Hausaufgaben zu Exponentialfunktionen - Johannes

M12 Bedingte Wahrscheinlichkeit
AIDS-Test
Aufgabe 1: AIDS-Test
Bei Infektionskrankheiten ist es wichtig, dass man schnell die Art der Krankheit erkennt, damit
man sie bekämpfen kann. Hierzu führt man Schnelltests durch, die allerdings Mängel haben:
Manchmal wird eine Krankheit nicht angezeigt, obwohl sie vorhanden ist.
Die vorliegenden Testverfahren zum Nachweis einer HIV-Infektion haben mittlerweile eine
hohe Sicherheit (so genannte Sensitivität). Bei 99,9 % der tatsächlich Infizierten erfolgt eine
positive Testreaktion; nur bei 0,3 % der nicht infizierten Testpersonen wird irrtümlich eine
Infektion angezeigt (so genannte Spezifität 99,7 %).
Das Robert-Koch-Institut schätzt (Stand Ende 2005), dass etwa 49.000 Menschen in
Deutschland HIV-infiziert sind. Laut dem Statistischen Bundesamt lebten Ende 2005 ungefähr
82.450.000 Personen in Deutschland.
a) In Köln werden 1000000 Leute getestet. Wie viele Personen haben ein positives
Testergebnis? Wie viele Personen von ihnen sind infiziert?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testergebnis positiv ist und tatsächlich
eine HIV-Infektion vorliegt?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei negativem Testergebnis dennoch eine
Infektion vorliegt?
d) Welche Konsequenzen sollte man aus den gewonnenen Erkenntnisse ziehen?
Aufgabe 2: Erweiterung AIDS-Test
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person nach einem positiven ersten
Testergebnis noch einmal positiv getestet wird, aber trotzdem gesund ist?
b) In einigen Ländern im Süden Afrikas sind bis zu 40 % der Bevölkerung HIV-infiziert. Wie
lauten die Wahrscheinlichkeiten zu den Fragen 1a) und 1b) unter diesen Bedingungen?
c) In Deutschland sind etwa 80 % der Infizierten Männer. 90 % der HIV-Infektionen werden
sexuell übertragen und rund 70 % aller Infektionen sind auf ungeschützten Sex zwischen
Männern zurückzuführen. Überlege Dir eine sinnvolle Aufgabe, die Du selber lösen kannst
und stelle sie Deinem Nachbarn.
Aufgabe 3: Brustkrebsuntersuchung
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine 40-jährige, symptomfreie Frau Brustkrebs hat, beträgt 1 %.
Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Krankheit mit einer Mammografie erkannt wird, wenn sie
vorliegt, beträgt 80 %. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mammografie fälschlicherweise auf
Brustkrebs hinweist, obwohl die Krankheit gar nicht vorliegt, beträgt 10 %.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 40-jährige, symptomfreie Frau tatsächlich
Brustkrebs hat, wenn sie einen positiven Mammografiebefund erhalten hat?
Oder dieselbe Aufgabe noch einmal anders:
Aufgabe 4: Brustkrebsuntersuchung 2
10 von 1000 40-jährigen, symptomfreien Frauen haben Brustkrebs. Bei 8 von den 10 Frauen, die
tatsächlich Brustkrebs haben, wird die Krankheit mit einer Mammografie auch erkannt. Bei 99
von den 990 Frauen, die keinen Brustkrebs haben, weist die Mammografie fälschlicherweise
dennoch auf das Vorliegen von Brustkrebs hin.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 40-jährige, symptomfreie Frau tatsächlich
Brustkrebs hat, wenn sie einen positiven Mammografiebefund erhalten hat?
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Christian Westphal 2006, Anke, Braun, Göde Klöppner 2008 Johannes-Kepler-Gymnasium Ibbenbüren
M12 Bedingte Wahrscheinlichkeit
AIDS-Test
Aufgabe 5: Wie hängen Kariesfälle und Zahnputzgewohnheit zusammen?
