Klasse 9

Klasse 8
Kapitel 1: Terme und Gleichungen Wiederholung
Terme und Gleichungen wurden bereits in Klasse 7, Kapitel 4 ausführlich behandelt. Wegen der besonderen
Bedeutung für alle folgenden Jahrgangsstufen werden hier noch einmal die wichtigsten Teile knapp wiederholt.
Die gezielte Diagnose von Kenntnislücken wird durch die Anlage der Übungen ermöglicht.
1. Terme und lineare Gleichungen
Die beiden ersten Übungen des Abschnitts 1.1 behandeln das Aufstellen von Funktionsvorschriften (linearen
Termen), an die sich die Aufstellung einer linearen Gleichung und deren Lösung anschließt. Die Übungen
sollen unter anderem noch einmal die enge Verflechtung von Funktionen- und Gleichungslehre verdeutlichen.
Übung 3 kontrolliert die sichere Verfügbarkeit von Lösungsverfahren für lineare Gleichungen. Dabei können
alle Einzelschritte kontrolliert werden . Die Auswahl und Reihenfolge der Einzelschritte bleiben dem
Übenden überlassen. Ob er also z.B. zwecks Vermeidung von Brüchen zuerst beide Seiten einer Gleichung
mit einer passend gewählten Zahl multipliziert oder mit Brüchen rechnen will, bleibt ihm überlassen.
Abschnitt 1.1 Übung 3
Die Aufgabe ermöglicht eine gezielte Feststellung, an welchen Stellen noch eventueller Wiederholungsbedarf
besteht.
2. Das Distributivgesetz und die binomischen Formeln
Die 5 Übungen dieses Abschnitts behandeln das Ausmultiplizieren und Faktorisieren mithilfe des
Distributivgesetzes bzw. mithilfe der aus ihnen leicht herleitbaren binomischen Formeln. Geschicktes Lösen
von Gleichungen durch Faktorisieren wird dabei integrativ berücksichtigt.
Alle 5 Übungen ermöglichen die Kontrolle von Einzelschritten und können somit zu einer gezielten Diagnose
von Kenntnislücken oder Verständnisschwierigkeiten genutzt werden.
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Abschnitt 1.2 Übung 3
Abschnitt 1.2 Übung 4
Kapitel 2: Lineare Funktionen
1. Zur Konzeption und zur Terminologie
Vom wissenschaftlichen Sprachgebrauch her sind lineare Funktionen als Spezialfall linearer Abbildungen
Funktionen, deren Vorschrift sich in der Form x  m·x angeben lässt. Funktionen des vorliegenden Kapitels,
deren Vorschriften sich in der Form x  m·x + b angeben lassen, würde man dann als affine Funktionen
bezeichnen.
Es werden hier (der üblichen Terminologie der Schule folgend) unter linearen Funktionen solche des zweiten
Typs verstanden, zumal diese Bezeichnung auch aus Schülersicht wegen der Graphen suggestiv ist.
Zumindest Funktionen des ersten Typs sind den Schülern bereits aus der Klasse 7 (Proportionalitäten) bekannt,
dort allerdings unter etwas anderen Akzentsetzungen. Obwohl der Begriff „Steigung“ auch dort in Form des
Proportionalitätsfaktors implizit auftritt, wird er nicht weiter thematisiert. In Klasse 8 gewinnt er dagegen
zusammen mit seiner geometrischen Interpretation einen erheblichen Stellenwert. Er wird zu dem
Wachstumsfaktor, der zu beliebigen Zuwächsen des x- Wertes den Zuwachs der Funktionswerte liefert.
Ein gewisses fachdidaktisches Problem bildet die „Geradlinigkeit“ der Graphen der untersuchten Funktionen.
Dabei soll das Problem, dass noch in Q gearbeitet wird, ausgeklammert werden. Aber auch unabhängig davon
ist „Geradlinigkeit“ für die Schüler zunächst ein geometrischer Begriff, dessen algebraische Charakterisierung
nicht unmittelbar klar ist.
Rein fachlich erscheint es als gangbarer Weg, die folgende Definition zu treffen: Eine Punktmenge M in einem
Koordinatensystem liegt genau dann auf einer nicht parallel zur Hochachse verlaufenden Geraden, wenn die
Steigung zwischen zwei beliebigen Punkten aus M stets den gleichen Wert liefert.
