4. Beweise 4.1: Beweisarten

4. Beweise
4.1: Beweisarten
Hagen Knaf
25.01.2015
Prof. Dr. H. Knaf, Mathematisches Beweisen
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Liste wichtiger Beweisarten
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Direkter Beweis
Fallunterscheidung
Konstruktiver Beweis
Widerspruchsbeweis
Beweis durch Kontraposition
Vollständige Induktion
Beweis von Äquivalenzaussagen
•
Die verschiedenen Beweisarten sind nicht disjunkt zueinander: Ein
konstruktiver Beweis kann direkt sein.
Allerdings ist etwa ein Widerspruchsbeweis niemals konstruktiv.
•
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Direkter Beweis – Steckbrief
•
Die zu zu beweisende Aussage wird direkt aus Axiomen und bereits
bekannten wahren Aussagen logisch abgeleitet.
•
Die Logik muss dabei nicht linear sein; mehrere unabhängige und
parallel laufende Argumentationsstränge sind möglich.
•
Längere direkte Beweise müssen, um lesbar zu bleiben, gut
strukturiert werden.
•
Eine Aufteilung in Einzelaussagen (Hilfssatz, Lemma) kann hilfreich
sein.
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Direkter Beweis – Beispiele
Satz 1: Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge.
Satz 2: Jede Polynomfunktion p(x) ist stetig.
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Fallunterscheidung – Steckbrief
•
Fallunterscheidungen treten in Beweisen aus drei wesentlichen
Gründen auf:
1. Die zu beweisende Aussage besteht selbst aus mehreren getrennt
zu behandelnden Fällen.
2. Ein Beweis ohne Fallunterscheidungen ist unmöglich.
3. Der Beweis der Aussage wird durch die Fallunterscheidungen
verständlicher.
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Konstruktiver Beweis – Steckbrief
•
Mit einem konstruktiven Beweis kann man nur Aussagen der
allgemeinen Form
»Es gibt ein mathematisches Objekt O mit den Eigenschaften A, B,
C, D … . «
beweisen.
•
Der Beweis erfolgt durch Angabe eines Verfahrens, dass das
gewünschte Objekt O in endlich vielen Schritten aus bekannten
Objekten erzeugt.
•
Das erzeugende Verfahren kann, muss aber nicht, programmierbar
sein.
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Konstruktiver Beweis – Beispiele
Satz 1: Drei verschiedene Punkte in der Ebene, die nicht auf einer
Geraden liegen, liegen auf einem Kreis.
Satz 2: Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen
schreiben.
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Widerspruchsbeweis – Steckbrief
•
Eine Aussage wird bewiesen, indem man annimmt ihre Negation sei
wahr und daraus einen Widerspruch zu bekannten wahren
Aussagen ableitet.
•
Widerspruchsbeweise werden häufig benutzt, um die Existenz oder
Nichtexistenz von mathematischen Objekten mit bestimmten
Eigenschaften zu beweisen.
•
Gibt es zu einer wahren Aussage einen Widerspruchsbeweis sowie
einen Beweis anderer Art, so ist der Widerspruchsbeweis sehr
häufig wesentlich kürzer als der andere.
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Widerspruchsbeweis – Beispiele
Satz 1: Es gibt keine bijektive Abbildung zwischen einer nichtleeren
Menge X und der Menge P(X) ihrer Teilmengen.
Satz 2: Die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl ist entweder eine
natürliche Zahl oder sie ist irrational.
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Beweis durch Kontraposition – Steckbrief
•
Eine Aussage der Form »Aus A folgt B.« wird bewiesen, indem man
zeigt, dass die Aussage »Aus der Negation von B folgt die Negation
von A.« wahr ist.
•
In der Aussagenlogik haben wir gesehen, dass die Aussagen »Aus
A folgt B.« und »Aus der Negation von B folgt die Negation von A.«
äquivalent sind.
•
Beweise durch Kontraposition sind häufig kürzer oder ästhetischer
als die entsprechenden direkten Beweise.
•
Achtung: Nicht mit dem Widerspruchsbeweis verwechseln.
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Beweis durch Kontraposition – Beispiele
Satz 1: Ist die Summe x+y zweier reeller Zahlen irrational, so ist
entweder x oder y irrational.
n
Satz 2: Eine minimales Erzeugendensystem des R ist linear
unabhängig.
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Vollständige Induktion – Steckbrief
•
Durch vollständige Induktion beweist man Aussagen der Form
»Für alle natürlichen Zahlen n gilt A(n).«
oder
»Für alle natürlichen Zahlen n größer gleich N gilt A(n).«
Hierbei ist A(n) eine von der natürlichen Zahl n abhängige Aussage.
•
Ein Induktionsbeweis besteht aus zwei Schritten:
1. Induktionsanfang: Beweis von A(1) bzw. A(N).
2. Induktionsschritt: Beweis der Aussage
»Aus A(n) folgt A(n+1).«
oder
»Aus A(k) für alle/einige k kleiner gleich n folgt A(n+1).«
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Vollständige Induktion – Beispiele
Satz 1: Eine endliche Menge mit n Elementen besitzt 2n verschiedene
Teilmengen.
Satz 2: Für die Fibonaccizahlen gilt die Formel
F1 + F2 + … + Fn = Fn +2 − 1
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Beweis von Äquivalenzaussagen – Steckbrief
•
Als Faustregel zur Vermeidung von Fehlern werden Aussagen der
Form »A ist äquivalent zu B.« bewiesen, indem man die beiden
Implikationen »Aus A folgt B.« und »Aus B folgt A.« getrennt
beweist.
•
In mathematischen Sätzen findet man oft Aussagen der Form: »Die
folgenden Aussagen sind äquivalent:
1. A1
2. A2
3. A3
usw.
n. An«
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Beweis von Äquivalenzaussagen – Steckbrief
•
Anstatt nach der Faustregel 2n Implikationen zu beweisen, kann
man häufig stattdessen folgenden zyklischen Beweis bestehend aus
n Implikationen führen:
– Man beweist »Aus A1 folgt A2.«
– Man beweist »Aus A2 folgt A3.«
usw.
– Man beweist »Aus An folgt A1.«
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