Vertiefungsfach Mathematik – Schwerpunkt „Textverständnis“

Modul LGS
Lineare Gleichungssysteme
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Vertiefungsfach Mathematik –
Schwerpunkt „ Lineare Gleichungssysteme in Sachzusammenhängen “
Modul LGS: „ Lineare Gleichungssysteme“
Stundenvolumen
8 Stunden
Fachbezogene
Kompetenzen
Inhaltlicher
Schwerpunkt
Arbeitsschritte
Arbeitsformen
und Materialien
Argumentieren und Kommunizieren
SuS diskutieren verschiedene
Lösungswege
Probleme erfassen, erkunden und
lösen
SuS vertiefen ihre Kenntnisse über
lineare Gleichungssysteme
Mit Zahlen und Symbolen umgehen
SuS stellen Gleichungen auf
Beziehungen und Veränderungen
beschreiben
SuS benutzen den Funktionsbegriff
 Lineare Gleichungssysteme in
Zahlenrätseln
SuS
1. stellen LGS auf
2. diskutieren verschiedene
Lösungswege, ihre Vor- und
Nachteile
3. lösen die LGS
4. diskutieren die geometrische
Bedeutung im
Zusammenhang mit den
Lösungsmengen
 Zwei Gleichungen mit zwei
Variablen
 Geometrische Deutung
 Drei Gleichungen mit drei
Variablen
 Über- und unterbestimmte LGS
5. erweitern ihre Kenntnisse
auf drei Gleichungen mit
drei Variablen
(falls bereits im
Regelunterricht behandelt,
Inhalt der EP)
6. vertiefen ihre Kenntnisse bei
der Behandlung von überund unterbestimmten
linearen
Gleichungssystemen
(falls bereits im
Regelunterricht behandelt).
ebene und räumliche Strukturen
nach Maß und Form erfassen
SuS erfassen die linearen
Gleichungssysteme geometrisch
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4. Vertiefungsfach Mathematik / Modul LGS
4.1 Rahmenbedingungen
An dem Vertiefungskurs im Fach Mathematik nehmen zunächst alle 21 Schüler eines
Realschulkurses teil. Bei allen Teilnehmern handelt es sich also um Seiteneinsteiger, die nach dem
Abschluss der Realschule mit der Qualifikation zum Gymnasium wechseln. Da die Teilnahme
freiwillig ist, reduziert sich die Anzahl auf 16. Diese 16 Schüler, die regelmäßig zum Unterricht
dienstags in der 7. und 8 Stunde kommen, sind sehr motiviert ihre Noten zu verbessern und ihre
Defizite aufzuarbeiten.
4.2 Einschätzung der vorhandenen Kompetenzen und Defizite
Alle Teilnehmer haben beim Eintritt in die Jahrgangsstufe 11 im Regelunterricht zu Teil erhebliche
Defizite bezogen auf die Inhalte der Sekundarstufe I.
Die diagnostizierten Defizite im Hinblick auf das Modul LGS beziehen sich auf prozessbezogenen
Kompetenzen, die am Ende der Sekundarstufe I erreicht werden sollten.

Argumentieren/Kommunizieren
kommunizieren, präsentieren und argumentieren

Problemlösen
Probleme erfassen, erkunden und lösen

Modellieren
Modelle erstellen und nutzen
Die Schüler lernen in einer kleinen Lerngruppe ohne Leistungsdruck zu kommunizieren und zu
argumentieren. Über die Präsentation von Ergebnissen kommt es zu Diskussionen, in denen die
Schülerinnen und Schüler auch verschiedene Lösungswege vergleichen und bewerten.
Problemlösungsstrategien werden erarbeitet und auf die mathematischen Inhalte der linearen
Gleichungssysteme angewendet. Bei Modellierungen durch mathematische Modelle benötigen die
Schüler und Schülerinnen die Hilfestellung der Lehrkraft in besonderem Maße.
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Modul LGS / Lineare Gleichungssysteme
(1) Stundenvolumen
ca. 8 Unterrichtsstunden
(2) Kompetenzerwartung
Die Teilnehmerinnen und Teilnehmer können am Ende der Reihe
- Sachtexte in ein lineares Gleichungssystem „übersetzen“
- LGS sicher lösen
- über- und unterbestimmte LGS erkennen und lösen (ggf. erst nach Einsatz des Moduls)
(3) Inhaltlicher Schwerpunkt
LGS unter dem Aspekt Textverständnis
(4) Arbeitsformen und Materialien
Arbeitsteilige und arbeitsgleiche Gruppenarbeit, Einzelarbeit, Ich-Du-Wir Methode,
Expertenrunde
Materialien: Arbeitsblätter
(5) Arbeitsschritte
Die Schülerinnen und Schüler „übersetzen die“ Sachtexte jeweils in ein LGS und
diskutieren verschiedene Lösungswege, sowie deren Vor- und Nachteile. Danach werden
die linearen Gleichungssysteme im Sachzusammenhang gelöst.
Die Schülerinnen und Schüler diskutieren die geometrische Bedeutung von linearen
Gleichungssystemen im Zusammenhang mit den Lösungsmengen.
Die Schülerinnen und Schüler wenden ihre Kenntnisse auf drei Gleichungen mit drei
Variablen an (wenn bereits aus dem Regelunterricht bekannt)
Die Schülerinnen und Schüler vertiefen ihre Kenntnisse bei der Behandlung von über- und
unterbestimmten linearen Gleichungssystemen.
(6) Transparenz/Reflexion
Protokolle, Karteikarten, Portfolio
(7) Lernprozessevaluation
Gespräche mit den Schülerinnen und Schülern
Test
(8) Kursevaluation
Die Kursevaluation gründet sich auf Ergebnisse von Schülerbefragungen, Einschätzungen
durch die beteiligten Lehrkräfte und Rücksprache mit der Schulleitung.
Die Erprobung des Moduls wurde mit großem Lernerfolg und Lernzuwachs für die
Schülerinnen und Schüler durchgeführt.
(9) Anhang Materialien
M1: Sachtexte LGS zwei Gleichungen und zwei Variable
M2: Geometrische Deutung
M3: LGS drei Gleichungen und drei Variable (ergänzend – sofern aus dem Regelunterricht
bekannt)
M4: Über- und unterbestimmte LGS (ergänzend – sofern bekannt)
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Material Modul LGS
Lineare Gleichungssysteme
Anwenden und Lösen
von Gleichungssystemen
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Lineare Gleichungssysteme –
Zwei Gleichungen mit zwei Variablen
Zahlenrätsel
1.
Die Summe zweier Zahlen ist 14, ihre Differenz 2. Bestimme die beiden Zahlen.
2.
Addiert man zu einer Zahl 7, so erhält man das Vierfache der zweiten Zahl.
Subtrahiert man die zweite Zahl von 15, so erhält man das Doppelte der ersten Zahl.
Bestimme die beiden Zahlen.
3.
Subtrahiert man von der ersten Zahl 4, so erhält man das Doppelte der um zwei
verminderten zweiten Zahl. Addiert man zum Doppelten der zweiten Zahl 18, so erhält man
das Doppelte der ersten Zahl vermindert um 2. Bestimme die beiden Zahlen.
4.
Bestimme eine zweistellige Zahl.
Die Quersumme der gesuchten Zahl ist 13. Vertauscht man ihre Ziffern, so erhält man eine
um 27 kleinere Zahl.
Zahlenrätsel in geometrischem „Gewand“
5.
Bestimme die Seitenlängen eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Umfang 16 LE
und dessen Basis doppelt so lang ist wie die Schenkel.
6.
Bestimme die Winkelgrößen eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Winkel in der
Spitze sieben Mal so groß ist wie ein Basiswinkel.
7.
Bestimme die Seitenlängen eines Rechtecks.
Der Umfang des Rechtecks beträgt 140 LE. Verkleinert man die eine Seite um 25% und
vergrößert die andere Seite um 10%, dann bleibt der Umfang gleich.