Natürlich wird man diese Vereinbarung (Definition), die mehr „Hinterkopfwissen“ des Unterrichtenden
darstellt, nicht in dieser Form Schülern vermitteln (können). Die Definition wird im Unterricht eher als
anschaulich naheliegender Erfahrungssatz gewonnen werden können. Diesem Zweck dient insbesondere
Übung 4 in Abschnitt 2.1.4.
2. Sequentierung
Die Übungen in dem Programm sind grob gesehen nach dem Konzept „vom Einfachen zum Komplizierteren“
angeordnet. Dies wirft die Frage nach der Alternative problemorientierter Zugänge auf.
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Abschnitt 2.3 Übung 4
Abschnitt 2.3 Übung 5
Als diskussionswürdig könnte man hier Übung 4 oder Übung 5 in Abschnitt 2.3.3 nennen. Der „richtige“
Zeitpunkt eines Einstiegs mit einer der Aufgaben lässt sich schwer benennen, da er deutlich vom
Leistungsvermögen und den Voraussetzungen der Lerngruppe abhängt. Wenn etwa aufgrund der
Vorkenntnisse aus Klasse 7 bereits vermutet werden kann, dass eine Funktion mit geradlinigem Graphenverlauf
durch eine Vorschrift der Form x  mx + b angegeben werden kann, kann man sich sogar einen unmittelbaren
Einstieg mit dieser Aufgabe vorstellen: Nach der Spiegelung kann dann der Wert von b leicht gefunden werden,
und der Wert für m ergibt sich (ohne schon von Steigung zu reden) aus dem zweiten Graphenpunkt.
Abschnitt 2.3 Übung 8
3. Gleichungslösen und lineare Funktionen
Gleichungslösen und Untersuchung von Funktionsgraphen auf Schnittpunkte bzw. Untersuchung einer
Funktion auf Nullstellen stehen in einem engen, fruchtbaren Zusammenhang, der besonders deutlich wird,
wenn Gleichungen gelöst werden müssen, für die kein elementares Auflösungsverfahren existiert (vgl. das
Programm Anwendungen der Analysis, Kapitel 2).
Es ist jedoch auch bei der elementaren Behandlung linearer Gleichungen nützlich und hilfreich, die funktionale
Sichtweise zu akzentuieren, zumal Anwendungsaufgaben praktisch immer in einem engen Zusammenhang zu
Funktionen und ihren Eigenschaften stehen. Die Übungen in Abschnitt 2.3 machen dies an vielen Stellen
deutlich (vgl. etwa Übung 8 in Abschnitt 2.3.5, jedoch auch die bereits oben genannten Übungen 4 und 5 im
Abschnitt 2.3.3).
Kapitel 3: Lineare Gleichungssysteme
1. Konzeption
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Die Behandlung linearer Gleichungssysteme schließt sich problemlos an die Behandlung linearer Funktionen
an. Die Lösungen einer linearen Gleichung in 2 Variablen liefern (bis auf triviale Ausnahmen) den Graphen
einer linearen Funktion, so dass sich das Lösen eines Gleichungssystems in zwei Variablen auf die im Rahmen
der linearen Funktionen bereits behandelte Schnittpunktproblematik zurückführen lässt. Das
Gleichsetzungsverfahren bildet daher einen natürlichen Zugang (vgl. Abschnitt 3.2.1).
Das Kapitel beginnt mit dem Begriff der Lösung und der grafischen Darstellung der Lösungsmenge einer
linearen Gleichung in zwei Variablen. Für einen problemorientierten Unterrichtseinstieg kann abweichend
von der Systematik der Software Übung 4 in Abschnitt 3.1.3 gewählt werden. Die Übung eignet sich für einen
unmittelbaren Einstieg in die Erarbeitung des Begriffs „Lösung einer Gleichung in zwei Variablen“. Zugleich
wird durch sie das weitere Vorgehen (Lösung linearer Gleichungssysteme in zwei Variablen) zielgerichtet
vorbereitet.
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Abschnitt 3.1 Übung 4
Abschnitt 3.2 Übung 2
Für eine problemorientierte Einführung des Gleichsetzungsverfahrens eignet sich Übung 2 in Abschnitt 3.2.2.
