101 Mathematikaufgaben

Peter Gallin
101 Mathematikaufgaben
Übungen zwischen Alltag und Abstraktion ab 8. Schuljahr
Aulis Verlag Deubner & Co KG • Köln
Inhaltsverzeichnis
Nr. Datum Anzahl
Preise
Kurzfassung der Aufgabe
Seite
1
5.81
1
Summe oder Differenz von zwei aus 52 beliebig ausgewählten
natürlichen Zahlen ist durch 100 teilbar.
11
2
6.81
5
Wie viele Risse braucht ein optimales Zerreißen eines 5 - 1 0 Briefmarkenbogens in Einzelbriefmarken?
11
3
8.81
5
Gibt es ein zusammenhängendes Würfelnetz aus einem 3 • 3 Quadrat?
12
4
9.81
1
Zwischen je zwei Städten gibt es genau eine Einbahnstraße.
Es gibt eine Stadt, von der aus jede andere direkt oder über höchstens
eine Zwischenstadt erreichbar ist.
13
5 11.81
0
ABC und A'B'C seien gleichsinnig ähnliche Dreiecke. Das Dreieck der
Mitten von AA', BB', CC ist zu ABC ähnlich.
15
6
1.82
6
Dichte Kugelpackung: Welche Kugeln von 4 hexagonalen Kugelschichten
bilden einen Würfel?
17
7
2.82
8
9 Geraden zerteilen eine Quadratfläche im Verhältnis 2 : 3 . Mindestens
drei davon gehen durch einen Punkt.
17
8
4.82 13
Die Differenz zweier natürlicher Zahlen mit denselben Ziffern ist
durch 9 teilbar.
18
9
5.82
3
Die Summe der Quadrate der Seiten eines Vierecks ist nicht kleiner als der
vierfache Flächeninhalt.
18
10
8.82
0
Ein Drehzylinderkörper soll mit n Schnitten in eine Maximalzahl
kongruenter Teile zerlegt werden.
19
11
9.82
6
Auf welchen Kurven bewegen sich die Ecken der Quadrate einer
Pythagoras-Figur bei fester Hypotenuse?
21
12 11.82 11
Ergänze die lückenhafte Tageskilometerzählerliste (auf 100 m genau)
anhand der vollständigen Hauptkilometerzählerliste (auf 1 km genau).
22
13
1.83
1
Auf was für Linien liegen die Punkte mit konstanter Abstandssumme zu
den drei Seiten eines Dreiecks?
24
14
2.83
1
Welche Gesetze gelten hier:
«Das Meersandgewinnen» «=> «Das Gewinnen des Sandes des Meeres»?
26
15
4.83 11
n (n + 3) (n + 6) (n + 9) + 81 ist eine Quadratzahl. Verallgemeinerung?
28
16
5.83
Die Doppeldrehtüren im Kantonsspital drehen sich so, daß der
geradlinige Geher sich immer in deren Mitte gespiegelt sieht.
29
17
6.83 13
Eine unbekannte Anzahl Bundesfeiermarken (20er, 40er, 70er, 80er)
kosten Fr. 72.10. Derauf ganze 10 Rp. abgerundete 50%ige Zuschlag
macht Fr. 21.80 aus.
30
18
8.83
6
Das Zürcher Staatswappen (Quadrat mit aufgesetztem Halbkreis)
enthalte gleich viel Blau wie Weiß!
31
19
9.83
5
Ein quaderförmiger Denkmalstein ( 2 - 2 - 1 ) mit Frontmotiv wird über die
Kante gekippt. W o überall kann man ihn aufrecht plazieren?
32
2
5
Nr. Datum Anzahl
Preise
Kurzfassung der Aufgabe
20 11.83
9
DREI + EINS = VIER, VATER + MUTTER = ELTERN (gleiche/ungleiche
Buchstaben bedeuten gleiche/ungleiche Ziffern).
32
21
1.84
7
Zerschneide ein quadratisches Grundstück mit 4 Häusern, 4 Bäumen,
4 Brunnen in 4 kongruente Teile.
34
22
2.84
4
Man erfinde «schöne» Rechnungen mit den Ziffern 1 , 9, 8 , 4 .
