Aufgabenblatt Nr. 12

Universität Basel
Prof. Dr. Enno Lenzmann
Analysis I/HS 2015
26.11.2015
Aufgabenblatt Nr. 12
Abgabe: Am Freitag, den 11.12.2015 bis 13:00 Uhr in der Spiegelgasse 1 in
das jeweilige Assistentenfach im Eingangsbereich im Erdgeschoss.
Hinweis: Die Aufgaben mit * sind für das Ergänzungsprogramm bestimmt. Sie
können die Aufgaben selbstverständlich gemeinsam bearbeiten, jedoch müssen Sie
Ihre Lösungen separat einreichen. Offensichtliches Kopieren ist nicht zulässig.
Bemerkung: Am Freitag, den 11.12.2015, wird eine Probeklausur von 9:15 Uhr
bis 10:00 Uhr (Ort: Hörsaal der Vorlesung) statt finden.
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Aufgabe 12.1. (8 Punkte).
(a) Zeige: Für beliebige positive reelle Zahlen x, y, z ą 0 gilt
˙3
ˆ
x3 ` y 3 ` z 3
x`y`z
ď
,
3
3
wobei Gleichheit nur dann auftritt, wenn x “ y “ z ist.
(b) Seien x1 , . . . , xn ą 0 positive reelle Zahlen. Bestimme für welche α P R die
Ungleichung
˜
¸α
n
n
1 ÿ
1 ÿ α
xi
ď
x
n i“1
n i“1 i
gilt. Für welche α P R gilt obige Ungleichung mit ě anstelle von ď ?
Aufgabe 12.2. (8 Punkte). Ein Versuch habe n mögliche Ergebnisse,
die mit den
řn
entsprechenden Wahrscheinlichkeiten pi ą 0 eintreten, wobei i“1 pi “ 1 ist. Ein
natürliches Mass für die Ungewissheit über den Ausgang der Versuchs ist die sogenannte Entropie, die man definiert als die Grösse
H :“ ´
n
ÿ
pi log pi .
i“1
Zeige, dass H genau dann am grössten ist, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
Aufgaben 12.3 und 12.4. (16 Punkte). Bestimme die folgenden Grenzwerte mit
der Regel von de l’Hospital:
˘
`?
?
sin 1 ` x ´ 1
1 ´ cos x
, pbq lim
,
paq lim
xÑ0
xÑ0
x
x
ax ´ 1
xÑ0 bx ´ 1
pcq lim
pa, b ą 0q,
pdq lim
xα ´ xβ
´ x1{α
xÑ1 x1{β
1
pα ‰ βq.
2
*Aufgabe 12.5. (8 Punkte). Betrachte die Funktion
#
x ` 2x2 sinp1{xq für x ‰ 0,
f pxq :“
0
für x “ 0.
Verifiziere die folgenden Aussagen:
(a) f ist differenzierbar auf R;
(b) f 1 p0q “ 1;
(c) f 1 ist auf jedem kompakten Intervall beschränkt, d. h. für jedes Intervall
ra, bs gibt es eine Konstante M P R` , sodass |f 1 pxq| ď M für alle x P ra, bs;
(d) f ist auf keinem noch so kleinen Intervall p´ε, εq mit ε ą 0 monoton wachsend.
*Aufgabe 12.6. (8 Punkte). Sei a ą 0. Beweise, dass die Funktion f : R Ñ R,
f pxq “ ax genau dann einen Fixpunkt hat, wenn a ď e1{e ist.
Hinweis: Man mache sich klar, dass f genau dann einen Fixpunkt hat, wenn die
Gleichung plog aqx “ log x eine Lösung x ą 0 hat. Wann ist dies genau der Fall?