets in
die normierte Form überführen.
3.2 Der normierte Fall
x² + p⋅x + q = 0
wird gelöst von :
2
p
p
x1,2 = − ±   − q
2
2
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4. Exponential – und Logarithmusfunktionen
4.1 Definition
Jede Funktion der Form
x → ax
wobei a ∈ R + ist, nennt man Eponentialfunktion zur Basis a : expa
∞ für a > 1
1 für a = 1
0 für 0 < a < 1
lim a x =
Es gilt:
x→∞
Exponentialfunktionen expa – und Logarithmusfunktionen loga sind Umkehrfunktionen
zueinander.
x
log
a →
←

exp a
log a x
⇔
a log a x = x
x
exp

a →
←

log a
ax
⇔
log a a x = x
4.2 Umrechnung auf die natürliche Basis e:
ax = ekx
Es gilt:
lim e k⋅x
x→∞
mit
k = ln a
∞ für k > 0
= 1 für k = 0
0 für k < 0
4.3 Rechengesetze für Logarithmen
1. log ( x ⋅ y) = log x + log y
 x
2. log   = log x − log y
 y
3. log x n = n ⋅ log x
4.4 Zusammenhang verschiedener Logarithmensysteme
loga x log b x
=
loga y log b y
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10
5. Komplexe Zahlen
5.1 Definition der imaginäre Einheit
j² = –1
5.2 Beschreibungsarten komplexer Zahlen
5.2.1 Komponentenform (Normalform )
z = a + j⋅b
wobei a und b reelle Zahlen sind.
a ist der Realteil von z :
b ist der Imaginärteil von z :
a = Re(z)
b = Im(z)
Die komplexe Zahlenebene
Imaginäre
Achse
jb
z = a + j⋅b
a
Reelle
Achse
5.2.2 Die konjugiert komplexe Zahl z*
z = a + j⋅b
Im
⇒
z* = a – j⋅b
z = a + j⋅b
jb
a
Re
z * = a – j⋅b
Wichtige Eigenschaft:
z ⋅z* = a² + b²
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11
5.2.3 Grundrechnungsarten in der Komponentenform
Sind z1 = a1 + j⋅b1 und z2 = a2 + j⋅b2 , so gilt:
z1 + z2 = (a1 + j⋅b1) + (a2 + j⋅b2) = (a1 + a2) + j⋅(b1 + b2)
z1 – z2 = (a1 + j⋅b1) – (a2 + j⋅b2) = (a1 + a2) – j⋅(b1 + b2)
z1 ⋅ z2 = (a1 + j⋅b1) ⋅ (a2 + j⋅b2) = (a1⋅a2– b1⋅b2) + j⋅(a1b2 + a2b1)
a b − a1 b 2
z1 a1 + jb1 (a1 + jb1 ) ⋅ (a 2 − jb2 ) a1a 2 + b1b2
=
=
=
+ j 2 21
2
2
2
z 2 a 2 + jb2 (a 2 + jb2 ) ⋅ (a 2 − jb2 )
a 2 + b2
a 2 + b2
5.2.4 Polarform
z = (r,ϕ)
r ist der Betrag (die Länge) von z . ϕ ist der Winkel den z mit der positiven reellen Achse
einschließt.
Umrechnungsformeln:
R→P :
P→R :
z = r = a 2 + b2
ϕ = arctan
a = r ⋅ cos ϕ
b = r ⋅ sin ϕ
b
a
5.2.5 Exponentialform:
z = r⋅ejϕ
Grundlage für diese Darstellung ist die Eulerformel:
ejϕ = cos ϕ + j⋅sin ϕ
Die komplexe Zahlenebene
Imaginäre
Achse
z = rejϕ
r
ϕ
Reelle
Achse
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12
Grundrechnungsarten in der Exponentialform
Addition und Subtraktion sind in Exponentialform nicht (einfach) möglich.
Sind z1 = r1⋅ejϕ1 und z2 = r2⋅ejϕ2 zwei beliebige komplexe Zahlen, so gilt für die
Multiplikation:
z1 ⋅z2 = r1⋅ejϕ1 ⋅ r2⋅ejϕ2 = r1⋅ r2⋅ej(ϕ1+ϕ2) = r⋅ejϕ
Es gilt also: r = r1 ⋅ r2
Division:
und ϕ = ϕ1 + ϕ2
r
z1 r1e jϕ1
=
= 1 ⋅ e j( ϕ1 −ϕ2 )
j ϕ2
z 2 r2 e
r2
r
Es gilt also: r = 1 und ϕ = ϕ1 − ϕ2
r2
z = re jϕ =
Kojugiert komplexe Zahlen in Exponentialform:
z = r⋅ejϕ ⇒ z* = r⋅e– jϕ
z ⋅z* = r²
Wichtige Eigenschaft:
z = re jϕ = r ϕ
Versor-Zeichen:
5.3 Komplexe Darstellung von Sinus und Kosinus
cos ϕ =
e jϕ + e − jϕ
2
sin ϕ =
e jϕ − e − jϕ
2j
