Kochbuch der Linearen Algebra

Kochbuch der Linearen Algebra
1. Gleichungssysteme (GS)
m Gleichungen, n Unbekannte
Gleichungssystem: A  x  b
n=m : 1 eindeutige Lösung
m<n :  -Lösungen (n – m parametrige Schar von Lsg)
m>n : Verträglichkeitsbedingungen:
m – n Gleichungen erfüllt
: 1 Lsg
m – n Gleichungen nicht erfüllt : 0 Lsg
Rang r = Anz. Nicht-Null-Zeilen = Anz. Pivots
Trivilale Lösung : x1  x2  ...  xn  0
Homogen: A  x  0 , Inhomogen: A  x  b
2. LR-Zerlegung
-
ohne Zeilenvertauschung: L  R  A
3 
 2 1 3 
 2 1 3 
 => 
 => 

1 10 
 3 4 1 
 3 4 1 
 1 2 3 
7 8 
2  1 8 5 


0 0

1 0  untere Dreiecksmatrix
2 1 
 2 1 3 


R   0 4 1  obere Dreiecksmatrix
0 0 3 


 2

Bsp: A  3  6
1  2
1

L 3
 1

1
-
mit Zeilenvertauschung: L  R  P  A
P heisst Permutationsmatrix.
1 2
1 0
A
 P
 P hat die gleiche Dimension wie A.
3 4
0 1
P wird neben A geschrieben. Vertauscht man eine Zeile in A,
vertauscht man die entsprechende Zeile auch in P.
3 4
0 1
A
 P

1 1
1 0
Vorgehen analog, P wird bei Gauss mitgeführt.
Lösen eines GS mit LR-Zerlegung:
1. LR- Zerlegung durchführen
2. L  c  b nach c auflösen
3. R  x  c nach x auflösen
4. GS ist gelöst, x ist die Lösung
3. Matrizen
a b
- quadratische Matrix: n=m 

c d 
1 0
- Einheitsmatrix: I 2  
 ; Nullmatrix
0 1
- untere
 x 0 0


 x x 0
 x x x


x x

0 x x
0 0 x


a
0
0



 0 b 0
0 0 c


obere
- Diagonalmatrix :
0 0


0 0
x  Dreiecksmatrix

Spur(A) = Summe der Diagonalelemente der Matrix A
Spur(CD)=Spur(DC)
Spur( STS 1 )=Spur(T)
1
Spur(  A )=  Spur(A)
Spur( A )=Spur( AT )
Spur(A+B)=Spur(A)+Spur(B)
A  m n
Transponierte Matrix: T
A  nm
i) ( AT )T  A
ii) ( A  B)T  AT  BT
iii) ( AB)T  BT  AT !!
-
schiefsymmetrisch:  A  AT
A1  AT
regular <=> invertiertbar, r=m, Det(A)  0
Gegeteil: singulär
A  B orthogonal & invertierbar
A1 orthogonal
I n orthogonal
4. Matrix-Multiplikation
A  (m  n) , B  (n  p) => (m  n) (n  p)  (m  p)
A  B nur wenn #Spalten(A) = #Zeilen(B)
 1 2   5 6  1 5  2  7 22 
Bsp: 



50 
 3 4   7 8   43
5. Matrix-Addition
A  B nur wenn beide (m  n)
a ( j )  A  e( j ) e( j ) =Einheitsvektor j
kommutativ: A  B  B  A ABER: ( A  B)  ( B  A) !!!
Gauss: Elementare Operationen:
- Vertauschen von Zeilen
- System mit skalar multiplizieren
- Subtraktion eines Vielfachen der i-ten von der j-ten Zeile
AT A  I n
A, B orthogonal & invertierbar 
 1 2   5 6  1  5 8 




 3 4   7 8   10 12 
Rechenregeln
- assoziativ: ( AB)C  A( BC ) ; ( A  B)  C  A  ( B  C )
 a b    a b 
- Multiplikation mit Skalar:   


 c d   c  d 
symmetrisch: A  AT
ortogonal:
Bsp:
6. Inverse einer Matrix
A1 heisst Inverse von A
Berechnung:
I)  A | I n    I n | A1 
Auf beiden Seiten Vielfache von einer Zeile von einer anderen
subtrahieren, addieren, oder Zeilen vertauschen, etc bis links die
Einheitsmatrix steht und rechts die Inverse.
II) Gausselimination parallel zu den drei rechten Seiten der
Einheitsmatrix
1 2 3 1 0 0
Bsp: A  4 5 6 0 1 0 =>3 Lösungsvektoren => A1
7 8 11 0 0 1
III) Für 2x2 Matrizen:
a b
A