Das anschließend behandelte Einsetzungsverfahren erhält seine Berechtigung auch dadurch, dass es vor allem
bei der Lösung nicht linearer Systeme das adäquate Verfahren ist. Entsprechende Aufgaben sind daher auch in
Übung 3 vereinzelt integriert worden. Das Additionsverfahren (Übung 4) gewinnt seine eigentliche Bedeutung
erst im Zusammenhang mit dem Gaußalgorithmus.
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Abschnitt 3.2 Übung 3
Abschnitt 3.2 Übung 4
2. Anmerkung zu Textaufgaben
Manche Textaufgaben zu zwei Gleichungen mit zwei Variablen sind wenig typisch, da die beiden Variablen
nicht „gleichberechtigt“ auftreten, etwa weil sie in einem funktionalen Zusammenhang stehen. So könnte man
etwa Übung 8 aus Abschnitt 1.2.5 mit den beiden Variablen t und s notieren, aber diese Interpretation ist etwas
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unnatürlich. Eher passt die Aufgabe zum Thema „Schnittpunktbestimmung bei linearen Funktionen“. Auch in
vielen Zahlenrätseln fungiert die zweite Variable nur als Gedächtnisstütze, so etwa wenn der Text mit der
Aussage beginnt, dass sich zwei unbekannte Zahlen um 2 unterscheiden.
In einem typischen Beispiel treten die Variablen gleichberechtigt nebeneinander auf. Ohne darüber reden zu
müssen liegen solchen Beispielen lineare Funktionen in zwei Variablen zugrunde. Entsprechende Typen finden
sich in den Übungen Übung 2 und 3 in Abschnitt 3.3.2 .
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Abschnitt 3.3 Übung 2
Abschnitt 3.3 Übung 3
3. Tests und Diagnoseaufgaben
Abschnitt 3.6 enthält 2 Tests zu linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen, die sich lediglich im
Schwierigkeitsgrad unterscheiden.
In Abschnitt 3.7 wird zwei Tests mit Fehlerdiagnose angeboten. Die Umformungsschritte werden dabei
einzeln kontrolliert und kommentiert.
Zu beachten ist, dass normalerweise jeder Umformungsschritt zu zwei neuen Gleichungen führt. Ausnahme ist
der Fall, dass zwei äquivalente Gleichungen vorgegeben sind. In diesem Fall reicht es, eine (umgeformte)
Gleichung einzutragen.
Die einzelnen Umformungsschritte werden grafisch begleitet. Korrekte Umformungen zeigen sich darin, dass
sich die Schnittmenge zweier Geraden nicht ändert. Im Falle der eindeutigen Lösbarkeit bedeutet das, dass
die Umformungen die darstellenden Geraden ändern, aber der Schnittpunkt nach jeder Umformung unverändert
bleibt. Die geometrische Darstellung dient der zusätzlichen Verständnissicherung.
Die beiden Diagnoseübungen unterscheiden sich dadurch, dass in der ersten die Gleichungssysteme vorgegeben
werden und in der zweiten beliebige Gleichungssysteme eigenständig eingegeben werden können. Ob ein
lineares Gleichungssystem vorliegt, wird nach Übernahme des Systems geprüft.
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Eine fachliche Bemerkung:
Man könnte einwenden, dass es problematisch ist, die Lösungsmenge bei Vorgabe zweier äquivalenter linearer
Gleichungen als Gerade zu bezeichnen. Abgesehen davon, dass aus Schülersicht hier kein Problem vorliegt,
kann man natürlich auch fachlich korrekt von einer Geraden in QxQ sprechen.
Kapitel 4: Bruchgleichungen und Bruchterme
1. Konzeption
Das vorliegende Kapitel ist in vieler Hinsicht nicht ganz einfach. Zum ersten Male begegnen den Schülern
ernsthaft Fragestellungen, die eine besondere Berücksichtigung des zugrunde liegenden maximalen
Definitionsbereichs verlangen.
Sicherer Umgang mit Bruchtermen ist insbesondere mit Blick auf die SII unverzichtbar (Umformungen von
Differenzenquotienten, Beweis einiger Ableitungsregeln).