Im Rahmen einer Marketingstudie wurden Daten für das Gesundheitsamt in Musterstadt
erhoben, die die Zahngesundheit von Schulkindern betraf. Es wurde in der Grundschule von
Musterkaff zu Forschungszwecken an 200 Kindern eine Reihenuntersuchung zur Zahngesundheit
durchgeführt. Es putzten sich 60% der Kinder regelmäßig die Zähne. Von diesen Kindern hatten
40 Karies. Bei den Zahnputzmuffeln hatten 60 Kinder Karies.
Wir interessieren uns nun für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind Karies hat, wenn
bekannt ist, dass es sich die Zähne putzt. In andere Worte gekleidet: Der Anteil der Kinder mit
Karies an den Kindern, die sich regelmäßig die Zähne putzen.
Aufgabe 6: Hast Du schon einmal Drogen genommen?
Stellt Euch vor, Euer Lehrer würde mit Euch eine solche Befragung durchführen und bittet um
ehrliche Antworten. Selbstverständlich könnt Ihr wohl zu Recht skeptisch sein, wer Euch denn
wohl die Garantie gibt, dass die zugesicherte Anonymität wirklich gewährleistet wird.
Hier ist ein Vorschlag:
Wirf einen normalen Würfel. Wenn das Ergebnis 1, 2, 3 oder 4 ist, so beantworte die 1. Frage,
andernfalls die 2. Frage.
1. Ich habe schon einmal Drogen genommen.
[ ] Ja
[
]
Nein
2. Ich habe noch nie Drogen genommen.
[ ] Ja
[ ] Nein
Der Auswerter hat das Ergebnis des Würfelns nicht gesehen und kann deshalb auch nicht
wissen, auf welche Frage geantwortet wurde. Dennoch kann man bei einer hinreichend großen
Stichprobe zu recht verlässlichen statistischen Aussagen kommen.
Angenommen, 280 von 500 Befragten kreuzen „Ja“ an. Dann
haben wir einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit
P(„Ja“) = 280/500 = 0,56. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit
p gewinnen wir dann aus der Gleichung
2
1
0,56= ⋅ p
⋅ 1− p .
3
3
a) Berechne für das Beispiel wie viele Personen, mit
Drogen in Kontakt gekommen sind. Mit welchen
Unsicherheiten ist die Statistik noch behaftet?
b) Berechne die Anzahl der Personen, die mit Drogen in Kontakt gekommen sind unter der
Annahme, dass etwa die Hälfte von 1000 Befragten „Ja“ angekreuzt hat. Kann man dieser
Statistik mehr trauen?
c) Ein psychologisches Problem besteht noch darin, dass mehr Ergebnisse des Würfels zur
1. Frage führen. Was passiert, wenn man dies wie folgt abändert:
(1)
gerade Augenzahl --> Frage 1
(2)
1, 2, 3 oder 4 --> Frage 2
ungerade Augenzahl --> Frage 2
5 oder 6
--> Frage 1
2
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Christian Westphal 2006, Anke, Braun, Göde Klöppner 2008 Johannes-Kepler-Gymnasium Ibbenbüren
M12 Bedingte Wahrscheinlichkeit
AIDS-Test
Quellen: Elemente der Mathematik. Grundkurs 12/13. Schroedel, S.380f
Wassner, C. et. al. (2000). Muss der Satz von Bayes so schwer verständlich sein? Max-Planck-Institut Berlin
Mathematik. Neue Wege 9. Schroedel, S. 202
www.gib-aids-keine-chance.de/themen/fakten/index.php
www.destatis.de/presse/deutsch/pm2006/p0320021.htm
www.rki.de/cln_006/nn_226622/DE/Content/Infekt/EpidBull/Archiv/2006/ (alle gefunden am 28.03.2006)
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Christian Westphal 2006, Anke, Braun, Göde Klöppner 2008 Johannes-Kepler-Gymnasium Ibbenbüren