c d 
A1 
1  d b 


ad  bc  c a 
2
-
Regeln:
V= #Vertauschungen
Zeilen-/Spaltenvertauschung ändert Vorzeichen: (1)V
Gauss-Elimination ändert det(A) nicht (wenn keine Vertausch.)
det  AT   det  A 
-
det   A  V det  A
-
det  A  B   det  A  det  B 
Regeln:
1
- A A  I n  AA
1
-  A1   A
- I n 1  I n
1
-  AB   B A
1
1
1
-  AT    A1 
1
6.3.
T
-
A heisst invertierbar  zug. Hom. GS hat nur Nulllösung
 A2  0
 det( A)  0
det  I n   1  det  A   det  A1   det  AA1 
-
det  A1    det  A  
Determinante
-
A heisst lin.unabhängig <=> det  A  0
-
 A B
det 
  det  A  det  C 
 0 C
det( A)  A
N=2:
a b
A

c d 
1
=> det( A)  ad  bc
n
c1 

c2  Entwicklung nach der 1. Spalte
c3 
b c 
b c 
b
det( A)  a1  det  2 2   a2  det  1 1   a3  det  1
 b2
 b3 c3 
 b3 c3 
Analog Entwicklung nach anderen Zeile oder Spalte
Determinante einer Dreiecksmatrix:
n
det( A)   aii
i 1
A,B,C Matrizen
7. Vektorräume
n
N=3,… :
 a1 b1

A   a2 b2
a b
 3 3
1
det  A
c1 

c2 
Reeller Vektorraum der Dimension n
Komplexer Vektorraum
Ein reeller (komplexer) Vektorraum ist eine Menge von V Elemente
(z.B. Vektoren, oder Polynomen) mit der Eigenschaft:
- Addition: a, b  V ist auch (a  b)  V
- Multiplikation:   (od . ) gilt: a V ist auch a V
- Nullelement: ist in jedem Vektorraum vorhanden
Regeln:
- a b  ba
- (a  b)  c  a  (b  c)
- Neutralelement: a  0  a und 1a  a
- Entgegengesetzter Vektor zu a:  a   a  (a)  0
-  (  a)  ( )a
- (   )a   a   a und  (a  b)   a  b
3
7.3.
Unterräume
Eine nicht-leere Teilmenge U eines Vektorraums V heisst Unterraum. Ein
Unterraum ist ein Vektorraum, d.h. es muss gelten:
- a, b  U  ( a  b )  U
- a U ,     a U
- Nullvektor enthalten. Nullvektor bildet sich auf sich selber ab!
Bsp:
Basis finden für Unterraum
U = {x  4 | x 2 - 2x 3 + x 4 = 0}.
Basis: linear unabhängiges Erzeugendensystem (ohne abhängige
Vektoren). Alle Basen eines Vektorraums haben dieselbe Anz. Elemente
(=Dimension von V, dim V)
 x1 




 x 3 -x 4 

U =
 4 |x1 , x 3 , x 4  
 x 3 

 x 4 



( x1 ,..., x4 der Reihe nach 1 setzen und die anderen 0, Nullvektor kann kein
Basisvektor sein)
Es folgt, dass a(1), a(2), a(3) eine Basis von U bildet mit
1
0
0
 
 
 
0  (2)  2  (3)  -1
(1)

,a =
,a =
Dimension = 3
a =
0
1
0
 
 
 
