Studienfach: Lineare Algebra

Studiengang:
Wirtschaftsmathematik
Studienfach:
Lineare Algebra
Gesamtstunden: 4 SWS V / 2 SWS Ü
ANTON, HOWARD: Lineare Algebra, Spektrum, Akademischer Verlag
Lehrinhalte
1. Matrizen und Lineare Gleichungssysteme (LGS)
1.1 Begriff der Matrix
1.2 Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einer Zahl
1.3 Darstellung von LGS mit Hilf von Matrizen
1.4 Gaußscher Algorithmus
1.4.1 Das homogene LGS Ax = 0
1.4.2 Das inhomogene LGS Ax = b
1.5 Matrizenmultiplikation
1.6 Einige besondere Matrizen, die Transponierte
1.7 Die inverse Matrix
In diesem Einführungskapitel stehen Lineare Gleichungssysteme Ax = b im Mittelpunkt.
Mit dem Gaußschen Algorithmus wird eine universelle Lösungsmethode für LGS vorgestellt.
Die Idee des Gaußschen Algorithmus ist einfach. Das LGS Ax = b wird in ein leicht lösbares
System Mx = c umgeformt, welches dieselbe Lösungsmenge wie das ursprüngliche System
Ax = b besitzt. Folglich besteht der Gauß-Algorithmus aus zwei Schritten:
1. Umformen von Ax = b in Mx = c. Die Matrix M besitzt Zeilenstufenform.
2. Lösen von Mx = c.
Die Lösungsmengen eines inhomogenen LGS Ax = b und des zugehörigen homogenen
Systems Ax = 0 hängen eng miteinander zusammen. Ist die Lösungsmenge von Ax = 0
bekannt, braucht man nur noch eine einzige Lösung von Ax = b zu bestimmen und man kennt
die Lösungsmenge des inhomogenen Systems Ax = b. Es ist nämlich eine grundlegende
Eigenschaft linearer Systeme, dass sich jede Lösung des inhomogenen Systems als Summe
aus einer speziellen (partikulären) Lösung dieses inhomogenen Systems und einer Lösung des
zugehörigen homogenen Systems darstellen läßt.
Diese und weitere Eigenschaften von LGS werden untersucht. Wie erkennt man, ob ein
homogenes LGS Ax = 0 nur die triviale Lösung x = 0 oder unendlich viele Lösungen besitzt?
Wieviel freie (d.h. Nichtbasis-)Variable kommen in der Lösungsdarstellung vor? (n – Rang A
Stück) Was sind Basis- und Nichtbasisvariablen? Nach welchen Kriterien erfolgt die
Klassifizierung der Unbekannten in Basis- und Nichtbasisvariablen und welchen Einfluß hat
das auf die Darstellung der Lösungsmenge?
Durch die Verwendung von Matrizen wird die Darstellung der LGS sehr vereinfacht. So
werden die Koeffizienten eines LGS in einer (m,n)-Matrix A und die Konstanten auf der
rechten Seite der Gleichungen in einer Spaltenmatrix b zusammengefasst. m steht für die
Anzahl der Gleichungen, n für die Anzahl der Unbekannten. Deswegen untersuchen wir auch
die grundlegenden Eigenschaften von Matrizen. Gibt es bei der Matrizenmultiplikation eine
Matrix E, die dieselbe Rolle spielt wie die Zahl Eins unter den reellen Zahlen? Unter welchen
Bedingungen existiert eine inverse Matrix A-1 mit der Eigenschaft A A-1 = A-1 A = E ?
Übung 1 und Übung 2 vertiefen das Gelernte.
2. Determinanten
2.1 Was ist eine Determinante? Leibnizsche Definition
2.2 Berechnung 2- und 3-reihiger Determinanten
2.3 n-reihige Determinanten – Laplacescher Entwicklungssatz
2.4 Eigenschaften von Determinanten
2.5 Anwendungen der Determinanten
2.5.1 Lösung von quadratischen LGS mit der Cramerschen Regel
2.5.2 Berechnung der inversen Matrix
2.5.3 Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren
Die Determinante det A einer quadratischen Matrix A ist eine Zahl, die aus den Elementen
von A berechnet wird und die etwas über die Matrix A aussagt. Was dieses „etwas“ ist, hängt
auch davon ab, woran der Fragesteller interessiert ist.
In manchen Situationen reicht es zu wissen, ob det A gleich oder verschieden von Null ist.
Falls z.B. zwei Spalten der Matrix A Vielfache voneinander sind, ist det A = 0. Ist umgekehrt
det A ≠ 0, dann besteht keine solche lineare Abhängigkeit zwischen den Spalten oder Zeilen
von A.
Ein Geometer freut sich, dass det A etwas über das Volumen des Spates aussagt, der von den
Spalten von A gebildet wird. So wundert es nicht, dass det A häufig in Formeln zur
Berechnung von Volumina oder Abständen anzutreffen ist, mehr dazu in Kapitel 3.
