Aufgaben zur Analysis II

Aufgaben zur Analysis II
Blatt 2
SS 2006
A.Dessai/ A.Bartels
Abgabe: 27.04.2006 15:00 Uhr
Aufgabe 5 [4 Punkte]
Sei fn : R → R für n ≥ 1 die periodische Funktion die durch
2π(k+1)
1 falls x ∈ [ 2πk
[
2r ,
2r
fn (x) =
,
0 sonst
für x ∈ [0, 2π[ bestimmt ist. Dabei seien r, k ∈ N durch n = 2r + k < 2r+1 definiert. Zeigen
Sie:
(i) limn→∞ kfn k2 = 0.
(ii) Für jedes x ∈ [0, 2π] divergiert die Folge (fn (x))n≥1 .
Aufgabe 6 [4 Punkte]
Pn
Sei f ∈ V und T (x) := k=−n ak ek ein trigonometrisches Polynom vom Grad n, welches
verschieden von Fn [f ](x) ist. Zeigen Sie:
kf − Fn [f ]k2 < kf − T k2 .
Aufgabe 7 [4 Punkte]
(i) Zeigen Sie für komplexe Zahlen z und w,
zw =
1
|z + w|2 − |z − w|2 + i|z + iw|2 − i|z − iw|2 .
4
P∞
P∞
(ii) Seien F[f ](x) = n=−∞ cn en und F[g](x) = n=−∞ dn en die Fourier-Reihen von f ,
g ∈ V . Zeigen Sie:
∞
X
cn dn .
hf, gi =
n=−∞
Hinweis: Benutzen Sie (i) um hf, gi als Linearkombination von kg ± f k22 und kg ± if k22
zu schreiben.
Aufgabe 8 [4 Punkte]
Seien (X1 , d1 ) und (X2 , d2 ) metrische Räume. Auf dem Produkt X := X1 × X2 werde eine
Metrik definiert durch
d((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) := max(d1 (x1 , y1 ), d2 (x2 , y2 ))
für (x1 , x2 ),(y1 , y2 ) ∈ X1 × X2 .
(i) Zeigen Sie, dass d : X × X → R die Axiome einer Metrik erfüllt.
(ii) Beweisen Sie folgende Aussage: Eine Teilmenge U ⊂ X der Form U = U1 × U2 mit
U1 ⊂ X1 und U2 ⊂ X2 ist genau dann offen bezüglich dieser Metrik, wenn U1 ⊂ X1
und U2 ⊂ X2 offen sind.
Bitte wenden.
Aufgabe 9 [4 Punkte]
Auf der Menge N der natürlichen Zahlen werde folgende Topologie eingeführt: Offene Mengen sind außer ∅ und N alle Teilmengen U ⊂ N, so dass ihr Komplement N \ U endlich ist.
Zeigen Sie:
(i) Die Axiome einer Topologie sind erfüllt.
(ii) Das Hausdorffsche Trennungs-Axiom gilt nicht.
Aufgabe 10 [4 Punkte]
Sei X die Menge aller komplexer Zahlenfolgen. Zeigen Sie, dass durch
d((an ), (bn )) :=
∞
X
|an − bn |
1
·
n+1 1 + |a − b |
2
n
n
n=0
,
(an ), (bn ) ∈ X,
eine Metrik auf X definiert wird.
Bonusaufgabe A [4 Bonuspunkte]
(i) Eine stetige periodische Funktion ϕ : R → C heißt stückweise linear wenn es 0 = t0 <
t1 < t2 < · · · < tn = 2π und αk , βk ∈ C, k = 1, . . . , n gibt so dass für tk−1 ≤
t ≤ tk , ϕ(t) = αk + βk t gilt. Zeigen Sie, dass sich jede stetige periodische Funktion
f gleichmäßig durch stetige periodische stückweise lineare Funktionen approximieren
lässt.
(ii) Beweisen Sie den Weierstraß’schen Approximationssatz für periodische Funktionen:
Jede stetige periodische Funktion f : R → C lässt sich gleichmäßig durch trigonometrische Polynome approximieren.
Hinweis: Nach Vorlesung konvergiert für jede stetige, stückweise stetig differenzierbare
Funktion die Fourier-Reihe gleichmäßig.