0
0
1
Konvention: dim(0)  0
8.
Linear unabhängige Vektoren können zu Basis erweitert werden!
Input: linear unabhängige Vektoren b(1) ,..., b( n ) , Ziel: b (i )   e(i ) , eine
orthonormale Basis
U  span a (1) ,..., a ( k )  ist der von a (1) ,..., a ( k ) aufgespannte VR
Erzeugendensystem: V  span a (1) ,..., a ( k )  falls a ( i ) ganzen VZ
aufspannen
Linear unabhängig:
- falls auf 1a (1)  ...  n a ( n )  0 folgt, dass 1  ...  n  0
- Rang A = Anz. Spalten = k
Test: Vektoren in Spalten schreiben -> Gauss-Elimination
 falls Nullzeilen -> lin.abhängig.
 Rang A = Anz. Unabh. Vektoren
Sei k die Anz. Vektoren, r der Rang der Matrix nach dem
Eliminationsverfahren und n die Dimension des VR, dann gilt:
- linear unabhängig, falls r = k.
- linear abhängig, falls r < k.
- erzeugend, falls r = n.
- Sie bilden also eine Basis für n , falls r = k = n.
Gram-Schmidt-Verfahren
b(1)
(Einheitsvektor)
b(1)
Schritt 1:
e(1) 
Schritt 2:
c (2)  b(2)  e(1) , b(2)  e(1) => e(2) 
(3)
b
(3)
 e ,b
(1)
(3)
e  e ,b
(1)
(2)
(3)
c (2)
c (2)
e
Schritt 3:
c
Schritt k:
c ( k )  b( k )   e(i ) , b( k )  e( i ) => e( k ) 
k 1
i 0
(2)
=> e
(3)
c (3)
 (3)
c
c(k )
c(k )
Orthonormal = Alle Vektoren stehen senkrecht aufeinander( x, y  0 )
und haben die Länge 1 ( x  1 )
4
9.
x 
Norm (= Allgemeine Längenfunktion)
x, x
x 2  x12  ...  xn 2
Norm ordnet jedem Vektor x V eine reelle Zahl x zu, s.d. gilt:
x  0.
- x  V ,  
Maximumsnorm:
x

 max  x1 , x2 ,..., xn
n
Allgemeine Norm auf
n
/

:
 max  f (t ) , t  [a, b]  max  f (t ) , t  [a, b]
1
Matrixnorm: A quadratisch:
1
A 2  max(eig ( A A)) ; A
 min(eig ( A A))
T
2
n
: x, y   xi  yi
i 1
Linear im zweiten Faktor
x, y (1)  y (2)  x, y (1)  x, y (2)
 n
2
x p    xi  für p=2 euklidische Länge
 i 0

für C [a, b] : f 0  max  f (t ) , t  [a, b]
T
1
x,  y    x , y
Symmetrie
x, y  y, x
Positiv definit
x, x  0
2
  min i

Linear im ersten Faktor (analog)
n
n
: x, y   xi  yi
i 1
analog
Symmetrie
y , x  x, y
analog
Antilinear im ersten Faktor:
 x, y    x, y
1
11.
10.
Komplexes Skalarprodukt
x, x  0  x  0
A symmetrisch:
A 2  max i ; A1

 =>   90  x, y  0

n
1
p
für C1 [a, b] : f
x, y  V
orthogonal, falls: x, y  0
Reelles Skalarprodukt
x  y  x  y Dreiecksungleichung
- x, y  V :
 x, y  y , x
x 0x0
x    x
:
2
 x, y
Zwischenwinkel:   arccos 
 x  y
Länge eines Vektors (euklidische Länge):
- x V :
Schwarz’sche Ungleichung: x, y
Skalarprodukt
x y 
In Ebene:  1   1   x, y  x1  y1  x2  y 2
 x2   y2 
x, y
Cosinussatz: cos   
x  y
Fehlerrechung
Vorgehen:
1) Ax  c identifizieren, c ist der Inputvektor
2) Ax  c  r aufstellen, r soll minimal werden
3) Normalgleichungen aufstellen:
AT Ax  AT c
4) Gauss-Elimination und Auflösen nach x
5
Bsp: f(x) = ax + b => f(0) = b, f(1) = a + b, f(2) = 2a + b.
xi | 0........ 1....... 2
yi | 5.41 5.17 5.93
5.41  r1 
 0 1
 5.41 


 a 

a b 5.17  r2    1 1      5.17   r

 b 

2a b 5.93  r 3 
 2 1 :z  5.93 
b
: A
:c
Normalgleichungen aufstellen, eliminieren, auflösen, fertig…
12.
Zusammengesetzte Abbildungen: T : V  W , S : W  U
x V , T ( x) W  S (T ( x)) U
x
S (T ( x)) , V  U