Unter Entwicklung einer Determinante versteht man den Prozeß, bei gegebener Matrix A die
Zahl det A zu berechnen. In den Abschnitten 2.2 und 2.3 erfahren Sie, wie Determinanten
berechnet werden.
Im Abschnitt 2.4 wird gezeigt, dass dieselben Umformungen, die die Lösungsmenge des LGS
Ax = b unverändert lassen, auch den Wert von det A invariant (unverändert) lassen:
det A = det M
Wenn M eine Dreiecksmatrix ist, kann det M leicht ermittelt werden:
det M = m11 m22 mnn
(Produkt der Elemente in der Hauptdiagonalen)
Außerdem sind Eigenschaften wie
det (A B) = det A det B
interessant.
Diese Eigenschaften von Determinanten lassen Zusammenhänge zu LGS ahnen. In der Tat
zeigen die Anwendungen, dass die Lösungsmenge eines quadratischen LGS Ax = b genau
dann aus einem einzigen Element besteht, wenn det A ≠ 0. Im diesem Fall gilt für die i-te
Komponente des Lösungsvektors x nach Cramer:
xi = det Ai / det A,
wobei die Matrix Ai aus A durch Ersetzen der i-ten Spalte durch die rechte Seite b entsteht.
Auch für die inverse Matrix A-1 gibt es eine Formel, wo det A im Nenner vorkommt. Falls
also det A = 0 ist, dann existiert die inverse Matrix von A nicht.
Ein weiteres sehr wichtiges Anwendungsgebiet von Determinanten sind Eigenwerte und
Eigenvektoren. Das schauen wir noch einmal ausführlich in Kapitel 6 an.
3. Vektoren in der Geometrie
3.1 Vektoren im R2 und R3. Das kartesische Koordinatensystem
3.2 Vektorprodukte und Projektion
3.3 Gerade und Ebene im R3
Kapitel 3 knüpft an Schulwissen an und zeigt welche anschaulichen Aufgabenstellungen mit
den inzwischen behandelten Begriffen wie LGS, Matrizen, Vektoren und Determinanten
angegangen werden können. Bisher war ein Vektor nur eine spezielle Matrix nämlich eine,
die nur eine einzige Spalte besitzt.
In Abschnitt 3.1 fassen wir Vektoren als geometrische Objekte auf und geben ihnen weitere
Eigenschaften wie eine Länge und eine Richtung. Wir werden sie dann im kartesischen
Koordinatensystem darstellen und sie zur Lösung elementarer geometrischer Probleme
benutzen.
Mit Hilfe des geometrischen Objektes des Winkels zwischen zwei Vektoren definieren wir in
Abschnitt 3.2 das Skalarprodukt:
a·b = |a|·|b|·cos (a,b)
Es stellt sich heraus, dass das Skalarprodukt a·b mit Hilfe der Koordinaten der Vektoren a
und b viel einfacher berechnet werden kann:
a·b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
so dass man umgekehrt das Skalarprodukt zur Winkelberechnung nutzt.
Kann man umgekehrt das Skalarprodukt zur Definition des Winkels zwischen Vektoren
verwenden? Dieser Gedanke wird später in Kapitel 7 für allgemeine Vektorräume wieder
aufgegriffen. Man muß dann natürlich zeigen, dass das wie auch immer definierte
Skalarprodukt wegen -1 ≤ cos (a,b) ≤ 1 der Ungleichung
|a·b| ≤ |a|·|b|
genügt. Das ist die berühmte Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.
Eine weitere wichtige Anwendung dieses Abschnitts ist die Formel für die Projektion eines
Vektors b auf einen Vektor a ≠ o
ba = a·b / (|a|·|b|) a
Sie wird uns im Laufe der Vorlesung oft begegnen u.a. in Kapitel 7 als Spezialfall der
Projektion eines Vektors aus einem Vektorraum V auf einen Unterraum U. Die Auswertung
von |b – ba|2 ≥ 0 führt übrigens zur Cauchy-Schwarzschen Ungleichung. Wollen Sie den
Beweis versuchen?
Neben dem Skalarprodukt spielt in geometrischen und technischen Anwendungen im R3 auch
das Vektorprodukt a x b eine Rolle. Der Vektor a x b steht senkrecht auf den Vektoren a und
b und sein Betrag ist so groß wie der Flächeninhalt des von den Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms.
Schließlich wird in Abschnitt 3.3 gezeigt, wie man Geraden und Ebenen als Gleichungen
darstellt:
Gerade g:
r = r0 + λ a
λєR
Ebene E:
r = r0 + λ a + μ b
λ, μ є R
oder
Ebene E:
ax+by+cz=d
und welche geometrische Bedeutung die dabei auftretenden Vektoren besitzen. Es ist dann ein
leichtes Schnittmengen zwischen Geraden und Ebenen sowie den Abstand eines Punktes P zu
einer Geraden bzw. einer Ebene zu berechnen. Da nützen Ihnen dann wieder Ihre Kenntnisse
über LGS und Determinanten.
