Budapester Wirtschaftshochschule Fakultät für Handel, Gastronomie

Budapester Wirtschaftshochschule
Fakultät für Handel, Gastronomie und Tourismus
Studiengang Tourismus und Hotel Management
STATISTIK AUFGABEN 2010/2 LÖSUNGEN
1.
Wir haben die Einkommen von 10 kleinen Firmen (aus insgesamt 1500) (in TEu) und 10
große Firmen (aus insgesamt 50) (in MEu).
Werte der kleinen Firmen 20 15 30 41 21 52 31 27 10 12
Werte der großen Firmen 57 69 111 87 659 87 94 651 117 250
a/
Geben Sie Schätzungen für die Erwartungswerte des Einkommens in den Gruppen und
für den Erwartungswert der ganzen Grundgesamtheit.
b/
Setzen wir voraus, daß die Daten der kleinen / großen Firmen (getrennt) je einer
Normalverteilung folgen, deren Standardabweichung für kleine Firmen 25T€ und für große
Firmen250 mio € beträgt. Schätzen Sie deren Parameter und schätzen Sie daraus die
Wahrscheinlichkeit, dass
b1/ eine zufällig ausgewählte Firma ein Einkommen unter 10 Tausend Euro hat
b2/ eine zufällig ausgewählte Firma ein Einkommen über 100 Millionen Euro hat
c/
Berechnen Sie die Streuung von unser Schätzungen für die Erwartungswerte des
Einkommens in den Gruppen.
Lösung: a/ Die Schätzung für den Erwartungswert ist das arithmetische Mittel.
Die Schätzung für den Erwartungswert ist das arithmetische Mittel.
20  15  30  41  21  52  31  27  10  12
 25.9 (T€)
für kleine Firmen: x 
10
für große
57  69  111  87  659  87  94  651  117  250
 218.2 (M€)
Firmen x 
10
1500
50
 25.9 
 218200  7063.77 (T€)
für die gesamte Stichprobe:
1550
1550
b1/ Es kann nur eine kleine Firma sein. P=P(X<10)=P((X-25.9)/25<(10-25.9)/25)=
Ф(10-25.9)/25)=0,262 für kleine Firmen, also insgesamt P=0,262*1500/1550=0,254
b1/ Es kann nur eine große Firma sein. P=P(X>100)=1-P((X-218.2)/250<(100218.2)/250)= 1-Ф(100-218.2)/250)=0,682 für große Firmen, also insgesamt
P=0,682*50/1550=0,022
c/ Die Standardabweichung die Erwartungswert ist D ( x)   / n .
für kleine Firmen: D( xk )  25 / 10  7.906 (T€)
für große Firmen: D( x g )  250 / 10  79.06 (M€)
Korrigierte Standardabweichung mit der Hilfe der Größe der Grundgesamtheit ist
 N n
D( x) 
n N 1
für kleine Firmen: D( x k ) 
25  1500  10
 7.882 (T€)
10  1500  1
250  50  10
für große Firmen: D( x g ) 
 71.429 (M€)
10  50  1
2.
a/
b/
c/
d/
Wir haben die Ergebnisse (Punkte) von fünf Studenten in einer Klausur 80, 47, 73, 58, 67.
Schätzen Sie das durchschnittliche Ergebnis in der Klasse!
Geben Sie eine Schätzung für die Streuung der erreichten Punktzahl!
Berechnen Sie die Standardfehler unseres Schätzer von Punkt a/
Wie verändert sich die Antwort in c/, wenn wir wissen, dass die Standardabweichung der
Ergebnisse 15 Punkte ist?
Lösung:
a/
xbar=(80+47+73+58+67)/5=65 Punkte
b/
c/
d/
Sigmadach=sqrt(((80-65)^2+ (47-65)^2+ (73-65)^2+ (58-65)^2+ (67-65)^2)/4)=12,9
Punkte.
Standardfehler=Sigmadach/sqrt(5)=5,77 Punkte
Standardfehler=15/sqrt(5)=6,71 Punkte
3.Aufgabe
Welche Daten/Verteilungen sind Linkssteil, Rechtssteil oder symmetrisch?
Monatseinkommen in einer Firma: Linkssteil
Durchschnittstemperaturen in Budapest am 17. September: symmetrisch
Die größte Zahl an einer Lottoziehung: rechtssteil
Normalverteilung: symmetrisch
Chi-Quadrat Verteilung : Linkssteil
Binomialverteilung (Anzahl der Ereignisse aus n Versuche), n=20, p=0.25, p=0.5, p=0.75
linkssteil, symmetrisch, rechtssteil
4. Betrachten wir 2 Länder, in denen 2008 der Markt der Lebensmittelgroßhändler wie folgt
verteilt war. Untersuchen Sie die Konzentration des Marktes für beide Länder, durch den
Herfindahl-Index.
Handelfirma
X
Y
Z
W
Land A
Verkaufte Wert (MFt)
100
100
300
500
Handelfirma
Q
R
S
T
Land B
Verkaufte Wert (MFt)
200
200
300
300
Welche zwei Firmen sollen fusionieren um die größte Konzentration zu erreichen?
Lösung
H = Σ pi2
Land A
Verkaufte Wert
pi
(MFt)
100
0.1
100
0.1
300
0.3
500
0.5
Summe:1000
H=0.36
Land B
Verkaufte Wert
pi
(MFt)
200
0.2
200
0.2
300
0.3
300
0.3
Summe:1000
H=0.26
In beiden Ländern sollen die zwei größten Firmen fusionieren.
4. Aufgabe
Wir haben die folgende Punktverteilung der Statistikklausur in 2006:
Punkten
Anzahl
20- b.u. 30
12
30-b.u. 40
17
40-b.u. 50
10
50-60
4
a/
Berechnen Sie das arithmetisches Mittel und die Standardabweichung für die
Punkte der Klausur!
b/
Berechnen Sie die 10%, 25%, 50%, 75% und 90% Quantile für die Punkte (mit
der Hilfe der originalen Daten und der Normalverteilung)!
Xbar=36.4
б=9.41
Normalverteilung:
Punkten ~ N(36.4,9.4)
Quantilen:
Mit der Hilfe der originalen Daten:
z0.1=x5=25 (oder genauer: 20+(5-1)*10/11=23.6)
z0.25=x11=25 (oder genauer: 20+(11-1)*10/11=29.1)
z0.5=x22=35 (oder genauer: 30+(10-1)*10/16=35.6)
z0.75=x33=45 (oder genauer: 40+(6-1)*10/9=45.6)
z0.9=x39=45 (oder genauer: 40+(10-1)*10/9=50)
Mit der Hilfe der Normalverteilung:
X 0.1 =Ф-1(0.1)*9.41+36.4=24.3
X 0.25 =Ф-1(0.25)*9.41+36.4=30.1
X 0.5 =Ф-1(0.5)*9.41+36.4=36.4
X 0.75 =Ф-1(0.75)*9.41+36.4=42.7
X 0.9 =Ф-1(0.9)*9.41+36.4=48.4