Mathematik - Franzbecker

Thomas Krohn und Silvia Schöneburg (Hrsg.)
Mathematik
von einst für jetzt
Festschrift für Karin Richter
August 2016
Published by Verlag Franzbecker
Hildesheim
© 2016 Verlag Franzbecker, Hildesheim
ISBN 978-3-88120-762-1
Thomas Krohn und Silvia Schöneburg (Hrsg.)
Mathematik von einst für jetzt
Festschrift für Karin Richter
www.franzbecker.de
Inhaltsverzeichnis
Vorwort: Mathematik einst und jetzt — Facettenreiche Aspekte .............................. 3
Mathematik von einst
Peter Ullrich:
Von Eratosthenes zurück zu Euklid ......................................................................... 11
Ulrich Reich:
Wiederentdeckt: Ein Rechentisch in Wittenberg ..................................................... 19
Stefan Deschauer:
Zur Arithmetik-Vorlesung des Georg Joachim Rheticus (Wittenberg 1536) ........... 29
Horst Hischer:
James Gregory und „Konvergenz“ — auf den Spuren zu seinem Algorithmus ..... 61
Hans-Joachim Vollrath:
Geometrische Unterrichtsgespräche von
Johann Andreas Christian Michelsen (1749–1797) ................................................. 87
Renate Tobies:
Felix Klein und französische Mathematiker .......................................................... 103
Karl-Heinz Schlote:
Die Schaffung und Vergabe des Ernst-Abbe-Gedächtnispreises
an der Universität Jena........................................................................................... 133
Kerstin Zobel:
Mathematische Dachboden-Fundstücke des Georg-Cantor-Gymnasiums
in Halle (Saale): Abituraufgaben aus dem Jahr 1919 ............................................ 145
Mathematik von einst für jetzt
Jenny Kurow:
Das Monochord — ein Versuchsinstrument gestern und heute ............................. 157
Christian Werge:
Zum rechnerischen Lösen geometrischer Konstruktionsaufgaben ........................ 169
Torsten Fritzlar und Nadja Karpinski-Siebold:
Öl, Wasser, Wein und viele Gefäße —
Umfüllaufgaben aus verschiedenen Jahrhunderten ............................................... 181
Silvia Schöneburg und Wilfried Herget:
Mathematische Streifzüge durch die Geschichte ................................................... 195
Thomas Krohn:
Science-Fiction bei Johannes Kepler:
Mond-Astronomie des 17. Jahrhunderts im aktuellen Mathematikunterricht ....... 213
Ysette Weiss-Pidstrygach:
Historische, pädagogische und geometrische Kontextualisierungen zu
Treutleins Schulmodellsammlung — Projektarbeit in der Lehrerbildung ............. 233
Jens Spiegelhauer:
Rechenschieber — gestern und heute .................................................................... 247
ARCHIMEDES
Sollst einen Punkt im Raum mir geben,
Einen festen, auf dem ich stehen kann.
Dieser Hebelpunkt wird helfen mir dann
Die Welt aus den Angeln zu heben!
Kreise, schwimmender Körper Spur,
Sandrechner, Kugel und Zylinder,
Spiralen, das Problem der Rinder,
Die Parabel samt ihrer Quadratur.
An Siziliens Ufer saß er einst am Meer
Mit einem Stock in seiner rechten Hand,
Gesenkten Hauptes, gedankenschwer,
Zeichnete Kreise in den Sand am Strand.
Legionär: Hast nicht auf Marcellus gehört
Und brutal Archimedes' Kreise gestört!
(Manfred Stern, Nov. 2015)
Mathematik einst und jetzt —
Facettenreiche Aspekte
Je weiter man zurückblicken kann,
desto weiter wird man vorausschauen.
Winston Spencer Churchill (1874–1965)
Wer vor der Vergangenheit die Augen verschließt,
wird blind für die Gegenwart.
Richard von Weizsäcker (1920–2015)
„Es gibt keine Mathematik ohne ihre Geschichte“ (Scriba 1983, S. 114). Dieser
Äußerung Christoph J. Scribas ist wohl kaum zu widersprechen, denn Mathematik
der Gegenwart ist „in jedem Augenblick ein Produkt der Vergangenheit, ein Ergebnis der Mathematik von gestern“ (ebd.). Der Blick in die Vergangenheit macht nicht
nur fundamentale Ideen und Strategien im Erkenntnisprozess sichtbar, sondern zeigt
Lösungsansätze und damit einhergehende Probleme auf. Die Mathematik wird auf
diese Weise als eine alte Kulturtechnik erlebbar und zugleich als eine sich entwickelnde Wissenschaft begreifbar, die ein immanenter Bestandteil der menschlichen
Kultur ist (Schöneburg 2011, S. 137).
