( ) ( )at ( ) ( ) ( ) ( )at ( ) ( ) ( ) ( )t ( ) ( )tb ( ) ( )t ( ) ( ) ( )t ( ) ( ) ( )t ( ) ( ) 0

7.1 Lösung der Differentialgleichung
Bewegungsgleichung:
Lösungsansatz:
m &x& + k x = 0
x (t ) = A sin (at )
x& (t ) = Aa cos(at ) ⇒
⇒
&x&(t ) = − Aa 2 sin(at )
Einsetzen:
− Aa 2 sin(at )m + k A sin(at ) = 0 ⇒ a 2 m = k
⇒ a=
x (t ) = A0 sin(ω0 t )
⇒
Lösungsansatz
k
=: ω0
m
x (t ) = B cos(b t )
Allgemeine Lösung:
liefert
x (t ) = B0 cos(ω0 t )
x (t ) = A0 sin (ω0 t ) + B0 cos(ω0 t )
Warum gibt es nicht noch andere Lösungen ?
7.1 Lösung für gegebene Randbedingungen
Allgemeine Lösung:
Randbedingungen:
x (t ) = A0 sin (ω0 t ) + B0 cos(ω0 t )
x (t = 0) = x0 , x& (t = 0) = v0
x0 = x (t = 0) = A0 sin(0) + B0 cos(0) ⇒ B0 = x0
x& (t ) = A0ω0 cos(ω0 t ) − B0ω0 sin(ω0 t )
v0 = x& (t = 0) = A0ω0 cos(0) − B0ω0 sin(0) = A0ω0
x (t ) =
v0
ω0
⇒
A0 =
v0
ω0
sin(ω0 t ) + x0 cos(ω0 t )
1
7.1 Darstellung der Lösung
x (t ) =
x0 cos(ω0 t )
v0
ω0
v0
ω0
sin(ω0 t ) + x0 cos(ω0 t )
sin(ω0 t )
x (t ) = D0 sin(ω0 t + δ 0 )
Um Phase
ϕ verschobene
sin-Schwingung mit Amplitude
Do
7.1 Darstellung in komplexer Zahlenebene
Darstellung komplexer Zahlen als Punkt
in der komplexen Zahlenebene
z = z (cosϕ + i sin ϕ )
= z e iϕ
Eine Kreisbahn in der komplexen
Zahlenebene ist gegeben durch
z (t ) = z (cos(ω t ) + i sin(ω t ))
= z e iω t
Beweis über Reihenentwicklung:
eiϕ = 1 + i ϕ −
ϕ2
+i
ϕ3
∞
+K= ∑
(i ϕ )n
∞
= ∑ (− 1)
n
ϕ 2n
∞
+ i ∑ (− 1)
n −1
ϕ 2 n −1
(2n − 1)!
2!
3!
2n ! n =1
n =0
n =0 n !
= cosϕ + i sin ϕ Exponentialdarstellung komplexer Zahlen
2
7.1 Lösungen der Bewegungsgleichung
Bewegungsgleichung:
Lösungsansatz:
m &x& + k x = 0
x (t ) = C e i a t
⇒
x& (t ) = i C a e i a t
Einsetzen:
Lösungsansatz:
⇒ a=
x (t ) = C e − i a t
Allgemeine Lösung:
⇒
&x&(t ) = −C a 2 e i a t
k
=: ω0
m
erfüllt ebenfalls Bewegungsgleichung
x (t ) = C1 e i ω0 t + C2 e − i ω0 t
komplexe Koeffizienten die durch
Anfangsbedingungen bestimmt sind
7.1 Harmonische Schwingungen
Frequenz ist unabhängig von Amplitude
Potentielle Energie ändert sich quadratisch mit der unabhängigen
Variablen
Lösung hat die Form:
x (t ) = D0 sin(ω0 t + δ 0 )
Beispiele:
Fadenpendel
elektrischer Schwingkreis
3
7.2 Fadenpendel
1
1
E kin = m v 2 = m l 2ϕ& 2
2
2
E pot = m g h = m g l (1 − cosϕ )
1
L = Ekin − E pot = m l 2ϕ& 2 − m g l (1 − cosϕ )
2
d ∂L
∂L
∂L
2
2
= −m g l sin ϕ
⇒
= m l ϕ& ,
= m l ϕ&&,
∂ϕ
dt ∂ϕ&
∂ϕ&
d ∂L ∂L
l
−
= 0 ⇒ m l 2 ϕ&& + m g l sin ϕ = 0 ⇒
ϕ&& + sin ϕ = 0
dt ∂ϕ& ∂ϕ
g
Lagrangefunktion:
Bewegung ist von Masse unabhängig
→
Bestimmung von
g
7.2 Reihenentwicklung
E pot (ϕ ) = m g l (1 − cosϕ )
≈ mgl
ϕ2
2
−mgl
ϕ4
24
+ mgl
ϕ6
720
Potenzreihenentwicklung
4
7.2 Taylorreihe
Voraussetzung:
f (x )
stetig differenzierbar
( x − x0 )
d n f (x )
f (x ) = ∑
n
dx
n!
n =0
x= x
n
∞
0
Beispiel:
f ( x ) = cos x, x0 = 0
d 2 f (x )
df ( x )
= − sin x, − sin x0 = 0,
= − cos x, − cos x0 = −1
dx 2
dx
d 4 f (x )
d 3 f (x )
sin
,
sin
0
,
=
=
= cos x, cos x0 = 1
x
x
0
dx 4
dx 3
x2 x4
⇒ cos( x ) ≈ 1 −
+
2 24
2n
∞
n x
cos( x ) = 1 + ∑ (− 1)
(2n )!
n =1
7.2 „kleine“ Auslenkungen
α x2
Differenz
E pot ( x ) − α x 2
Potentielle Energie
lokales stabiles
Gleichgewicht
Für kleine Auslenkungen aus der
Gleichgewichtslage nimmt die
potentielle Energie quadratisch zu
Für kleine Auslenkungen in konservativen Potentialen sind
periodische Bewegungen harmonisch
5
Zusammenfassung 8.12.2004
7 Schwingungen und Wellen
7.1 Harmonische Schwingungen
Versuch: Federpendel
Lösung mit Prinzip der kleinsten Wirkung
Lösung mit Kräfteansatz
Lösung der Differentialgleichung
Lösung für gegebene Randbedingungen
Versuch: Schwingung und Rotation
Komplexe Zahlen
Darstellung in komplexer Zahlenebene
Lösungen der Bewegungsgleichung
7.1 Harmonische Schwingungen
Fadenpendel
Versuch: Fadenpendel
Numerische Integration der DGL
Periodendauer
Reihenentwicklung
Taylorreihe
„kleine“ Auslenkungen
Kleinwinkelnäherung für Fadenpendel
Physikalisches Pendel
6