35
23
4.84
4
Im Dreieck ABC lege man durch C eine Gerade mit vorgegebener
Abstandssumme (-differenz) zu A und ß.
37
24
5.84
8
1234567891011...99100. Streiche 100 Ziffern, so daß die restlichen
Ziffern eine möglichst große Zahl bilden.
39
25
6.84
9
Falte ein A4-Blatt ohne Hilfsmittel in 3 Teile für den C6/5-Briefumschlag.
40
26
8.84
0
Ein quadratisches (5 x 5)-Spielfeld mit 24 Steinen belegt (Mitte leer) ist
nicht solitaire-tauglich.
41
27
9.84
3
Ein Dreieck, dessen Mittelsenkrechte auf c und dessen Winkelhalbierende
bei C sich im Innern schneiden, ist gleichseitig.
43
28 10.84
6
Lege auf ein quadratisches (4 x 4)-Spielfeld 6 Steine, so daß pro Zeile
und Spalte eine gerade Anzahl Steine liegen.
45
29 11.84
4
Ein Kreis ist Inkreis von Dreieck und Quadrat. Außerhalb des Dreiecks
liegt weniger als die Hälfte des Quadratumfangs.
46
30
1.85
7
Welche natürlichen Zahlen lassen sich als Summe von mindestens zwei
aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen schreiben?
46
31
2.85
4
Die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks können nicht auf Gitterpunkten
von kariertem Papier liegen.
48
32
4.85
8
Wie viele Wurzelberechnungen muß ein Computerprogramm machen,
das pythagoräische Zahlenquadrupel mit Quaderkanten von 1 bis n
durch systematisches Probieren ermittelt?
48
33
5.85
1
Der größte Schüler ist Klassenchef. Der kleinste Schüler mit Anfangsbuchstaben x ist x-Vertreter. Der kleinste Klassenchef und der größte
Buchstabenvertretersollen miteinander verglichen werden.
50
34
6.85
1
Jede Dame tanzt, kein Herr tanzt mit allen Damen. Es gibt zwei Damen,
die ihre Herren nicht tauschen. (Vgl. mit Aufgabe 71)
51
35
8.85
2
Ein Bauer teilt seine Kuhherde auf seine Erben auf.
52
36
9.85
9
Konstruktion und Berechnung eines Inkreises in einer gegebenen Figur.
54
37
4.86
4
Lege durch den Punkt P eine Sekante derart, daß deren Sehne von einer
gegebenen Sehne halbiert wird.
56
38
5.86
3
Zwei natürliche Zahlen a und b seien Summe zweier Quadratzahlen. Ist
das auch für ihr Produkt a • b so?
58
39 6.86
2
Drei Einfaltungen sollen aus einem rechteckigen Stoffstück ein möglichst
großes gleichschenkliges Windeldreieck machen.
59
Seite
6
Nr. Datum Anzahl Kurzfassung der Aufgabe
Preise
Seite
40 8.86
1
Die Nummer jedes Buchstabens wird festgestellt. In «Vierzehn + Achtzehn = Zweiunddreissig» gibt die Summe der Nummern links gleich viel
wie rechts. Andere Beispiele? Sollte man das Alphabet neu ordnen, um
möglichst viele solche Zufälle zu erhalten?
62
41 9.86
1
Die Basis BC im gleichschenkligen Dreieck ABC ist Schenkel eines zum
Dreieck ABC ähnlichen Dreiecks BCD. Was geschieht, wenn man diese
Abbildung iteriert?
63
42 11.86
1
ai Kühe weiden bi Wiesen in ci Tagen ab (i = 1,2,3). Welche Beziehung
besteht zwischen den 9 Variablen?
65
43 1.87
3
Die Summe der drei Seitenhalbierenden liegt zwischen drei und vier
Vierteln des Dreiecksumfangs.
66
44 2.87
4
Wie viele Quadrate zerschneidet eine Diagonale im p • (7-Rechteck auf
kariertem Papier? Verallgemeinerung?
68
45 4.87
2
Der Flächeninhalt eines pythagoräischen Dreiecks ist immer durch 6
70
teilbar.
