Mengen und Relationen

Zum Inhaltsverzeichnis
Bernd Gläser /
Klaus Baumann
Kompendium Mathematik
FB Informatik
Ein Repetitorium zum
mathematischen
Einführungskurs
„Naive Mengenlehre“
Grafische Bearbeitung:
Klaus Baumann
Orientierungsskript
Mengen und Relationen
2
Erstellt von: Klaus Baumann & Bernd Gläser
Mengen und Relationen
Erstellt von: Klaus Baumann & Bernd Gläser
INHALT
I.
Naive Mengenlehre
Kurseinheit 1: „Mengen und Relationen“
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Grundbegriffe der Mengenlehre ..................................................................... 2
Beschreibung von Mengen............................................................................. 2
Mengengleichheit ........................................................................................... 2
Mengenoperationen ....................................................................................... 2
Inklusion ......................................................................................................... 3
Kartesisches Produkt ..................................................................................... 4
Mengendefinitionen ........................................................................................ 5
Verträglichkeitsregel
8. Mengenbildungsaxiome ................................................................................. 6
9. Relationen, Funktionen und Abbildungen ...................................................... 6
10. Umkehrrelationen von Funktionen und Abbildungen ..................................... 8
II.
Naive Mengenlehre
Kurseinheit 2: „Abbildungen und Äquivalenzrelationen“
11.
12.
13.
14.
15.
III.
Injektive, bijektive und surjektive Abbildungen
Vor- und Nachbeschränkungen auf Teilmengen
Umkehrabbildung
Mächtigkeit von Mengen
Äquivalenzrelationen
Anwendungen von Äquivalenzrelationen
Äquivalenzklassen
Naive Mengenlehre
Kurseinheit 3: „Ordnungsrelationen, Natürliche Zahlen“
16. Geordnete Mengen
Lineare Ordnungen
17. Größte und maximale Elemente
18. Maximale und minimale Elemente
19. Obere Schranken und Suprema
20. Monotone Abbildungen
21. Das Zorn´sche Lemma
22. Die Vollständige Induktion
Iteration
Rekursion
23. Unendliche Mengen
24. Ausblick auf Z, Q, R und C
IV.
Literaturnachweis
V.
Quellennachweis
3
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Mengen und Relationen
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I.
KE 1: „Mengen und Relationen“
1. Grundbegriffe der Mengenlehre
Georg Cantor, 1895 (Lexikon der Mathematik):
"Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten
unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen."
Beispiele:
M1 = Menge der Namen der Studenten der Gruppe
M2 = Menge aller Primzahlen
M3 = Menge aller natürlichen Zahlen x, die der Ungleichung 5 ≤ x < 7 genügen
M4 = Menge aller reellen Zahlen y, die der Ungleichung 5 ≤ y < 7 genügen
2. Beschreibung von Mengen
•
durch Aufzählen aller Elemente
M1 = {...}
M3 = { 5, 6}
•
durch Angabe einer charakteristischen Eigenschaft H
M2 = {p: p ist Primzahl} = {p : p ist nat. Zahl, die nur durch sich und 1 teilbar ist}
M3 = {x: x ist natürliche Zahl, 5 ≤ x < 7}
M4 = {y: y ist reelle Zahl, 5 ≤ y < 7}= [5, 7[
allgemein:
M = {x: H(x)}
Bemerkungen:
• spezielle Menge: Leeremenge ∅
• Reihenfolge bei der Aufzählung spielt keine Rolle
• jedes Element tritt nur einmal in der Menge auf
• Schreibweisen: a ∈ M, b ∉ M
• a ≠ {a}
• Elemente von Mengen können wieder Mengen sein, z. B. M = {{a}, {b}, {a, b}, ∅}
3. Mengengleichheit
Seien M1, M2 Mengen. M1 = M2 : ⇔ M1 und M2 enthalten dieselben Elemente.
Eigenschaften der Gleichheit:
1. M = M,
2. M1 = M2 ⇒ M2 = M1,
3. M1 = M2 und M2 = M3 ⇒ M1 = M3.
Reflexivität
Symmetrie
Transitivität
4. Mengenoperationen
Definitionen
Seien M1, M2, M beliebige Mengen.
Durchschnitt
Vereinigung
Differenz
M1 ∩ M2 : = {x: x ∈ M1 und x ∈ M2},
M1 ∪ M2 : = {x: x ∈ M1 oder x ∈ M2},
M1 \ M2 : = {x: x ∈ M1 und x ∉ M2}.
(Veranschaulichung mittels Eulerscher Kreise)
Definition
M1 und M2 sind disjunkt : ⇔ M1 ∩ M2 =∅.
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Mengen und Relationen
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Beispiele:
{A, U, T, O} ∩ {B, U, S} = {U};
{A, U, T, O} ∪ {B, U, S} = { A, U, T, O, B, S};
{A, U, T, O} \ {B, U, S} = { A, T, O};
{B, U, S} \ {A, U, T, O} = {B, S}.