Bruchterme sind Funktionsvorschriften für gebrochen rationale Funktionen. Es ist gerade der funktionale
Aspekt der dabei hilft, in den Gegenstand „Bruchterme“ zumindest stellenweise interessante Problemstellungen
zu integrieren. Übung 2 in Abschnitt 4.4.2 macht dies deutlich. Insbesondere liegt es nahe, am Beginn des
Kapitels einfache gebrochen rationale Funktionen zu behandeln. Die dort gewonnenen Kenntnisse werden in
Übung 4, Abschnitt 4.2.3 zur Veranschaulichung der Lösungsmengen einfacher Bruchgleichungen
herangezogen.
Eine wichtige Rolle spielt in diesem Kapitel der Begriff Hauptnenner. Im Unterschied zur Bruchrechnung ist
dieser nur bis auf einen Zahlenfaktor  0 bestimmt. Die Verwendung des bestimmten Artikels bei dem Begriff
Hauptnenner ist in diesem Sinne zu verstehen.
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Abschnitt 4.4 Übung 2
Abschnitt 4.2 Übung 4
2. Einfache gebrochen-rationale Funktionen
Es geht in Abschnitt 4.1 um Funktionen, die durch Vorschriften der Form
x
a
c
xb
definiert werden können. Die Kenntnis, wie Parameteränderungen sich auf die Graphen auswirken können, ist
wichtig für die Schulung funktionalen Denkens. Das mitgelieferte Programm zum Zeichnen von
Funktionsgraphen mit stetig veränderlichen Parametern kann hier zu weiterem „Experimentieren“
herangezogen werden.
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3. Bruchgleichungen
Abschnitt 4.2, Übung 4 behandelt einfache Bruchgleichungen. Um die wichtige Verbindung von
Gleichungslösen und Funktionsuntersuchung zu stützen, wird die Lösung zugleich als Nullstellenproblem
interpretiert.
Bei Bruchgleichungen wird der Bereich der Äquivalenzumformungen zur Ermittlung der Lösungsmenge
verlassen: Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner und anschließendes Kürzen ändert sich im
Allgemeinen der (maximale) Definitionsbereich der Gleichung. Zur umgeformten Gleichung können Lösungen
hinzukommen, allerdings höchstens Nennernullstellen der Ausgangsgleichung. Die endgültige Entscheidung
über die Lösungsmenge wird durch eine Nennerprobe getroffen (vgl. die Lernseite 4.2.4).
4. Anwendungen
Abschnitt 4.4 enthält Anwendungen/Problemaufgaben zu Bruchtermen bzw. Bruchgleichungen. Übung 1 hat
lediglich einführenden Charakter. Übung 2 ist interessant, anspruchsvoll und lehrreich. Die Arbeit mit
konkreten Zahlen liefert neben einer Hilfe zur Auffindung der Funktionsvorschriften (Bruchterme) die
Vermutung, welcher der beiden Wege immer mehr Zeit beansprucht. Durch die Simulation wird die Vermutung
weiter gestützt und zumindest im Falle fast gleicher Geschwindigkeiten u und v verständlich. Ein Nachweis der
Vermutung kann allerdings nur über eine Rechnung mit Variablen erfolgen. Die Wahl dieses Rechenweges
erfolgt über den entsprechend beschrifteten Button. Übung 3 schließt inhaltlich an Übung 2 an und zeigt im
Rahmen von Anwendungsaufgaben den engen Zusammenhang zwischen Funktionen und Gleichungen. Die
Übungen von Abschnitt 4.4 lassen sich auch in die vorhergehenden Abschnitte integrieren.
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Abschnitt 4.4 Übung 1
Abschnitt 4.4 Übung 3
5. Tests und Diagnoseaufgaben
Der Abschnitt 4.6 bietet bewertete Test zu gebrochen rationalen Funktionen und zu Bruchgleichungen an. In
Abschnitt 4.7 können Termumformungen vorgenommen werden und Bruchgleichungen gelöst werden, wobei
die Umformungsschritte kontrolliert werden. Bei der Bearbeitung von Bruchgleichungen lernen die Schüler
zum erstenmal ein Lösungsverfahren kennen, in dem der enge Bereich der Äquivalenzumformungen verlassen
wird.