Mathematikgeschichte ist wichtig für das Verstehen und Lernen von Mathematik. Eine Auseinandersetzung mit ihrer Entwicklung ermöglicht andere Blickwinkel
und Zugänge zu mathematischen Ideen und Begriffen, lässt deren Bedeutung erschließen sowie ein reflektiertes Verständnis von Mathematik aufbauen. „Denn alle
mathematischen Ideen, Begriffe und Techniken sind irgendwann einmal aus konkreten Fragen entstanden“ (Jahnke, Richter 2008, S. 4).
Genau diese Idee ist es, die alle Beiträge des vorliegenden Bandes miteinander
verbindet. Vielseitige und interessante Aspekte der Mathematikgeschichte werden
teils unter wissenschaftshistorischen, teils unter fachdidaktischen Blickwinkeln beleuchtet. Denn eben diese beiden Betrachtungsweisen von Mathematikgeschichte
sind es, die einen zentralen Arbeitsschwerpunkt von Karin Richter, die in diesem
Jahr ihren 65. Geburtstag feiert, widerspiegeln.
So widmet sie sich seit vielen Jahren mit großer Energie der Erforschung mathematischer Lehre und Forschung im 16. und 17. Jahrhundert, insbesondere an der
Universität Wittenberg, sowie der Lehr- und Forschungstätigkeit von Georg Cantor
(1845–1918) an der Hallenser Friedrichs-Universität. Auch die Mathematik zur Zeit
Vorwort der Herausgeber
Der 65. Geburtstag soll als Anlass dienen, einmal Danke zu sagen, für all die geleistete Arbeit, die intensive Betreuung während der Promotion, die vielen Ideen
und die gelebte Begeisterung für die Mathematik und ihre Geschichte, die sich auf
andere überträgt.
Die folgenden Beiträge von Kollegen, Mitstreitern und Freunden greifen einige
zentrale Arbeits- und Forschungsschwerpunkte Karin Richters auf, berühren und ergänzen sie. Sie bilden einen bunten Strauß an Ideen, Gedanken und Überlegungen,
welche durch drei Sonette mit mathematisch-historischem Kern von Manfred Stern
untermalt werden.
Allen Autorinnen und Autoren gilt unser herzlichster Dank für die facettenreichen Beiträge und ihre Geduld während der Erstellung des Festbandes. Dem Verlag
Franzbecker verdanken wir die Aufnahme in das einschlägige Verlagsprogramm
und Jörg Lehnert Unterstützung bei der Umsetzung des Layouts.
Leipzig, im Mai 2016
Thomas Krohn, Silvia Schöneburg
Literatur:
Jahnke, H. N., Richter, K. (2008): Geschichte der Mathematik. Vielfalt der Lebenswelten – Mut
zum divergenten Denken. In: Mathematik lehren, Heft 151 (2008), S. 4–7.
Scriba, Ch. J.(1983): Die Rolle der Geschichte der Mathematik in der Ausbildung von Schülern
und Lehrern. In: DMV - Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 85. Band,
Heft 3, Stuttgart: Teubner.
Schöneburg, S. (2011): Christoph Scheiners Pantograph - das Gerät, der mathematische Hintergrund, Arbeiten am historischen Text. In: Schriftenreihe der ISTRON-Gruppe, Bd. 17: Historisches für den Unterricht nutzbar gemacht. Hildesheim, Berlin: Franzbecker, S. 137–147.
7
DIE ALTEN GRIECHEN
Gott sprach: "Es werde hell!"
Und siehe da: Es ward Hellas.
Thales kam und Pythagoras,
Es kam das Licht, und es kam schnell.
Plato, Archytas und Eudoxus,
Zeno, Aristoteles, Heraklit,
Hippokrates, Hippasos und Euklid,
Und damit war noch lange nicht Schluss.
Pappos von Alexandria,
Eratosthenes, Archimedes,
Nicht zu vergessen: Hypatia,
Menelaos und Kleomedes.
Hellas: der Effekt deines Halles
Ertönt seit den Zeiten des Thales.
(Manfred Stern, Nov. 2015)
Mathematik
Von einst
Peter Ullrich
Von Eratosthenes zurück zu Euklid
In den „Elementen“ des Euklid finden sich in Buch IX, Proposition 20 der Satz und
der Beweis, dass es zu endlich vielen gegebenen Primzahlen p1, p2, …, pn-1, pn stets
eine weitere, von diesen verschiedene gibt. Dies zählt zu den grundlegendsten und
zu den am elegantesten zu beweisenden Aussagen der Mathematik. Trotz seiner
Kürze benötigt der Standardbeweis allerdings einen gewissen Vorrat an Ideen bzw.
Feststellungen:
I.
Man muss die Zahl
p1 ∙ p2 ∙ ∙ ∙ pn-1 ∙ pn + 1
II.
