Mathematik I für das MW und VIW Karsten Eppler

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected]
Mathematik I für das MW und VIW
Karsten Eppler
Technische Universität Dresden
Institut für Numerische Mathematik
[email protected]
http://www.math.tu-dresden.de/∼eppler
Vorlesungsassistent: Dr. Vanselow
http://www.math.tudresden.de/∼vanselow/Lehre WiS201617/. . .
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Organisatorische Hinweise I
• K. Eppler: Willersbau, Zi.: C 318, Tel.: (463) 37584
– Sprechzeit: Di. 13-14.00 Uhr
• Wiederholungsübung: Aufgaben aus (s. unten) Heft Ü1:
1.3, 1.8, 1.9., 2.2 (d,f), 2.3 (b,c); 2.4 (a,d); Heft Ü3 2.1.1, 2.1.2
• Klausur: Februar 2017 (90 min)
– Prüfungsklausur Grundlagen d. Mathematik“ MW
”
– Seit WS 2016/17: Bonuspunkte möglich über Opal
• Literatur: Bärwolf Höhere Mathematik für
”
Naturwissenschaftler und Ingenieure“ (Spektrum);
Wenzel/Heinrich Übungsaufgaben zur Analysis“ (Ü1+Ü2);
”
Pforr/Oehlschlaegel/Seltmann Übungsaufgaben zur linearen
”
Algebra und linearen Optimierung (Ü3)
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Organisatorische Hinweise II
1. Übung: Woche vom 17.-21.10.16 (komplexe Zahlen):
Heft Ü1: 3.9 (a,b); 3.10, 3.12 (a-c); 3.13 (a-c);
3.2 (a,b,d); 3.3 (c,d,f)
•
Lehrbegleitende Skripte:
– Mathematik I, II, III (ehem. Skript VIW)
– erhältlich in: Copy Cabana, Helmholtzstr. 4
• Homepage: Weitere detailliertere Hinweise zu:
– Klausuren
– Übungen
– Vorlesungsinhalt(e)
– Ankündigungen, Informationen und Hinweise
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Neu: Angebote auf der Lernplattform OPAL
Link auf der homepage von Dr. Vanselow (Lehre WS 16/17)
1. Aufgaben zum selbstständigen Üben: freiwillig; mit
Korrekturhinweisen; kein Ersatz für VL/Übung;
nicht zu allen (prüfungsrelevanten) Themen.
2. Tests zum Erwerb von Bonuspunkten zur Klausur Grundlagen
”
d. Mathematik“: 3 Tests (je 1 Punkt); ca. 2-3 Wochen Zeit;
max. 4 Wiederholungen; Einschreibung im OPAL-System
erforderlich
3. genauere Details s. Informationsblatt
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Inhaltsübersicht WS16/17
• Zahlsysteme (natürliche, ganze, rationale, reelle, komplexe
Zahlen)
• Reellwertige Funktionen einer reellen Variablen:
– Grundbegriffe, Definitionen, Grenzwerte und Stetigkeit,
Differentialrechnung
• Integralrechnung (eine reelle Variable)
– unbestimmtes und bestimmtes Integral, uneigentliche
Integrale, Anwendungen
• Lineare Algebra
– Vektorräume, Matrizen, Lineare Gleichungssysteme,
Determinanten, Eigenwerte
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Natürliche Zahlen (Buch, Kap. 1.4)
Peano Axiome zur Charakterisierung der Menge N der
natürlichen Zahlen
1) 1 ist eine natürliche Zahl.
2) Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n’
(Schreibweise 2=1’, 3=2’ usw.).
3) 1 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.
4) Die Nachfolger zweier verschiedener natürlicher Zahlen sind
voneinander verschieden.
(⇒ jede natürliche Zahl außer 1 hat genau einen Vorgänger)
5) Induktionsprinzip: Sei A ⊆ N mit
(i) 1 ∈ A,
(ii) n ∈ A =⇒ n0 ∈ A.
Dann ist A = N.
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Satz 1.1: Prinzip der vollständigen Induktion
Seien n0 ∈ N und A(n) eine Aussageform für jedes n ∈ N mit
n ≥ n0 .
Wenn die beiden Aussagen
1) A(n0 ) ist wahr,
2) für alle k ∈ N, k ≥ n0 : A(k) ist wahr ⇒ A(k + 1) ist wahr
gelten, dann ist die Aussage A(n) für alle n ∈ N mit n ≥ n0 wahr.
Bemerkung: In N findet man eine Lösung x von n + x = m nur,
wenn m > n gilt.
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Ganze Zahlen (Buch, Kap. 1.5)
Z = {0, +1, −1, +2, −2, +3, −3, . . . }
• In Z hat die Gleichung n + x = m (n, m ∈ Z) die Lösung
x := m − n.
• Addition, Subtraktion und Multiplikation führen nicht aus Z
heraus.