Prinzipiell ist es zwar möglich, sich auf Äquivalenzumformungen (d.h. Umformungen, welche die
Lösungsmenge nicht ändern) zurückzuziehen, indem man vorab den Definitionsbereich der jeweiligen
Gleichung bestimmt und sagt, dass sich die Umformungen auf diesen Bereich beziehen. Aber zwei Gründe
sprechen gegen ein solches Vorgehen:
1. Da sich die Lösungsmenge durch die beiderseitige Multiplikation mit dem Hauptnenner der Gleichung
höchstens um Nennernullstellen vergrößern kann, ist es in der Regel etwas einfacher, am Schluss eine
Nennerprobe vorzunehmen als vorab den Definitionsbereich zu bestimmen.
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2. Es ist ohnehin wichtig zu erfahren, dass es beim Gleichungslösen wichtig sein kann, den Bereich der
Äquivalenzumformungen zu verlassen. Ein typisches Beispiel sind Wurzelgleichungen (Klasse 9).
Bei einfachen Bruchgleichungen der Form
ax  b ex  f

cx  d gx  h
ist bei Schülern das „kreuzweise Ausmultiplizieren“ beliebt.
Das Verfahren kann zu Problemen führen:
2x  4
3x

x  1 2  2x
liefert beispielsweise nach diesem Verfahren die quadratische Gleichung (2x-4)(2-2x) = 3x(x-1), welche zu 7x²
-15x +8 = 0 vereinfacht werden kann. Für diese Gleichung liegt in Klasse 8 kein Lösungsverfahren vor.
Multipliziert man jedoch beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner (2-2x) und kürzt man anschließend,
so ergibt sich eine lineare Gleichung mit der Lösung 8/7, die wiederum keine Nennernullstelle ist. Somit folgt:
L = {8/7}.
Ergänzung:
Die quadratische Gleichung 7x² -15x +8 = 0 besitzt die Lösungen 1, und 8/7. Das „kreuzweise
Ausmultiplizieren“ hat also zu einer Vergrößerung der Lösungsmenge um die Nennernullstelle geführt.
Kapitel 5: Geometrie
1. Zur Konzeption
Es wird in dem Kapitel die in Klasse 7 begonnene „klassische Kongruenzgeometrie“ fortgesetzt, d.h. die
beweistechnischen Grundlagen werden durch die Kongruenz- und Winkelsätze gebildet.
Die Konstruktionen können statt mit Zirkel und Geodreieck auch mithilfe des mitgelieferten
Zeichenprogramms durchgeführt werden. Es ist in seiner Konzeption den genannten Zeichengeräten
nachempfunden.
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Zusatzprogramm: Zeichenblatt
Das Zusatzprogramm „Zeichenblatt“ liefert auch die Möglichkeit, dynamische Geometrie im Rahmen der
Dreieckslehre und Kreislehre zu betreiben. Konkrete Anregungen dazu finden sich in der
Bedienungsanleitung (Symbol „Buch mit Fragezeichen“ anklicken).
2. Linien im Dreieck
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Seitenhalbierende
Neben der Schnittpunkteigenschaft sind die Seitenhalbierenden in einem Dreieck auch insofern von Interesse,
als sie durch ihren Schnittpunkt den Schwerpunkt eines Dreiecks festlegen. Der elementargeometrische
Nachweis der Schnittpunkteigenschaft ist nicht gerade einfach und wird hier übergangen. Dagegen wird in
Übung 1 von Abschnitt 5.1.1 die Schwerpunkteigenschaft anschaulich konstruktiv herausgearbeitet. Die
Gedankenführung liefert nebenbei gewissermaßen ein „physikalische Argument“ für die
Schnittpunkteigenschaft. Einzelheiten ergeben sich aus den Ausführungen auf der Lernseite 5.1.1 zusammen
mit der Übung.
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Abschnitt 5.1 Übung 1
Höhen
Die Einführung erfolgt in Übung 7 , Abschnitt 5.1.4 anhand einer Anwendungssituation. Der Beweis der
Schnittpunkteigenschaft wird in der nachfolgenden Übung 8 erarbeitet, wobei die Idee des
„Parallelenzeichnens“ vorgegeben wird. Die überraschende Erkenntnis in dem Beweis liegt darin, dass die
Fortsetzungen der Höhen in einem neuen Dreieck als Mittelsenkrechte interpretiert werden können und damit
der Beweis der Schnittpunkteigenschaft auf einen bereits bekannten Satz zurück geführt wird.
