Lösung

Dipl. Inform. Andreas Wilkens
Mathematik I
FH OOW, Emden
Übungsaufgabe
Für welche Werte von  hat das folgende lineare Gleichungssystem (LGS) nichttriviale
(heißt von null verschiedene) Lösungen, und wie lauten diese Lösungen?
   x   0
 2 1

    
 1  2 1   y    0

1  2   z   0 

Lösung
Zunächst einige Anmerkungen




Bei dem angegebenen LGS handelt es sich um ein homogenes LGS, da der Vektor auf
der rechten Seite der Gleichung der Nullvektor ist.
 x   0
   
Ein homogenes LGS hat immer die triviale Lösung, d.h.  y    0  ist eine Lösung.
 z   0
   
Es gilt jetzt herauszufinden, ob die triviale Lösung die einzige Lösung dieses LGS ist,
oder ob es noch weitere Lösungen gibt. Wenn es weitere Lösungen gibt, so sind es
unendlich viele weitere Lösungen.
Ob es weitere Lösungen gibt, hängt offensichtlich von  ab, womit wir bei der
Aufgabenstellung sind.
Lösungsweg
Zunächst prüfen wir, ob das LGS unendlich viele Lösungen hat.
Gemäß der Regel auf Seite 291 (unten) im Online-Modul hat dieses LGS unendlich viele
Lösungen, wenn die Determinante der Matrix gleich Null ist.
Diese Regel darf angewendet werden, da die Matrix quadratisch ist, d.h. also die Anzahl der
Unbekannten ist gleich der Anzahl der Gleichungen. Dies ist weiterhin Voraussetzung dafür,
dass zu dieser Matrix die Determinante berechnet werden kann.
Setze also die Determinante der Matrix des LGS gleich Null.
Mit Hilfe der Regel von Sarrus wird die Determinante berechnet, später wird die p-q-Formel
(siehe z.B. http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/p-q.htm) benutzt, um beide
Lösungen der quadratischen Gleichung zu ermitteln.
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Insgesamt ergibt sich folgender Rechenweg:
2 1

1 2 1 0

1 2

8      (22 )  (2)  (2)  0

2 2  2   4  0

2    2  0

1, 2
1
1
      (2)
2
2

1   

1   

1   

1  1
2
1
2
9
4
und
2   
1
2
9
4
und
2   
und
2   
und
2  2
1
2
3
2
1
2
9
4
1
2
9
4
1
2
3
2
Damit haben wir ermittelt, dass die Determinante der Matrix des LGS gleich Null ist, wenn
  1 oder   2 ist. (Achtung: hier heißt es „oder“, denn  kann nicht gleichzeitig beide
Werte annehmen!)
Für diese beiden  -Werte hat das LGS also nichttriviale Lösungen. Und zwar unendlich viele
Lösungen, wie oben bereits erläutert.
Jetzt müssen wir noch herausfinden, wie diese unendlich vielen Lösungen lauten. Dazu
unterscheiden wir zwei Fälle, jeweils einen für die beiden ermittelten  -Werte.
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Fall 1:  =1
Für  =1 lautet das LGS:
1   x   0
 2 1

    
 1  2 1   y    0
 1
1  2   z   0 

Daraus ergeben sich drei Gleichungen, wovon die erste gleich nach z aufgelöst wird, die
anderen beiden werden lediglich etwas vereinfacht:
1.Gleichung : 2 x  1y  1z  0

z  2x  y
2.Gleichung : 1x  (2) y  1z  0

x  2y  z  0
3.Gleichung : 1x  1 y  (2) z  0

x  y  2z  0
Setze jetzt die aufgelöste erste Gleichung in die Zweite ein und vereinfache:
x  2 y  (2 x  y )  0

x  2 y  2x  y  0

3x  3 y  0

x y 0

x y
Dieses Ergebnis wird nun wieder in die aufgelöste erste Gleichung eingesetzt und vereinfacht:
z  2x  x

zx
Insgesamt erhalten wir damit:
x=y=z
Antwortsatz:
 x  t 
   
Für den Fall  =1 lauten die Lösungen:  y    t  mit beliebigem t  R (reelle Zahlen).
 z  t 
   
Fall 2:  =-2
Für 
 2

 1
 2

= –2 lautet das LGS:
1  2  x   0
    
 2 1   y    0
1  2   z   0 
Analog zum ersten Fall ergeben sich drei Gleichungen, diese werden vereinfacht, aufgelöst
und ineinander eingesetzt. (Der konkrete Rechenweg sei dem geneigten Leser überlassen,
Achtung: diesen Satz nicht in einer Klausur verwenden! ;-)
Es ergibt sich: x = z und y = 0
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Antwortsatz:
 x t 
   
Für den Fall  =-2 lauten die Lösungen:  y    0  mit beliebigem t  R (reelle Zahlen).
z t 
   
Fertig.
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