 T ( x)  Ax S ( y )  By


" S T  B  A "  Mult. von Matrizen

invertierbare lineare Abbildungen:
V, W, Vektorräume. T : V  W linear
T umkehrbar/invertierbar, wenn - y W
=> Umkehrabbildung y
V  W  n , T ( x)  Ax
Skalarprodukt: (U , Ax)  ( ATU , x) gilt nur für
n

n
Kern: Kern( A)   x V n | Ax  0 Unterraum von V
 T ( x), T ( x)  x, x
orthogonal => längentreu
orthogonal = längentreu + winkeltreu

mit
Bild ( A)  span a (1) ,..., a ( n ) 
Beziehungen:
- dim( Bild ( A))  Rang ( A)
- dim( Kern( A))  n  Rang ( A)
-
heisst
n
- orthogonal, falls T ( x), T ( y )  x, y
T:
Bild ( A)  y W m | x V
- längentreu, falls T ( x)  x

Ax  y Unterraum von W
mit y  T ( x)
x (ordnet jedem y  W ein x V zu)
Linear, wenn: - T ( x1  x2 )  T ( x1 )  T ( x2 )
- T ( x)  T ( x)
Bild:
x V
- A regulär und T 1 ( x)  A1 ( x)
Lineare Abbildungen
V,W Vektorräume
Abbildung V-> W: ordnet jedem Vektor x V einen Vektor T(x)->W zu
T : V  W , x T ( x)

x, y
x
x Spezialfall von orth.
Abbildungsmatrix finden:
1) Basis wählen: e(1) , e(2) ,..., e( k )
2) Bilder der Basisvektoren berechnen: e(1) , e(2) ,..., e( k )
d.h. e(1)  f (e(1) ),..., e( k )  f (e( k ) )
Rang ( AT )  Rang ( A)
dim( Bild ( A))  dim( Bild ( AT ))
dim( Bild ( A))  dim( Kern( A))  n  dim(V n ) Dimensionsformel
Kern( A)  0  det  0  A invertiertbar  A bijektiv
3) Koordinaten der Vektoren e(1) , e(2) ,..., e( k ) bestimmen
-> e( k )  1e(1)  2 e(2)  ...  n e( n)
1 , 2 ,..., n sind Koordinaten von e( k )
4) In der ersten Spalte der gesuchten Abbildungsmatrix A stehen
die Koordinaten von e(1) , usw.
6
d
p ( x)
dx
1) Basis ist 1, x, x 2
( e(1)  1, e(2)  x, e(3)  x 2 )
2) e(1)  f (e(1) )  f (1)  0, e(2)  1, e(3)  2 x
3) 0  0 1  0  x  0  x 2 ,
Bsp1 Sei V  P2 ( ) ; f : V  V ; p ( x)
1  1 1  0  x  0  x 2 ,
2 x  0 1  2  x  0  x
2
0 1 0


=> A   0 0 2 
0 0 0


x  F
x x 
Bsp2 x   1  
 x   1 2 
 x2 
 x1  x2 
Zeige: - F ( x  y )  F ( x)  F ( y )
- F ( x )   F ( x )
Abbildungsmatrix bez. Standardbasis:
  1    1  0   1 
F    
  
1 1
  0    1  0   1 
 A

  0    0  1  1 
1 1 
F    
   
  1    0  1  1  
Vermeidung der Inversenberechnung:
Trick: TB  AT
1) T bestimmen wie oben
2) AT berechnen
3) GS: TX  AT lösen (parallel für alle (drei) rechten Seiten)
 X=B
13.
Basiswechsel
Wie sieht die Abbildungsmatrix A bezüglich einer anderen Basis aus?
Neue Basis: B   b(1) ,..., b( n ) 
Zwei Möglichkeiten:
I) f (b(i ) ) berechnen und als Linearkombination von b ( i ) schreiben
-> GS lösen für Linearkombinationen
-> Koeffizienten in Spalten von neuer Abbildungsmatrix schreiben
Bsp: A von Bsp1, neue Basis:
b1  x 2  x  1, b2  x 2  2 x  3, b3  x 2  3x  4
d

b1  2 x  1  1b1  4b2  3b3 
dx
 1 0 1

d



f (b2 )  b2  2 x  2  0b1  2b2  2b3  B   4 2 0 
dx

 3 2 1


d

f (b3 )  b3  2 x  3  1b1  0b2  1b3 
dx

f (b1 ) 
II) Transformationsmatrix T bestimmen (zw. alten e ( i ) u.neuen b ( i ) )
b (i )  1e(1)  2 e(2)  ...  n e( n ) -> Koeffizienten in Spalten
von T => B  T 1 AT
Bsp: b1  1e1  1e2  1e3 , b2  3e1  2e2  1e3 , b3  4e1  3e2  1e3
1 3

