Aufgaben

Normalverteilung
A, B, D Metallstäbe
Eine Maschine soll Metallstäbe mit einem Längen-Sollwert von 12 cm herstellen. Die Länge schwankt mit
einer Standardabweichung von σ = 2 mm.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
die Stablänge
- weniger als 11,9 cm beträgt
-zwischen 11,7 und 12,3 cm liegt
-höchstens 1 mm vom Sollwert abweicht
b) Die Grafik zeigt die Dichtefunktion der
Normalverteilung.
-Erklären Sie, wie Sie vorgehen, um die Toleranzgrenzen bei 5% Ausschuss relativ genau abschätzen
zu können.
-Zeichnen Sie die Toleranzgrenzen ungefähr ein, wenn der Ausschussanteil höchstens 5% betragen
soll.
c) Berechnen Sie die Toleranzgrenzen, wenn der Ausschussanteil höchstens 7 % betragen soll.
Lösung:
a) Operieren:
Am besten rechnet man mit Technologieeinsatz. BSP. TI 82stats
2nd DISTR / 2 normalcdf (also kumulativ!) (untere Grenze, obere Grenze, µ,σ)
Per Hand und Tabelle muss man zur Standardnormalverteilung übergehen:
 11,9  12 
P( X  11,9)   
  ( 0,5)  0,3085
 0,2 
 12,3 12 
 11,7  12 
P( 11,7  X  12,3)   
, )  ( 15
, )  2( 15
, )  1 0,8664
  
  ( 15
 0,2 
 0,2 
P( 11,9  X  12,1)  2( 0,5)  1 0,6915 2 1 0,383
b) Interpretieren und Argumentieren
5% Ausschuss heißt, dass 2,5% zu lang sind und 2,5% zu kurz. Die Toleranzgrenzen liegen links und rechts
von µ so, dass um den Sollwert eine Fläche von 95% an Wahrscheinlichkeit für tolerierte Längen entsteht.
Der 2σ-Bereich schließt ca. 95,4% ein, das heißt, man hat es ungefähr mit dem 2σ-Bereich zu tun, setzt
demnach die Grenzen ca. 4mm – eine Spur weniger 3,93 mm - links und rechts vom Sollwert.
Man zeichnet die Normalverteilung mit Technologie oder per Hand.
ZB TI 82 stats:
2nd DISTR/Draw/1 shadeNorm (Untere
Grenze, obere Grenze, µ, σ)
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Window vorher einstellen ! sonst nochmals eingeben im Hauptfenster mir 2nd entry /enter
Löschen mit 2nd DRAW/1 Clr draw.
Jede Zeichnung wieder löschen, weil sie sonst beim nächsten BSP unterlegt ist!
c) Wenn Prozent gegeben sind, dann muss man schauen, diese in die Form P (X≤ a) zu bringen, dann kann
man mit der Umkehrung InvNorm (p, µ, σ) arbeiten.
In diesem Fall liegen die Grenzen symmetrisch.
Ein möglicher Lösungsweg: Der linke Spitz beträgt 3,5%.
Das liefert die untere Grenze.
2nd DISTR/3 invNorm (3.5, 12, 0.2) = 11,637…ergibt die untere Grenze der gesuchten Fläche.
Die obere Grenze bekommen wir mit µ + (µ-11,637..) = 2µ - 11,637.. ≈12,36.
Per Hand ist es komplizierter:
 x  12 
1

  0,035|  -Tabellebenützen
 0,2 
x  12
 1,81
0,2
x  12,36
ABCD Wählerstimmen
Der Prozentanteil an Wählerstimmen für eine bestimmte Partei ist normalverteilt mit µ = 27 % und
σ = 4.48 %.
a) Erklären Sie, warum die beiden Aussagen: „Partei A erhält mindestens 30 % der Stimmen“ und „Partei A
wird höchstens erhält 24%“ gleichwertig sind.
b) Berechnen Sie, wie wahrscheinlich es ist, dass die Partei A mindestens 28,3% der Stimmen erhält.
c) Interpretieren Sie die folgende Grafik zur Partei A hinsichtlich folgender Fragestellungen:
 Was wird durch die farbige Fläche repräsentiert?
 Wie viel Prozent an Stimmen wird die Partei A erreichen?
Lösung:
a) Mit 24 und 30 handelt es sich um eine symmetrische Verteilung um den Erwartungswert µ.
Die Wahrscheinlichkeiten P ( X ≥ 30) und P(x ≤24) liefern gleich große Wahrscheinlichkeiten, weil die beiden
Flächen (im linken und im rechten Spitz) gleich groß sind.
b) Mit Technologie berechnet: P(X ≥ 28,3) = 38,58%
c) Der markierte Flächenbereich gibt die Wahrscheinlichkeit wieder, gibt den Stimmen-Prozentsatz, den die
Partei A zu erwarten hat. Sie wird höchstens 24% der Stimmen bekommen.
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ABCD Mehlpackung
Bei der Befüllung von Mehlpackungen durch eine Maschine ist die Masse normalverteilt mit Mittelwert
1000 g und Standardabweichung 6 g.
a. Der Produzent möchte eine Garantie geben, dass eine Packung mit zu geringer Füllung
umgetauscht werden kann.
Berechnen Sie, welche Mindestfüllmenge er garantieren sollte, wenn er höchstens ein Prozent an
Reklamationen haben will.
b. Interpretieren Sie mit ungefährer Abschätzung die Grafik zu dieser Befüllung hinsichtlich der
folgenden Fragen und erklären Sie, wie Sie zum Schätzergebnis kommen.
Wie wahrscheinlich sind in einer Packung weniger als 995 g?
Wie wahrscheinlich sind mehr als 1010 g in einer Packung?
Wie wahrscheinlich liegt die Füllmenge zwischen 906g und 1006 g?
Lösung:
.
a) P(X≤x) = 0,01  inverse Normalverteilung  x =986,042
b) Weniger als 995 ca. 20 %: Die eingezeichneten Striche in der Grafik grenzen den 1-sigma-Bereich ab, in
dem sich ca. zu 68 % Wahrscheinlichkeit alle Packungsinhalte befinden.
995 g liegt in der Nähe der unteren Grenze dieses Bereichs. Die Fläche bis 994 g repräsentiert daher
ca. 16 %. 995 g müsste etwas mehr haben  20 %
Mehr als 1010: Liegt innerhalb des 2-Sigmabereichs im rechten Spitz ungefähr bei 95%, daher bleiben ca.
5 %.
Die 3. Frage kann man rasch beantworten. Es handelt sich um den 1 Sigma-Bereich, daher ca. 68%.
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