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Abschnitt 5.1 Übung 7
Abschnitt 5.1 Übung 8
Die Einführung von Höhen in einem Dreieck bildet eine unverzichtbare Voraussetzung für die in Abschnitt 5.4
behandelte Flächenlehre.
3. Winkelsätze am Kreis
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Abschnitt 5.2 behandelt den Satz des Thales und danach den Peripherie-Winkelsatz. Ersterer ist zwar ein
Spezialfall des zweiten Satzes, wird aber unabhängig von letzterem erarbeitet. Der Satz des Thales tritt
allerdings auch in dem Programm zur Klasse 7 auf.
Die Einführung des Peripherie-Winkelsatzes kann über die Übungen 2 und 3 erfolgen. Die dynamische
Simulation in Übung 3 stützt noch einmal die Vermutung, diese liefert jedoch noch keine Beweisidee. Diese
wird in Analogie zum Beweis des Thalessatzes ebenfalls in Übung 3 erarbeitet.
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Abschnitt 5.2 Übung 2
Abschnitt 5.2 Übung 3
Die beiden Übungen 4 und 5 liefern interessante Anwendungen des Peripherie-Winkelsatzes.
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Abschnitt 5.2 Übung 4
Abschnitt 5.2 Übung 5
Wenngleich der Peripherie-Winkelsatz im Rahmen eines Geometriecurriculums nicht zu den unverzichtbaren
Gegenständen zählen sollte, erfährt seine Behandlung eine Legitimation durch lehrreiche Beweisstrategien und
interessante nichttriviale Anwendungen wie in den Übungen 4 und 5.
5. Flächen - und Volumenberechnungen
Die Herleitung der Berechnungsvorschriften für Dreiecks- und Parallelogrammflächen folgt zunächst gängigen
Konzepten. Lehrreich sind unabhängig davon die alternativen z.T. dynamisch gestützten Zugänge in Übung 7
von Abschnitt 5.4.4.
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Abschnitt 5.4 Übung 7
Abschnitt 5.5 Übung 3
Volumenberechnungen beziehen sich auf Prismen. Die Übungen zeigen überzeugend, wie die spezifischen
Möglichkeiten des Computers bei der Veranschaulichung (in Übung 3, Abschnitt 5.5.3 auch dynamisch)
genutzt werden können
Kapitel 6: Reelle Zahlen
1. Grundlegende Probleme
Die Einführung der reellen Zahlen ist im Rahmen der Schulmathematik ein letztlich nicht zufriedenstellend
lösbares Problem. Eine auch nur halbwegs vollständige Einführung ist wegen der vielen grundlegenden
Probleme nicht möglich. Selbst die Hochschule verzichtet in den Analysisvorlesungen auf eine konstruktive
Einführung trotz der Kritik Hilberts, man ziehe damit den Diebstahl der ehrlichen Arbeit vor.
Die Folge ist, dass sich auch das vorlegende Programm diesbezüglich zurückhält. Reelle Zahlen werden als
nicht notwendig periodische Dezimalentwicklungen eingeführt. Eine Definition der Rechenoperationen wird
in Abschnitt 4.3, Übung 4 ansatzweise angesprochen, wobei man sich darüber im Klaren sein sollte, dass auf
diese Weise keine konstruktive Lösung des Problems möglich ist: Es scheitert daran, dass es möglich ist, dass
Neunersequenzen auftreten können, von denen konstruktiv nicht entschieden werden kann, ob sie endlich oder
unendlich sind.
Beispiel: 1.414213... + 0.585786... = 1.999999...
In diesem Fall wurde der erste Teil der Dezimaldarstellungen von 2 und 2 - 2 gewählt, so dass klar ist, dass
auch eine Weiterführung immer weitere Neunen liefern würde. Wenn man allerdings nicht die Herkunft der
Sequenzen kennen würde, wäre nie bekannt, ob nicht irgendwann ein durchlaufender Übertrag auftritt.
Eine Lösung dieser Problematik auf der Grundlage nichtkonstruktiver Existenzpostulate würde andererseits den
Rahmen der SI-Mathematik sprengen.