46 5.87
2
Der Satz von Pythagoras im Fußboden-Muster unserer Schule.
71
47 6.87
9
Das um 1 verminderte Quadrat einer Primzahl, die größer als 3 ist, ist
72
48 8.87
2
Aufgabe zu den «magischen Streifen» einer Comflakes-Packung.
73
49 9.87
1
75
50 11.87
2
51 1.88
2
Turnstunde: 4 Gruppen rotieren an 4 Posten. Der Besucher rotiert auch
und will jede Gruppe an jedem Posten sehen können.
Unterschied: «Die gebundenen, fremdsprachigen, illustrierten Bücher»
contra «Die gebundenen fremdsprachigen illustrierten Bücher»
Im gleichschenkligen Dreieck soll man einen n-fachen Zickzack-
52 2.88
5
Das Kaprekar-Problem führt immer auf 6174.
81
53 4.88
1
Das Olympiade-Signet mit sich rechtwinklig schneidenden Außenkreisen.
82
54 5.88
2
85
55 6.88
1
Es gibt 34 aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, von denen keine eine
Primzahl ist.
Funktionaler Zusammenhang zwischen Abspielzeit und Zählwerkanzeige
beim Tonbandgerät.
56 8.88
4
Man bestimme für möglichst viele reelle a alle reellen x, die die folgende
Ungleichung erfüllen:
ax2
<
_a_
( V l + ax - 1 ) 2 ~~
lal
87
57 9.88
2
Überblick über die Flächenhalbierenden eines Dreiecks gewinnen.
88
58 11.88
3
Eine natürliche Zahl soll so in Summanden zerlegt werden, daß deren
Produkt möglichst groß wird.
90
59 1.89
3
Welches möglichst einfache Gefäß hat die Eigenschaft, daß es während
des Füllens plötzlich kippt?
91
stets durch 24 teilbar.
78
79
Streckenzug aus gleich langen Stücken optimal einschreiben.
7
85
Nr. Datum Anzahl Kurzfassung der Aufgabe
Preise
Seite
60 2.89
3
Wieviel 6stellige EC-Codes mit nur 3 verschiedenen Ziffern gibt es?
93
61 4.89
2
Schreibe einem gegebenen Kreissektor einen Rhombus mit gegebenen
Proportionen ein.
93
62 5.89
3
Ein Realschüler-Fehler wird zur Denkaufgabe.
95
63 6.89
2
Ein Brett mit endlicher Dicke wird diagonal durch ein rechteckiges
Fenster geschoben. Welche Bedingungen gelten?
96
64 8.89
2
Erkläre einen Kartentrick: 21 Karten werden 3mal auf 3 Haufen abgelegt;
eine gemerkte Karte wird eruiert.
98
65 11.89
4
Kürzester Weg von einem Basispunkt zu Punkten der gegenüberliegenden Mantellinie eines geraden Kreiskegelkörpers.
100
66 1.90
2
Zusammenhang zwischen Lösungen (a,a,b) und (a/2,a,c) der «falschen»
Fermat-Gleichung x" + y" = z2.
101
67 3.90
2
Bestimme alle möglichen Schienenanlagen mit einer Kreuzung (Länge =
2/3), acht Geraden (Länge = 2/3) und sechs 90°-Kurven (r = 1)!
102
68 5.90
3
Beweise mit dem Additionstheorem für relativistische Geschwindigkeiten
rein mathematisch, daß die Lichtgeschwindigkeit nicht übertroffen
werden kann.
106
69 6.90
4
Wie viele Spielsteine hat das Solitaire-Spiel (ohne Zentrumsstein)?
Zerlege das Spielfeld in vier zusammenhängende, kongruente Teile!
107
70 9.90
2
«4» und «7» sind spiegelbildliche Schriftzeichen. Bei 3 • 4 = 12 und
3 • 7 = 21 sind Ziffern vertauscht (Dyskalkulie). Gibt es ein System?
109
71 1.91
1
Jeder Herr und jede Dame tanzt, keine Dame tanzt mit allen Herren. Es
gibt zwei Herren, die ihre Damen nicht tauschen. (Vgl. mit Aufgabe 34)
111
72 3.91
5
Man beweise, daß 111...1 (1081 Stellen) keine Primzahl ist.