5.4 Formel von Moivre
(cos ϕ + j⋅sin ϕ) n = (cos nϕ + j⋅sin nϕ)
5.5 Komplexe Wurzeln
Jede komplexe Zahl w , für die gilt: (w)n = z heißt eine n – te Wurzel von z . Es gibt genau n
unterschiedliche Wurzeln:
w k= r ⋅ e
n
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2π 
ϕ
j ⋅  + k⋅ 
n 
n
TGM
k = 0 ... n − 1
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13
5.6 Komplexe Widerstände in der Wechselstromtechnik
Bauelement
Ohmscher Widerstand
Induktivität ( Spule )
Kapazität ( Kondensator )
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Schaltungssymbol
R
L
C
TGM
Komplexer Widerstand
Z=R
Z = jωL
Z=
1
jωL
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6. Differentialrechnung
6.1 Definition des Differentialqoutienten
lim
∆x → 0
f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ) df
∆y
= lim
:=
x
0
∆
→
dx
∆x
∆x
6.2 Ableitungsregeln
d ( ex )
da
=0
dx
dx
d a ⋅ f ( x )
dx
d (xn )
dx
dx
=
= a x ⋅ ln a
d ln x 1
=
dx
x
= n ⋅ x n −1
d f  u ( x )
dx
d (a x )
df ( x )
=a⋅
dx
= ex
d loga x 1
= ⋅ loga e
dx
x
df du
⋅
du dx
d sin x
= cos x
dx
d sinh x
= cosh x
dx
d cos x
= − sin x
dx
d cosh x
= sinh x
dx
d tan x
1
=
= 1 + tan 2 x
2
dx
cos x
d tanh x
1
=
= 1 − tanh 2 x
2
dx
cosh x
d cot x
1
= − 2 = − 1 − cot 2 x
dx
sin x
d coth x
1
=−
= 1 − cot 2 x
dx
sinh 2 x
d arc sin x
1
=
dx
1 − x2
d ar sinh x
=
dx
d arc cos x
1
=−
dx
1 − x2
d ar cosh x
1
=
dx
x2 − 1
d arc tan x
1
=
dx
1 + x2
d ar tanh x
1
=
dx
1 − x2
(
x < 1)
d arc cot x
1
=−
dx
1 + x2
d ar coth x
1
=
dx
1 − x2
(
x > 1)
Angewandte Mathematik
TGM
1
x2 + 1
( x > 1)
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15
Sind u = u(x) und v = v(x) zwei Funktionen von x , so gilt:
Summenregel:
Produktregel:
d ( u + v ) du dv
=
+
dx
dx dx
d (u ⋅ v)
du
dv
= v⋅
+ u⋅
dx
dx
dx
(u + v)' = u ' + v '
(u ⋅ v)' = u '⋅ v + u ⋅ v '
Quotientenregel:
Kettenregel:
u
d   v ⋅ du − u ⋅ dv
v =
dx
dx
dx
v2
d
df du
⋅
f ( u ( x )) =
dx
du dx
 u  ' u '⋅ v − u ⋅ v '
  =
v2
v
Angewandte Mathematik
TGM
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7. Integralrechnung
7.1 Stammfunktionen
Jede Funktion F(x) , deren 1.Ableitung f(x) ist, heißt eine Stammfunktion von f(x). Man
schreibt:
dF
∫ f (x ) dx = F( x ) ⇔ dx = f (x )
7.2 Faktorenregel
∫ a ⋅ f ( x ) dx = a ⋅ ∫ f ( x ) dx
7.3 Summenregel
∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx
7.4 Lineare Substitution
Ist ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C , so gilt:
1
∫ f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C
7.5 Produktintegration
∫ u dv = u ⋅ v − ∫ v du
7.6 Weitere Substitutionsmethoden
Ist ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C , so gilt:
∫ f ( u ( x ) ) ⋅ u′ ( x ) dx = F ( u ( x ) ) + C
Weiters ist:
Angewandte Mathematik
f ′(x)
∫ f ( x ) dx = ln f ( x ) + C
TGM
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17
7.7 Grundintegrale
x n +1
+C
n +1
n
∫ x dx =
1
∫ x dx = ln
x +C
( n =/ −1)
( x =/ 0 )
∫ sin x dx = − cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
1
∫ sin
2
dx = − cot x + C
x
1
∫ cos
∫e
2
x
dx = tan x + C
( x =/ k ⋅ π )
π

