4.¨Ubungsblatt zur Elementaren Zahlentheorie Anne Henke, WS

4.Übungsblatt zur Elementaren Zahlentheorie
Anne Henke, WS 2016
1. Beweisen Sie, ohne Benutzung von technischen Hilfsmitteln, nur mit
Stift und Papier: Es gibt genau eine vierstellige Quadratzahl aabb, bei
welcher die ersten beiden Ziffern gleich und die letzten beiden Ziffern
gleich sind.
(99 ) )
2. Bestimmen Sie (mit Beweis) die letzten zwei Dezimalstellen von 9(9
.
3. Eine Zahl n heisst Carmichael Zahl, falls n zusammengesetzt ist und
für alle zu n teilerfremden ganzen Zahlen a gilt: an ≡ a modulo n.
(Carmichael vermutete 1912, dass es unendlich viele Carmichael Zahlen gibt; dies konnte erst 1992 durch einen komplizierten Beweis gezeigt
werden. Carmichael Zahlen sind seltener als Primzahlen.)
(a) Zeigen Sie, dass 561 eine Carmichael Zahl ist.
(b) Sei die natürliche Zahl n das Produkt paarweise verschiedener
Primzahlen. Für jeden Primteiler p von n gelte, dass p − 1 Teiler
von n − 1 ist. Zeigen Sie, dass n eine Primzahl oder eine Carmichael Zahl ist.
4. (a) Bestimmen Sie den Rest (kleinste positive ganze Zahl) von 5!25!
bei Division durch 31.
(b) Sei p ≥ 5. Zeigen Sie, dass p eine Primzahl ist, genau dann, wenn
6(p − 4)! ≡ 1 mod p gilt.
1
. Schreiben
5. Sei p eine ungerade Prinzahl. Sei r = 1 + 21 + 13 + . . . + p−1
a
Sie r als gekürzten Bruch, r = b mit (a, b) = 1. Zeigen Sie:
(a) Es ist a ≡ 0 modulo p.
(b) Falls p > 3, dann gilt sogar a ≡ 0 modulo p2 .