Satz (Rechengesetze) Es gelten folgende Rechengesetze:
(1) M1 ∩ M2 = M2 ∩ M1; M1 ∪ M2 = M2 ∪ M1;
Kommutativität
(2) (M1 ∩ M2) ∩ M3 = M1 ∩ (M2 ∩ M3);
Assoziativität
(M1 ∪ M2) ∪ M3 = M1 ∪ (M2 ∪ M3);
(3) (M1 ∩ M2) ∪ M3 = (M1 ∩ M3) ∪ (Μ2 ∩ M3);
Distributivität
(M1 ∪ M2) ∩ M3 = (M1 ∪ M3) ∩ (Μ2 ∪ M3);
(4) M ∪ M = M;
M ∩ M = M;
Idempotenz
(5) M ∩ ∅ = ∅;
M∪∅=M;
(6) M \ ∅ = M;
M \ M = ∅;
(7) M1 ∩ M2 = M1 \ (M1 \ M2);
Zusammenhang von
Durchschnitt und Differenz
(8) M1 \ M2 = M1 \ (M1∩ M2);
Regeln von de Morgan
(9) M1 \ (M2 ∩ M3) = (M1 \ M2) ∪ (Μ1 \ M3);
M1 \ (M2 ∪ M3) = (M1 \ M2) ∩ (Μ1 \ M3);
Beweise mittels der Tabellenmethode (exemplarisch für (9)):
Hierbei bedeutet der Eintrag 0, daß ein Element sich nicht und 1, daß es sich in der angegebenen Menge befindet.
M1
1
1
1
1
0
0
0
0
M2
1
1
0
0
1
1
0
0
M3
1
0
1
0
1
0
1
0
M2 ∩ M3
1
0
0
0
1
0
0
0
M1 \ (M2 ∩ M3)
0
1
1
1
0
0
0
0
M1 \ M2
0
0
1
1
0
0
0
0
Μ1 \ M3
0
1
0
1
0
0
0
0
(M1 \ M2) ∪ (Μ1 \ M3)
0
1
1
1
0
0
0
0
Die Übereinstimmung der 5. und 8. Spalte bedeutet, daß ein Element genau dann in der
Menge M1 \ (M2 ∩ M3) enthalten ist, wenn es sich auch in der Menge (M1 \ M2) ∪ (Μ1 \ M3)
befindet. Damit sind die beiden Mengen gleich.
5. Inklusion
Definition
M1 ⊆ M2:⇔ für alle x gilt: x ∈ M1 ⇒ x ∈ M2.
sprich: M1 ist Teilmenge von M2 , M2 ist Obermenge von M1.
Folgerung:
• M1 = M2 ⇒ M1 ⊆ M2 und M2 ⊆ M1;
• für alle Mengen M gilt: ∅ ⊆ M;
echte Teilmenge
• M1 ⊂ M2 :⇔ M1 ⊆ M2 und M1 ≠ M2.
Satz
(Grundeigenschaften der Inklusion)
Seien M1, M2, M3, M beliebige Mengen.
(1) Für alle Mengen M gilt: M ⊆ M;
Reflexivität
Transitivität
(2) M1 ⊆ M2 und M2 ⊆ M3 ⇒ M1 ⊆ M3;
Antisymmetrie
(3) M1 ⊆ M2 und M2 ⊆ M1 ⇒ M1 = M2;
M1 ∩ M2 ⊆ M2;
(4) M1 ∩ M2 ⊆ M1;
M2 ⊆ M1 ∪ M2;
(5) M1 ⊆ M1 ∪ M2;
(6) M1 ⊆ M2 ⇒ M1 ∪ M3 ⊆ M2 ∪ M3;
Monotonie
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Mengen und Relationen
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Beweis:
zu (4) Sei x ∈ M1 ∩ M2. Dann gilt nach Definition des Durchschnitts, daß x ∈ M1 und x ∈ M2.
zu (6) Sei x ∈ M1 ∪ M2. Dann gilt nach Definition der Vereinigung, daß x ∈ M1 oder x ∈ M2.
1. Fall: x ∈ M1. Dann ist nach Voraussetzung auch x ∈ M2. Mithin ist x ∈ M2 ∪ M3.
2. Fall: x ∈ M3. Damit gilt auch x ∈ M2 ∪ M3.
Definition
Sei S ⊂ M.
S ist Komplementmenge von S in M genau dann, wenn S = M \S.
Satz (Eigenschaften der Komplementmenge)
(1) S ∩ S = ∅; S ∪ S = M ; S = S .
(2) S = ∅ ⇔ S = M .
(3) Seien S, T, M Mengen. Dann gelten die de Morganschen Regeln:
S ∪T = S ∩T ;
S ∩T = S ∪T .
6. Kartesisches Produkt
Seien S, T Mengen und s ∈ S, t ∈ T. Dann wird mit (s, t ) das geordnete Paar von s und t
bezeichnet.
Bemerkung:
• im allgemeinen gilt (s, t ) ≠ (t, s );
• (s1, t1) = (s2, t2) ⇔ s1 = s2 und t1 = t2.
Definition
Kreuzprodukt (Kartesisches Produkt)
S × T : = {(s, t ): s ∈ S und t ∈ T}.
Veranschaulichung an einem Beispiel:
Seien S = {1, 2, 3, 4} und T = {a, b, c}.
c
b
a
1
2
3
4
S
S × T = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c), (4, a), (4, b), (4, c)}.
Seien xi ∈ Xi; i = 1, 2, 3, ... , n. Dann heißt (x1, x2 , x3, ..., xn ) n-Tupel. (für n = 2, 3, 4, 5: Paar,
Tripel, Quadrupel, Quintupel).
Definition
n-faches kartesisches Produkt
X1 × X2 × X3 × ... × Xn : = {(x1, x2, x3, ... , xn ): xi ∈ Xi; i = 1, 2, 3, ... , n}.
speziell: X1 = X2 = X3 = ... = Xn = M, dann X1 × X2 × X3 × ... × Xn = M n;
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Definition
Potenzmenge P(M): = Menge aller Teilmengen von M.
Beispiel: Wenn M = {a, b, c}. Dann ist P(M) = {∅, M, {a},{b}, {c}, {a,b},{a, c}, {b, c}}.
