Ein Induktionsbeweis besteht aus 4 Teilen: 1. der zu

07.08.2017
Aufbau eines Induktionsbeweises
Ein Induktionsbeweis besteht aus 4 Teilen:
1. der zu beweisenden Behauptung
2. der Induktionsbasis
3. der Induktionsvoraussetzung
4. des Induktionsschritts
Induktionsbeweise
Formale Sprachen und Automaten
Thomas Hanneforth
Induktionsbeweise: Induktionsprinzip

Induktionsbeweise werden legitimiert durch das
Induktionsprinzip:
∀P ((P(0) ∧ ∀nℕ (P(n) → P(n+1))) → ∀zℕ P(z) )
Während des Beweises kann von Definitionen
und allen bereits bewiesenen Behauptungen
Gebrauch gemacht werden.
Beispielbeweis: |2M| = 2|M|
Behauptung:
Für alle endliche Mengen M gilt: |2M| = 2|M|
 M.a.W. : für alle endliche Mengen M ist die
Kardinalität ihrer Potenzmenge gleich 2 hoch
die Kardinalität von M.

1
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Beispielbeweis: |2M| = 2|M|


Induktionsbeweis über die Kardinalität von M:
Definition: Mm =def {1,...,m} (mit |Mm| = m)
Wir nehmen also (oBdA) an, dass die Mengen M natürliche Zahlen enthalten.
Dies ist kein Problem, da die Elemente aller endlichen Mengen bijektiv auf
natürliche Zahlen abgebildet werden können.

=⌀
|2⌀| = 2|⌀| = 20 = 1 
 Induktionsbasis: M0
 Induktionsvoraussetzung:
Wir zeigen die Behauptung anhand der Kardinalität
von Mm .
Beispielbeweis: |2M| = 2|M|

Beispielbeweis: |2M| = 2|M|
Induktionsschritt:
wenn die Behauptung für die Menge Mn-1 gilt,
dann gilt sie auch für Mn
wir nehmen an, dass die Behauptung für
die Mengen M0 bis Mn-1 für ein
festgelegtes (aber beliebig gewähltes) n
gelte.
Beispielbeweis: |2M| = 2|M|
Beweis:
Qua Definition der Mengen Mn ist Mn = Mn-1 ⋃ { n }.
Wir beweisen die Korrektheit des Induktionsschritts.
 Instanziierung der allg. Aussage mit Mn :
|2Mn| = 2|Mn| = 2n

(die letzte Gleichheit ergibt sich aus der Def. von Mn)
Wegen Bedeutung der Allquantitifikation in „alle
Mengen M“:
wenn die Behauptung für alle Mengen M gilt, dann gilt
sie insbesondere auch für die Mengen Mn
2
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Beispielbeweis: |2M| = 2|M|
Beispielbeweis: |2M| = 2|M|
Beweisstrategie
Wir formen 2Mn so um, dass wir irgendwann die
Induktionsvoraussetzung anwenden können.
 (i) |2Mn| = | 2Mn-1 ∪ { Z ∪ {n} | Z ⊆ Mn-1} |
 M.a.W.: die Potenzmenge von Mn kann zerlegt
werden in diejenige Teilmengen, die n enthalten
und diejenigen, die das nicht tun.


Da beide Teilmengen der Vereinigung in (i) disjunkt
sind, gilt:
|2Mn-1 ∪ { Z ∪ {n} | Z ⊆ Mn-1} | =
|2Mn-1| + | { Z ∪ {n} | Z ⊆ Mn-1} | =
Wegen Induktionsvoraussetzung und (ii) gilt:

(ii) wenn Mn-1 x Teilmengen hat, dann gibt es x
Mengen, bei denen jeweils jede Teilmenge Z ⊆ Mn-1
um n erweitert wurde)
Man mache sich klar, dass 2Mn-1  2Mn
2|Mn-1| + 2|Mn-1|
Beispielbeweis: |2M| = 2|M|



Wegen Definition von + und ∙ gilt:
2|Mn-1| + 2|Mn-1| = 2 ∙2|Mn-1|
Wegen Definition von Mn gilt: |Mn-1| = n-1
2 ∙2|Mn-1| = 2 ∙2n-1 = 2n
Dies entspricht der rechten Seite der zu beweisenden
Behauptung. 
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