Übungsbla 7 zum Modul G

Dr. M. Ensenbach
Department Mathematik
Universität Siegen
Siegen, den 22. September 2017
Übungsblatt 7 zum Modul G
Vorkurs Mathematik 2017
Aufgabe 1
Man führe jeweils die Rechnung in den komplexen Zahlen durch.
(a) (2 + 3i) + (−3 + 2i),
(b) (3 − 2i) − (1 − 3i),
(c) (2 + 3i) · (1 − 3i),
(d) (2 − i) · (2 + i),
(e) (1 + 2i)2 ,
(f) (1 + i)4 ,
(g)
3−i
,
1 + 2i
(h)
2 + 5i
,
2 − 3i
(i)
(2 + i)3
i
Aufgabe 2
Man berechne jeweils den Betrag der komplexen Zahl.
(a) 6 − 8i,
(b) − 5 − 12i,
(c) 1 + 2i,
√
√
√
√
(d) ( 6 + 2) + ( 6 − 2)i
Aufgabe 3
Man skizziere jeweils die Menge M in der Gaußschen Zahlenebene
(a) M = {z ∈ C | Re z = 2},
(b) M = {z ∈ C | Im z = −1},
(c) M = {z ∈ C | Im z ≥ 1},
(d) M = {z ∈ C | Re z ≤ 1 und Im z ≥ 0},
(e) M = {z ∈ C | |z| = 2},
(f) M = {z ∈ C | |z| ≤ 1 und Re z ≥ 0},
(g) M = {z ∈ C | |z − i| = 1},
(h) M = {z ∈ C | Re((2 − i) · z) = 0}
Aufgabe 4
Man berechne jeweils exp(iϕ).
(a) ϕ = 23 π,
(b) ϕ = 43 π,
(c) ϕ = 76 π,
(d) ϕ = 74 π,
Aufgabe 5
Man gebe jeweils die komplexe Zahl in Polardarstellung an.
√
√
(a) − 5,
(b) − 5i,
(c) 1 + 3 i,
(d) 3 + i,
(e) ϕ = 5π
(e) − 3 + 3i
Aufgabe 6
Man gebe mit Beweis eine Formel für den Real- und Imaginärteil von (1 − i)n für alle n ∈ N an, in
der ausschließlich reelle Zahlen auftreten.
Aufgabe 7
Man bestimme jeweils die Lösungsmenge der Gleichung für z ∈ C, und man skizziere die Lösungsmengen in der Gaußschen Zahlenebene.
(a) z2 = i,
(b) z3 = −1,
(c) z4 = 16,
(d) z6 = 1
Aufgabe 8
Man bestimme jeweils mit quadratischer Ergänzung alle z ∈ C, die die Gleichung lösen.
(a) z2 − 2z + 2 = 0,
(b) z2 − 6z + 13 = 0,
(c) z2 + (−4 − 2i)z + 4 + 4i = 0,
(d) z2 + (−6 + 2i)z + 12 − 6i = 0,
(e) z2 + (−3 − i)z + 2 + i = 0,
(f) z2 + (1 − i)z − i = 0