8.
Bestimme die Gleichung einer linearen Funktion, deren Graph durch die Punkte
A(2/4) und B(-1/-20) verläuft.
9.
Bestimme die Gleichung einer linearen Funktion, deren Graph die x-Achse an der
Stelle 4 schneidet und durch den Punkt P(-2/6) verläuft.
Zahlenrätsel aus dem Bereich der „analytischen Geometrie“
(nur zu verwenden, wenn die Voraussetzungen allgemein bekannt sind)
10.
Gegeben sind die drei Punkte A, B und C durch A(1/5), B(4/-16) und C(-8/2).
Bestimme die Gleichung der linearen Funktion, deren Graph durch den Punkt A und den
Mittelpunkt der Strecke BC verläuft.
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Lösungen
1. IL = {(6|8)}
2. IL = {(3|5)}
3. IL = {(10|20)}
4. Die Zahl heißt 85.
5. Die Länge der Basis beträgt 8LE, die der Schenkel 4 LE.
6. Die Größe eines Basiswinkels beträgt 20, die des Winkels in der Spitze 140.
7. Die Seitenlängen betragen 20 LE und 50 LE.
8. f(x) = 8x – 12
9. f(x) = - x + 4
10. f(x) = 4x + 1
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Lineare Gleichungssysteme –
Zwei Gleichungen mit zwei Variablen
Geometrische Deutung
Gegeben sind die folgenden drei linearen Gleichungssysteme:
(1)
I
II
2x – 3y
–3x + 5y
= -4
= 7
(2)
I
II
- 4x + 10y
10x – 25y
= 2
= -7
(3)
I
II
12x – 16y
- 21x + 28y
= -8
= 14
a) Bestimme die Lösungsmenge der drei linearen Gleichungssysteme.
b) Erläutere die geometrische Bedeutung.
Lösungen
a) (1) IL = {(1|2)}
(2) IL = { }
(3) IL = {(x|y)y = 0,75x + 0.5}
b) (1) Die Geraden schneiden sich im Punkt S(1/2).
(2) Die Geraden sind parallel.
(3) Die Geraden sind identisch.
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Lineare Gleichungssysteme –
Drei Gleichungen mit drei Variablen
1. Löse die folgenden linearen Gleichungssysteme
a)
I 2x – 3y + 3z = 5
II -3x + 2y – 4z = -11
III 5x + 4y + 7z = 34
b)
I 2x – 5y + z = 12
II -x + 2y + z = -1
III 3x – 4y + z = 13
c)
I 2x – 2y + 3z = 6
II -3x + y – 8z = -18
III 5x + 3y + 2z = 12
d)
I
II
III
-5x + 3y + z = -4
2x – y = 2
4x + 2y - 3z = -21
2. Bestimme die Gleichung einer ganz rationalen Funktion 2. Grades, deren Graph
a) durch die Punkte A(1/2), B(-1/4) und C(2/0) verläuft.
b) durch den Punkt P(4/2) verläuft, die x-Achse an der Stelle 3 und die y-Achse bei 6 schneidet.
Lösungen
1. a)
b)
c)
d)
IL = {(1|2|3)}
IL = {(2|-1|3)}
IL = {(1|1|2)}
IL = {(-1|-4|3)}
2. a) f(x) = - x² + x + 2
b) f(x) = x² – 5x + 6
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Über- und unterbestimmte LGS
Bestimme die Lösungsmenge.
a)
I
II
III
2x – 3y = 8
- 7x – 5y = 3
9x + 2y = 5
b)
I
II
III
3x + y = 6
7x – 9y = 5
x– y = 2
c)
I
II
2x – z = 0
-2x + y + z = 2
I
II
x + 2y – 3z = 4
x – y – 6z = - 2
d)
Lösungen
a)
b)
c)
d)
IL = {(1|-2)}
IL = { } keine Lösung
IL = {(x|2|2x)}
IL = {-5y+10|y|-y+2)}
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