III.
IV.
als betrachtenswert erkennen,
weil sie von keiner der Primzahlen p1, p2, …, pn-1, pn geteilt wird.
Diese Zahl ist zwar nicht stets eine Primzahl,
aber sie wird stets von einer Primzahl geteilt – die dann nach II. von p1, p2,
…, pn-1, pn verschieden ist.
In dem Beitrag „Elemente der Zahlentheorie“ hat Gerhard N. Müller bereits einen
Beweis des Satzes über die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen im Zusammenhang mit dem Sieb des Eratosthenes entwickelt (Müller 2007, S. 268–269). In
Fortführung dieses Ansatzes wird im Folgenden ausgeführt, dass und wie die vier
oben angegebenen Bestandteile des Standardbeweises in diesem Siebverfahren angelegt sind: Punkt IV. folgt aus seiner theoretischen Konzeption, und die restlichen
drei lassen sich beim praktischen Umgang mit ihm entdecken und begründen.
Diese Vorgehensweise scheint allerdings eine historische Inversion darzustellen:
Den überlieferten Quellen nach lebte Euklid circa von 340 bis 270 v. Chr.,
Eratosthenes hingegen erst von 276 bis 194 v. Chr., was bedeuten würde, dass das
Sieb erst über eine Generation nach dem Satz über die Unendlichkeit der Menge der
Primzahlen gefunden wurde – falls denn die genannten Daten und Zuschreibungen
korrekt sind. Die hierdurch angeschnittene mathematikhistorische Frage soll hier
jedoch nicht weiter erörtert werden: So wird vermutet, dass nur der Name „Sieb“
auf Eratosthenes zurückgeht, das Verfahren an sich aber schon lange vor ihm bekannt war.
12
Peter Ullrich
1 Wohlbekanntes
1.1 Das Verfahren beim Sieb des Eratosthenes
Man schreibt alle natürlichen Zahlen größergleich 1 hin und kennzeichnet vorweg
die 1, da diese Zahl zwar keinen nichttrivialen Teiler besitzt, aber dennoch nicht zu
den Primzahlen gezählt wird. Dies geschieht hier durch Markieren mit Schwarz:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, ...
(In der griechisch beeinflussten Antike hätte man die 1 gar nicht erst in die Liste der
natürlichen Zahlen aufgenommen, da sie die Einheit des Zählens bildet, wohingegen eine „Zahl“ als dadurch charakterisiert galt, dass sie aus mehreren Einheiten zusammengesetzt ist.)
Dann kennzeichnet man zunächst die erste noch nicht markierte Zahl, hier die 2,
auf eine andere Weise, etwa durch Umkästeln, und dann alle weiteren, also nichttrivialen Vielfachen dieser Zahl auf eine noch andere Weise, etwa mit Grau:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, ...
Hiernach kennzeichnet man die erste noch nicht – wie auch immer – markierte
Zahl, hier die 3, durch Umkästeln und alle nichttrivialen Vielfachen dieser Zahl mit
Grau (soweit diese nicht bereits gekennzeichnet sind):
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, ...
So schreitet man weiter fort, bis man mit allen Zahlen durch ist:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, ...
In jedem der einzelnen Schritte
a.
markiert man also durch Umkästeln eine Zahl, die von keiner kleineren und
von 1 verschiedenen Zahl geteilt wird, und
b. kennzeichnet alle diejenigen Zahlen neu mit Grau, für die diese durch Umkästeln markierte Zahl der kleinste von 1 und von dieser Zahl verschiedene
(positive) Teiler ist.
Da man beim nächsten Schritt mit der kleinsten noch nicht markierten Zahl fortschreitet, werden insgesamt alle natürlichen Zahlen größer 1 durch Umkästeln oder
mit Grau gekennzeichnet. Wegen a. und b. werden dabei genau die Primzahlen
Von Eratosthenes zurück zu Euklid
durch Umkästeln markiert und genau die zusammengesetzten Zahlen, also solche,
die einen nichttrivialen Teiler besitzen, mit Grau.
Durch einen nochmaligen Blick auf Aussage b. folgt hieraus, dass der kleinste
von 1 verschiedene (positive) Teiler einer zusammengesetzten Zahl eine Primzahl
ist. Für Primzahlen ist diese Aussage trivialerweise wahr, so dass diese Analyse des
Siebes des Eratosthenes bereits den Bestandteil IV. des Beweises der Unendlichkeit
der Menge der Primzahlen liefert.