4. Vektorenräume
4.1 Begriff des Vektorraumes
4.2 Unterraum, Linearkombination, Lineare Hülle,
4.3 Basis und Dimension
4.4 Zeilenraum, Spaltenraum, Rang einer Matrix
4.5 Koordinaten eines Vektors v bezüglich einer Basis B
In diesem Kapitel werden die Grundlagen der Linearen Algebra behandelt, wobei der zentrale
Gegenstand der Untersuchung der Basisbegriff ist. Zusätzlich lernen sie grundsätzliche
Beweistechniken kennen.
Vektoren b1, b2 ... bn bilden eine Basis des Vektorraums V, wenn sie
(B1) linear unabhängig sind und
(B2) den Vektorraums V erzeugen, d.h. V = Lin (b1, b2 ... bn).
Lin steht für lineare Hülle. Lin (b1, b2 ... bn) bezeichnet also die Menge aller Vektoren v, die
sich als Linearkombination der Vektoren b1, b2 ... bn darstellen lassen:
v = α1 b1 + α2 b2 ... αn bn
Die lineare Unabhängigkeit der Vektoren b1, b2 ... bn sorgt dann dafür, dass diese Darstellung
eindeutig ist. Die in Kapitel 3 untersuchten Vektoren, waren also in doppelter Hinsicht
Spezialfälle. Zum einen war die Dimension 3, zum anderen wurde als Basis grundsätzlich die
aus den Einheitsvektoren bestehende Basis e1, e2 e3 verwendet.
Kernaussage von Abschnitt 4.3 ist, dass für jeden Vektorraum V die Anzahl n der Basisvektoren immer dieselbe ist, unabhängig davon, welche Vektoren zur Basis gehören. Die
gemeinsame Länge n aller Basen von V heißt Dimension von V,
n = dim V.
In Abschnitt 4.4 wird eine Matrix A ins Spiel gebracht. Wir untersuchen die Vektorräume, die
aus den
- Linearkombinationen der Spalten von A
Bild A,
- Linearkombinationen der Zeilen von A
Bild AT,
- Lösungen des homogenen LGS Ax = 0
Kern A,
bestehen.
Dabei gewinnt man die überraschende Erkenntnis, dass für jede Matrix A die Anzahl der
linear unabhängigen Zeilen mit der Anzahl der linear unabhängigen Spalten übereinstimmt:
dim Bild A = dim Bild AT
Diese Zahl nennt man Rang von A, nun endlich wohldefiniert, d.h. unabhängig von irgendwelchen Umformungen, die beim Gauß-Algorithmus unternommen wurden.
Ist die Zahl dim Kern A in der Vorlesung schon vorgekommen?
Richtig, das ist die Anzahl der freien Variablen in der Lösungsdarstellung von Ax = 0.
Satz 1 Aussage b) über die Lösungsmenge eines homogenen LGS kann also auch als
dim Kern A = n – Rang A
geschrieben werden. Wir nennen ihn hier Dimensionsformel und führen - endlich - einen
zufrieden stellenden Beweis.
Zuletzt wird in Abschnitt 4.5 die nun selbstverständliche Tatsache erwähnt, dass jeder Vektor
v ≠ o verschiedene Koordinatendarstellungen besitzt, je nachdem welche Basis zugrunde
gelegt wird. Faßt man die Basisvektoren b1, b2 ... bn als Spalten einer Matrix B auf, so gilt
v = B vB
mit v bzw. vB als Koordinatenvektoren von v bezüglich der Einheitsbasis bzw. b1, b2 ... bn.
Finden Sie eine Formel für vC in Abhängigkeit von vB, wenn c1, c2 ... cn eine weitere Basis ist?
5. Lineare Vektorräume
5.1 Abbildungen und Relationen als Teilmengen von A x B
5.2 Lineare Abbildungen, die Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasis
5.3 Beispiele für lineare Abbildungen
5.4 Darstellungsmatrix lineare Abbildungen bezüglich beliebiger Basen
5.5 Basiswechsel, Ähnlichkeit von Matrizen
6. Eigenwerte und Eigenvektoren
6.1 Definition und Berechnung
6.2 Das charakteristische Polynom einer Matrix
6.3 Diagonalisierung von Matrizen
7. Vektorräume mit Skalarprodukt
7.1 Skalarprodukt und Norm
7.2 Orthonormale Basen (ONB)
7.3 Quadratische Formen
8. Hauptachsentransformation
8.1 Problemstellung und Lösungsweg
8.2 Hauptachsentransformation im R2, Kegelschnitte
8.3 Hauptachsentransformation im R3, Quadriken