112
73 5.91
3
Schiefe Linien in Computergraphiken sind häufig dicker als vertikale und
horizontale.
113
74 6.91
0
Eine Rechnung aus einem Restaurant macht Probleme.
114
75 11.91
6
Ein 60°-Winkel, dessen Scheitel in einem Kreis liegt und dessen äußere
Halbierende durch den Kreismittelpunkt geht, schneidet aus dem Kreis
immer eine Sehne der Länge r aus.
115
76 1.92
6
Es gibt unendlich viele Dreieckszahlen, die Differenz von zwei
Dreieckszahlen sind.
117
77 3.92
8
Wo befindet sich der Schwerpunkt eines Trapezes?
119
2
78 5.92
3
Warum kann V4x + 24x + 9 für x > 4 keine natürliche Zahl sein?
120
79 6.92
1
In welcher Lage schwimmt ein langer Tannenbalken mit quadratischem
Querschnitt?
122
80 9.92
1
Welche Postcheckkontonummern gehen durch Abstreichen der (letzten)
Kontrollziffer und Einfügen eines Bindestrichs vor der zweitletzten Ziffer
in korrekte Nummern über?
125
8
Nr. Datum Anzahl Kurzfassung der Aufgabe
Preise
Seite
81 11.92
5
Welche Seitenbeziehung gilt in einem Trapez mit einbeschriebenem
Halbkreis?
127
82 1.93
3
Man zerlege die Zahl 1 in Summen von Stammbrüchen.
128
83 3.93
7
Eine Brücke wird vom Schiff aus mit einem Weitwinkelobjektiv
fotografiert.
130
84 5.93
1
Das Simpsonsche Paradoxon.
132
85 6.93
3
Welche Dreiecke kann man mit einem Schnitt in zwei gleichschenklige
zerteilen?
134
86 9.93
2
Welche Zahlen sind im «mathematischen Golf» überhaupt erreichbar?
135
87 11.93
1
Elementare Konstruktion der Herzkurve als Hüllkurve.
136
88 1.94
5
Welche Winkel sind unempfindlich gegen die RAD- oder DEG-Einstellung 137
bei der Sinus-Berechnung mit einem Taschenrechner?
89 3.94
7
Flächeninhalt eines «exzentrischen Windrädchens» im regelmäßigen
3-(n-)Eck.
139
90 5.94
1
Ein allgemeiner Zusammenhang zwischen ggT und kgV.
140
91 6.94
3
Ein Puzzle für einen Spielzeugwürfel aus sechs kongruenten Teilen.
141
92 9.94
4
Wie driftet man bei einer Flußüberquerung am wenigsten ab?
142
93 11.94
1
Wann ist ein Weg konstanter Breite um ein polygonales Gartenbeet ein
Gnomon?
143
94 1.95
3
Umstellung zweier Felder in einem (3 x 3)-Schiebespiel.
145
95 3.95
4
Multiplikation zweier 2steiliger Zahlen mit nur drei Stellenmultiplikationen.
146
96 5.95
1
Was passiert, wenn man beim Schälen verschieden dicker Rüben eine
konstante Dicke der Schälschicht beibehält?
148
97 6.95
2
Mathematische Entlarvung eines Kartentricks von David Copperfield.
149
98 9.95
2
Es gibt unendlich viele Paare «eng verwandter» Zahlen.
152
99 11.95
3
Gesucht ist eine Funktion f(x,a,b), die a + b (für x = 1), a - b (für x = 2),
a • b (für x = 3), a : b (für x = 4) bedeutet.
153
100 1.96
2
Unter der Annahme, daß der Sicherheitsabstand gleich dem Bremsweg
ist, berechne man die Geschwindigkeit, bei welcher der «Durchsatz»
einer einspurigen Straße maximal ist.
154
1013.96
2
1 = 1 , 3 + 5 = 8,7 + 9 + 11=27,13 + 15 + 17 + 19 = 64,...
Man beweise, daß bei diesem Vorgehen die Kubikzahlen entstehen.
156
9