1.2 Zeilenweises Aufschreiben
Um das Sieb des Eratosthenes auch für längere Abschnitte der Folge der natürlichen
Zahlen hinschreiben zu können, werden die Zahlen häufig nicht in einer einzigen
Zeile notiert, sondern in mehreren gleich langen Zeilen. Aufgrund des dekadischen
Systems der Zahlendarstellung – über welches bereits die Griechen in der Antike
verfügten, auch wenn sie nicht die indisch-arabischen Ziffern, sondern Buchstaben
zur Zahlendarstellung verwendeten – wird dabei gerne die Zeilenlänge 10 verwendet, mit der sich das Ergebnis des Siebprozesses wie folgt darstellt:
1,
11,
21,
⋮
2,
12,
22,
⋮
3,
13,
23,
⋮
4,
14,
24,
⋮
5,
15,
25,
⋮
6,
16,
26,
⋮
7,
17,
27,
⋮
8,
18,
28,
⋮
9,
19,
29,
⋮
10,
20,
30,
⋮
Dies hat nicht nur den genannten typographischen Vorzug, sondern man kann an
diesem Schema auch bemerkenswerte Muster entdecken:
i.
ii.
*
In den Spalten unterhalb der Zahlen 2, 4, 5, 6, 8 und 10 sind ab der zweiten
Zeile alle Zahlen mit Grau markiert. Dies entspricht der Tatsache, dass alle
Zahlen mit gerader Endziffer durch 2 teilbar sind und alle mit Endziffer 5
oder 0 durch 5 teilbar. *
Die durch 3 teilbaren Zahlen hingegen findet man auf im 45 Grad-Winkel
diagonal von rechts oben nach links unten verlaufenden Linien.
Umgekehrt bedeutet dies, dass alle Primzahlen bis auf die in der ersten Zeile in denjenigen
Spalten stehen, die mit 1, 3, 7 und 9 beginnen. Um einzusehen, dass sich in jeder dieser vier
Spalten unendlich viele Primzahlen befinden, sogar in einem bestimmten Sinne gleich viele,
benötigt man allerdings den im Jahre 1837 von Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805–1859)
bewiesenen Primzahlsatz über arithmetische Progressionen (Dirichlet 1839). Dieser Satz lässt
sich jedoch nicht in der Kürze beweisen wie der hier zur Diskussion stehende über die Unendlichkeit der Menge aller Primzahlen.
13
14
Peter Ullrich
Mittels Bemerkung i. kann man überprüfen, ob die Vielfachen von 2 und von 5 richtig eingetragen wurden: Sie dürfen nur in den genannten Spalten stehen und müssen
diese vollständig ausfüllen.
Hat man sich hierauf erst einmal eingelassen, kann man i. auch dazu nutzen, um im
praktischen Umgang mit dem Sieb des Eratosthenes schnell in dem noch unfertigen
Schema
1,
11,
21,
⋮
2,
12,
22,
⋮
3,
13,
23,
⋮
4,
14,
24,
⋮
5,
15,
25,
⋮
6,
16,
26,
⋮
7,
17,
27,
⋮
8,
18,
28,
⋮
9,
19,
29,
⋮
10,
20,
30,
⋮
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
10,
alle Vielfachen von 2 bzw. 5 zu kennzeichnen: Man braucht diese nur in der ersten
Zeile aufzufinden und, je nach dem, durch Umkästeln bzw. mit Grau zu markieren:
Die weiteren Vielfachen von 2 bzw. 5 stehen dann in den Spalten unter den durch
Umkästeln oder mit Grau gekennzeichneten, können also einfach dadurch aufgefunden werden, dass man sie senkrecht nach unten gehend mit Grau markiert und
sich so das zeilenweise Durchgehen und Abzählen erspart.
Um entsprechend die Vielfachen von 3 zu kennzeichnen, muss man hingegen
genauer achtgeben, damit man die unter ii. erwähnten Diagonalen, denen man folgen muss, nicht verfehlt.
Ist man also daran interessiert, die Vielfachen von 2 bzw. 3 schnell und sicher zu
kennzeichnen, wird man die Zeilenlänge von 10 auf 6 ändern (die auch in Müller
2007, S. 268 verwendet wird):
1,
7,
13,
⋮
2,
8,
14,
⋮
3,
9,
15,
⋮
4,
10,
16,
⋮
5,
11,
17,
⋮
6,
12,
18,
⋮
1,
2,
3,
4,
5,
6,
Analog zu eben finden sich die Vielfachen von 2 genau in den Spalten unter 2, 4
und 6 und die Vielfachen von 3 genau in den Spalten unter 3 und 6. Um alle Vielfachen von 2 und 3 zu kennzeichnen, braucht man diese also wiederum nur in der ersten Zeile durch Umkästeln oder mit Grau zu markieren:
und findet dann die weiteren Vielfachen von 2 bzw. 3 in den Spalten unter den
durch Umkästeln oder mit Grau gekennzeichneten Einträgen, kann sie also senkrecht nach unten gehend mit Grau markieren: