Theorie der quadratischen Formen

Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Detlev Hoffmann
Sven Wagner
Sommersemester 2016
Übungsblatt 9
24.06.2016
Theorie der quadratischen Formen
Dieses Blatt wird erst am 11. Juli besprochen. Die Lösungen müssen aber trotzdem bis
zum 1. Juli abgegeben werden.
Aufgabe 9.1:
Sei p eine Primzahl, und sei x ∈ Qp mit kanonischer p–adischer Darstellung x =
wobei k ∈ Z, cn ∈ {0, 1, 2, . . . , p − 1} (n ≥ k) und ck 6= 0.
P∞
n=k cn p
n
∈ Qp ,
(a) Es gelte, dass x ∈ Z mit x > 0. Zeigen Sie, dass die kanonische p–adische Darstellung von x
endlich ist (d.h. nur endlich viele cn sind ungleich 0).
(b) Es gelte, dass x ∈ Z mit x < 0. Zeigen Sie, dass die kanonische p–adische Darstellung von x
unendlich ist (d.h. unendlich viele cn sind ungleich 0).
Aufgabe 9.2:
(a) Bestimmen Sie die kanonische p–adische Darstellung der folgenden rationalen Zahlen in Qp
für die jeweils angegebene Primzahl p.
138
(i) −
für p = 5;
71
320
für p = 7.
(ii)
133
(b) Bestimmen Sie die kanonische 7–adische Darstellung der folgenden Zahlen in Q7 .
∞
P
(i) 3 + 8 · 7 +
6 · 7n ;
n=2
(ii)
∞
P
8 · 7n .
n=0
Aufgabe 9.3:
Sei p eine Primzahl, und sei x ∈ Qp mit kanonischer p–adischer Darstellung x =
wobei k ∈ Z, cn ∈ {0, 1, 2, . . . , p − 1} (n ≥ k) und ck 6= 0.
P∞
n=k cn p
n
∈ Qp ,
(a) Es gelte k = 0, d.h. |x|p = 1. Zeigen Sie: Es gibt genau dann N, t ∈ N0 mit t > 0, sodass
cn = cn+t für alle n ≥ N gilt (d.h. die Folge (cn )n∈N0 wird periodisch für genügend große
n), wenn es N, t ∈ N0 mit t > 0 und a, b ∈ Z mit 0 ≤ a < pN und 0 ≤ b < pt gibt, sodass
pN
x = a + b 1−p
t.
(b) (∗) Zeigen Sie: Es gilt genau dann x ∈ Q, wenn es N, t ∈ Z mit t > 0 gibt, sodass cn = cn+t
für alle n ≥ N gilt.
(c) Geben mittels einer expliziten kanonischen Darstellung eine Zahl in Qp an, die nicht in Q
liegt.
Die mit (∗) gekennzeichnete Teilaufgabe geht nur in die Bewertung ein, wenn sie erfolgreich gelöst wurde.
Abgabe bis Freitag, den 1. Juli, 10 Uhr (in der Vorlesung).