Übung Nr .1 - Institut für Statistik

Institut für Statistik
Akademiestr. 1 / IV, 80799 München
WS 2006 / 07
Übungsaufgaben zur Vorlesung
Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin
Helmut Küchenhoff und Christian Heumann
Einige Aufgaben wurden uns von Prof. Dr. Lothar Kreienbrock von der Tierärztlichen
Hochschule Hannover zur Verfügung gestellt, wofür wir uns herzlich bedanken.
1. Blatt: Besprechung am 2.11. 2006
Aufgabe 1
1. In einer Rinderherde sind 10% der Tiere erkrankt (d.h.: Prävalenz = P (krank) = 0.1) und
20% der Rinder sind untergewichtig (d.h.: P (mager) = 0.2). Außerdem sei bekannt, dass
5% der Tiere sowohl krank als auch untergewichtig sind.
Wie viel Rinder sind weder krank noch untergewichtig?
Aufgabe 2
a) Wir betrachten 2 Krankheiten A und B.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Tier an der Krankheit erkrankt sei P(A)=0.2.
Weiter gilt: P(B)=0.1 und P(A  B)=0.05.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Tier an A erkrankt ist, falls bei
diesem Tier B diagnostiziert wurde.
Kommentieren Sie das Ergebnis. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den
Krankheiten?
b) Für eine weitere Krankheit C gelte: P(C)=0.5 und P(C|A)=0.5.
Interpretieren Sie das Ergebnis!
Welcher Zusammenhang besteht zwischen C und A?
Wie groß ist P(C  A)?
Aufgabe 3
Krankheiten können unabhängig voneinander auftreten oder einander begünstigen. Wird
Krankheit als ein zufälliges Ereignis aufgefasst, so findet der Multiplikationssatz für
Wahrscheinlichkeiten seine Anwendung, wenn das gleichzeitige Auftreten zweier Krankheiten
untersucht wird.
Krankheit A trete mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.1 auf und Krankheit B mit 0.05. Wie
hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Patienten beide Krankheiten
diagnostizierbar sind, unter der Bedingung
a) die beiden Krankheiten treten unabhängig voneinander auf?
b) Krankheit B wird durch A mit der Wahrscheinlichkeit P ( B | A)  0.5 begünstigt?
c) Interpretieren Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit
Häufigkeit.
P ( B | A) als Anteil oder
Aufgabe 4
Angenommen, in einer Population werden Tiere unabhängig voneinander mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit von p  0.2 von einer Krankheit befallen. Ein Tierarzt untersucht nun eine
zufällig aus dieser Population ausgewählte Stichprobe von n  4 Tieren.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) alle 4 Tiere krank sind?
b) mindestens ein Tier gesund ist?
c) alle vier Tiere gesund sind?
d) Mindestens ein Tier krank ist?
Aufgabe 5 (siehe Folien zur Vorlesung am 2.11.)
SMD (swine misery disease) ist eine infektiöse Schweinekrankheit, die sich nach einer
Inkubationszeit von 3 Monaten manifestiert und bei jungen Schweinen mit einem verminderten
Wachstum verbunden ist. Der Diagnose-Test SMDETEC basiert auf der Entdeckung von
Toxinen im Serum. In einer nationalen Studie wurde SMDETEC erprobt, dabei ergab sich eine
Prävalenz von 0.1, d.h. 10% aller Schweine sind mittels SMDETEC als krank diagnostiziert
worden. Die Validität des Tests wurde an 200 Schweinen genauer mit folgendem Ergebnis
untersucht:
Test
positiv
negativ
Summe
wahrer Status
krank
gesund
79
4
21
96
100
Summe
83
117
200
a) Berechnen Sie die Sensitivität und Spezifität von SMDETEC.
b) Berechnen Sie den positiv prädiktiven Wert und interpretieren Sie das Ergebnis.