Definition
Kardinalzahl |M|: = Anzahl der Elemente von M.
Es gelten dann folgende Beziehungen (ohne Beweis):
• |M × N| = |M| ⋅ |N|,
• |M ∪ N| = |M| + |N| - |M ∩ N|.
•
|P(M)| = 2|M|.
7. Mengendefinitionen
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Teilmenge / echte Teilmenge
Die leere Menge
Schnittmenge (Durchschnitt)
Vereinigungsmenge
Komplementmenge (Differenz)
Potenzmenge
eine Menge ist die Zusammenfassung oder Gruppierung aller Objekte, die bestimmte Eigenschaften haben. Eigenschaften beschreiben diese Objekte näher, sodass sie von andersartigen Objekten unterscheidbar werden.
zu 1 : Auf dem Parkplatz des Renault-Werkes in Paris stehen Neufahrzeuge, die auf ihre
Auslieferung warten. Diesem Renault-Parkplatz geben wir den kurzen handlichen Namen
„A“. Mathematisch gesagt stellt der Parkplatz also die Menge A dar, die eine endliche Anzahl
von neuen Renault-Autos enthält. Nun betrachten wir die Autos etwas näher und analysieren
ihre Eigenschaften:
Zunächst stellen wir fest, dass alle Autos von der Firma Renault hergestellt wurden. Dann
sehen wir, dass nicht alle Autos dieselbe Farbe haben, sondern ein Teil z.B. grün, ein weiterer teil blau und noch ein Teil rot ist. Mathematisch gesagt ist also die Menge aller roten Renaults eine Teilmenge von A. Analog ist die Menge aller grünen Autos ebenfalls eine Teilmenge von A. Ebenso gilt das für die blauen Autos. Die Farbe der Autos ist also die Eigenschaft, nach denen man eine Zuordnungsvoraussetzung erstellen kann.
M⊂M
M⊂N∧N⊂M⇒M=N
M⊂N∧N⊂L ⇒M⊂L
echte Teilmenge N ⊆ M :⇔ N ⊂ M ∧ N ≠ M
zu 2 : Ø = { x | x ≠ x } heißt leere Menge. Weil es kein Element mit der Eigenschaft x ≠ x
gibt, ist { } also die Menge, die kein Element besitzt. Für jede Menge M gilt grundsätzlich : Ø
ist Teilmenge jeder Menge.
zu 3 : M ∩ N := { x | x ∈ M ∧ x ∈ N }. Der Durchschnitt besteht aus allen Elementen, die
sowohl zu M als auch zu N gehören.
zu 4 : M ∪ N := { x | x ∈ M ∨ x ∈ N }. Die Vereinigung besteht aus allen Elementen, die
mindesten zu einer der beiden Mengen gehören.
zu 5 : M \ N := { x | x ∈ M ∧ x ∉ N } heißt Komplementmenge.
zu 6 :
Die Potenzmenge von M enthält alle Teilmengen von M.
Die Potenzmenge der leeren Menge ist nicht leer !!! Sie besitzt genau ein Element,
nämlich die leere Menge !
P(M) := {N | N ⊂ M }.
Verträglichkeitsregel:
8
N⊂M ⇔
P(N) ⊂ P(M).
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8. Mengenbildungsaxiome:
(1) Es existiert (mindestens) eine Menge.
(2) Extensionalitätsaxiom: bestehen Zwei Mengen sind gleich, wenn sie aus genau den
selben Elementen
(3) Aussonderungsaxiom: ist M eine Menge und P ein Prädikat, (so daß für alle x aus M
gilt: P( x ) oder nicht P( x ) ), so gibt es eine Menge, die genau diejenige Menge von M
enthält, für die P(x) gilt.
(4) Paarmengenaxiom: Zu je zwei Objekten x, y existiert eine Menge, die als Elemente genau x, y enthält. Diese Menge wird mit {x, y} bezeichnet. Indem man x = y wählt, wird
durch Axiom 4 auch die Existenz der Menge { x } gesichert.
(5) Vereinigungsmengenaxiom: Ist M eine Menge von Mengen, so existiert eine Menge, die
aus genau denjenigen Elementen besteht, die Element mindestens einer Menge M aus
M sind.
(6) Potenzmengenaxiom: Zu jeder Menge M existiert eine Menge, deren Elemente genau
die Teilmengen von M sind. Diese Menge wird mit P (M) bezeichnet.
(7) [ Unendlichkeitsaxiom ]: sichert die Existenz wenigstens einer unendlichen Menge und
verschärft somit Axiom 1]
(8) [ Fundierungsaxiom ] : schließt aus, daß es Mengen X 1, X 2 , X n gibt mit X 1 ∈X 2 , X 2
∈X 3 ..., X n ∈X 1 ]. Eine Obermenge kann demnach niemals Element einer Untermenge
sein.
9. Relationen, Funktionen und Abbildungen
Paarbildung (Bildung von 2-Tupeln) :
Zwei geordnete Paare (x, y) und (u, v) sind gleich genau dann, wenn x = u und y = v ist.
(x, y) = (u, v)
⇔
x = u und y = v.
x heißt die erste Komponente des geordneten Paares (x, y) und
y heißt die zweite Komponente.
Kreuzprodukt (kartesisches Produkt ; n-faches kP = Kreuzprodukt der Mi ) :
Das Kreuzprodukt M x N ist die Menge aller geordneten Paare ( x, y ) mit x ∈M und y ∈N
(=Rechteckmenge, bei Darstellung in der Ebene sind Mengen in dieser Form immer rechteckig ).
Jeder Punkt der Ebene kann durch genau ein geordnetes Zahlenpaar angegeben werden,
z.B. Rx R.
Auf Terme mit Kreuzprodukten kann das Distributivgesetz angewendet werden, z.B.
M × (N ∩ N‘) = (M × N) ∩ (M × N‘)
n-Tupel:
Die Bildung von n Objekten x 1, x 2, ... , x n zu geordneten n-Tupeln ;
X i heißt i-te Komponente des Tupels.
Beispiele: Tripel, Quatrupel, Quintupel usw. (KE 1, S. 43)
Bemerkung: später wird es manchmal nützlich sein, waagrecht und senkrecht geordnete nTupel zu haben. Auch hier gilt: zwei senkrechte Tupel sind genau gleich, wenn an den gleichen Stellen dasselbe steht.
Relationen:
sind allgemein formuliert für einen ganz bestimmten Zusammenhang (Beziehung) beliebiger
mathematischer Objekte, z.B. 5 < 7 ; ungewohnter auch (5, 7) steht in der Relation
„ < “ oder {1, 2} ist Teilmenge der Menge {1, 2, 3}
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Mengen und Relationen
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Definition:
Eine Menge R heißt Relation zwischen M und N genau dann, wenn gilt: R ⊂ M x N
Æ also ist eine Relation eine Teilmenge eines Kreuzproduktes.
Für x ∈ M und y ∈ N sagt man auch „x und y erfüllen R“ oder „x und y stehen in der Relation
R“, wenn gilt: (x, y) ∈
y
x
M
N
Dabei bedeutet ein Pfeil von einem a ∈ M zu einem b ∈ N gerade (a,b) ∈ R ( f (x) = y )
Beispiel:
Die Relation K2 := {(x,y) | x ∈ R, y ∈ R | und x2 + y2 = 4} hat die grafische Darstellung als ein
Kreis mit dem Radius 2.
∆M heißt Diagonale von M. Sie beschreibt die Gleichheitsrelation in M
M
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
M
Die leere Relation ist die Relation, für die kein Paar (x, y) erfüllt ist. Nämlich R:= { }
Die Allrelation ist für alle (x, y) ∈ M x N erfüllt, nämlich R:= M x N
Der Definitionsbereich von R D (R) := { x | es gibt ein x mit (x,y) ∈ R};
Menge der ersten Komponenten aller Paare in R; Menge aller Punkte in M.
Der Wertebereich von R
W (R) := { y | es gibt ein y mit (x,y) ∈ R};
Menge der zweiten Komponenten aller Paare in R; Menge aller Punkte in N.
Also ist: R ⊂ D (R) × W (R) .
im Übrigen ist:
R ∩ S eine Relation
R ∪ S eine Relation
R × S eine Relation.
andere Schreibweise: (x,y) ∈ R = x R y
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Mengen und Relationen
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10. Umkehrrelationen und Verknüpfung von Relationen:
S°R
M
R
S
L
N=K
es gilt: (R-1)-1 = R
Umkehrrelation R-1 := {(y,x) | (x,y) ∈ R};
Verknüpfung S o R := {(x,z) | ∃ y mit (x, y) ∈ R und (y, z) ∈ S} lies: „S nach R“
(vgl. auch Suchabfragen in relationalen Datenbanken!)
Beispiel:
R := {(x,y) | x∈N, y∈N und y=x2 }
S := {(y,z) | y∈N, z∈N und z=y+1 }
Dann ist S o R = {(x,z) | x∈N, z∈N und z = x2+1}; R wurde in S eingesetzt.
Das Assoziativgesetz kann hier angewendet werden: T o (S o R) = (T o S) o R .
umgekehrte Verknüpfungen: (S o R)-1 = R-1 o S-1
Funktionen:
Definition: F heißt genau dann Funktion oder eindeutige Relation, wenn gilt:
(F1)
F ist eine Relation
(F2)
Für alle x, y und z gilt:
(x,y) ∈ F und (x,z) ∈ F ⇒ y = z
[ Anm.: = F(x) ]
Also:
• nicht jede Relation ist eine Funktion, denn ...
• nur eindeutige Relationen sind Funktionen, und zwar surjektive Funktionen!
• sind Def.- u. Wertebereich dieser surjektiven Funktion zudem noch umkehrbar,
dann ist sie sogar bijektiv (eineindeutig) !
Beispiel:
injektive Funktion:
surjektive Funktion:
bijektive Funktion:
[ gibt es nicht ! ]
Parabel
Gerade ( mit Steigung )
F(x) heißt der Funktionswert von F an der Stelle x.
Die Definition einer Funktion erfolgt nicht durch explizite Angabe der Menge F, sondern
durch Angabe des Definitionsbereiches und einer Zuordnungsvorschrift.
Die Umkehrrelation einer Funktion ist i.a. keine Funktion. Das gilt nur für bijektive Funktionen.
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Mengen und Relationen
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RELATION
eindeutig
nicht eindeutig
Funktion
surjektiv
bijektiv
(eineindeutig = umkehrbar)
Darstellung :
Deklaration einer Relation als Funktion. Eine eindeutige Relation erfüllt demnach die Voraussetzung einer Funktion.
Eine eineindeutige (bijektive) Funktion erfüllt die Voraussetzung einer Umkehrfunktion.
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Mengen und Relationen
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KE 2: „Abbildungen und Äquivalenzrelationen“
II.
Ein Tripel f:= (M,F,N) heißt Abbildung genau dann, wenn gilt:
(Abb 1) M und N sind Mengen
(Abb 2) F ist eine Funktion
(Abb 3)
D (F) = M und W (F) ⊂ N
andere Schreibweise: f:M Æ N (lies: f ist eine Abbildung von M nach N)
M heißt Definitionsbereich von f
N heißt Bildbereich von f
F heißt zugrundeliegende Funktion oder Graph von f (enthält gebildete Zahlenpaare);
man schreibt Gf := F; für jedes x ∈ M setzt man f (x) := F( x ).
Festlegung einer Funktion
Definition einer Abbildung
Angabe des Definitionsbereiches
Angabe des Wertebereiches
Angabe des Definitionsbereiches
Angabe des Wertebereiches
Angabe des Bildbereiches
ABBILDUNG:
weil jedes x ∈ M ein Urbild ist
Funktion F
b
a
M = Definitionsbereich
N = Bildbereich
W (F) ⊂ N
Identische Abbildung
ordnet jedem x ∈ M als Funktionswert wieder x zu :
id M : M Æ M
( vergleiche f (x) = y )
x |Æ x d.h. id M (x) : = x
Inklusionsabbildung
von N in M: ist N ⊂ M, so wird durch
inN,M : N Æ M
x |Æ x, d.h. inN,M (x):= x (Teilmenge auf Obermenge abbilden )
Komplement N in M
CM (N) : = M \ N
Konstante Abbildung: bildet alle Elemente in M auf ein festgewähltes Element y0 ∈ N
ab.
K (x) = y0
Kanonische Projektion: Ist die Abbildung von M x N auf seinen Definitions- bzw.
Wertebereich.
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Mengen und Relationen
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SATZ:
Bei der Entscheidung, ob durch eine Zuordnungsvorschrift auch eine Abbildung f :M Æ N
definiert wird, ist es wichtig nicht nur die Funktion selbst auszurechnen, sondern auch die
Bedingungen für eine Abbildung zu prüfen.
So ist z.B. f (x) := 3x für ∀ x ∈ {1, 2, 3, 4, 5} mit dem Definitionsbereich M = {1, 2....7} und
dem Bildbereich N = {1, 2...17} keine Abbildung, da f nicht auf ganz M definiert .
Verknüpfung von Abbildungen
Sind f = (M, F, N) und g = (N, G, L) Abbildungen,
so ist auch g o f := (M,G o F, L ) eine Abbildung.
Dieses Gebilde nennt man auch Verknüpfung, Verkettung, Komposition, Produkt oder
Hintereinanderschaltung von f mit g. Im Übrigen ist
f o id M = f
id N o f = f
h o (g o f) = (h o g) o f (Assoziativgesetz).
Definition:
Die Menge der Abbildungen von M nach N ist Abb(M, N) := {f | f : MÆ N Abbildung}
Bilder und Urbilder von Teilmengen
Wenn man eine Abbildung f : M Æ N und eine Teilmenge U ⊂ M hat, so kann man sich dafür
interessieren, wie die Menge aller Bilder unter f von Elementen aus U aussieht; wir werden
sie f (U) nennen.
M
f
U
N
f (U)
Bild von U unter f.
Umgekehrt kann man für eine Teilmenge V ⊂ N nach dem Aussehen derjenigen Teilmenge
von M fragen, deren Elemente durch f gerade nach V abgebildet werden; wir nennen sie f-1
(V) [ lies: f oben minus 1 von V ].
M
f
-1
V
f
N
V
(1) Für eine Teilmenge U ⊂ M definiert man
das Bild von U unter f , f (U) := { f(x) | x ∈ U } = { y | ∃ x ∈ U mit y = f (x) } . (auch: f [U] )
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Mengen und Relationen
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(2) Für eine Teilmenge V ⊂ N definiert man
-1
das Urbild von V unter f, f (V) := { x | x ∈ M und f (x) ∈ V}.
Definition:
Jede Abbildung f : i Æ M nennt man auch (i-indizierte) Familie von Elementen in M.
11. Injektive, bijektive und surjektive Abbildungen
Zweck: Nähere Klassifizierung von Abbildungen durch Hervorhebung ihrer speziellen Eigenschaften (Betrachtung der Fasern einer Abbildung).
(1) f heißt surjektiv genau dann, wenn gilt: zu jedem y ∈ N existiert ein x ∈ M
mit f (x) = y. Jeder Punkt des Bildbereiches ist Ziel mindestens eines Pfeiles.
Zu jedem y gibt es mindestens ein Urbild.
(2) f heißt injektiv genau dann, wenn gilt:
für alle (x 1, x 2 ) ∈ M mit f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
Jeder Punkt des Bildbereiches ist Ziel höchstens eines Pfeiles.
Zu jedem y gibt es höchstens ein Urbild.
(3) f heißt bijektiv genau dann, wenn gilt: f ist sowohl injektiv als auch surjektiv.
Jeder Punkt des Bildbereiches ist Ziel genau eines Pfeiles.
Zu jedem y gibt es genau ein Urbild.
Surjektivität, Injektivität und Bijektivität bleiben bei Kompositionen (Verknüpfungen) erhalte.
f :M Æ N und g : N Æ K seien Abbildungen. Dann gilt:
15
Mengen und Relationen
(1)
(2)
(3)
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f surjektiv und g surjektiv ⇒ g o f surjektiv
f injektiv und g injektiv
⇒ g o f injektiv
f bijektiv und g bijektiv
⇒ g o f bijektiv
Feststellung:
Die Eigenschaft der letzten Abbildung ist auch Eigenschaft der Verknüpfung.
12. Vor- und Nachbeschränkungen auf Teilmengen
(1) Für jede Menge U ⊂ M heißt die Abbildung
f /U:UÆN
[ lies: f beschränkt auf U ]
x |Æ (f / U) (x) := f (x)
[ Zwischenschritt ]
(Vor-)Beschränkung von f auf U.
(2) Für jede Menge V ⊂ N mit f (M) ⊂ V heißt die Abbildung
V \f:MÆV
[ lies: f nachbeschränkt auf V ]
x |Æ (V \ f ) (x) := f (x)
[ Zwischenschritt ]
(Nach-)Beschränkung von V auf f.
13. Umkehrabbildung
(eine wichtige Eigenschaft bijektiver Abbildungen)
Ist f : M Æ N eine bijektive Abbildung und g : N Æ M eine Abbildung mit f o g = id N und g o f
= idM , so heißt g die Umkehrabbildung von f (die inverse Abbildung zu f) :
f –1 := g.
16
Mengen und Relationen
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14. Mächtigkeit von Mengen
(1) M und N sind gleichmächtig (Abkürzung : M ≈ N ) genau dann, wenn die Abbildung f : M
Æ N bijektiv ist, also die gleiche Anzahl an Elementen in M und N vorhanden ist.
(2) M hat eine kleinere oder gleiche Mächtigkeit wie N genau dann, wenn die Abbildung f : M
Æ N injektiv ist.
(3) M hat eine größere oder gleiche Mächtigkeit wie N genau dann, wenn N eine kleinere
Mächtigkeit hat.
Bemerkung:
Die Potenzmengenbildung führt stets zu Mengen, deren Mächtigkeit echt größer ist als die
der Ausgangsmenge.
Kardinalzahl = Anzahl der Elemente einer Menge
15. Äquivalenzrelationen
Zweck:
Vereinfachung von vielen in der „Natur“ vorkommenden Problemen, gewisse Dinge als
gleich anzusehen, obwohl sie es nicht sind.
Beispiel:
Finanzämter sind bei der Erhebung der Kfz-Steuer nicht an der Kenntnis ihres speziellen
Fahrzeugtyps interessiert, sondern nur am Hubraum des Motors. Zwei Autos sind für sie
äquivalent, wenn sie zur selben Hubraumklasse gehören.
In der Mathematik werden hierbei viele Probleme ebenfalls vereinfacht, wenn man gewisse
Objekte identifiziert, die durch gemeinsame Eigenschaften ausgezeichnet sind.
(1)
Eine Relation R auf eine Menge M ist reflexiv wenn gilt :
∀ x ∈ M gilt x R x ⇔ (x, x) ∈ R.
(2)
R ist symmetrisch auf M, wenn ∀ x, y ∈ M gilt ( x R y ⇒ y R x ) .
(3)
R ist transitiv auf M, wenn ∀ x, y, z ∈ M gilt ( x R y und y R z ⇒ x R z ).
(4)
R ist Äquivalenzrelation auf M wenn R reflexiv, symmetrisch und transitiv auf M ist.
[ andere Schreibweise: x ~ y statt x R y ].
Anwendungen von Äquivalenzrelationen:
Allrelation auf M heißt : alle Elemente sind äquivalent; z.B. bei M x M.
Gleichheitsrelation entspricht ∆M weil x = y ist.
Die drei og. Bedingungen für eine Äquvalenzrelation sind voneinander unabhängig, d.h. es
ist nicht möglich aus je zwei der drei Bedingungen jeweils die dritte zu folgern.
(a) jede Abbildung induziert auf ihren Definitionsbereich eine Äquivalenzrelation
(b) jede Äquivalenzrelation wird durch eine Abbildung induziert (kanonische Projektion oder
Identifizierungsabbildung)
Äquivalenzklassen :
Für jedes x ∈ M setzt man [x] := { z | z ∈ M und x ~ z }
[x] ist also die Teilmenge derjenigen Elemente aus M, die zu x äquivalent sind und heißt die
Äquivalenzklasse von x.
Zwei äquivalente Elemente werden durch Übergang zur zugehörigen Äquivalenzklasse
gleichgemacht und umgekehrt werden auch nur solche Elemente gleichgemacht.
Eine Partition ist eine Teilmenge einer Potenzmenge (auch: disjunkte Zerlegung, Klasseneinteilung).
17
Mengen und Relationen
III.
Erstellt von: Klaus Baumann & Bernd Gläser
KE 3: „Ordnungsrelationen, Natürliche Zahlen“
16. Geordnete Mengen
Zum Vergleich von Mengen dient als Hilfsmittel die Inklusionsbeziehung, also die Beziehung
„⊂ “. Somit ergibt sich:
R sei eine Relation auf der Menge M.
(1) R heißt antisymmetrisch auf M, wenn gilt
:⇔ ∀ x, y ∈ M gilt ( x R y und y R x ⇒ x = y )
[ = ∆M !!]
(2) R heißt Ordnungsrelation auf M [ vgl. Äquivalenzrelationen]
:⇔ R ist reflexiv, antisymmetrisch und transitiv auf M.
( = Mengenstruktur, meistens algebraischer, analytischer oder topologischer Art
⇒ strukturverträgliche Abbildungen, s. Kap. „Monotone Abbildungen“ )
(3) Ist R eine Ordnungsrelation auf M, so nennt man das Paar (M, R) auch eine
geordnete Menge und R eine Ordnung auf M.
Ein Ausdruck der Form x ≤ y heißt auch Ungleichung.
Ordnungen:
Diskrete Ordnung: ∆M ist beispielsweise eine diskrete Ordnung .
Natürliche Ordnung: Die Natürlichen Zahlen
Eine Menge kann durchaus mehrere Ordnungen besitzen.
Beispiel: Man kann N außer mit der natürlichen Ordnung auch mit der diskreten Ordnung
versehen.
Lineare Ordnungen: (auch vollständige oder totale Ordnung)
Geordnete Mengen, in denen jeweils zwei Elemente (paarweise) vergleichbar sind, haben
einen besonderen Namen: sie sind linear .
Definition: ∀ x, y ∈ M ⇒ (x ≤ y ∨ y ≤ x )
Lexikographische Ordnung:
Die Menge Ω := {A,B,C... Y,Z} der 26 Buchstaben unseres Alphabets besitzt eine natürliche
Ordnung. Die Menge aller n –Tupel, die durch Elemente aus Ω gebildet wird, heißen die
Wörter der Länge n und sind Wörter über dem Alphabet Ω (Stringbasteln, Grammatik).
17. Größte und maximale Elemente:
M sei eine geordnete Menge, N ⊂ M
(1) . x heißt Maximum (größtes Element) von N genau dann, wenn gilt
i. x ∈ N
ii. ∀ y ∈ N gilt y≤x
[Max N]
(2) . x heißt Minimum ( kleinstes Element) von N genau dann, wenn gilt
i. x ∈ N
ii. ∀ y ∈ N gilt y≥x
[Min N]
Jede Teilmenge einer geordneten Menge besitzt höchstens ein Maximum (Minimum). Es
muß jedoch nicht zwingend ein Maximum (Minimum) existieren (Im allgemeinen existieren
weder Minimum noch Maximum).
18
Mengen und Relationen
Erstellt von: Klaus Baumann & Bernd Gläser
{1, 2 ,3}
{1, 2 ,5}
{2 ,3, 5}
{1, 2}
{2 ,4}
{3, 5}
{1}
{ 2}
{4, 5}
minimale Elemente = beginnende Elemente
maximale Elemente = endende Elemente
Beispiele: Verzeichnisse, Syntaxdiagramme, Bäume
18. maximale und minimale Elemente
Maximales Element siehe Definition Maximum mit dem Unterschied x≤y ⇒ x = y
Minimales Element siehe Definition Minimum mit dem Unterschied x≥y ⇒ x = y
19. obere Schranken und Suprema
(wichtig für Analysis ! )
Sei N := {x|x ∈ R , 0<x<1}
N
0
1
x
x´
N besitzt weder Minimum noch Maximum und deshalb – weil linear geordnet – auch weder
minimale noch maximale Elemente. Nimmt man nämlich x = maxN an, so gelten für
x +1
1− x
= x+
die Aussagen x´∈ N und x‘ > x, was der Aussage x = maxN
2
2
widerspricht. Dennoch besitzt N fast ein Maximum. Die Zahl 1 ∈ R zeichnet sich dadurch
x ‘ :=
aus, daß sie größer als alle Zahlen von N ist ( 1 ist eine obere Schranke für N ) und daß
sie außerdem unter allen Zahlen, die ebenfalls größer sind als alle Zahlen von N die kleinste
ist ( 1 ist die kleinste obere Schranke für N = Supremum ), weil 1 selbst nicht zu N gehört.
(1) x ist obere Schranke von N (in M) S (N) :⇔ x ∈ M und ∀ y ∈ N gilt x ≥ y, z.B. die 1 in
0<x<1.
(2) x ist untere Schranke von N (in M) S (N) :⇔ x ∈ N und ∀ y ∈ N gilt x ≤ y, z.B. die 0 in
0<x<1 .
(3) N heißt nach oben (unten) beschränkt genau dann, wenn S (N) ≠ {} ( S (N)={} ) ist,
d.h. wenn N eine obere (untere) Schranke hat. N heißt beschränkt in M genau dann,
wenn N nach oben und nach unten beschränkt ist.
(4) x heißt Supremum oder kleinste obere Schranke von N in M :⇔ x = min S (N) = sup N
.
[ 1. Element, das oberhalb des Intervalls liegt ].
(5) x heißt Infimum oder größte untere Schranke von N in M :⇔ x = max S (N) = inf N
[ 1. Element, das unterhalb des Intervalls liegt ].
Beachte: sup N und inf N darf man ebenso wie max N und min N nur hinschreiben, wenn
ihre Existenz tatsächlich gesichert ist !!
19
Mengen und Relationen
Erstellt von: Klaus Baumann & Bernd Gläser
20. Monotone Abbildungen
(1) . f ist monoton steigend,
wenn ∀ x, y ∈ M gilt ( x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y) )
(2) . f ist monoton fallend,
wenn ∀ x, y ∈ M gilt ( x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y) )
Sprünge im Graphen möglich (vgl. „Portofunktion“) = abschnittsweise definiert
(3) . f ist streng monoton steigend, wenn ∀ x, y ∈ M gilt ( x < y ⇒ f (x) < f (y) )
(4) . f ist streng monoton fallend,
wenn ∀ x, y ∈ M gilt ( x < y ⇒ f (x) > f (y) )
stets ein Punkt nach dem anderen (kein Wendepunkt )
Monoton steigende Abbildungen werden auch ordnungserhaltend oder einfach monoton
genannt, monoton fallende auch ordnungsumkehrend oder auch antiton genannt.
Streng monoton steigend
monoton fallend
7
5
1
1
-2
1
-1
-1
-1
( f (-1) = 7 , f (0) = 0 )
5
f streng monoton steigend
f und g (streng) monoton steigend (fallend)
⇔ f monoton steigend und injektiv
⇒ g o f streng monoton steigend (fallend).
21. Das Zornsche Lemma (Lemma = math. Lehrsatz)
Æ gibt es in jeder Menge M maximale Elemente ? NEIN !! [ z.B. hat N kein max N ]
besser : unter welchen Voraussetzungen hat eine geordnete Menge M maximale Elemente ?