2. Stellung im Rahmen des Gesamtcurriculums
Im Rahmen der SI- Schulmathematik werden reelle Zahlen je nach Sequentierung der Unterrichtsinhalte bei der
Behandlung quadratischer Gleichungen oder beim Satz des Pythagoras benötigt. Da quadratische
Funktionen auch im Zahlenbereich Q erarbeitet werden können, besteht in der Software ohne irgendeine
Schwierigkeit die Möglichkeit, dass erste Kapitel Klasse 9 auch vor diesem Kapitel zu bearbeiten.
Die Einführung der Reellen Zahlen wird naheliegend über das Messbarkeitsproblem von Quadratdiagonalen
eingeführt.
3. Motivation der Einführung
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Das Problem, eine sinnvoll ermittelte Maßzahl für die Längen gewisser Quadratdiagonalen angeben zu können,
bildet eine sinnvolle Motivation zur Einführung neuer Zahlen. Wie man z.B. für „die Länge der Diagonalen
im Einheitsquadrat“ dadurch zu einer beliebig genauen Dezimalentwicklung und zugleich zu einer
Positionierung auf der Zahlengeraden gelangt, wird durch Übung 1 in Abschnitt 6.1 erarbeitet. Dass sich bei
der Dezimalentwicklung nie eine Periode ergibt, wird zunächst nur mitgeteilt. Eine Begründung wird in
Abschnitt 6.3 nachgeliefert.
Übung 1 in Abschnitt 6.1 ist so angelegt, dass die Interpretation der gesuchten Zahl als Maßzahl der
Diagonalen im Einheitsquadrat in den Hintergrund tritt. Vielmehr erscheint 2 sogleich als Seitenlänge eines
Quadrats, dessen Flächenmaßzahl sich elementargeometrisch (Nutzung der Additivität des Flächenmaßes)
angeben lässt. Entsprechendes gilt für die weiteren Zahlenbeispiele.
Übung 2 knüpft an Übung 1 an: Das Berechnungsverfahren lässt sich sofort übertragen. Die Aufgabe geht
davon aus, dass es „natürlich“ auch Quadratflächen mit den Maßzahlen 3, 5 usw. gibt. Prinzipiell hat die
geometrische Interpretation in Übung 2 für die Bearbeitung keine Relevanz, aber es soll doch noch die
Verbindung zu Übung 1 (daher der nochmalige Start mit 2) beibehalten werden. Außerdem liefert die Übung
wie Übung 1 eine schöne dynamische Veranschaulichung des Vorgehens.
Die Übungen 3 – 8 sind weitgehend formal. Anwendungen der Berechnung von Wurzeln liefert Übung 9. Sie
kann natürlich auch früher, prinzipiell nach Übung 3 bearbeitet werden.
Abschnitt 6.1 Übung 1
Abschnitt 6.1
Übung 9
4. Wurzelberechnungen
Übung 1 in Abschnitt 6.2 greift noch einmal das Intervallschachtelungsverfahren auf. Dass dabei als
Anschauungsstütze Parabeln herangezogen werden, dürfte kein Problem bedeuten. Eine informelle Klärung
wird hier reichen.
Übung 2 behandelt das Heron -Verfahren, welches auf einer elementargeometrischen Grundlage entwickelt
wird: Schrittweise Approximation einer Quadratfläche vorgegebener Maßzahl durch Rechteckflächen.
Das Heron – Verfahren zeigt eine hohe Konvergenzgeschwindigkeit (in der numerischen Mathematik spricht
man von quadratischer Konvergenz). Seine Behandlung ist auch geeignet, Schüler anhand eines naheliegenden
Problems an Grenzwertvorstellungen heranzuführen (Propädeutik des Grenzwertbegriffs).
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Abschnitt 6.2 Übung 1
Abschnitt 6.1 Übung 2
5. Vertiefungen
Vertiefungen im Zusammenhang mit den reellen Zahlen finden sich in Abschnitt 6.3. Es wird insbesondere in
den Übungen 1 und 2 erarbeitet, dass es in Q keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat eine Primzahl ist.
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Abschnitt 6.3 Übung 1
Abschnitt 6.3 Übung 2
Dass es im mengentheoretischen Sinn „viel mehr irrationale als rationale Zahlen“ gibt, kann natürlich im
Unterricht der SI nicht geklärt werden. Übung 3 verfolgt vordergründig nur das Ziel,
Argumentationsfähigkeit im Zusammenhang mit den Fragen nach rational bzw. irrational zu fördern. Wenn
man will, kann man die Begründungsverfahren im Zusammenhang mit Aufgabe 3 auch auf der
Hausaufgabenseite 6.4.2 nutzen um zu zeigen, dass zwischen zwei verschiedenen
Kapitel 7: Kreise und Zylinder
1. Konzeption
Kreisfläche, Kreisumfang, Zylinder, Kegel und Kugel wurden bis vor einigen Jahren zumeist in der
Jahrgangsstufe 10 behandelt. Sie lieferten durch die erforderlichen Grenzprozesse einen wichtigen Beitrag zur
Propädeutik des Grenzwertbegriffs.
Der Grund für die späte Behandlung lag unter anderem darin begründet, dass die rechnerischen
Approximationsverfahren nicht ohne Verfügbarkeit des Satzes vom Pythagoras möglich war.
Das in der Software vorhandene Kapitel auf dieser Grundlage soll auch in der weiteren Entwicklung
beibehalten werden.
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Wenn nun der Kernlehrplan die frühere Behandlung fordert, muss man zumindest die Kreiszahl pi nach
irgendeinem experimentellen (messenden) Verfahren näherungsweise ermitteln.
Im Unterschied zu der Behandlung in der Jahrgangsstufe 10 wird jetzt der Weg „vom Kreisumfang zur
Kreisfläche“ gewählt. Hauptgrund ist der einfache problemorientierte Zugang verbunden mit einem wenig
aufwändigen Messverfahren (Abschnitt 7.1, Übung 1). Die Berechnungsvorschrift für die Kreisfläche lässt
sich dann (ohne Pythagoras) begründen, was in Übung 5, Abschnitt 7.1.4 auf der Grundlage einer
naheliegenden Anwendungsaufgabe (vgl. auch Übung 1) geschieht.
Abschnitt 7.1 Übung 1
Abschnitt 7.1
Übung 5
2. Problem- und Anwendungsaufgaben
In der Kreislehre bieten sich zahlreiche Problem- und Anwendungsaufgaben an. Besonders erwähnenswert sind
die Übungen 3, 10 und 11.
Übung 3 behandelt eine Aufgabe, in der es sinnvoll ist, die Schüler zunächst das Ergebnis schätzen zu lassen.
Die Berechnung liefert dann ein sehr überraschendes Resultat. Natürlich bietet es sich an, in diesem Fall den
tieferen Hintergrund zu suchen. Er liegt in der Proportionalität von Radius und Umfang eines Kreises.
Diese wird auf dem Hintergrund des überraschenden Ergebnisses in Übung 4 thematisiert. Wegen der
Proportionalität gehören zu gleichen Zuwächsen des Umfangs (in der Übung 3: 1 m) stets gleiche Zuwächse
des Radius, unabhängig davon, wie groß der Kreis ist.
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Abschnitt 7.1 Übung 3
Abschnitt 7.1
Übung 10
Übung 10 erarbeitet ein Verfahren, nach dem Eratosthenes ca. 220 v. Chr. den Erdumfang bestimmt hat. Wie
genau die Bestimmung war, ist wohl historisch nicht geklärt, da die Längenangabe in Stadien gemacht wurde
und die Umrechnung nicht eindeutig bekannt ist.
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Es ist durchaus lohnend, sich auch etwas eingehender mit den astronomischen Zusatzinformationen auf der
Lernseite 7.1.7 zu beschäftigen, insbesondere mit dem für das Lösungsverfahren relevanten Auftreffen der
Sonnenstrahlen als angenähertes „Parallelbündel“.
Übung 10 kann übrigens auch geeignet sein, vor der Behandlung von Kreisbögen (Übungen 8 und 9) einen
direkten problem- bzw. kontextorientierten Einstieg in die Frage nach deren Berechnung zu motivieren.
Abschnitt 7.1
Übung 11
Die Physik erfordert oft eine Bestimmung von Größen, die durch direktes Messen nur sehr ungenau ermittelt
werden können. Größen, die nur durch einen Trick bestimmt werden können, sind aber gerade in der Physik
von großer Bedeutung. Übung 11 zeigt, wie man etwa die Längenausdehnung eines Metallstabes in
Abhängigkeit von der Temperatur essen kann. Die in der Übung angebotenen dynamischen Möglichkeiten
liefern eine wichtige Verständnishilfe für das Verfahren.
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