• Die Division allerdings gelingt in Z nur in Spezialfällen.
Die Gleichung nx = m (n, m ∈ Z) hat nur dann eine Lösung
x ∈ Z, wenn n Teiler von m ist.
Man hat also Grund, den Zahlbereich Z zu erweitern.
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Rationale Zahlen (Buch, Kap. 1.5)
a
, a, b ∈ Z, b 6= 0, a, b teilerfremd}
b
• Z ⊂ Q (man setze b := 1).
Q := {q | q =
• In Q hat die Gleichung qx = p, (p, q ∈ Q, q 6= 0) die Lösung
x := pq .
• Doch es gibt kein Quadrat mit Flächeninhalt 2, dessen
Seitenlänge s eine rationale Zahl ist, d.h. die Gleichung
x2 = 2
hat keine Lösung in Q (Q hat Löcher“).
”
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Reelle Zahlen (Buch, Kap. 1.5)
R := {x | x ist unendlicher Dezimalbruch}
• Q enthält die periodischen Dezimalbrüche.
• die nichtperiodischen Dezimalbrüche bilden die Menge R \ Q
der irrationalen Zahlen.
• Beim numerischen Rechnen mit solchen nichtperiodischen
Dezimalbrüchen benutzt man im Allgemeinen Näherungswerte
in Form endlicher Dezimalbrüche. Zum Beispiel sind
1, 41 ; 1, 414 ;
√
Näherungen für 2 ∈ R.
1, 4142 ;
1, 41421 . . .
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Problem: R ist nicht algebraisch abgeschlossen
Besitzt eine beliebige algebraische Gleichung mit reellen
Koeffizienten eine Lösung in R?
x2 + 4x − 5 = 0
⇒
x1 = −5, x2 = 1
aber
x2 + 4x + 5 = 0
⇒
keine Lösung in R
Sinngemäß gültig für beliebige algebraische Gleichungen
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0
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y
y
10
−5
5
−5
x
y = x2+4x+5
5
2
y = x +4x−5
= (x+5)(x−1)
−10
−5
5
x
Abbildung 1.22: Quadratische Gleichungen mit und ohne
Lösungen in R (Buch, Kap. 1.7)
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Definition 1.5: komplexe Zahlen (Buch, Kap. 1.7)
1) Unter einer komplexen Zahl z ∈ C versteht man einen
Ausdruck der Form
z := a + b i mit a, b ∈ R.
a ∈ R heißt Realteil von z :
b ∈ R heißt Imaginärteil von z :
i heißt imaginäre Einheit
Re z := a
Im z := b
2) Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sowohl Realteil als
auch Imaginärteil übereinstimmen. Insbesondere ist
a + bi = 0 ⇐⇒ a = 0 ∧ b = 0 .
3) Ist z = a + b i, so heißt z := a − b i die zu z konjugiert
komplexe Zahl.
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4) Unter dem Betrag |z| einer komplexen Zahl z = a + b i
√
versteht man die nichtnegative reelle Zahl |z| = a2 + b2 .
Rechenregeln
Seien z := a + bi, w := c + di, α ∈ R . Dann definiert man
• z ± w := (a ± c) + (b ± d)i
• z · w := ac − bd + (bc + ad)i Festlegung!
• αz = αa + (αb)i
Folgerung!
1
z
=
z · w̄
2
w
|w|
Folgerung!
•
Weitere Folgerung:
i2 = −1
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Weitere Eigenschaften komplexer Zahlen
• Die Operationen + und · sind kommutativ und assoziativ
• 0 := 0 + 0i ist das neutrale Element bzgl. der Addition
• 1 := 1 + 0i ist das neutrale Element bzgl. der
Multiplikation
• z + (−z) = 0 für alle z ∈ C Inversion bzgl. Addition
1
= 1 für alle z ∈ C mit z 6= 0 Inversion bzgl.
z
Multiplikation
• z·
• Es gelten die Distributivgesetze
z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3 ,
für alle z1 , z2 , z3 ∈ C
(z1 + z2 ) · z3 = z1 · z3 + z2 · z3
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⇒
C ist damit (wie R und Q) ein (Zahl-)Körper
Schreibweise
• Anstelle von 0 + bi schreibt man kurz bi ( rein imaginär“)
”
• Anstelle von a + 0i schreibt man kurz a ( rein reell“, R ⊂ C)
”
• Anstelle von a + bi schreibt man auch (a, b)
• i ist eine Abkürzung für 0 + 1i bzw. für (0, 1).