= Lineare Teilmenge mit oberer Schranke ⇒ Obermenge besitzt ein maximales Element x.
Jede Wohlordnung auf einer Menge M ist eine lineare Ordnung.
Die Aussagen von Auswahlaxiom, Zornschem Lemma und Wohlordnungssatz sind äquivalent.
22. Vollständige Induktion
(rekursive Definition)
Satz:
E
sei eine Eigenschaft, die auf natürliche Zahlen zutreffen kann oder nicht, d.h. für alle
n ∈ N gilt entweder E(n) oder nicht E(n). Gilt dann:
i.
E(1)
(Induktionsanfang)
ii.
∀ n ∈ N gilt : (E(n) ⇒ E(s(n)) )
(Induktionsschritt)
so gilt:
E(n) für alle n ∈ N.
20
Mengen und Relationen
Erstellt von: Klaus Baumann & Bernd Gläser
Die anschauliche Begründung dafür ist folgende:
Schritt 1:
Es gilt E(1) nach (i)
Schritt 2:
Es gilt E(2), weil nach Schritt 1 E(1) gilt und man nach (ii) von E(1) auf
E(2) schließen darf.
Schritt 3:
Es gilt E(3), weil nach Schritt 2 E(2) gilt und man nach (ii) von E(2) auf
E(3) schließen darf.
.usw..., so daß man schließlich E(n) für alle n ∈ N erhält. Beispiel:
Behauptung:
Für alle n ∈ N ist n ≠ s(n).
Beweis:
In unserem Fall ist E(n) :⇔ n ≠ s(n) und wir haben (i) und (ii) zu prüfen:
1) Induktionsanfang:
Es gilt 1 ≠ s(1), denn angenommen es wäre 1 = s(1), so würde 1 ∈ s(N) folgen (lt. Peano-Axiom ist 1 ∉ s(N), dann wäre N = { 1, 1, 1, 1, ...} ).
2) Induktionsschritt:
Für beliebige n ∈ N ist jetzt der Schluß von E(n) auf E(s(n)) auszuführen. Sei also für n
∈ N die Gültigkeit der Aussage E(n) vorausgesetzt, d.h. n ≠ s(n)
setzung]
Zu zeigen ist dann E (s(n)), d.h. s(n) ≠ s(s(n))
[Induktionsvoraus-
[Induktionsbehauptung]
Iteration heißt „nacheinander“ bzw. „sukzessive“ angewendet (Gegenteil von Rekursion).
Beispiele:
Näherungsweises Wurzelrechnen
vgl. DIN-A-4 Blatt falten... ergibt stets für die längere Seite des Blattes ⇒
(vgl. Stapelverarbeitung)
2 • kürzere Seite
Rekursion heißt übersetzt: „sich selbst wieder aufrufen“
Beispiele:
f (s(n)) = g (f(n)).
Rekursives Durchlaufen eines (binären) Baumes.
23. Unendliche Mengen
(1) X ist unendlich
:⇔ X ist nicht endlich
(2) X ist abzählbar
:⇔ X ≈ N
(3) X ist überzählbar :⇔ X ist unendlich, aber nicht abzählbar, also „überfliegbar“
24. Ausblick auf ,
,
und
Erweiterung von N auf Z (Ganze Zahlen):
Notwendig, um die Differenz bilden zu können: z = n – m. Z := N0 x N0 .
Erweiterung von Z auf Q (Rationale Zahlen):
Notwendig, um den Quotienten von jeweils zwei Zahlen aus Z bilden zu können (Brüche)
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Mengen und Relationen
Erstellt von: Klaus Baumann & Bernd Gläser
Erweiterung von Q auf R (Reelle Zahlen):
Notwendig, um irrationale (= nicht-rationale) Zahlen zu bilden, z.B. x² =2 ⇒
2 . Die irratio-
nale Zahl π ist jedoch von ganz anderem Typ: sie ist nicht algebraisch, d.h. sie läßt sich
nicht als Lösung einer Gleichung in der Form a0 + a1 x + a2 x² + ... + an xn = 0 ermitteln. Es
stellt sich heraus, daß R „fast nur“ aus nicht algebraischen Zahlen besteht, denn die Menge
der algebraischen reellen Zahlen ist noch abzählbar, die der nicht – algebraischen Zahlen
schon überzählbar !
Erweiterung von R auf C (Komplexe Zahlen):
Notwendig, um Gleichungen der Form x² = -1 , also 1 + 0x + 1x² = 0 lösen zu können. Für
solch ein x müßte nämlich x ≠ 0 also x² > 0 gelten während – 1 < 0 ist ! Das ist für viele Untersuchungen ein großer Fortschritt, andererseits geht bei dieser Erweiterung auch eine
wichtige Eigenschaft verloren:
Es ist nicht möglich, die natürliche Ordnung der Reellen Zahlen auf C so fortzusetzen, daß
sie in der gewohnten Weise mit Addition und Multiplikation verträglich ist.
Literaturnachweis:
1. Walter Tholen – Mathematischer Einführungskurs 1 - 3
FernUniversität Hagen
Propädeutik
SkriptNr. 1100-3-01-S 1
© FU 1984 FB Mathematik
2. Robert Müller – Mathematik 1 und 2
Weltbild Bücherdienst, Augsburg
© 1988 Est. Verlagsgesellschaft, Vaduz – Lichtenstein
3. Internet: www.studiendienst.de
Mathematische Skripte
für Informatikstudenten
© 2000 studiendienst.de
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