T  1 2
1 1

0
1

 4 2
 3
2

B
4

3   B  T 1 AT
1 
1  1 1 1   0 1 0  1 3 4 
 
 
 

0    2 3 1    0 0 2   1 2 3 
1   1 2 1  0 0 0  1 1 1 
T 1
A
T
7
14.
Eigenraum zu   1: mit Gauss  A  13  v  0 lösen
Eigenwerte und Eigenvektoren
Eigenwert:
Nullstelle des Charakteristischen Polynoms
!
det( A  )  0
Eigenvektor: Zu jedem Eigenwert gibt es einen Eigenvektor.
Es gilt:  A  i   v  0
Mit Gauss-Elimination nach v auflösen.
Freie Parameter wählen.
Niemals 0!
Algebraische Vielfachheit: Grad einer Nullstelle  i  des
Charakteristischen Polynoms.
Geometrische Vielfachheit: dim( Ei ( A)) = max. Anz. Unabh.
Eigenvektoren von
 i 
Es gilt: 1  geom. Vielfachheit  alg. Vielfachheit
Eigenraum: Menge der Eigenvektoren zum Eigenwert  i 
E   x 
n
| Ax   x
Eigenbasis: für A: Basis deren Elemente Eigenvektoren sind
 Summe der Basen aller Eigenräume von A
 gV  n   : gV  aV
Bsp:
2 1 1


A  1 2 1
1 1 2


1 1 1
1   v1   0 
 2 1 1

     =>  0 0 0 
2  1 1    v2    0 


 1
0 0 0
 1
1
2  1  v3   0 



v3   , v2   , v1    
wähle einmal   1,   0 und einmal   0,   1
    

 1  1 


    

E1      ,     span  0  ,  1  
  

 1   0  

    


geom. Vielfachheit = 2
Eigenraum zu   4 : Vorgehen analog
  

 1 
 

  
E1         span  1 
  

 1 
  
 

geom. Vielfachheit=1
 1
 1
 1
1
 
0
 
 1
 
Eigenbasis: die Vektoren u (1)   0  , u (2)   1  , u (3)  1 sind linear
 
 
 
……………..unabhängig und bilden eine Eigenbasis von A:
 1 1 1

1 1

 1 0 1


……... U   0
1
1 
2


Eigenwerte: PA ( )  det( A  3 )  det  1
2
1 
 1
1
2   

det( A  3 )  ...  (  1) 2 (  4)
1  2  1  alg.Vielfachheit=2
3  4  alg. Vielfachheit=1
8
15.
Diagonalisieren einer Matrix
A heisst diagonalisierbar, falls eine reguläre T-Matrix existiert:
T 1 AT  D
Matrix in Diagonalform:
A  TDT 1
0
 1


D
...

0
n 

T: Eigenraum
Diagonalmatrix mit Eigenwerten
Eigenschaften von diagonalisierbar:
- A besitzt n verschiedene Eigenwerte (einfache NS)
- aV ( )  gV ( )  1  : A ist „einfach“
- eine Eigenbasis exisitert
Spalten von T: sind Eigenvektoren zu den versch. Eigenwerten.
Falls aV ( )  2 => nimmt man 2 lin. Unabh. Vektoren
aus E => nur möglich, falls aV ( )  gV ( ) 
Jordan’sche Normalform:
A  TDT 1
symmetrische Matrizen:
- Alle Eigenwerte sind reell
- Eigenvektoren zu versch. Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander
- Symm. Matrix halbeinfach -> diagonalisierbar
-  orthogonale Eigenbasis zu A
-  orthogonale Matrix 0, sd. 0T A0 diagonal ist.
In den Diagonalen stehen die Eigenwerte von A.
Die Spalten von 0 sind die entsprechenden Eigenvektoren von A.
Ähnliche Matrizen:
- haben dieselben Eigenwerte und aV, gV
- B  SAS 1 S bildet Ei ( A) auf Ei ( B ) ab
-
Potenzen: Ak  TDkT 1
9
16.
Differentialgleichungen
y1 (t )  2 y1 (t )  y2 (t )
Bsp: y2 (t )  .... y1 (t ) 2 y2 (t )  y3 (t )
I) Systeme zweiter Ordnung
Masse *
Beschleunigung
= Kraft
y
1kg
*
= y  C (  1)
- Gleichungssystem in Matrizenform schreiben:
y (t )  Ay (t )
- Eigenwerte von A ausrechnen und dazugehörige Eigenvektoren
(normiert)
- Eigenvektoren in Spalten von T schreiben
 Orthogonale Eigenbasis zu A => T : (u (i ) )
- y (t )  Tx (t ) Koordinatentransformation (vorläufig vergessen)
- x(t )  T 1 ATx(t )
x(t )  Dx(t ) falls A diag’bar. D=diag.Matrix mit  von A
- x(t )  i  xi (t ) alles auf linke Seite
-
xi (t )  i 2  xi (t )  0 mit i  i
-
Ansatz: xi (t )  ai cos(i t )  bi sin(i t )
-> y (t )  Tx (t )
-
y (t )  x1 (t )  u (1)  x2 (t )  u (2)  x3u (3) ...
Ansatz einsetzen
Mit Anfangswerten in Matrizenform:
y (0), y (0) => ai , bi bestimmen
y3 (t )  ............... y2 (t ) 2 y3 (t )
 y1 (t )   2 1 0   y1 (t ) 