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Die GAUSSsche Zahlenebene (Buch, Kap. 1.7.2)
Im z
1
0
z=2+i
2 Re z
Abbildung 1.23: Komplexe Zahl z = 2 + i in der Zahlenebene
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Polarkoordinaten (goniometrische Form)
Im z
z=a+bi
r
φ
0
a
b
Re z
Abb. 1.24: a + bi = r(cos φ + i sin φ)
(r, φ) heißen Polarkoordinaten von z
(a, b) heißen kartesische Koordinaten von z
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Im z
Im z
-2+i
0
r= 5
φ = 1 5 3,4 4 °
φ=− 45°
1
Re z
1
r= 2
-2
Re z
1-i
√
a 2 + b2
r
–
Betrag der komplexen Zahl z: r = |z| =
φ
–
Argument der komplexen Zahl z: φ ist der Winkel,
um den man den Strahl durch (0, 0) und (1, 0) drehen
muss, um den Strahl durch (0, 0) und (a, b) zu erhalten
φ>0
⇔ Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn
φ<0
⇔ Drehung im Uhrzeigersinn
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Argument und Hauptwert
(r, φ)
und
(r, φ + 2kπ)
stellen die gleiche komplexe Zahl z dar
(für beliebiges k ∈ Z)
Falls
−π < φ ≤ π,
so heisst φ auch Hauptwert von z
φ ∈ (−∞, ∞)
Argument von z
argz
φ ∈ (−π, π]
Hauptwert von z
Arg z
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Hauptwerte und GAUSSsche Zahlenebene
a<0 Im z
b>0
π/2<φ<π
φ=π
a<0
b<0
−π<φ<−π/2
a>0
b>0
0<φ<π/2
φ=π/2
φ=0
Re z
φ= −π/2
a>0
b<0
−π/2<φ<0
Abb. 1.26: Werte von φ := Arg z in den 4 Quadranten
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EULERsche Formel
eiφ := cos φ + i sin φ,
speziell: eiπ = −1
Folgerung
z = a + bi = r(cos φ + i sin φ) = |z|eiφ
(Exponentialform)
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Multiplikation komplexer Zahlen
(in goniometrischer Form)
Es seien z := reiφ und w := ρeiψ gegeben. Dann gilt
z · w = reiφ · ρeiψ = rρei(φ+ψ)
z
reiφ
r i(φ−ψ)
= iψ = · e
w
ρe
ρ
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Im z
zw
φ+ψ
z=3+i
w=i
ψ
0
φ
1
Re z
Abb. 1.30: Multiplikation komplexer Zahlen
• multiplizieren: Beträge multiplizieren, Argumente addieren,
• dividieren: Beträge dividieren, Argumente subtrahieren,
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Potenzieren und Radizieren
zn
z n := z| · z ·{z. . . · z}
n mal
heißt n − te Potenz von z ∈ C
Eine Zahl z ∈ C heißt n-te Wurzel der Zahl w ∈ C, falls
zn = w
Potenzieren und Radizieren komplexer Zahlen sinnvollerweise in
der goniometrischen Form (Polarkoordinaten) unter Benutzung des
Satzes von Moivre (Buch, Kap. 1.7.3)
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Satz 1.3: (de MOIVREsche Formeln) Sei n ∈ N, dann gilt
a) Die n-te Potenz von z = a + bi = r(cos φ + i sin φ) = reiφ ergibt
sich zu
z n = rn (cos(nφ) + i sin(nφ)) = rn einφ .
b) Für jede komplexe Zahl w = reiφ 6= 0 hat die Gleichung z n = w
genau n verschiedene Lösungen, nämlich die n n-ten Wurzeln
zk
=
√
n
√
φ
k2π
φ k2π
φ k2π
i( n
n
r(cos( +
) + i sin( +
)) = re + n )
n
n
n
n
für k = 0, 1, . . . , n − 1.
√
Die n-ten Wurzeln liegen auf einem Kreis mit dem Radius n r um
den Nullpunkt der Gaußschen Zahlenebene und bilden ein
regelmäßiges n-Eck.
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Im z
α1
α2
5_π
6
α0
_
π
6
-1
0
1
Re z
α5
α3
α4
Abb. 1.32: Die 6. Wurzeln der Zahl w = −1 = 1 · eiπ
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Polynom n-ten Grades über C
pn (x) := an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
a0 , a1 , . . . , an ∈ C, n ∈ N gegeben
α ∈ C heißt Nullstelle von pn , wenn pn (α) = 0
Fundamentalsatz der Algebra (Buch, Kap. 1.7.4)
Es gibt mindestens eine Zahl α ∈ C, so dass
pn (α) = 0.
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Fundamentalsatz der Algebra (äquivalente Form)
Das Polynom pn besitzt n Nullstellen α1 , . . . , αn ∈ C und es gilt die
folgende Zerlegung in Linearfaktoren
pn (x) = an
n
Y
(x − αj ).
j=1
Fasst man die Linearfaktoren von ein und derselben Nullstelle
jeweils zusammen, so hat man
pn (x) = an
r
Y
(x − αi )mi ,
i=1
wobei mi (i = 1, . . . , r) die Vielfachheiten der r paarweise
r
P
verschiedenen Nullstellen α1 , . . . , αr bezeichnet und
mi = n.
i=1