 x =/ ( 2k + 1) ⋅ 
2

dx = e x + C
x
ax
∫ a dx = ln a + C ( a =/ 1 , a > 0 )
1
∫ 1 + x 2 dx = arctan x + C
1
∫ 1 − x 2 dx = arcsin x + C ( x < 1 )
x
∫ sinh x dx = cosh x + C
∫ cosh x dx = sinh x + C
1
∫ sinh
2
x
1
∫ cosh
∫
∫
2
x
1
x +1
1
2
dx = − coth x + C
( x =/ 0 )
dx = tanh x + C
(
dx = ar cosh x + C = ln x + x 2 − 1 + C
x −1
1
1 1+ x
∫ 1 − x 2 dx = ar tanh x + C = 2 ln 1 − x + C
1
1 1+ x
∫ 1 − x 2 dx = ar coth x + C = 2 ln 1 − x + C
2
Angewandte Mathematik
)
dx = ar sinh x + C = ln x + x 2 + 1 + C
TGM
(
(
x <1)
(
x >1)
x >1)
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18
7.8 Rechenregeln für das bestimmte Integral
Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt:
b
∫ f (x)dx = F(b) − F(a)
a
Unterbrechung des Integrationsintervalls:
b
c
b
a
a
c
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
Umkehrung der Integrationsrichtung
b
a
a
b
∫ f (x)dx = − ∫ f (x)dx
Für jede gerade Funktion fg gilt:
a
a
−a
0
∫ f g (x) dx = 2 ⋅ ∫ f g (x) dx
Für jede ungerade Funktion fu gilt:
a
∫f
u
(x) dx = 0
−a
Für jede p–periodische Funktion gilt:
p
a +p
0
a
∫ f (x)dx =
Angewandte Mathematik
∫ f (x)dx
TGM
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8. Fourierreihen
8.1 Sinus-Kosinusform
Entwicklung 2π–periodischer Funktionen, die x– Darstellung:
∞
f (x) = a 0 + ∑ ( a n cos nx + b n sin nx )
n =1
π
1
∫ f (x)dx
2π −π
a0 =
π
an =
π
1
∫ f (x) cos nxdx
π −π
bn =
1
∫ f (x) sin nxdx
π −π
Entwicklung T–periodischer Funktionen, die zeitliche Darstellung:
∞
f (t) = a 0 + ∑ ( a n cos nω0 t + bn sin nω0 t )
n =1
a0 =
1
T
T
2
∫ f (t)dt
an =
T
−
2
2
T
T
2
∫ f (t) cos nωtdt
bn =
T
−
2
2
T
T
2
∫ f (t) sin nωtdt
−
T
2
8.2 Amplituden– Phasen Form
∞
∞
f (x) = A 0 + ∑  A n ⋅ sin ( n ⋅ x + ϕ n ) 
f (t) = A 0 + ∑  A n ⋅ sin ( n ⋅ ωt + ϕ n )
n =1
2
A n = a n + bn
n =1
2
und
a 
ϕ n = arctan  n 
 bn 
8.3 Exponentialform
f (t) =
∞
∑c
n =− ∞
n
⋅ e jnωo t
T
1
c n = ∫ f (t) ⋅ e − jnω0 t dt
T0
8.4 Parsevalsche Gleichung
2π
∞
1
1 ∞
1 ∞
2
2
2
⋅ ∫ f (x) 2 dx = a 0 + ∑ ( a 2n + b2n ) = A 0 + ∑ A n = ∑ c n
2π 0
2 n =1
2 n =1
n =−∞
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2
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9. Fouriertransformation
9.1 Definition
∞
F ( jω) :=
∫ f (t)e
− jωt
∞
dt
−∞
1
f (t) =
F ( jω) e + jωt dω
∫
2 π −∞
9.2 Linearität
F ist ein linearer Integraloperator:
F { a1f1 ( t ) + a 2f 2 ( t ) } = a1F { f1 ( t ) } + a 2 F { f 2 ( t ) }
9.3 Vereinfachungen
Vereinfachungen ergeben sich, wenn f(t) bestimmte Symmetrieeigenschaften besitzt.
Für gerade Funktionen fg gilt:
∞
∞
−∞
0
F ( jω) :=
− jωt
∫ fg ( t ) e dt = 2∫ fg ( t ) cos ωt dt := FC ( jω)
„Fourier–Kosinustransformation“
Für ungerade Funktionen fu gilt:
F ( jω) :=
∞
∫ f (t)e
− jωt
u
−∞
∞
dt = −2 j∫ f g ( t ) sin ωt dt := Fs ( jω)
0
„Fourier–Sinustransformation“
9.4 Symmetrietheorem
F { f ( t ) } = F ( jω)
⇔ F {F ( jt )} = 2π ⋅ f ( −ω)
9.5 Variablenverschiebung im Zeitbereich
F {f ( t − t 0 )} = e − jωt0 F {f ( t )}
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9.6 Variablenverschiebung im Frequenzbereich
F ( j ( ω − ω0 ) ) =
∞
∫ f (t)e
− j( ω−ω0 ) t
∞
dt =
−∞
∫ f (t)e
+ jω0 t − jωt
e
dt = F { f ( t ) e jω0 t }
−∞
9.7 Ähnlichkeitssatz
F {f ( a ⋅ t )} =
∞
ω
−j τ
1
1
τ
f
e
( ) a dτ = F ( j ⋅ ωa )
∫
a −∞
a
9.8 Differentiation im Zeitbereich
 df 
F   = jω⋅ F {f ( t )} = jω⋅ F ( jω)
 dt 
9.9 Integration im Zeitbereich
 t
 1
⋅ F ( jω)
F  ∫ f ( τ ) dτ  =
 − ∞
 jω
9.10 Faltung
f1 ( t ) * f 2 ( t ) :=
∞
∫ f ( t − τ ) ⋅ f ( τ ) dτ
1
2
−∞
Zusammenhang mit der FT:
F { f1 ( t ) * f 2 ( t )} = F { f1 ( t )} ⋅ F { f 2 ( t )}
F { f1 ( t ) ⋅ f 2 ( t )} =
1
 F { f1 ( t )} * F { f 2 ( t )}
2π 
Rechenregeln für die Faltung
Nullelement:
0 ∗f (t) = 0
Einselement
δ(t) ∗f (t) = f (t)
Kommutativgesetz:
f1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = f 2 ( t ) ∗ f1 ( t )
Assoziativgesetz:
 f ( t ) ∗ g ( t )  ∗ h ( t ) = f ( t ) ∗  g ( t ) ∗ h ( t )  = f ( t ) ∗ g ( t ) ∗ h ( t )
 f ( t ) + g ( t ) ∗ h ( t ) = f ( t ) ∗ h ( t ) + g ( t ) ∗ h ( t )
Distributivgesetz:
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9.11 Tabelle
f(t)
F(jω)
1
2π⋅δ(ω)
δ(t)
1
δ(t–t0)
e − jωt0
σ(t)
π⋅δ(ω) +
e jω0 t
2π⋅δ(ω–ω0)
cos(ω0t)
π⋅[δ(ω–ω0) + δ(ω+ω0)]
sin(ω0t)
–jπ⋅[δ(ω–ω0) – δ(ω+ω0)]
1, für t ≤ a/2
0 sonst
2
 ωa 
sin 

ω  2 
e– t / T
e– t / T ⋅ σ(t)
n
t ⋅e
e
−
–t/T
t t
⋅ 
2 T
⋅ σ(t)
1
jω
2T
1 + (ωT)2
T
1 + jωT
n!T n +1
(1 + jωT )
n +1
2
2π ⋅ T ⋅ e
ω0
1
− (Tω )2
2
2
e– t / T ⋅ sin(ω0t)⋅ σ(t)
2
1

 + jω  + ω0
T

jω
e– t / T ⋅ cos(ω0t)⋅ σ(t)
2
1

 + jω  + ω0
T


2
1
t +1
π⋅e
t
2
t +1
+π⋅e
0
−ω
–π⋅e
2
−ω
−ω
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für ω < 0
für ω = 0
für ω > 0
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