 
 

 y2 (t )    1 2 1    y2 (t ) 
 y (t )   0 1 2   y (t ) 
 3  
  3 
1  2, 2,3  2  2
A
 1 
Eigenräume: E2  span  0   ,
 
 1  
  
E2
2
 1  


 span   2  
 1  


Orthogonale Basis zu A:
 2
 1 
 1 


1
1 
1
(1)
(2)
(3)
u   0 , u   2 , u    2 
2
2 
2


 2 
 1 
 1 
 2

1
T :  u (1) , u (2) , u (3)    0
2
 2

y (t )  Tx(t )   u
(1)
u
(2)
1
2
1
1 

 2

1 
 x1 (t ) 


u    x2 (t ) 
 x (t ) 
 3 
(3)
xi (0)  ai und xi (0)  i bi
-
 a1 
 1b1 
 


y (0)  Tx(0)  T  a2  und y (0)  Tx(0)  T  2b2 
a 
 b 
 3
 3 3
Ta  ( y0 ) , T (ibi )  Tbi  ( y0 )
Da T orthogonal und normiert: T 1  T T
=> a  T T ( y0 )
10


 2 




  a1 cos( 2t )  b1 sin( 2t )    0 





 2 



 1  
  
1  
y (t )   a2 cos( 2  2 t )  b2 sin( 2  2 t )    2  
   
2  
 1  


 1 



  a3 cos( 2  2 t )  b3 sin( 2  2 t )     2  
 
 


 1  
 1/ 2 


y (0)   0  ,
 1/ 2 


 1/ 2 
0


 
Ta   0  , Tb   0 
 1/ 2 
0


 
0
 
y(0)   0 
0
 
bi : i bi
II)
 
 cos 2t 
 2 


 1
 Allg. Lösung
2t  0   
0


2


  cos 2t 
 2 


 
T  c  y0 Koeffizienten mit Anfangswerten bestimmen
-
y(t )  Ay(t ), y (0)  y0 in Matrixschreibweise
Eigenwerte und dazugehörige Eigenvektoren ausrechnen
Eigenvektoren in T schreiben: T :  u (1) , u (2) , u (3) 
-
y (t )  Tx (t ) Koordinatetransformation (später)
x(t )  Dx(t )
-
Ansatz: x j (t )  c j e j ,
y1 (t )  3 y1 (t ) 4 y2 (t ),
y1 (0)  6
y2 (t )  3 y1 (t ) 2 y2 (t ),
y2 (0)  1
 6
T c    :
1
 
Systeme erster Ordnung
t
-
 4 1  1  6
 4
 1
(1)
(2)
A
    1  u    , u   
3 1   2
 3
1
 4 1
T 

3 1 
 4
 1
y (t )  c1e6t     c2et   
 4
1
T
2
cos
=> y (t )  
4
y (t )  Tx(t )  c1e1t (u (1) )  c2e 1t (u (2) )  ...  cne nt (u ( n ) )
Bsp:
b  0  b  0 da T regulär.
 2 
 1/ 2 


 1
AT  0    0 
2
 1/ 2 
 0 




-
 c1  1,
=>
 4 1  c1  4c1  c2  6

   
 3 1  c2   3c1  c2  1
c2  2
y1 (t )  4e6t  2e  t
y2 (t )  3e6t  2e t
j  1,..., n
11